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2025-2026学年河南省濮阳市外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足(1+i)z＝|1-i|（i为复数单位），则z的共轭复数为（ ）
A. 1+i B. 1-i C. D.
2.，为单位向量，当，的夹角为135°时，向量在向量上的投影向量为（　　）
A. B. C. D.
3.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4），且⊥，，则x+y=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D'，已知A'B'=4，C'D'=2，则下列说法正确的是（　　）
A. AB=2 B.
C. 四边形ABCD的周长为 D. 四边形ABCD的面积为
5.已知点O、N、P在△ABC所在平面内，且，，==，则点O、N、P依次为△ABC的（　　）
A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心
6.如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）

A. B. C. D.
7.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.克罗狄斯 托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师.托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形ABCD是圆O的内接四边形，且AC=BD，∠ADC=2∠BAD.若AB CD+BC AD=4，则圆O的半径为（　　）
A. 4 B. 2 C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知a,b是空间内两条不同的直线，α，β是空间内两个不同的平面，则下列说法不正确的有（　　）
A. 若a∥α，α∩β=b,则a∥b B. 若a⊥α，a∥b,b⊥β，则α∥β
C. 若α∥β，a∥α，则a∥β D. 若a⊥b,a⊥α，α∥β，则b∥β
10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,下列说法正确的是（　　）
A. 若sinA＞sinB，则A＞B
B. 若，则△ABC有唯一解
C. 若acosA=bcosB，则△ABC一定是等腰三角形
D. 若，则角
11.如图，棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点，F为正方形C1CDD1，内一个动点（包括边界），且B1F∥平面A1BE，则下列说法正确的有（　　）
A. 动点F轨迹的长度为
B. 直线B1F与A1B不可能垂直
C. 当三棱锥B1-D1DF的体积最小时，直线B1F与A1B所成角的余弦值为
D. 当三棱锥B1-D1DF的体积最大时，其外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥与圆柱的底面半径相等，它们的高也相等，若圆柱的底面积为9π，侧面积为24π，则圆锥的表面积为 .
13.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且PA=AB=BC=1，则直线PB与平面PAC所成角的大小为 .
14.已知A，B，C三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，.
（1）用，表示，；
（2）若AB=AD，证明：EF⊥DF.
16.(本小题15分)
在复平面内，复数z对应的点的坐标为（m,-1）（m∈R），且为纯虚数.
（1）求m的值；
（2）复数求在复平面对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
已知向量，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.
18.(本小题17分)
如图1，矩形ABCD中，AB=12，AD=6，E、F分别为CD、AB边上的点，且DE=3，BF=4，将△BCE沿BE折起至△PBE位置（如图2所示），连结AP、PF，其中．
（Ⅰ） 求证：PF⊥平面ABED；
（Ⅱ） 在线段PA上是否存在点Q使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ） 求点A到平面PBE的距离．
19.(本小题17分)
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔 德 费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且.若P是△ABC的“费马点”，.
（1）求角A；
（2）若，求△ABC的周长.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AB
11.【答案】ACD
12.【答案】24π
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】=，=；
证明见解析．
16.【答案】3；
，
17.【答案】；
．
18.【答案】（本题满分14分）
解：（Ⅰ）连结EF，
由翻折不变性可知，PB=BC=6，PE=CE=9，
在△PBF中，PF2+BF2=20+16=36=PB2，
所以PF⊥BF…（2分）
在图1中，利用勾股定理，得，
在△PEF中，EF2+PF2=61+20=81=PE2，
∴PF⊥EF…（4分）
又∵BF∩EF=F，BF 平面ABED，EF 平面ABED，
∴PF⊥平面ABED．…（6分）
（Ⅱ） 当Q为PA的三等分点（靠近P）时，FQ∥平面PBE．
证明如下：
∵，，
∴FQ∥BP…（8分）
又∵FQ不包含于平面PBE，PB 平面PBE，
∴FQ∥平面PBE．…（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅰ）知PF⊥平面ABED，
∴PF为三棱锥P-ABE的高．…（11分）
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得VA-PBE=VP-ABE，…（12分）
即，
又，，
∴，
即点A到平面PBE的距离为．…（14分）
19.【答案】
第1页，共1页

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