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4　波的干涉
[学习目标]　1.通过观察绳波和水波的叠加现象，理解波的叠加原理，知道波的干涉是波叠加的结果(重点)。2.通过分析实验现象，知道形成稳定干涉图样的条件，掌握干涉图样的特点(重点)。3.学会寻找振动加强与振动减弱区域(重难点)。
一、波的叠加
观察如图所示的两列波相遇时和相遇后的特点，说一说两列波在传播过程中，相遇时和相遇后遵循什么规律？
答案　(1)相遇时凸起的高度比原来的更大一些。
(2)两列波相遇后仍然保持原来各自的运动状态继续传播，并没有受到另一列波的影响。
1.波的独立传播特性：几列波相遇时能保持各自的波长、频率、振幅等运动特征，不受其他波的影响。
2.波的叠加原理：在几列波重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。
如图甲，两列沿相反方向传播的横波，形状相当于正弦曲线的一半，上下对称，其振幅和波长都相等。它们在相遇的某一时刻会出现两列波“消失”的现象，如图乙。请思考，两列波是否真的消失不再出现了？如果没有，你能判断从此时刻开始a、b两质点将向哪个方向运动吗？
答案　没有消失，两列波叠加时，叠加区域各质点位移矢量和均为零，但两列波仍沿原来的方向传播，此时a质点将向下运动，b质点将向上运动。
波的叠加是波具有独立传播特性的必然结果，叠加区域是两个(或多个)位移的矢量和，因此叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。通过叠加区域后，各列波恢复到各自原来的运动特征继续传播。
(1)在两列波重叠的区域里，任何一个质点的位移都等于原来位移的2倍。(　×　)
(2)两列波叠加时，质点的位移一定增大。(　×　)
(3)只有频率相同的两列波才可以叠加。(　×　)
例1　(多选)两个不等幅的脉冲波在均匀介质中均以1.0 m/s的速率沿同一直线相向传播，t=0时刻的波形如图所示，图中小方格的边长为0.1 m。则以下不同时刻，波形正确的是(　　)
答案　ABD
解析　波在传播的过程中各自保持独立性，根据题给波速可求出，当t=0.3 s时，x=0.3 m。两列波分别向前方传播了三个小格，恰好相遇，尚未发生叠加，各自的波形不发生变化，A正确；同理可知，0.4 s时两列波部分相遇叠加，叠加后的波形如选项B所示，B正确；0.5 s时部分叠加如图所示，C错误；0.6 s时两列波恰好穿过，波形如选项D所示，D正确。
二、波的干涉
1.观察两列频率相同、振动方向相同且相位差保持不变的波相遇的图样。
(1)如果在某一时刻，一列波的波峰与另一列波的波峰相遇时，两列波在该处引起的振动的相位相同。质点向上的位移最大，等于两列波的振幅之和；经过半个周期，一定是波谷与波谷相遇，质点向下的位移也是最大，也等于两列波的振幅之和。该点的振动总是相互加强的，质点的振幅最大。
(2)如果在某一时刻，两列波的波峰与波谷相遇时，两列波在这点引起的振动的相位相反，质点的最大位移等于两列波的振幅之差，总是相互削弱的。如果两列波的振幅相同，质点的位移之和就总等于0。
2.若不能同时满足两列波的频率相同、相位差恒定，振动方向相同，不会(填“会”或“不会”)出现总是加强与总是减弱的区域。
1.定义：频率相同、相位差恒定、振动方向相同的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强，某些区域的振动总是减弱的现象。
2.干涉条件
(1)两列波的频率必须相同。
(2)两个波源的相位差必须保持不变。
(3)两列波振动方向相同。
3.干涉图样：干涉现象中形成的稳定图样。
4.一切波只要满足干涉条件都能够发生干涉，干涉是波所特有的现象。
1.在波的干涉现象中，能不能认为振动加强点的位移始终最大，振动减弱点的位移始终为零？为什么？
答案　不能，振动加强(减弱)点是指质点的振幅最大(小)，而不是指振动的位移最大(小)，因为位移是在时刻变化的，加强点和减弱点的位移均可以为零，只有发生干涉的两列波振幅大小相等，减弱点位移才始终为零。
2.图中表示两列频率相同的横波相遇时某一时刻的情况，实线表示波峰，虚线表示波谷，此时M点是波峰与波峰相遇的点，是凸起最高的位置之一。
(1)半个周期后，图中六个点中，哪些点具有最大正向位移？哪些点具有负向最大位移？哪些点比较“平静”？
(2)随着时间的推移，原来M点这个凸起最高的位置在向哪个方向移动？是不是M质点在向那个方向迁移？M质点在哪个方向上运动？
(3)由图中时刻经过时，M质点的位移有什么特点？
答案　(1)半个周期后，K、P点具有正向最大位移，M、Q具有负向最大位移，H、N点比较“平静”。
(2)凸起的最高点由M向P移动，M点并不随波迁移，而只在垂直于纸面的方向上运动。
(3)位移为0。
例2　(2025·柳州市高二期中)如图所示，S1和S2是两个相干波源，其振幅均为A，周期均为T。实线与虚线分别表示两列波的波峰和波谷。此刻，c是波谷与波谷的相遇点，下列说法中正确的是(　　)
A.a处质点始终处于离平衡位置2A处
B.随着时间的推移，c处的质点将向右移动
C.从该时刻起，经过T，c处的质点将通过平衡位置
D.S2停止振动之后，b处质点将始终处于平衡位置
答案　C
解析　a处是波峰与波峰叠加，为振动加强点，振幅为2A，但a处质点并不始终处于离平衡位置2A处，故A错误；质点只在平衡位置附近振动，并不随波的传播方向移动，故B错误；由题图可知c处是波谷与波谷的相遇点，c处的质点为振动加强点，从该时刻起，经过T，c处的质点将通过平衡位置向上振动，故C正确；S2停止振动之后，只剩下S1的振动，则b处质点不会始终处于平衡位置，故D错误。
两列波叠加区域每个质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动，质点的位移都随时间变化，如加强点的位移也可以为零，某时刻减弱点的位移也可以大于加强点的位移，若两列波的振幅相等，则减弱点的合振幅为零，并不振动。
例3　(2025·周口市高二检测)如图甲所示，手机小孔位置内置降噪麦克风，通过其降噪系统产生与外界噪音相位相反的声波，从而实现降噪的效果。图乙表示的是理想情况下的降噪过程，实线对应环境噪声，虚线对应降噪系统产生的等幅反相声波。则(　　)
A.降噪过程外界噪音的能量消失了
B.降噪原理是使声波发生干涉
C.图乙所示，此时介质中的质点P处于平衡位置，速度最大
D.图乙所示，介质中的质点P经过一个周期沿波的传播方向传播了一个波长的距离
答案　B
解析　由题图可知，降噪声波与环境声波波长相等，波速相等，频率相等，则两波叠加时候会产生干涉，由于两列声波等大反向，所以振动减弱，能起到降噪的作用，但并不是噪音声波的能量消失，故A错误，B正确；如题图乙所示，此时介质中的质点P处于平衡位置，但因为两列声波等大反向，所以合振幅为零，故质点P静止不动，速度为零，故C错误；质点P不会随波迁移，故D错误。
三、加强点和减弱点的分布规律
1.观察课本中的干涉图样，你能发现图中的加强点(如M点)、减弱点(如N点)到两个波源的距离之差与波长各有什么关系？
答案　加强点到两波源的距离差为波长的整数倍，减弱点到两波源的距离差为半波长的奇数倍。
2.如果相位差恒为π的两波源形成的干涉图样，加强点、减弱点到两个波源的距离之差是否还满足以上规律？
答案　相位差恒为π的两波源形成的加强点到两波源的距离差为半波长的奇数倍，减弱点到两波源的距离差为波长的整数倍，与相位差为0时的规律恰好相反。
例4　如图(a)，在xOy平面内有两个沿z方向(z方向垂直xOy平面，图中未画出)做简谐运动的点波源S1(0，4 m)和S2(0，-2 m)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。
(1)两波源起振方向　　　　　　(填“相同”或“相反”)。
(2)两波源到A点(4 m，1 m)的路程差为　　　　　　 m，两列波引起质点A的振动总是　　　　　　(填“加强”或“减弱”)。两波源到B点(0，0.5 m)的路程差为　　　　　　 m，两列波引起质点B的振动总是　　　　　　(填“加强”或“减弱”)。两列波到C点(8 m，-2 m)的路程差为　　　　　　 m，两列波引起质点C的振动总是　　　　　　(填“加强”或“减弱”)。
答案　(1)相反　(2)0　减弱　1　加强　2　减弱
　振动加强点和减弱点的判断方法
1.现象判断法：若某点处总是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇，该点为加强点；若总是波峰与波谷相遇，则为减弱点；若某点处是平衡位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播T，看该点是波峰和波峰(波谷和波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，从而判断该点是加强点还是减弱点。
2.条件判断法：频率相同、振动情况完全相同的两波源产生的波叠加时，加强、减弱条件如下：设点到两波源的距离差为Δr，则当Δr=kλ时为加强点，当Δr=(2k+1)时为减弱点，其中k=0，1，2，3，…；若两波源振动步调相反，则上述结论相反。
课时对点练
[分值：70分]
[1~5题，每题4分]
考点一　波的叠加
1.关于机械波的叠加，下列说法中正确的是(　　)
A.不同频率的机械波在空气中相遇时不会叠加
B.两列机械波相遇之后，振幅小的一列波将减弱，振幅大的一列波将加强
C.两列机械波叠加时，振动减弱点可能一直处于平衡位置
D.两列波叠加时，叠加区域所有质点的振幅都是两列波振幅之和
答案　C
解析　任意两列机械波传播时，在相遇的区域均能发生叠加，A错误；两列波相遇时，每一列波的振动情况都保持不变，与相遇前完全相同，B错误；如果两列波的振幅相同，叠加时减弱点的振幅为零，可能一直处于平衡位置，C正确；两列波叠加时，只有加强点(即波峰与波峰、波谷与波谷)的振幅最大，为两列波振幅之和，D错误。
2.(多选)如图所示为两列相向传播的振幅、波长都相同的横波，它们在O点相遇，此后可能出现的状态是(　　)
答案　BD
解析　当左列波的波峰和右列波的波谷相遇时，叠加后的图像为B；当两列波的波峰相遇时，叠加后的图像为D；而A和C是不可能出现的。故选B、D。
3.(多选)如图所示，S1、S2是软绳两端的波源，同时做半个周期的简谐运动形成两列简谐波，已知波源S1、S2的振幅分别为A1、A2，周期为T1、T2，P为软绳的中点。下列分析正确的是(　　)
A.两列波都是纵波
B.波源S1起振方向向上
C.波源S2形成的波峰先到达P点
D.P点的最大位移等于A1+A2
答案　BC
解析　软绳中质点振动方向与简谐波传播方向垂直，所以这两列波都是横波，故A错误；根据同侧法可知，波源S1起振方向是向上的，故B正确；两波源在同一绳上，则它们的波速相等，由于P为两个波源连线的中点，所以它们会同时到达P点，由题图可知波源S2形成波的波长短，波峰距离P点更近，故波源S2形成的波峰先到达P点，故C正确；虽然两波源到P点的距离相等，但由上述分析可知它们的波峰不能同时到达P点，所以P点的最大位移不等于A1+A2，故D错误。
考点二　波的干涉
4.在同一介质中，两列相干波相互叠加，则(　　)
A.波峰与波峰叠加的点振动加强，波谷与波谷叠加的点振动减弱
B.波峰与波峰叠加的点在经过半个周期后将是波谷与波谷在该点相遇，振动始终加强
C.振动加强的点从波峰开始经过四分之一周期后刚好到达平衡位置时，它变为振动减弱点
D.如果两相干波的振幅不相等，则振动减弱的点将不会出现
答案　B
解析　波峰和波峰叠加，为振动加强点，且始终振动加强；波谷与波谷叠加，振动也始终加强，故A错误；波峰与波峰叠加的点在经过半个周期后将是波谷与波谷在该点相遇，且振动始终加强，故B正确；振动加强的点从波峰开始经过四分之一周期后刚好经过平衡位置，但它仍然是振动加强点，故C错误；如果两相干波的振幅不相等，则振动减弱的点仍将出现，故D错误。
5.(多选)两列完全相同的机械波在某时刻的叠加情况如图所示，图中的实线和虚线分别表示波峰和波谷，此时(　　)
A.P、M连线为振动加强区
B.P、M连线中点速度为0
C.P、M、Q、N四点速度均为0
D.再经过半个周期，Q、N两点振动加强
答案　AC
解析　此时M点波峰与波峰相遇，而P点是波谷与波谷相遇，则P、M两点是振动加强点，且P、M连线上也是振动加强的， P、M两点连线中点未达到波峰或波谷，故速度不为0，故A正确，B错误；P处于波谷，速度为零；M处于波峰，速度为零；Q、N两点振动减弱，则速度为零，即四点的速度均为0，故C正确；Q、N两点处于波谷与波峰相遇处，再经过半个周期，Q、N两点振动仍然减弱，故D错误。
6.(11分)(2026·石家庄市高二检测)如图所示，在xOy平面内有两个点波源S1、S2分别位于x轴上x1=0、x2=10 m处，它们在同一均匀介质中均从t=0开始沿y轴正方向做简谐运动，波源S1的振动方程为y1=5sin (5πt) cm，波源S2的振动方程为y2=3sin (5πt) cm，质点P位于x轴上x3=1 m处，已知质点P在t=0.1 s时开始振动。
(1)(4分)求这两列波在介质中的波速大小及波长。
(2)(7分)试判断当质点P同时参与由波源S1和S2产生的振动时是振动加强点还是振动减弱点，并求出在t=0至t=1.2 s内质点P通过的路程及t=1.2 s时质点P的位移。
答案　(1)10 m/s　4 m　(2)振动加强点　64 cm　-8 cm
解析　(1)由题意知ω=5π rad/s，周期T==0.4 s
波速v==10 m/s
波长为λ=vT=4 m
(2)P点到两波源的路程差d=S2P-S1P=8 m=2λ
因路程差是波长的整数倍，所以P点是振动加强点。
0~0.1 s内，P不振动
0.1~0.9 s内，P只参与由波源S1产生的振动，故s1=8A1=40 cm
0.9~1.2 s内，P同时参与由波源S1和S2产生的振动且振动加强，故s2=3(A1+A2)=24 cm
综上所述，在t=0至t=1.2 s内质点P通过的路程s总=s1+s2=64 cm
t=1.2 s时质点P的位移y=-8 cm。
[7、8题，每题6分]
7.(2025·衡水市高二期中)如图所示，S1、S2是同一种介质中相距8 m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们振动的方向垂直于直角△S1S2P所在的平面，在介质中形成的机械波的波长为0.5 m，PS2⊥S1S2，S1P=17 m，则S2P上振动加强点有(不包含波源)(　　)
A.10个 B.12个 C.20个 D.24个
答案　B
解析　根据几何关系S2P=15 m，则S1P-S2P=2 m=4λ=n2λ，S1到S2的波程为8 m=16λ=n1λ，即S2P上振动加强点到两波源的距离之差为Δx=nλ(n=4，5，6，…，16)；由此可知在S2P上波程差为波长整数倍的点共12个(不包含波源)，这12个点均为振动加强点。故选B。
8.(2025·重庆市第八中学高二期中)消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题。干涉型消声器的结构如图所示，波长为λ的声波沿水平管道自左向右传播，当声波到达a处时，分成两束相干波，它们分别通过r1和r2的路程，再在b处相遇，从而达到削弱噪声的目的。则(　　)
A.当|r2-r1|=nλ(n=1，2，3…)时，消声效果最好
B.若声波的振动频率增大，则声波在空气中的传播速度也增大
C.若消声器对某一频率的声波消声效果最好，当该声波频率减半时，可能可以达到最好的消声效果
D.若消声器对某一频率的声波消声效果最好，当该声波频率加倍时，必然不能达到最好的消声效果
答案　D
解析　为消除噪声，要减弱声音，此点为振动减弱点，所以波程差为半波长的奇数倍，故A错误；声波的传播速度由介质决定，与频率无关，介质不变，传播速度不变，所以若声波的振动频率增大，声波在空气中的传播速度不变，故B错误；当声波频率减半时，根据v=λf可知，波长变为原来的2倍(λ'=2λ)，则原波程差变为Δr=(n+)λ=(n+=(+)λ'，此时Δr不再是半波长的奇数倍，不能达到最好的消声效果，故C错误；当声波频率加倍时，根据v=λf可知，波长变为原来的(λ'=λ)，则原波程差变为Δr=(n+)λ=(n+)2λ'=(2n+1)λ'，此时Δr是波长的整数倍，会加强噪声，故D正确。
9.(13分)(2025·青岛市高二期中)如图所示，在xOy平面内，有两个沿与xOy平面垂直的z轴方向做简谐运动的波源S1和S2分别位于(-2 m，0)和(4 m，0)处。已知两列波的振幅均为4 cm，波速均为2 m/s，波长均为3 m。平面内的P点(未画出)到S1和S2的距离均为6 m。t=0时刻，S1自平衡位置开始沿z轴负方向振动，S2自平衡位置开始沿z轴正方向振动。求：
(1)(4分)波源S1的振动方程。
(2)(4分)x轴上两波源间振动加强点的横坐标。
(3)(5分)若将S2振动的频率变为原来的，其余条件不变，从t=0开始，经过多长时间P点第一次偏离平衡位置的位移为负向最大值。
答案　(1)z=-4sin t cm　(2)-1.25 m、0.25 m、1.75 m、3.25 m　(3)12.375 s
解析　(1)波的周期为T==1.5 s
根据振动的一般方程可知z=-Asin t
代入数据解得z=-4sin t cm
(2)两波源振动方向相反，x轴上的振动加强点满足Δx=(2k+1)(k=0，±1，±2…)，|Δx|≤6 m
解得横坐标为-1.25 m、0.25 m、1.75 m、3.25 m
(3)S1的波谷传递到P点用时t1=+(+n)T=3.375+1.5n (s)
S2的周期为T'=T=2.5 s
S2的波谷传递到P点用时t2=+(+m)T'=4.875+2.5m (s)
其中m、n都为正整数，t1=t2时，两列波的波谷同时传到P点，故当n=6，m=3时，P点第一次偏离平衡位置的位移为负向最大值，可知此时t=t1=t2=12.375 s。
10.(14分)如图所示是课室主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的相同的喇叭，它们相互之间的位置和尺寸如图所示。专家的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为v=340 m/s，专家声音的频率为f=136 Hz，忽略讲台的宽度，则：
(1)(4分)求专家声音的波长λ。
(2)(4分)图中B点是振动加强点还是振动减弱点，试通过计算说明判断依据。
(3)(6分)讲台上能够避免啸叫的适当位置有多少个？
答案　(1)2.5 m　(2)见解析　(3)4个
解析　(1)专家声音的波长是λ==2.5 m。
(2)B点与两个声源的路程差为
ΔxB=-=5 m=2λ。
即两个声源到B点的距离差为波长的整数倍，
所以B点为振动加强点。
(3)设P是AB上任意的一个适当位置，
则该点与两个声源的路程差应该满足
ΔxP=|-|=(2k+1)(k=0，1，2，3…)，
由于P是在AB间的点，即有|ΔxP|<2λ
因此k只能取0和1，因此AB上共有4个适当位置。(共57张PPT)
波的干涉
4
第
三
章
1.通过观察绳波和水波的叠加现象，理解波的叠加原理，知道波的干涉是波叠加的结果(重点)。
2.通过分析实验现象，知道形成稳定干涉图样的条件，掌握干涉图样的特点(重点)。
3.学会寻找振动加强与振动减弱区域(重难点)。
学习目标
内容索引
课时对点练
一、波的叠加
二、波的干涉
三、加强点和减弱点的分布规律
< 一 >
波的叠加
观察如图所示的两列波相遇时和相遇后的特点，说一说两列波在传播过程中，相遇时和相遇后遵循什么规律？
答案　(1)相遇时凸起的高度比原来的更大一些。
(2)两列波相遇后仍然保持原来各自的运动状态继续传播，并没有受到另一列波的影响。
1.波的独立传播特性：几列波相遇时能保持各自的 等运动特征，不受其他波的影响。
2.波的叠加原理：在几列波重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的 。
波长、频率、振幅
矢量和
如图甲，两列沿相反方向传播的横波，形状相当于正弦曲线的一半，上下对称，其振幅和波长都相等。它们在相遇的某一时刻会出现两列波“消失”的现象，如图乙。请思考，两列波是否真的消失不再出现了？如果没有，你能判断从此时刻开始a、b两质点将向哪个方向运动吗？
答案　没有消失，两列波叠加时，叠加区域各质点位移矢量和均为零，但两列波仍沿原来的方向传播，此时a质点将向下运动，b质点将向上运动。
波的叠加是波具有独立传播特性的必然结果，叠加区域是两个(或多个)位移的矢量和，因此叠加区域的质点的位移可能增大，也可能减小。通过叠加区域后，各列波恢复到各自原来的运动特征继续传播。
(1)在两列波重叠的区域里，任何一个质点的位移都等于原来位移的2倍。(　　)
(2)两列波叠加时，质点的位移一定增大。(　　)
(3)只有频率相同的两列波才可以叠加。(　　)
×
×
×
(多选)两个不等幅的脉冲波在均匀介质中均以1.0 m/s的速率沿同一直线相向传播，t=0时刻的波形如图所示，图中小方格的边长为0.1 m。则以下不同时刻，波形正确的是
例1
√
√
√
波在传播的过程中各自保持独立性，根据题给波速可求出，当t=0.3 s时，x=0.3 m。两列波分别向前方
传播了三个小格，恰好相遇，尚未发生叠加，各自的波形不发生变化，A正确；
同理可知，0.4 s时两列波部分相遇叠加，叠加后的波形如选项B所示，B正确；
0.5 s时部分叠加如图所示，C错误；
0.6 s时两列波恰好穿过，波形如选项D所示，D正确。
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< 二 >
波的干涉
1.观察两列频率相同、振动方向相同且相位差保持不变的波相遇的图样。
(1)如果在某一时刻，一列波的波峰与另一列波的波峰相遇时，两列波在该处引起的振动的相位 。质点向上的位移 ，等于两列波的 ；经过半个周期，一定是波谷与波谷相遇，质点向下的位移也是 ，也等于两列波的 。该点的振动总是相互 的，质点的振幅 。
(2)如果在某一时刻，两列波的波峰与波谷相遇时，两列波在这点引起的振动的相位 ，质点的最大位移等于两列波的 ，总是相互
的。如果两列波的振幅相同，质点的位移之和就总等于0。
2.若不能同时满足两列波的频率相同、相位差恒定，振动方向相同，_____
(填“会”或“不会”)出现总是加强与总是减弱的区域。
相同
最大
振幅之和
最大
振幅之和
加强
最大
相反
振幅之差
削弱
不会
1.定义： 、 、 的两列波叠加时，某些区域的振动总是加强，某些区域的振动总是减弱的现象。
2.干涉条件
(1)两列波的 必须相同。
(2)两个波源的 必须保持不变。
(3)两列波振动方向 。
3.干涉图样：干涉现象中形成的 图样。
4.一切波只要满足干涉条件都能够发生干涉，干涉是波所特有的现象。
频率相同
相位差恒定
振动方向相同
频率
相位差
相同
稳定
1.在波的干涉现象中，能不能认为振动加强点的位移始终最大，振动减弱点的位移始终为零？为什么？
答案　不能，振动加强(减弱)点是指质点的振幅最大(小)，而不是指振动的位移最大(小)，因为位移是在时刻变化的，加强点和减弱点的位移均可以为零，只有发生干涉的两列波振幅大小相等，减弱点位移才始终为零。
2.图中表示两列频率相同的横波相遇时某一时刻的情况，实线表示波峰，虚线表示波谷，此时M点是波峰与波峰相遇的点，是凸起最高的位置之一。
(1)半个周期后，图中六个点中，哪些点具有最大正向位移？哪些点具有负向最大位移？哪些点比较“平静”？
答案　半个周期后，K、P点具有正向最大位移，M、Q具有负向最大位移，H、N点比较“平静”。
(2)随着时间的推移，原来M点这个凸起最高的位置在向哪个方向移动？是不是M质点在向那个方向迁移？M质点在哪个方向上运动？
答案　凸起的最高点由M向P移动，M点并不随波迁移，而只在垂直于纸面的方向上运动。
(3)由图中时刻经过时，M质点的位移有什么特点？
答案　位移为0。
(2025·柳州市高二期中)如图所示，S1和S2是两个相干波源，其振幅均为A，周期均为T。实线与虚线分别表示两列波的波峰和波谷。此刻，c是波谷与波谷的相遇点，下列说法中正确的是
A.a处质点始终处于离平衡位置2A处
B.随着时间的推移，c处的质点将向右移动
C.从该时刻起，经过T，c处的质点将通过平衡位置
D.S2停止振动之后，b处质点将始终处于平衡位置
例2
√
a处是波峰与波峰叠加，为振动加强点，振幅为2A，但a处质点并不始终处于离平衡位置2A处，故A错误；
质点只在平衡位置附近振动，并不随波的传播方向移动，故B错误；
由题图可知c处是波谷与波谷的相遇点，c处的质点为振动加强点，从该
时刻起，经过T，c处的质点将通过平衡位置向上振动，故C正确；
S2停止振动之后，只剩下S1的振动，则b处质点不会始终处于平衡位置，故D错误。
总结提升
两列波叠加区域每个质点都在各自的平衡位置附近做简谐运动，质点的位移都随时间变化，如加强点的位移也可以为零，某时刻减弱点的位移也可以大于加强点的位移，若两列波的振幅相等，则减弱点的合振幅为零，并不振动。
(2025·周口市高二检测)如图甲所示，手机小孔位置内置降噪麦克风，通过其降噪系统产生与外界噪音相位相反的声波，从而实现降噪的效果。图乙表示的是理想情况下的降噪过程，实线对应环境噪声，虚线对应降噪系统产生的等幅反相声波。则
A.降噪过程外界噪音的能量消失了
B.降噪原理是使声波发生干涉
C.图乙所示，此时介质中的质点P处于平衡位置，速度最大
D.图乙所示，介质中的质点P经过一个周期沿波的传播方向传播了一个
波长的距离
例3
√
由题图可知，降噪声波与环境声波波长相等，波速相等，频率相等，则两波叠加时候会产生干涉，由于两列声波等大反向，所以振动减弱，能起到降噪的作用，但并不是噪音声波的能量消失，故A错误，B正确；
如题图乙所示，此时介质中的质点P处于平衡位置，但因为两列声波等大反向，所以合振幅为零，故质点P静止不动，速度为零，故C错误；
质点P不会随波迁移，故D错误。
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< 三 >
加强点和减弱点的分布规律
1.观察课本中的干涉图样，你能发现图中的加强点(如M点)、减弱点(如N点)到两个波源的距离之差与波长各有什么关系？
答案　加强点到两波源的距离差为波长的整数倍，减弱点到两波源的距离差为半波长的奇数倍。
2.如果相位差恒为π的两波源形成的干涉图样，加强点、减弱点到两个波源的距离之差是否还满足以上规律？
答案　相位差恒为π的两波源形成的加强点到两波源的距离差为半波长的奇数倍，减弱点到两波源的距离差为波长的整数倍，与相位差为0时的规律恰好相反。
如图(a)，在xOy平面内有两个沿z方向(z方向垂直xOy平面，图中未画出)做简谐运动的点波源S1(0，4 m)和S2(0，-2 m)。两波源的振动图线分别如图(b)和图(c)所示。两列波的波速均为1.00 m/s。
例4
(1)两波源起振方向　　 　(填“相同”或“相反”)。
相反
(2)两波源到A点(4 m，1 m)的路程差为　　 m，两列波引起质点A的振动总是　　　(填“加强”或“减弱”)。两波源到B点(0，0.5 m)的路程差为　　 m，两列波引起质点B的振动总是　　　(填“加强”或“减弱”)。两列波到C点(8 m，-2 m)的路程差为　　 m，两列波引起质点C的振动总是　　　(填“加强”或“减弱”)。
0
减弱
1
加强
2
减弱
总结提升
振动加强点和减弱点的判断方法
1.现象判断法：若某点处总是波峰与波峰(或波谷与波谷)相遇，该点为加强点；若总是波峰与波谷相遇，则为减弱点；若某点处是平衡
位置和平衡位置相遇，则让两列波再传播T，看该点是波峰和波峰
(波谷和波谷)相遇，还是波峰和波谷相遇，从而判断该点是加强点还是减弱点。
总结提升
2.条件判断法：频率相同、振动情况完全相同的两波源产生的波叠加时，加强、减弱条件如下：设点到两波源的距离差为Δr，则当Δr
=kλ时为加强点，当Δr=(2k+1)时为减弱点，其中k=0，1，2，3，…；
若两波源振动步调相反，则上述结论相反。
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< 四 >
课时对点练
对一对
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C BD BC B AC (1)10 m/s　4 m (2)振动加强点　64 cm　-8 cm
题号 7 8 9 10
答案 B D (1)z=-4sin t cm (2)-1.25 m、0.25 m、1.75 m、3.25 m　(3)12.375 s (1)2.5 m
(2)见解析　(3)4个
答案
1
2
3
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6
7
8
9
10
考点一　波的叠加
1.关于机械波的叠加，下列说法中正确的是
A.不同频率的机械波在空气中相遇时不会叠加
B.两列机械波相遇之后，振幅小的一列波将减弱，振幅大的一列波将加强
C.两列机械波叠加时，振动减弱点可能一直处于平衡位置
D.两列波叠加时，叠加区域所有质点的振幅都是两列波振幅之和
基础对点练
√
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10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
任意两列机械波传播时，在相遇的区域均能发生叠加，A错误；
两列波相遇时，每一列波的振动情况都保持不变，与相遇前完全相同，B错误；
如果两列波的振幅相同，叠加时减弱点的振幅为零，可能一直处于平衡位置，C正确；
两列波叠加时，只有加强点(即波峰与波峰、波谷与波谷)的振幅最大，为两列波振幅之和，D错误。
2.(多选)如图所示为两列相向传播的振幅、波长都相同的横波，它们在O点相遇，此后可能出现的状态是
√
√
当左列波的波峰和右列波的波谷相遇时，叠加后的图像为B；
当两列波的波峰相遇时，叠加后的图像为D；
而A和C是不可能出现的。故选B、D。
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10
答案
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3
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6
7
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10
答案
3.(多选)如图所示，S1、S2是软绳两端的波源，同时做半个周期的简谐运动形成两列简谐波，已知波源S1、S2的振幅分别为A1、A2，周期为T1、T2，P为软绳的中点。下列分析正确的是
A.两列波都是纵波
B.波源S1起振方向向上
C.波源S2形成的波峰先到达P点
D.P点的最大位移等于A1+A2
√
√
软绳中质点振动方向与简谐波传播方向垂直，所以这两列波都是横波，故A错误；
根据同侧法可知，波源S1起振方向是向上的，故B正确；
两波源在同一绳上，则它们的波速相等，由于P为两个波源连线的中点，所以它们会同时到达P点，由题图可知波源S2形成波的波长短，波峰距离P点更近，故波源S2形成的波峰先到达P点，故C正确；
虽然两波源到P点的距离相等，但由上述分析可知它们的波峰不能同时到达P点，所以P点的最大位移不等于A1+A2，故D错误。
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答案
考点二　波的干涉
4.在同一介质中，两列相干波相互叠加，则
A.波峰与波峰叠加的点振动加强，波谷与波谷叠加的点振动减弱
B.波峰与波峰叠加的点在经过半个周期后将是波谷与波谷在该点相遇，
振动始终加强
C.振动加强的点从波峰开始经过四分之一周期后刚好到达平衡位置时，
它变为振动减弱点
D.如果两相干波的振幅不相等，则振动减弱的点将不会出现
√
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10
答案
波峰和波峰叠加，为振动加强点，且始终振动加强；波谷与波谷叠加，振动也始终加强，故A错误；
波峰与波峰叠加的点在经过半个周期后将是波谷与波谷在该点相遇，且振动始终加强，故B正确；
振动加强的点从波峰开始经过四分之一周期后刚好经过平衡位置，但它仍然是振动加强点，故C错误；
如果两相干波的振幅不相等，则振动减弱的点仍将出现，故D错误。
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10
答案
1
2
3
4
5
6
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10
答案
5.(多选)两列完全相同的机械波在某时刻的叠加情况如图所示，图中的实线和虚线分别表示波峰和波谷，此时
A.P、M连线为振动加强区
B.P、M连线中点速度为0
C.P、M、Q、N四点速度均为0
D.再经过半个周期，Q、N两点振动加强
√
√
1
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3
4
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6
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答案
此时M点波峰与波峰相遇，而P点是波谷与波谷相遇，则P、M两点是振动加强点，且P、M连线上也是振动加强的， P、M两点连线中点未达到波峰或波谷，故速度不为0，故A正确，B错误；
P处于波谷，速度为零；M处于波峰，速度为零；Q、N两点振动减弱，则速度为零，即四点的速度均为0，故C正确；
Q、N两点处于波谷与波峰相遇处，再经过半个周期，Q、N两点振动仍然减弱，故D错误。
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答案
6.(2026·石家庄市高二检测)如图所示，在xOy平面内有两个点波源S1、S2分别位于x轴上x1=0、x2=10 m处，它们在同一均匀介质中均从t=0开始沿y轴正方向做简谐运动，波源S1的振动方程为y1=5sin (5πt) cm，波源S2的振动方程为y2=3sin (5πt) cm，质点P位于x轴上x3=1 m处，已知质点P在t=0.1 s时开始振动。
(1)求这两列波在介质中的波速大小
及波长。
答案　10 m/s　4 m
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答案
由题意知ω=5π rad/s，周期T==0.4 s
波速v==10 m/s
波长为λ=vT=4 m
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答案
(2)试判断当质点P同时参与由波源S1和S2产生的振动时是振动加强点还是振动减弱点，并求出在t=0至t=1.2 s内质点P通过的路程及t=1.2 s时质点P的位移。
答案　振动加强点　64 cm　-8 cm
P点到两波源的路程差d=S2P-S1P=8 m=2λ
因路程差是波长的整数倍，所以P点是振动加强点。
0~0.1 s内，P不振动
0.1~0.9 s内，P只参与由波源S1产生的振动，故s1=8A1=40 cm
0.9~1.2 s内，P同时参与由波源S1和S2产生的振动且振动加强，故s2=
3(A1+A2)=24 cm
综上所述，在t=0至t=1.2 s内质点P通过的路程s总=s1+s2=64 cm
t=1.2 s时质点P的位移y=-8 cm。
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答案
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答案
7.(2025·衡水市高二期中)如图所示，S1、S2是同一种介质中相距8 m的两个振动情况完全一致的相干波源，它们振动的方向垂直于直角△S1S2P所在的平面，在介质中形成的机械波的波长为0.5 m，PS2⊥S1S2，S1P=17 m，则S2P上振动加强点有(不包含波源)
A.10个　　　B.12个　　　C.20个　　　D.24个
能力综合练
√
根据几何关系S2P=15 m，则S1P-S2P=2 m=4λ=n2λ，S1到S2的波程为8 m=
16λ=n1λ，即S2P上振动加强点到两波源的距离之差为Δx=nλ(n=4，5，6，…，16)；由此可知在S2P上波程差为波长整数倍的点共12个(不包含波源)，这12个点均为振动加强点。故选B。
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答案
8.(2025·重庆市第八中学高二期中)消除噪声污染是当前环境保护的一个重要课题。干涉型消声器的结构如图所示，波长为λ的声波沿水平管道自左向右传播，当声波到达a处时，分成两束相干波，它们分别通过r1和r2的路程，再在b处相遇，从而达到削弱噪声的目的。则
A.当|r2-r1|=nλ(n=1，2，3…)时，消声效果最好
B.若声波的振动频率增大，则声波在空气中的
传播速度也增大
C.若消声器对某一频率的声波消声效果最好，当该声波频率减半时，可能可以
达到最好的消声效果
D.若消声器对某一频率的声波消声效果最好，当该声波频率加倍时，必然不能
达到最好的消声效果
√
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答案
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答案
为消除噪声，要减弱声音，此点为振动减弱点，所以波程差为半波长的奇数倍，故A错误；
声波的传播速度由介质决定，与频率无关，介质不变，传播速度不变，所以若声波的振动频率增大，声波在空气中的传播速度不变，故B错误；
当声波频率减半时，根据v=λf可知，波长变为原来的2倍(λ'=2λ)，则原
波程差变为Δr=(n+)λ=(n+=(+)λ'，此时Δr不再是半波长的奇数倍，
不能达到最好的消声效果，故C错误；
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答案
当声波频率加倍时，根据v=λf可知，波长变为原来的(λ'=λ)，则原波程差变为Δr=(n+)λ=(n+)2λ'=(2n+1)λ'，此时Δr是波长的整数倍，会加强噪声，故D正确。
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答案
9.(2025·青岛市高二期中)如图所示，在xOy平面内，有两个沿与xOy平面垂直的z轴方向做简谐运动的波源S1和S2分别位于(-2 m，0)和(4 m，0)处。已知两列波的振幅均为4 cm，波速均为2 m/s，波长均为3 m。平面内的P点(未画出)到S1和S2的距离均为6 m。t=0时刻，S1自平衡位置开始沿z轴负方向振动，S2自平衡位置开始沿z轴正方向振动。求：
(1)波源S1的振动方程。
答案　z=-4sin t cm
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答案
波的周期为T==1.5 s
根据振动的一般方程可知z=-Asin t
代入数据解得z=-4sin t cm
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答案
(2)x轴上两波源间振动加强点的横坐标。
答案　-1.25 m、0.25 m、1.75 m、3.25 m
两波源振动方向相反，x轴上的振动加强点满足Δx=(2k+1)(k=0，±1，±2…)，|Δx|≤6 m
解得横坐标为-1.25 m、0.25 m、1.75 m、3.25 m
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答案
(3)若将S2振动的频率变为原来的，其余条件不变，从t=0开始，经过多长时间P点第一次偏离平衡位置的位移为负向最大值。
答案　12.375 s
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答案
S1的波谷传递到P点用时t1=+(+n)T=3.375+1.5n (s)
S2的周期为T'=T=2.5 s
S2的波谷传递到P点用时t2=+(+m)T'=4.875+2.5m (s)
其中m、n都为正整数，t1=t2时，两列波的波谷同时传到P点，故当n=6，m=3时，P点第一次偏离平衡位置的位移为负向最大值，可知此时t=t1=
t2=12.375 s。
10.如图所示是课室主席台的平面图，AB是讲台，S1、S2是与讲台上话筒等高的相同的喇叭，它们相互之间的位置和尺寸如图所示。专家的声音放大后经喇叭传回话筒再次放大时可能会产生啸叫。为了避免啸叫，话筒最好摆放在讲台上适当的位置，在这些位置上两个喇叭传来的声音因干涉而相消。已知空气中声速为v=340 m/s，专家声音的频率为f=136 Hz，忽略讲台的宽度，则：
(1)求专家声音的波长λ。
尖子生选练
答案　2.5 m
专家声音的波长是λ==2.5 m。
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答案
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答案
(2)图中B点是振动加强点还是振动减弱点，试通过计算说明判断依据。
答案　见解析
B点与两个声源的路程差为
ΔxB=-=5 m=2λ。
即两个声源到B点的距离差为波长的整数倍，
所以B点为振动加强点。
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10
答案
(3)讲台上能够避免啸叫的适当位置有多少个？
答案　4个
设P是AB上任意的一个适当位置，
则该点与两个声源的路程差应该满足
ΔxP=|-|=(2k+1)(k=0，1，2，3…)，
由于P是在AB间的点，即有|ΔxP|<2λ
因此k只能取0和1，因此AB上共有4个适当位置。
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本课结束
第
三
章

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