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2025-2026学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.cos40°cos80°-sin40°sin80°=（　　）
A. B. C. D.
2.已知平面向量，若，则λ=（　　）
A. B. C. D.
3.如图所示，一个水平放置的△ABC的斜二测直观图是△A′B′C′，若O'A'=，O'B'=O'C'=2，则△ABC的面积是（　　）
A. B. C. D.
4.函数的最小正周期是（　　）
A. B. C. π D. 2π
5.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a=2，b=2，A=60°，则角B等于（　　）
A. 45°或135° B. 135° C. 60° D. 45°
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则△ABC一定是（　　）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形
7.若，则=（　　）
A. B. C. D.
8.已知△ABC中，，t∈R，且的最小值为，则=（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列命题正确的是（　　）
A. 棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
B. 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台
C. 圆锥有无数条母线
D. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥
10.下列说法中正确的是（　　）
A. 对任意向量，，，都有
B. 已知向量与单位向量同向，且，，则
C. 已知，，则在上的投影向量的坐标为
D. Q是△ABC所在平面内一点，若，则△ABQ的面积是△ACQ的面积的2倍
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,若a=sinB，b=sinC，c=λa（λ＞0），则（　　）
A. b2=ac
B.
C. λ的取值范围是
D. 使△ABC为锐角三角形的λ的整数值只有1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=cos2x-3sinx+1的值域是 .
13.在平行四边形ABCD中，，设，，则= （用，表示）.
14.已知△ABC的面积为1，边AC，AB上的中线为BD，CE，且CE=2BD，则边AC的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，且与的夹角为，求：
（1）；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数λ的取值范围.
16.(本小题15分)
（1）已知tanα=2，化简求值：；
（2）已知，且，求cosβ的值.
17.(本小题15分)
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，AB∥CD，AB=AD=2，CD=1，点O，E分别为AB，BC的中点.
（1）设BD和OE交于点G，求∠EGB的余弦值；
（2）若点F在BC边上运动（包含端点），求的取值范围.
18.(本小题17分)
在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=2.
（1）求角C的大小；
（2）求b的取值范围；
（3）边AB的中点为D，求中线CD的长度的取值范围.
19.(本小题17分)
在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,bsinA+atanAcosB=2asinC.
（1）求A；
（2）奥古斯丁 路易斯 柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.已知三维柯西不等式：x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立.
在（1）的条件下，若a=3.
（ⅰ）求：的最小值；
（ⅱ）若P是△ABC内一点，过P作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F，设△ABC的面积为S，求的最小值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】解：（1）在△ABC中，∵bsinA+atanAcosB=2asinC，
∴由正弦定理得，sinBsinA+sinAtanAcosB=2sinAsinC，
又sinA≠0，∴，
整理得：sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosA，即sin（B+A）=2sinCcosA，
又A+B=π-C sin（B+A）=sinC，
∴sinC=2sinCcosA，sinC≠0，
∴，又A∈（0，π），∴；
（2）（i）∴a=3，
∴
=
（当且仅当△ABC为正三角形时取等号）
即：的最小值为108．
（ii）．
又，
∴c|PD|+a|PE|+b|PF|=2S，
∵x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，，当且仅当时等号成立．
∴有，当且仅当，即|PE|=3|PD|=3|PF|时等号成立．
所以；
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得9=b2+c2-bc,
∴（b+c）2-9=3bc,即，
则，
令t=b+c+9，则．
∵，
∴3＜b+c≤6，当且仅当b=c时等号成立，
∴12＜t≤15 ，
令，则y在上递减，
当即b=c=3时，y有最大值，
此时T有最小值（此时|PE|=3|PD|=3|PF|与b=c可以同时取到）．
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