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2025-2026学年广西柳州市高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设函数，则f（f（-2））=（　　）
A. -1 B. C. 1 D. 2
2.已知向量=（-2，1，-1），=（4，-2，x），若⊥，则实数x的值为（　　）
A. -10 B. 10 C. -2 D. 2
3.等比数列{an}中，a1+3a3=7，a2a4=2a3，则a5=（　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
4.已知变量x,y的一组统计数据如下表所示，计算得两个变量线性相关，且y关于x的线性回归方程为，则实数a的值为（　　）
x 1 2 3 4
y 0 a 4 7
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5.（2x-1）6的展开式中含有x3项的系数是（　　）
A. 160 B. -160 C. 20 D. -20
6.同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则P（B|A）=（　　）
A. B. C. D.
7.已知点F是双曲线的右焦点，O是坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点A，若△AOF的面积为5，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B. C. D.
8.已知aeax≥lnx对 x≥1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A. [1，+∞） B. [0，+∞） C. [e,+∞） D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列说法正确的是（　　）
A. 利用χ2进行独立性检验时，χ2的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量无关
B. 在残差图中，残差点在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好
C. 样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱
D. 用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10.已知函数，则（　　）
A. 3是f（x）的极小值点
B. f（x）在R上仅有1个零点
C. 曲线y=f（x）在点（4，f（4））处的切线方程为5x-y-27=0
D. 若a＞-1，则f（x）在区间（-2，a）上存在最大值
11.某市以“渤海湾畔、生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线C，其方程为x2+y2+2|x|-2|y|=0.对应的曲线如图（实线部分）：对于曲线C，则下列结论正确的是（　　）
A. 曲线C所围成的封闭区域面积等于2π-4
B. 若直线y=kx与曲线C有唯一公共点，则k取值范围为[-1，1]
C. 曲线C上恰好存在4个不同点到直线的距离为
D. 曲线C上存在唯一的点P，使得点P到点（0，5）与到点（0，-5）的距离之差为4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X≥5.5）=0.2，若P（X≤m）=0.2，则m= .
13.关于x的不等式ax2+bx+3＞0的解集是（-1，3），则实数a+b= .
14.有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3a2+a4=16，S5=25.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，AP=AB，E为CD的中点.
（1）求证：CD⊥平面PAE；
（2）求平面PAE与平面PBC所成二面角的余弦值.
17.(本小题15分)
已知椭圆的短半轴长b=1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为.
（1）求椭圆M的方程；
（2）设直线l：x=my+t（不过右顶点）与椭圆M交于A，B两点，椭圆的右顶点为C，且，求t的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=asinx-x+b（a,b均为正的常数）.
（1）若，求函数f（x）在区间（0，π）上的单调减区间；
（2）设函数在处有极值.
①对于一切，不等式f（x）＞sinx恒成立，求b的取值范围；
②若函数f（x）在区间上是单调增函数，求实数m的取值范围.
19.(本小题17分)
2026年除夕夜，央视春节联欢晚会精彩上演，阖家团圆共贺新春.某中学课外实践活动小组在某区域内通过一定的有效调查方式对“央视春节联欢晚会”当晚的收看情况进行了随机抽样调查.统计发现，通过手机收看的占，通过电视收看的占，其他为未收看者.
（1）从该地区中随机选取3人，用X表示这3人中通过电视收看的人数，求P（X≥2）；
（2）若采用分层随机抽样方法从该地区被调查对象中抽取6人，我们知道，通过手机收看的人数有3人.现从这6人中随机选出4人，用Y表示这4人中通过手机收看的人数，求Y的分布列和数学期望E（Y）.
（3）设该地区被调查对象共有6n（n≥2，n∈N*）人，不难知道通过手机收看的有3n人，通过电视收看的有2n人，未收看的有n人.若从该地区被调查对象中不放回地随机选取3人，记事件A为“选取的3人中恰有1人用手机收看、1人用电视收看、1人未收看”，其概率为P1；若从该地区被调查对象中不放回地随机选取6人，记事件B为“选取的6人中恰有2人用手机收看、2人用电视收看、2人未收看”，其概率为P2，求，并比较与1的大小，说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】ABD
12.【答案】0.5
13.【答案】1
14.【答案】

15.【答案】an=2n-1
16.【答案】解：（1）证明：连AC，
∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴AC=AD，
∵AC=AD，DE=CE，∴AE⊥CD，
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵PA⊥CD，AE⊥CD，AE，PA 平面PAE，AE∩AP=A，
∴CD⊥平面PAE；
（2）由（1）知CD⊥AE，又由AB∥CD，可得AB⊥AE，可得AB、AE、AP两两垂直，
令AB=2，可得，
以A为坐标原点，向量方向分别为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
可得点A的坐标为（0，0，0），点P的坐标为（0，0，2），点B的坐标为（2，0，0），点E的坐标为，点C的坐标为，
，
由（1）可知为平面PAE的法向量，
设平面BCP的法向量为，
则，有，取，
可得，
由，
有=，
由图可知所成二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
17.【答案】
18.【答案】 ①；②m∈（0，1]
19.【答案】 Y的分布列如下：
Y 1 2 3
P
E（Y）=2 P1＞P2
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