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2025-2026学年河南省南阳市高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.点O是△ABC所在平面上一点，且满足++=，则点O为△ABC的（　　）
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
3.函数的图象的一个对称中心为（　　）
A. B. C. D.
4.在边长为1的正方形ABCD中，P为BC的中点，则=（　　）
A. B. C. D.
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若a=2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（　　）
A. 2 B. C. D. 3
6.若函数在上有最大值没有最小值，则ω的取值范围为（　　）
A. B. C. D.
7.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点P0）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（　　）
A. A=2，B=1
B.
C.
D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米
8.关于x的方程sin2x+sinx+a-1=0在区间（0，2π）有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（　　）
A. （-1，1] B. [-1，1] C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法中正确的有（　　）
A. 单位向量都相等
B. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
C. 两个非零向量，，若，则与共线且反向
D. 若，则在上的投影向量为
10.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a=5，b=7，c=8，.则（　　）
A.
B. 若，则
C. 若BD为∠ABC的平分线，则
D. 若，则
11.如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象交x轴于点B和点D，交y轴于点C，已知，，点E的横坐标为，.则（　　）
A.
B. △BCE的面积为
C. 若在有n个解依次为x1，x2，…，xn，则
D. 把函数y=f（x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数y=g（x）的图象．若对任意的0≤m≤3，方程|g（kx）|=m在区间上至多有一个解，则正数k的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的取值范围为 .
13.已知 x∈R，f（x+3）=-f（x）.当x∈（0，3）时，，则f（2026）= .
14.已知.对 α∈R，使得|sinx|≥cosy成立，则y的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
（1）一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数；
（2）已知α角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点，，求f（α）的值.
16.(本小题15分)
已知单位向量，的夹角为，向量，向量.
（1）若，求λ的值；
（2）若，求λ的值；
（3）若，求λ的值.
17.(本小题15分)
函数f（x）=cosx+2|cosx|，x∈[0，2π].
（1）请用五点作图法画出函数f（x）的图象（先填表，再画图）；
（2）若f（x）=m有2个根，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）在[a,b]上的值域为，求u=b-a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知函数，，函数f（x）图象的两条相邻对称轴间的距离为.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间上单调递增，求实数m的最大值；
（3）若，[f（x）]2-λf（x）-1≤0，求λ的取值范围.
19.(本小题17分)
在△ABC中，若点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=α，则点P称为△ABC的布洛卡点，角α为△ABC的布洛卡角.已知角A，B，C所对的边分别为a,b,c,点P是△ABC的布洛卡点.
（1）若△ABC为正三角形，求α；
（2）已知|PA|=λ|PB|（λ＞0）
①求证：b2=λac；
②若a+c=2，λ=3，求△ABC面积的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】BC
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】[1，3]
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】2
16.【答案】 λ=-2或λ=3
17.【答案】 {0}∪（1，3]
18.【答案】
19.【答案】 ①在△ABP中，，即；在△APC中，，即，
所以，由正弦定理得：．
因为PA=λPB，所以，即b2=λac．
②
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