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陕西宝鸡市陈仓区虢镇中学2025-2026学年高一下学期6月份月考数学试卷
一、单选题
1．若复数满足，则的共轭复数是　　
A． B． C． D．
2．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
3．已知复数，则复数对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．已知复数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．轴截面为正方形的圆柱内接于球，则它们的表面积之比是（ ）
A． B． C． D．
6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
7．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知四面体中，，则体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台
B．以等腰三角形的底边上的高线所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆锥
C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
10．已知i为虚数单位，复数z满足，则下列说法正确的是（ ）
A．复数z的模为
B．复数z的共轭复数为
C．复数z的虚部为
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
11．如图，在正方体中， 分别为 的中点，为棱上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A． B．点在平面内
C．三棱锥的体积为定值 D．若为中点，则平面
三、填空题
12．若与异面，则过与平行的平面有________个．
13．复数是关于的方程的一个根，则_________．
14．在复数列中，已知，为复数列的前n项和，则_______，_______．
四、解答题
15．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面.
16．如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.
(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正切值.
17．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
（1）求证：；
（2）求多面体的体积.
18．一般地，任何一个复数（，）都可以表示成形式，其中，是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来，（，）叫做复数的代数表示式，简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量，并把表示成三角形式；
(2)已知，，，其中，.试求（结果表示代数形式）.
19．定义一种运算：.
(1)已知为复数，且，求；
(2)已知、为实数，也是实数，将表示为的函数并求该函数的单调递增区间.
参考答案
1．B
【详解】解：复数满足，所以．
所以的共轭复数是．
故选：B．
2．B
【详解】应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
3．D
【详解】∵
＝2﹣i﹣i＝2﹣2i，
∴复数z对应的点的坐标为（2，﹣2），在复平面内位于第四象限．
故选D．
4．A
【详解】
则，
故选：A.
5．C
【详解】轴截面如下图，ABCD为正方形，设圆柱底面圆直径，则球直径，故圆柱表面积为，球表面积为，故它们的表面积之比为，
故选：C
6．D
【详解】试题分析：，,故选D.
7．B
【详解】因为，
所以在复平面对应的点为，位于第二象限，
故选：B.
8．C
【详解】设M为CD的中点，连接AM,BM,
设四面体A-BCD的高为h，则,
由于，故 ,
则,设，
则,
所以
，
当且仅当平面ACD与平面BCD垂直且即时取等号，
故选：C
9．BCD
【详解】对于A，如果旋转轴不是垂直于底边的腰所在直线，则旋转体不是圆台，故A错误；
对于B，根据圆锥的定义易知B正确；
对于C，根据圆柱、圆锥、圆台的定义易知C正确；
对于D，由球的几何性质可知，用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面，故D正确.
故选：BCD．
10．CD
【详解】解：，则，∴，故A错，
复数z的共轭复数为，故B错；
复数z的虚部为，故C正确；
复数z在复平面内对应的点为，在第一象限，故D正确.
故选：CD
11．BD
【详解】对于A，在正方体中，平面，
而与平面斜交，
∴与不垂直，否则，则平面，不合题意，故A错误；
对于B，如图所示：
连接，，，
∵，分别为，的中点，∴，
又∵，∴，∴ ，，，在同一平面内，
∴点在平面内，故B正确；
对于C，，且和相交,则必相交，平面,
故与平面相交，为棱上的动点，故点到平面的距离是变化的，而的面积为定值，故三棱锥的体积不为定值，故C错误；
对于D，当为中点，连接,则,
则四边形为平行四边形，所以,
又平面，平面，所以平面，故D正确.
故选： .
12．1
【详解】当与异面时（如图所示），过上任意一点作，
则与确定了唯一的平面，
因为与异面，所以，又，，
所以，结合可得，过与平行的平面有且只有1个．
13．3
【详解】由题意可得，将代入方程可得
，整理得；
由复数概念可得，解得，
所以.
故答案为：3
14．
【详解】因为，所以；
；；
由此可得：；
所以，
．
15．(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）如图，连结，则是的中点，又是的中点，
∴，
又 ∵平面，面，
∴平面；
（2）∵底面是正方形，
∴ ，
∵平面，平面，
∴ ，又，
∴面，又平面，
故平面平面.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图，取的中点，连接.
为的中点，，且.
，且，，且，
四边形是平行四边形，.
平面，平面平面.
（2）取的中点的中点，连接.
平面平面，平面平面，
平面.
平面，
直线与平面所成的角为.
，
17．(1)证明见解析；（2）.
【详解】（1）因为面，面，所以，
又因为，所以，
又由且平面，所以面，
因为面，所以.
(2)连接，
因为，所以为直角三角形且为直角，
又因为，
又由平面，
所以.
18．(1)，
(2)
【详解】（1）因为对应的点在第四象限，
所以对应的向量如图所示.
易得，，，
所以.
所以.
（2）因为，
所以.
又，，
所以.
所以.
所以，
，
.
19．(1)
(2)，增区间为
【详解】（1）解：设，
因为，
所以，，即，则，因此，.
（2）解：为实数，
则，
所以，
，
由可得，
因此，函数的单调递增区间为.

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