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2025-2026学年江苏省扬州市邗江中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则c=（　　）
A. B. 3 C. D.
2.已知，，那么sinα等于（　　）
A. B. C. D.
3.给出下列命题，正确的有（　　）
A. 若，，则
B. 若，共线，则存在实数λ，使得
C.
D.
4.已知空间中三条直线a,b,c与平面α分别交于不同的三点A，B，C，则“A，B，C三点共线”是“直线a,b,c共面”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图，某海滨城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角为150°，距离为km的海面P处，并以25km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域.则（　　）小时后该城市开始受到台风侵袭.
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
6.设a=2sin12°cos12°，，，则有（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. c＞b＞a D. b＞c＞a
7.已知非零向量，的夹角为，.对于任意的λ∈R，的最小值为，则=（　　）
A. 2 B. 4 C. D.
8.已知，，则=（　　）
A. B. 5 C. D. -5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
D. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
10.已知函数，x∈R，则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期为π
B. 是函数f（x）的一条对称轴
C. 若，则
D. 若，，则
11.在△ABC中，AB=1，AC=2，∠BAC=120°，，O是△ABC内一点，且满足（m＞0），则下列说法正确的是（　　）
A.
B. 在方向上的投影向量为
C. O、A、E三点一定共线
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两个单位向量，，且，则，的夹角为 .
13.已知，则m的值为 .
14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为1，，则△ABC外接圆的半径为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知α，β均为锐角，且（1+tanα）（1+tanβ）=2.
（1）求α+β的值；
（2）若，求tan（α-β）的值.
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,向量，，且.
（1）求角C；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.
17.(本小题15分)
在△ABC中，AB=2，AC=4，，D为AC边中点，F为BD上一点，且.
（1）若λ=2，求；
（2）当时，求λ的值.
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且.
（1）求∠A；
（2）若点D是边BC上靠近点B的三等分点，且，求的值；
（3）若△ABC是锐角三角形，且a=2，求△ABC面积的取值范围.
19.(本小题17分)
赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1所示，由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形拼成一个较大的正方形）.类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的三角形和中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.
（1）图1中直角三角形的两锐角分别为α，β，其中小正方形的面积为9，大正方形的面积为25，求cos（α-β）的值；
（2）图2中△DEF的面积为S1，△ABC的面积为S2，
（ⅰ）若，，求的值；
（ⅱ）若，设，求cosθ的值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】 （i）；（ii）
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