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2025-2026学年吉林省吉林市实验中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则xy的最大值为（　　）
A. B. C. 1 D. 2
2.已知直线l过点P（1，0）且与线段y=2（-2≤x≤2）有交点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是（　　）
A. （-∞，-]∪[2，+∞） B. [-，2]
C. （-∞，-）∪（2，+∞） D. （-，2）
3.若直线y=kx与圆（x-1）2+y2=3的两个交点关于直线x+2y+b=0对称，则k，b的值分别为（　　）
A. k=2，b=-1 B. k=-2，b=1 C. ，b=-4 D. ，b=4
4.过点P（2，1）作圆M：（x-1）2+y2=4的最短弦，延长该弦与x轴、y轴分别交于A，B两点，则△ABM的面积为（　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.通信工程中常用n元数组（a1，a2，a3，…，an）表示信息，其中a1=0或1，且i,n∈N*.设u=（a1，a2，a3，…，an），v=（b1，b2，…，bn），d（u,v）表示u和v中相对应的元素不同的个数.如u=（1，0，0，1），v=（1，1，1，0），则d（u,v）=3.若u=（1，0，1，0，1，0），则使得d（u,v）=2的6元数组v的个数为（　　）
A. 15 B. 20 C. 30 D. 40
6.不等式的解集为（　　）
A. {x|x＞1} B. {x|x＜0} C. {x|0＜x＜1} D. {x|x＜0或x＞1}
7.已知定义域为R的函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，且y=f（x+1）为偶函数，则关于x的不等式f（2x-1）-f（x+1）＞0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
8.函数y=f（x）是奇函数且过点（-1，3），函数y=f-1（x）是函数y=f（x）的反函数，则f-1（x+2）的图象必过点（　　）
A. （-5，1） B. （-3，3） C. （-1，1） D. （-5，3）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占12.6%、49.0%、34.6%和3.8%，则适合表示上述调查结果的是（　　）
A. 柱形图 B. 折线图 C. 扇形图 D. 频率分布直方图
10.点M（x1，y1）在函数y=-x+5的图象上，当x∈[2，3]，则可能等于（　　）
A. B. -1 C. D. 0
11.若0＜a＜b＜1，则（　　）
A. B. a+lnb＞b+lna
C. 2a+2b＞2a+b D. a sinb＞b sina
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.我国古代的统计工作有着悠久的历史.据《周礼》记载，周朝设有专门负责调查和记录数据的官员，称为“司书”，主要工作是负责“邦之六典 以周知入出百物 ”.《数书九章》中有“米谷粒分”问题：今有粮仓开仓收粮，有人送来米2024石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得253粒内夹谷29粒.则估计这批米内所夹的谷有 石.
13.已知函数的定义域为R则实数a的取值范围是 .
14.已知x，y＞0，且+=，则x+y的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
（1）求cosα；
（2）若，且，求α+β.
16.(本小题15分)
如图，组合体由半个圆锥S-O和一个三棱锥S-ACD构成，其中O是圆锥S-O底面圆心，B是圆弧AC上一点，满足∠BOC是锐角，AC=CD=DA=2．
（1）在平面SAB内过点B作BP∥平面SCD交SA于点P，并写出作图步骤，但不要求证明；
（2）在（1）中，若P是SA中点，且，求直线BP与平面SAD所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°.
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值.
18.(本小题17分)
《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线.某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
质量指标 （25，35） （35，45） （45，55） （55，65） （65，75） （75，85） （85，95）
产品 60 100 160 300 200 100 80
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；
（2）设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
（3）为了检测技术人员的业务知识，该企业对两名业务人员进行知识考核竞赛，规则如下：在初赛中有两轮答题：第一轮从A类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得20分，否则得0分；第二轮从B类的4个问题中任选两题依次作答，每答对一题得20分，答错得0分.若两轮总得分不低于40分，则晋级复赛.甲和乙同时参赛，已知在A类的5个问题中，甲只能答对4个问题，在B类的4个问题中，甲答对的概率都为0.4；乙答对每个问题的概率都为0.6.甲、乙回答任一问题正确与否互不影响.
（ⅰ）求甲在第一轮比赛中得0分的概率；
（ⅱ）以晋级复赛的概率大小为依据，甲和乙谁更容易晋级复赛？
19.(本小题17分)
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），且不等式f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
（1）方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式．
（2）f（x）的最小值不大于-3a，求实数a的取值范围．
（3）a如何取值时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1）存在零点，并求出零点．
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】BC
12.【答案】232
13.【答案】{a|-12＜a≤0}
14.【答案】5
15.【答案】
16.【答案】解：（1）①延长AB交DC的延长线于点Q；
②连接SQ；
③过点B作BP∥QS交SA于点P．
（2）若P是SA的中点，则B是AQ的中点，
因为B是以AC直径的圆弧上的一点，所以CB⊥AQ，所以CA=CQ，
又因为CA=CD，所以∠QAD=90°，
而△ACD为等边三角形，∠CAD=60°，所以∠BAC=30°．
依题意，OS、OC、OD两两垂直，分别以OC、OD、OS为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面SAD的法向量为=（x，y，z），则，
取，则y=z=-1，所以=（，-1，-1）．
设直线BP与平面SAD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜，＞|=||=||=，
故直线BP与平面SAD所成角的正弦值为．
17.【答案】证明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC 平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC…（5分）
（2）解法一：（几何法）
取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60°
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN==；
在△AMN中，MN=AN cot∠AMN=×=1；
在△CNH中，NH=CN sin∠NCH=1×=；
在△MNH中，MN=tan∠MHN===；
则cos∠MHN==
解法二：（向量法）
在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）…（6分）
由题意有，设P（0，0，z0）（z0＞0），
则
由直线AM与直线PC所成的角为60°，得，即，
解得z0=1…（8分）
∴，
设平面MAC的一个法向量为，
则，
取x1=1，得…（9分）
平面ABC的法向量取为…（10分）
设与所成的角为θ，则…（11分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为…（12分）
18.【答案】61，241；
可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
（ⅰ）0.4；（ⅱ）乙更容易晋级复赛．
19.【答案】解：∵f（x）＜2x的解集为（-1，2）．
∴ax2+（b-2）x+c＜0的解集为（-1，2）．
∴a＞0，且方程ax2+（b-2）x+c=0的两根为-1和2．
即，所以，
所以f（x）=ax2+（2-a）x-2a，（a＞0）
（1）∵方程f（x）+3a=0有两个相等的实根，即ax2+（2-a）x+a=0有两个相等的实根
∴△=（2-a）2-4a2=0，即3a2+4a-4=0，
∴a=-2或a= ，
∵a＞0，∴a=，∴
（2）f（x）=ax2+（2-a）x-2a=
∵a＞0，∴f（x）的最小值为，
则，
即3a2+4a-4≤0，即-2，
∵a＞0，∴
（3）由y=f（x）-（x2-ax+m）（|m|＞1），得（a-1）x2+2x-（2a+m）=0 （※）
①当a=1时，方程（※） 有一解x=，
函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=
②当a≠1时，△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]
方程（※）有一解则△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]=0，令判别式△1=m2+4m-4≥0，
得m或，∵|m|＞1，即m＞1或m＜-1，
i）当m＞1，时，（（负根舍去）），
函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=．
ii） 当时，a的两根都为正数，
∴当或时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有一零点x=．
ⅲ） 当时，，∴△＞0恒成立，∴△=0无解；
方程（※）有二解，所以△=4[2a2+（m-2）a+（1-m）]＞0，
1）若m＞1，，时，
（舍去）），函数y=f（x）-（x2-ax+m）
有两个零点=；
2）当时，，
∴当或时，
函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点．
3） 当时，，∴△0恒成立，
∴a取大于0（a≠1）的任意数，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点
4) 当 时， ，当，且，时，函数y=f（x）-（x2-ax+m）有两个零点 .
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