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2025-2026学年河北省保定市唐县第一中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知复数z满足（1+i）z=-2，则z的虚部为（　　）
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2.设||=3，||=4，在上的投影向量为-，则与的夹角为（　　）
A. B. C. D.
3.已知不共线，，若A，B，C三点共线，则λ=（　　）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为2和4，若侧棱AA1长为，则该正四棱台的体积为（　　）
A. B. C. D.
5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）
A. 若m // α，n // α，则m // n
B. 若m // α，m⊥n，则n⊥α
C. 若α // β，m⊥α，n // β，则m⊥n
D. 若m // n，n α，则m // α
6.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点E、F、G、H分别为BB1、CC1、A1B1、A1C1的中点，则下列说法错误的是（　　）
A. E、F、G、H四点共面
B. AA1与GH是异面直线
C. EG、FH、AA1三线共点
D. EG∥FH
7.如图，在三V-ABC中，VA=VB=BC=AC=AB=2，二面角V-AB-C的余弦值为，则VC的长为（　　）
A. 1
B. 2
C.
D.
8.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若，则△ABC的外接圆的面积为16π
B. 若cosB＞cosC，则B＞C
C. 若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC为钝角三角形
D. 若，则△ABC为等腰直角三角形
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（　　）
A. z2=|z|2
B. 若点Z坐标为（-1，3），且z是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，则p+q=12
C. 若|z|=1，则z=±1或z=±i
D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
10.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是AD，DD1的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（　　）
A. 过B，E，F三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥C1-A1B1P的体积为4
C. 若P在线段AC上，则C1P跟面ABCD所成角的正弦值最大为
D. 一质点从A点出发沿正方体表面绕行到CC1的中点的最短距离为
11.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则△ABC为等腰三角形
C. 若，则点D的轨迹经过△ABC的内心．
D. 若，则D为△ABC的垂心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A′B′C′D′.已知A′B′=6，C'D'=2，则四边形ABCD的面积是 .
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a=k,b=4，A=30°，则使△ABC有两解的k的取值范围是 .
14.如图，在圆锥PO中，PO=4，B，C为圆O上的点，且OB=2，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
向量是同一平面内的两个向量，其中.
（1）若，且与的夹角为钝角，求实数m的取值范围；
（2）若，与共线且，求.
16.(本小题15分)
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M是DD1的中点.
（1）求证：BD1∥平面AMC；
（2）证明：AC⊥平面BDD1B1.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）求角B；
（2）若a+c=2，D是AC上的点，BD平分∠ABC，求BD长.
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知向量，，.
（1）求B；
（2）若，，选择为表示平面ABC内所有向量的一组基底，用表示向量，并求△ABC面积的最大值：
（3）若△ABC是锐角三角形，且，求2a-c的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，，点E在线段PD上，且PE=1.
（1）设平面PBC∩平面PAD=l,证明：BC∥l；
（2）证明：AE⊥PC；
（3）线段CA上是否存在点M，使得EM∥平面PBC？若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】AD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】（2，4）
14.【答案】
15.【答案】（-∞，-1）∪（-1，4） （6，8）或（-6，-8）
16.【答案】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，设AC∩BD=O，连接OM，
因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，
所以BO=DO，又M是DD1的中点，所以DM=D1M，
所以OM∥BD1，又OM 平面AMC，BD1 平面AMC，
所以BD1∥平面AMC 因为在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，
又因为AC 平面ABCD，所以DD1⊥AC，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又因为DD1∩BD=D，DD1 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，
所以AC⊥平面BDD1B1
17.【答案】
18.【答案】 ， （0，3）
19.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
∵AD 平面PAD，BC 平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,
∴BC∥l.
（2）解：∵PA⊥平面ABCD，又CD 平面ABCD，∴CD⊥PA．
又底面ABCD为矩形，∴CD⊥AD．
PA，AD 平面PAD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
AE 平面PAD，∴CD⊥AE．
在△PAD中，PA=2，PE=1，，
∴PA2=PE PD，
∴AE⊥PD．
CD，PD 平面PCD，CD∩PD=D，
∴AE⊥平面PCD．
又PC 平面PCD，
∴AE⊥PC；
（3）解：如图：
过E作EN∥PC，交CD于点N，过N作NM∥AD交AC于点M．
∵EN∥PC，PC 平面PBC，EN 平面PBC，
∴EN∥平面PBC．
同理MN∥平面PBC．
又MN，EN 平面EMN，MN∩EN=N，
∴平面EMN∥平面PBC．
由（1）知，PD=4，又PE=1，则ED=3，
则，
∵CD=AB=2，．
∴，
∴点M为线段CA上靠近C的四等分点，AM=3．
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