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2025-2026学年吉林省吉林市吉化第一高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.曲线y=x3-x2+2在点（1，2）处的切线斜率为（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.由数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字并且比400000大的偶数个数为（　　）
A. 96 B. 120 C. 240 D. 625
3.已知随机变量X的分布列为
X 1 2 x0 5
P 0.2 0.3 p0 0.1
若E（X）=2.5，则x0值为（　　）
A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5
4.（x-y）（x+2y）5的展开式中x3y3的系数为（　　）
A. -20 B. 0 C. 20 D. 40
5.如果函数f（x）=2x2-alnx在上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. a＜1 B. a≥1 C. a＞1 D. a≤1
6.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.已知王同学第2天去A餐厅用餐，则第1天去B餐厅的概率（　　）
A. B. C. D.
7.设函数y=ax3+2x2+3x-1有极值，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
8.已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足xf′（x）-f（x）＜0，且f（2）=2，则f（ex）-ex＞0的解集为（　　）
A. （-∞，ln2） B. （0，ln2） C. （ln2，+∞） D. （ln2，2）
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.某大学的3名男生和3名女生利用周末到社区进行志愿服务，当天活动结束后，这6名同学排成一排合影留念，则下列说法正确的是（　　）
A. 若要求3名女生相邻，则这6名同学共有144种不同的排法
B. 若要求女生不排在两端，则这6名同学共有96种排法
C. 若要求3名女生互不相邻，则这6名同学共有144种排法
D. 若要求男生甲不在排头也不在排尾且女生相邻，则这6名同学共有72种排法
10.下列说法正确的是（　　）
A. 已知D（X）=3，则D（3X+2）=27
B. 若随机变量Z的分布列为，则
C. 随机变量X的方差D（X）=20，期望E（X）=6，则E（X2）=16
D. 若随机变量X的取值是0，1，且满足P（X=1）=p,，则
11.某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品.甲设备检测良品芯片为良品的概率为0.9，检测次品芯片为良品的概率为0.1；乙设备检测良品芯片为良品的概率为0.8，检测次品芯片为良品的概率为0.2.甲、乙设备的检测结果相互独立.已知某批芯片良品率为p（0＜p＜1），现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则（　　）
A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为0.74
B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是0.9
C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为0.8p+0.1
D. 甲设备检测为良品，该芯片实际为良品的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若（x2+2x+1）3=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a0+a2+a4+a6= .
13.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且P（B）=0.4，P（B|A）=0.8，.则P（A）= .
14.若函数有且仅有一个零点，则实数a的取值范围 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当，求f（x）的最值.
16.(本小题15分)
2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立.
（1）求这3人中至少有2人通过第一轮的概率；
（2）设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.
17.(本小题15分)
在二项式的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等.
（1）求展开式中的有理项；
（2）求展开式中的二项式系数最大的项；
（3）求展开式中的系数最大的项.
18.(本小题17分)
ACE球是指在网球对局中，一方发球，球落在有效区内，但接球方却没有触及到球而使发球方直接得分的发球.甲、乙两人进行发球训练，规则如下：每次由其中一人发球，若发出ACE球，则换人发球，若未发出ACE球，则两人等可能地获得下一次发球权.设甲，乙发出ACE球的概率均为p0，记事件An表示“第n次发球的人是甲”.
（1）若P（A1）=1，，
（i）求p0；
（ii）已知第三次发球的人是甲，求第二次发球的人是甲的概率；
（2）若，证明：
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=xex，g（x）=lnx.
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0，对任意的x∈（0，+∞），恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】32
13.【答案】
14.【答案】（-∞，-1）∪{e2-1}
15.【答案】f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞） ，
16.【答案】 ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P

17.【答案】
18.【答案】（i）；（ii） ，
因为，，
所以，
因为，0＜p0＜1，
所以，P（An+1）＜
19.【答案】y=2ex-e 证明：由（2）得当时，恒成立，
即，令，
所以，
令，
则G′（x）=xex-x=x（ex-1）＞0，
故G（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以G（x）＞G（0）=0，即F（x）≥G（x）＞0成立，得证
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