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5　实验：用单摆测量重力加速度
[学习目标]　1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。3.熟练掌握用图像处理实验数据的方法(重难点)。
一、实验思路
1.用单摆测量重力加速度的实验原理是什么？
答案　单摆在偏角很小(小于5°)时的运动，可看成简谐运动，其周期T=2π，可得g=。
2.本实验需要测量哪些物理量？需要哪些测量仪器？
答案　可用刻度尺和游标卡尺等测出摆长l；用停表或数字计时器等测周期T。
二、实验装置及操作设计
基本实验装置如图所示
1.应该如何选择摆线和摆球？为什么？
答案　为保证单摆运动过程中摆长不变，应选择细且不易被拉长的线，长度一般不应短于1 m，这样可使周期的测量更加准确；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球，可减少摆球在运动过程中所受空气阻力的影响。
2.如何准确测量出所需要的摆长l，操作时需要注意什么？
答案　要悬挂好摆球后再测摆长，可用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l=l'+，且测同一组数据的实验中摆长应保持不变。
3.从哪个位置开始计时？如何准确地测量出单摆的周期？为什么？
答案　当摆球摆动稳定后，经过最低位置，即平衡位置(摆动前先记录该位置)时开始计时，在该位置小球速度最大，在平衡位置附近时间间隔较短，正确操作时带来的相对误差较小；用停表或数字计时器测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期，这样可以减小测量的偶然误差。
三、数据获取及分析
改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
实验次数 摆长l/m 周期T/s
1
2
3
1.获得多组摆长l和周期T数据后，通过什么方法可以进一步得出重力加速度？
答案　①公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。
②图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴，以l为横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
2.如果测量摆长过程中漏加了小球的半径？以上方法会对测量结果带来怎样的影响？
答案　如果采用公式法，由g=可知，漏加小球半径会使重力加速度的测量值偏小；若采用T2-l图像法，漏加小球半径对图像斜率k=没有影响，由此测得的重力加速度仍然是准确的。
实验中，某个物理量的测量是否准确，对采用不同方法处理实验数据时所带来的影响是不同的。一般情况下，采用图像法来分析处理实验数据所带来的误差较小。
四、误差来源及其他注意事项
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求(即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等)；偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上；摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
例1　用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　　　　　(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径为2 cm左右的塑料球
D.直径为2 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用　　　　　图(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用停表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的重力加速度g=　　　　　　　　(用d，l0，N，t，π表示)。
(4)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图丁所示的图像。你认为横坐标所表示的物理量应为　　　　　　(选填“l2”“l”或“”)。
答案　(1)AD　(2)丙　(3)　(4)
解析　(1)单摆的摆角小于5°，所以摆线的长度要适当大些，这样摆幅较大，便于观察和计时，所以选择长度为1 m左右的细线，A正确，B错误；为了减小空气阻力的影响，应选择体积较小，密度较大的铁球，C错误，D正确。
(2)为了保证摆球的摆长一定，单摆的悬点处需要固定，所以应采用题图丙所示的固定方式。
(3)根据单摆的周期公式T=2π可知g==
(4)根据单摆的周期公式T=2π可知T∝，所以横轴表示的物理量为。
例2　(2025·岳阳市高二检测)单摆是能够产生往复摆动的一种装置。将轻质细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端连接一个重小球即可构成单摆。甲、乙两位同学利用如图甲所示的实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
(1)关于实验操作，下列说法正确的是　　　　。
A.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
B.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
C.用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长
D.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期T=50t
(2)如图乙所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径d=　　　　　 cm。
(3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=65时秒表的示数如图丙所示，该单摆的周期是T=　　　　 s(结果保留3位有效数字)
(4)为了提高实验精确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出一组对应的L与T的数据，并作出L-T2图线如图丁所示。图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则可以得重力加速度g=　　　　　。
(5)同学乙发现用g=计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是　　　　。
A.测摆长时，摆线拉得过紧
B.误将29次全振动记为30次
C.将摆线长度当作摆长来计算
D.摆动的摆角偏小
E.摆球的质量偏大
答案　(1)A　(2)2.06　(3)2.11　(4)　(5)AB
解析　(1)为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故A正确；单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，实验时摆角不能太大，故B错误；摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，用刻度尺测量摆线的长度不是摆长，故C错误；单摆完成一次全振动需要的时间是周期，记下摆球做50次全振动所用的时间t，则单摆周期为T=，故D错误。
(2)由题图乙可知，摆球的直径为d=2 cm+6×0.1 mm=2.06 cm
(3)单摆全振动的次数为N=次=32次
由题图丙可知秒表的示数为t=67.5 s，则该单摆的周期为T== s≈2.11 s
(4)根据题意，由单摆周期公式T=2π
整理可得L=·T2
结合题图丁可得=
解得g=
(5)根据题意可知，由公式计算可得重力加速度为g=，测摆长时，摆线拉得过紧，摆长偏大，则重力加速度偏大，故A正确；误将29次全振动记为30次，周期偏小，则重力加速度偏大，故B正确；将摆线长度当作摆长来计算，摆长偏小，则重力加速度偏小，故C错误；摆角偏小、质量偏大，不影响实验结果，故D、E错误。
1.测量摆长时引起的误差
(1)若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大。
(2)若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动；测量了摆线长漏加了摆球半径等，会使测量的摆长偏小。
2.测量周期时引起的误差
(1)由于测量全振动次数错误造成误差。
(2)开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。
(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
3.若使用公式法测重力加速度，由g=可知，当摆长测量值偏大，周期测量值偏小时，重力加速度g的测量值将偏大，反之将偏小。
例3　(2025·浙江6月选考改编)在用单摆测重力加速度的实验中，
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为　　　　　 s(结果保留3位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T=　　　　　。
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g=　　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h=　　　　　(结果均用k、b表示)。
答案　(1)1.31　　(2)4π2k　kb
解析　(1)单摆摆动过程中，在最低点摆线的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt=7.653 0 s-1.127 7 s=6.525 3 s
则有Δt=10×，解得T≈1.31 s。
由题可得(n-1)=t，解得周期为T=。
(2)摆长为L=h+l，根据单摆周期公式有T=2π，解得l=T2-h，可得l-T2图像的斜率为k=，解得g=4π2k；当T2=b时l=0，则有0=·b-h，解得h=kb。
课时对点练
[分值：50分]
[1、2题，每题4分]
1.(多选)在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列操作正确的是(　　)
A.甲图：小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B.乙图：细线上端用铁夹子固定
C.丙图：小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
答案　BD
解析　摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
2.(多选)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是(　　)
A.以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B.单摆所用摆球质量太大
C.把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D.开始计时时，停表过早按下
答案　AC
解析　根据T=2π，得g=。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；开始计时时，停表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。
3.(14分)(1)(8分)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加速度的公式是g=　　　　　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　　m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是　　　　 s，单摆的摆动周期是　　　　 s。
(2)(6分)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则：
①单摆做简谐运动应满足的条件是　　　
　　　　。
②试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g=　　　　　　 m/s2(结果保留2位有效数字)。
答案　(1)　0.875 0　75.2　1.88
(2)①偏角小于5°　②见解析图　9.9
解析　(1)由单摆的周期公式T=2π，
可得g=
由题图甲可知，摆长l=(88.50-1.00) cm
=87.50 cm=0.875 0 m
停表的读数t=60 s+15.2 s=75.2 s
所以T==1.88 s。
(2)①单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。
②连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率
k== s2/m=4 s2/m
由g=可知T2-l图线的斜率表示，
故=4 s2/m
可得g≈9.9 m/s2。
4.(8分)(2025·河南省部分名校高二期中)“争先”学习小组欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度，圆弧面如图甲所示，图甲中虚线为圆弧面最低处，圆弧面半径目测约为1.5 m，该同学取一小铁球进行实验。
(1)(2分)实验中，同学们用螺旋测微器测量小铁球的直径，测量结果如图乙所示，则小铁球的直径d=　　　　　　 mm。
(2)(2分)学习小组的同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处时开始用秒表计时，并计数为1，当计数为50时，所用的时间为t，则等效单摆的周期T=　　　　　　。
(3)(4分)更换半径不同的小铁球进行实验，正确操作，根据实验记录的数据，绘制的T2-图像如图丙所示，横、纵截距分别为a、b，则当地的重力加速度大小g=　　　　　　　，圆弧面的半径R=　　　　　　　(均用题目中的已知字母表示)。
答案　(1)11.700　(2)　(3)　a
解析　(1)螺旋测微器的精度为0.01 mm，
固定刻度读数为11.5 mm，
可动部分读数为20.0×0.01 mm=0.200 mm，
则小铁球的直径d=11.5 mm+0.200 mm=11.700 mm
(2)时间t内单摆完成了次全振动，
所以有t=T
则单摆的周期T=
(3)由摆球的周期公式有T=2π
变形得T2=-·
结合题图丙有=-，=b
解得g=，R==a。
5.(10分)(2026·成都市实验外国语学校高二检测)(1)(8分)在探究单摆周期与摆长关系的实验中：
①如图甲所示，王同学在“用单摆测重力加速度”实验中，进行了如下步骤，其中错误的是　　　　，不必要的是　　　　。
A.先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长
B.用天平测量出摆球的质量
C.使单摆小角度摆动后，用秒表记录30次全振动的时间，并计算出摆动周期
②用游标卡尺测量摆球的直径d，某次测量结果如图乙所示，从图中读出d=　　　　 mm。
③根据测得的实验数据，该同学绘制了T2随摆长l变化的关系图像，如图丙所示，根据图像，可知当地的重力加速度为　　　　 m/s2(π取3.14，计算结果保留3位有效数字)。
(2)(2分)除了上述提及的器材，王同学只有一把量程为30 cm的刻度尺，小于柱形深筒的深度。该同学做了如图丁所示的装置，利用单摆实验测得L1、T1为某次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L2、T2为另一次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L1、L2均小于30 cm，则当地重力加速度g=　　　　(用题目所给的物理量的符号表示)。
答案　(1)①A　B　②18.6　③9.86　(2)
解析　(1)①为了避免由于摆球重力对摆线拉长的影响，所以测摆线长度时，应将摆球挂起来测量，故A错误；用单摆测重力加速度实验不需要测量摆球的质量，故B不必要；使单摆小角度摆动后，用秒表记录30次全振动的时间，并计算出摆动周期为T=，故C正确。故错误的是A，不必要的是B。
②用游标卡尺测得小球的直径d=18 mm+6×0.1 mm=18.6 mm
③根据单摆的周期公式T=2π
可得T2=l
则图线的斜率k=
解得g== m/s2≈9.86 m/s2
(2)L1、T1为某次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L2、T2为另一次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L1、L2均小于30 cm，设深筒的深度为h，则根据单摆周期公式有T1=2π，T2=2π
联立解得g=。
6.(10分)在“利用单摆测重力加速度”的实验中，两名同学采用了不同类型的传感器来完成实验。一同学利用智能手机软件中的“磁传感器”功能，能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用智能手机、磁化小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住；
②打开夹子释放磁化小球，小球运动，取下夹子；
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化；
④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长度L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题：
(1)(2分)图乙记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为　　　　　　　　。
(2)(6分)实验中得到多组摆线长度L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g=　　　　　，小球的半径R=　　　　　。
(3)(2分)另一同学利用了位移传感器，他将单摆固定在铁架台上，使其做小角度(小于5°)左右摆动，摆动路径如图丙中虚线所示，通过位移传感器得到了摆球位移随时间的变化曲线，如图丁所示，已知摆长l=0.64 m，根据图丁中的信息可得，重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字，取π2=9.86)。
答案　(1)　(2)　　(3)9.86
解析　(1)测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为，则(N-1)=t
解得T=
(2)单摆摆长为l=L+R，由单摆周期公式
T=2π，得T2=L+R，
图线的斜率为k=，
纵轴上的截距为c=R，
解得当地重力加速度g=，
小球的半径R=
(3)由题图丁可得，周期为T=4.4 s-2.8 s=1.6 s，
由单摆周期公式T=2π，
解得g=9.86 m/s2。(共64张PPT)
第
二
章
实验：用单摆测量重力加速度
5
1.进一步理解单摆做简谐运动的条件和单摆周期公式中各物理量的意义。2.学会利用单摆的周期公式测量重力加速度(重点)。
3.熟练掌握用图像处理实验数据的方法(重难点)。
学习目标
一、实验思路
1.用单摆测量重力加速度的实验原理是什么？
答案　单摆在偏角很小(小于5°)时的运动，可看成简谐运动，其周期T=
2π，可得g=。
2.本实验需要测量哪些物理量？需要哪些测量仪器？
答案　可用刻度尺和游标卡尺等测出摆长l；用停表或数字计时器等测周期T。
二、实验装置及操作设计
基本实验装置如图所示
1.应该如何选择摆线和摆球？为什么？
答案　为保证单摆运动过程中摆长不变，应选择细且不易被拉长的线，长度一般不应短于1 m，这样可使周期的测量更加准确；摆球应选用密度较大、直径较小的金属球，可减少摆球在运动过程中所受空气阻力的影响。
2.如何准确测量出所需要的摆长l，操作时需要注意什么？
答案　要悬挂好摆球后再测摆长，可用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm)，
用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l=l'+，且测同一组数据的实验
中摆长应保持不变。
3.从哪个位置开始计时？如何准确地测量出单摆的周期？为什么？
答案　当摆球摆动稳定后，经过最低位置，即平衡位置(摆动前先记录该位置)时开始计时，在该位置小球速度最大，在平衡位置附近时间间隔较短，正确操作时带来的相对误差较小；用停表或数字计时器测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期，这样可以减小测量的偶然误差。
三、数据获取及分析
改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
实验次数 摆长l/m 周期T/s
1
2
3
1.获得多组摆长l和周期T数据后，通过什么方法可以进一步得出重力加速度？
答案　①公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。
②图像法：由T=2π得T2=l，以T2为纵轴，以l为
横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像
的斜率即可求出重力加速度g。
2.如果测量摆长过程中漏加了小球的半径？以上方法会对测量结果带来怎样的影响？
答案　如果采用公式法，由g=可知，漏加小球半径会使重力加速度
的测量值偏小；若采用T2-l图像法，漏加小球半径对图像斜率k=没有
影响，由此测得的重力加速度仍然是准确的。
实验中，某个物理量的测量是否准确，对采用不同方法处理实验数据时所带来的影响是不同的。一般情况下，采用图像法来分析处理实验数据所带来的误差较小。
四、误差来源及其他注意事项
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求(即：悬点是否固定，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直面内的摆动以及测量哪段长度作为摆长等)；偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上。
2.单摆悬线的上端应紧夹在铁夹中，不可以随意卷在铁杆上；摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示。
(1)组装单摆时，应在下列器材中选用　　　(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为30 cm左右的细线
C.直径为2 cm左右的塑料球
D.直径为2 cm左右的铁球
例1
AD
单摆的摆角小于5°，所以摆线的长度要适当大些，这样摆幅较大，便于观察和计时，所以选择长度为1 m左右的细线，A正确，B错误；
为了减小空气阻力的影响，应选择体积较小，密度较大的铁球，C错误，D正确。
(2)选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，应采用　　 图(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
丙
为了保证摆球的摆长一定，单摆的悬点处需要固定，所以应采用题图丙所示的固定方式。
(3)甲同学用游标卡尺测得摆球的直径为d，用停表测得摆球完成N次全振动所用的时间为t，用米尺测得摆线长为l0，根据以上数据，可得到当地的
重力加速度g=　　　　　 　(用d，l0，N，t，π表示)。
根据单摆的周期公式T=2π可知g==
(4)乙同学多次改变单摆的摆长l并测得相应的周期T，他根据测量数据画出了如图丁所示的图像。你认为横坐标所表示的物理量应为　 　(选填“l2”“l”或“”)。
根据单摆的周期公式T=2π可知T∝，所以横轴表示的物理量为。
(2025·岳阳市高二检测)单摆是能够产生往复摆动的一种装置。将轻质细杆或不可伸长的细柔绳一端悬于重力场内一定点，另一端连接一个重小球即可构成单摆。甲、乙两位同学利用如图甲所示的
实验器材探究单摆摆长与周期的关系。
(1)关于实验操作，下列说法正确的是　 　。
A.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
B.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大
C.用刻度尺测量摆线的长度l，这就是单摆的摆长
D.释放摆球，从摆球经过平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用
的时间t，则单摆周期T=50t
例2
A
为减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量大些、体积小些的，故A正确；
单摆在摆角小于5°时的运动是简谐运动，实验时摆角不能太大，故B错误；
摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长，用刻度尺测量摆线的长度不是摆长，故C错误；
单摆完成一次全振动需要的时间是周期，记下摆球做50次全振动所用的
时间t，则单摆周期为T=，故D错误。
(2)如图乙所示，用游标卡尺测量摆球直径，摆球直径d=　　　 cm。
2.06
由题图乙可知，摆球的直径为d=2 cm+6×0.1 mm=2.06 cm
(3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n=1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n=65时秒表的示数如图丙所示，该单摆的周期是T=　　　　 s(结果保留3位有效数字)
2.11
单摆全振动的次数为N=次=32次
由题图丙可知秒表的示数为t=67.5 s，则该单摆的周期为T== s≈2.11 s
(4)为了提高实验精确度，在实验中可改变几次摆长L并测出相应的周期T，从而得出一组对应的L与T的数据，并作出L-T2图线如图丁所示。图线上A、B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则可以得
重力加速度g=　　　　 　。
根据题意，由单摆周期公式T=2π
整理可得L=·T2
结合题图丁可得=
解得g=
(5)同学乙发现用g=计算得到的重力加速度值总是偏大，可能的原因是　　　　。
A.测摆长时，摆线拉得过紧
B.误将29次全振动记为30次
C.将摆线长度当作摆长来计算
D.摆动的摆角偏小
E.摆球的质量偏大
AB
根据题意可知，由公式计算可得重力加速度为g=，测摆长时，摆线拉得过紧，摆长偏大，则重力加速度偏大，故A正确；
误将29次全振动记为30次，周期偏小，则重力加速度偏大，故B正确；
将摆线长度当作摆长来计算，摆长偏小，则重力加速度偏小，故C错误；
摆角偏小、质量偏大，不影响实验结果，故D、E错误。
总结提升
1.测量摆长时引起的误差
(1)若测量摆长时摆线拉得过紧；测量了摆线长后却误加了摆球直径等，会使测量的摆长偏大。
(2)若悬点未固定好，摆球摆动过程中出现松动；测量了摆线长漏加了摆球半径等，会使测量的摆长偏小。
总结提升
2.测量周期时引起的误差
(1)由于测量全振动次数错误造成误差。
(2)开始计时或停止计时时过早或过迟按下停表。
(3)计量单摆的全振动次数时，不从摆球通过最低点(平衡位置)时开始计时，容易产生较大的计时误差。
3.若使用公式法测重力加速度，由g=可知，当摆长测量值偏大，
周期测量值偏小时，重力加速度g的测量值将偏大，反之将偏小。
(2025·浙江6月选考改编)在用单摆测重力加速度的实验中，
(1)如图甲所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图乙所示，则单摆的周期为 s
(结果保留3位有效数字)。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光
的时刻t，则单摆的周期为T=　　　。
例3
1.31
单摆摆动过程中，在最低点摆线的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。由题图乙可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt=7.653 0 s-1.127 7 s=6.525 3 s
则有Δt=10×，解得T≈1.31 s。
由题可得(n-1)=t，解得周期为T=。
(2)丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图丙所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g=　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h=　 　(结果均用k、b表示)。
4π2k
kb
摆长为L=h+l，根据单摆周期公式有T=2π，解得l=T2-h，可得l-T2图像的斜率为k=，解得g=4π2k；当T2=b时l=0，则有0=·b-h，解得h=kb。
课时对点练
题号 1 2 3 4
答案 BD AC (1)　0.875 0　75.2　1.88 (2)①偏角小于5° ②见解析图　9.9 (1)11.700　(2)
(3)　a
题号 5 6
答案 (1)①A　B　②18.6　③9.86　(2) (1)　(2)　　(3)9.86
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
1.(多选)在“用单摆测量重力加速度”实验中，下列操作正确的是
A.甲图：小球从偏离平衡位置60°开始
摆动
B.乙图：细线上端用铁夹子固定
C.丙图：小球到达最高点时作为计时
开始与终止的位置
D.丁图：小球自由下垂时测量摆线的长度
√
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答案
√
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6
答案
摆线与竖直方向的夹角小于5°时，才可以认为摆球的运动为简谐运动，故A错误；
细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确；
当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误；
实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
2.(多选)某实验小组利用单摆测当地的重力加速度实验中，发现某次测得的重力加速度的值偏大，其原因可能是
A.以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算
B.单摆所用摆球质量太大
C.把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间
D.开始计时时，停表过早按下
1
2
3
4
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6
答案
√
√
1
2
3
4
5
6
答案
根据T=2π，得g=。以摆球直径和摆线长之和作为摆长来进行计算，则l偏大，测得的g偏大，故A正确；
单摆所用摆球质量大小与测得的重力加速度的大小无关，故B错误；
把(n-1)次全振动时间误当成n次全振动时间，则周期测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故C正确；
开始计时时，停表过早按下，则测得的T偏大，则g测量值偏小，故D错误。
3.(1)在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和T计算重力加
速度的公式是g=　 　。若已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零刻度线对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是　　 　m。若测定了40次全振动的时间如图乙所示，则停表读数是　　　 s，单摆的摆动周期是　　　 s。
0.875 0
75.2
1.88
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2
3
4
5
6
答案
1
2
3
4
5
6
答案
由单摆的周期公式T=2π，
可得g=
由题图甲可知，摆长l=(88.50-1.00) cm
=87.50 cm=0.875 0 m
停表的读数t=60 s+15.2 s=75.2 s
所以T==1.88 s。
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6
答案
(2)为了提高测量准确度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标在以l为横轴、T2为纵轴的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则：
①单摆做简谐运动应满足的条件是　　 　 　 。
偏角小于5°
单摆做简谐运动的条件是偏角小于5°。
1
2
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6
答案
②试根据图丙中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g=　　　 m/s2(结果保留2位有效数字)。
9.9
答案　见解析图
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2
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6
答案
连线时使大部分点落在图线上，不在图线上的点均匀分布在图线的两侧(如图)，图线斜率
k== s2/m=4 s2/m
由g=可知T2-l图线的斜率表示，
故=4 s2/m
可得g≈9.9 m/s2。
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6
答案
4.(2025·河南省部分名校高二期中)“争先”学习小组欲利用一固定光滑圆弧面测定重力加速度，圆弧面如图甲所示，图甲中虚线为圆弧面最低处，圆弧面半径目测约为1.5 m，该同学取一小铁球进行实验。
(1)实验中，同学们用螺旋测微器测量小铁球的直径，测量结果如图乙所示，则小铁球的直径d=　　　　 mm。
11.700
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3
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6
答案
螺旋测微器的精度为0.01 mm，
固定刻度读数为11.5 mm，
可动部分读数为20.0×0.01 mm=0.200 mm，
则小铁球的直径d=11.5 mm+0.200 mm=11.700 mm
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6
答案
(2)学习小组的同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放，则小铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处时开始用秒表计时，并计数为1，当计数为50时，所用的时间为t，
则等效单摆的周期T=　　　。
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6
答案
时间t内单摆完成了次全振动，
所以有t=T
则单摆的周期T=
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6
答案
(3)更换半径不同的小铁球进行实验，正确操作，
根据实验记录的数据，绘制的T2-图像如图丙所示，
横、纵截距分别为a、b，则当地的重力加速度大小
g=　 　，圆弧面的半径R=　 　(均用题目中的已知字母表示)。
a
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6
答案
由摆球的周期公式有T=2π
变形得T2=-·
结合题图丙有=-，=b
解得g=，R==a。
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答案
5.(2026·成都市实验外国语学校高二检测)(1)在探究单摆周期与摆长关系的实验中：
①如图甲所示，王同学在“用单摆测重力加速度”实验中，进行了如下步骤，其中错误的是　 　，不必要的是　 　。
A.先将摆球和摆线放在水平桌面上测量摆长
B.用天平测量出摆球的质量
C.使单摆小角度摆动后，用秒表记录30次全振动的时间，并计算出摆动周期
A
B
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答案
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6
答案
为了避免由于摆球重力对摆线拉长的影响，所以测摆线长度时，应将摆球挂起来测量，故A错误；
用单摆测重力加速度实验不需要测量摆球的质量，故B不必要；
使单摆小角度摆动后，用秒表记录30次全振动的时间，并计算出摆动
周期为T=，故C正确。故错误的是A，不必要的是B。
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答案
②用游标卡尺测量摆球的直径d，某次测量结果如图乙所示，从图中读出d=　　 　 mm。
18.6
用游标卡尺测得小球的直径d=18 mm+6×0.1 mm=18.6 mm
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答案
③根据测得的实验数据，该同学绘制了T2随摆长l变化的关系图像，如图丙所示，根据图像，可知当地的重力加速度为　　　　 m/s2(π取3.14，计算结果保留3位有效数字)。
9.86
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6
答案
根据单摆的周期公式T=2π
可得T2=l
则图线的斜率k=
解得g== m/s2≈9.86 m/s2
(2)除了上述提及的器材，王同学只有一把量程为30 cm的刻度尺，小于柱形深筒的深度。该同学做了如图丁所示的装置，利用单摆实验测得L1、T1为某次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L2、T2为另一次测得的露出筒外的
摆线长及对应周期，L1、L2均小于30 cm，则当地重力加速度g=_________
(用题目所给的物理量的符号表示)。
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答案
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答案
L1、T1为某次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L2、T2为另一次测得的露出筒外的摆线长及对应周期，L1、L2均小于30 cm，设深筒的深度
为h，则根据单摆周期公式有T1=2π，T2=2π
联立解得g=。
6.在“利用单摆测重力加速度”的实验中，两名同学采用了不同类型的传感器来完成实验。一同学利用智能手机软件中的“磁传感器”功能，能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用智能手机、磁化小球、支架、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置来测量重力加速度，实验步骤如下：
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住；
②打开夹子释放磁化小球，小球运动，取下夹子；
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答案
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化；
④改变摆线长和夹子的位置，测量出每次实验的摆线长度L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题：
(1)图乙记录了实验中磁感应强度的变化情况，测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则
单摆周期T的测量值为　　　。
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答案
测得第1个到第N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为，则(N-1)=t
解得T=
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答案
(2)实验中得到多组摆线长度L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g=　　　，小球的半径R=　　 。
单摆摆长为l=L+R，由单摆周期公式
T=2π，得T2=L+R，
图线的斜率为k=，
纵轴上的截距为c=R，
解得当地重力加速度g=，
小球的半径R=
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答案
(3)另一同学利用了位移传感器，他将单摆固定在铁架台上，使其做小角度(小于5°)左右摆动，摆动路径如图丙中虚线所示，通过位移传感器得到了摆球位移随时间的变化曲线，如图丁所示，已知摆长l=0.64 m，根据图丁中的信息可得，重力加速度g=　　　　 m/s2(结果保留3位有效数字，取π2=9.86)。
9.86
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答案
由题图丁可得，周期为T=4.4 s-2.8 s=1.6 s，
由单摆周期公式T=2π，
解得g=9.86 m/s2。
本课结束
第
二
章

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