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山西省大同市第一中学校2026年九年级中考第二次模拟数学试卷
一、单选题
1．“二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．立春为二十四节气之首，2026年立春这天北京、武汉、哈尔滨、长沙四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是（ ）
A． B． C． D．
2．2025年前11个月，消费品“以旧换新”政策带动销售额超万亿元，惠及超亿人次．数据万亿用科学记数法表示为（ ）．
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．印章，古称“玺”“印信”，是中国独有的传统器物与文化符号．如图是一款未雕刻的四棱台形印章的示意图，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．古代一歌谣《群鸦栖树》中记载了一道经典数学题：一群乌鸦栖于树上，若每3只栖一树，则余5只无树可栖；若每5只栖一树，则空出一树．设有乌鸦x只、树y棵，根据题意可得方程组为（ ）
A． B．
C． D．
6．图1是2026年米兰—科尔蒂纳冬奥会会徽，主体是一笔连贯线条勾勒出的数字“26”，图2是其示意图，其中，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．某校组织了“古韵今传·最美大同”演讲比赛，比赛按照如图所示的占比进行评分，每一项满分10分．已知嘉嘉的“演讲内容”、“语言表达”、“演讲技巧”三项得分分别是9分，8分，10分，则嘉嘉的最终得分为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
8．如图，是的直径，是的弦，点，在上，，的延长线交于点．若，，则的度数为（ ）
A．60° B．65° C． D．
9．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，已知，则的长度为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
10．如图，在中，，，．将绕AC的中点O按逆时针方向旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（）
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算的结果是________．
12．如图，将透明直尺叠放在正五边形之上，若正五边形有两个顶点在直尺的边上，且有一边与直尺的边垂直．则∠α＝_____°．
13．每年的3月5日，既是缅怀雷锋同志的学雷锋纪念日，也是青年学子践行志愿精神的中国青年志愿者服务日．今年学雷锋纪念日某校团委号召团员积极参与志愿者服务活动，小明和小亮准备从图书馆、博物馆、养老院三个志愿服务点随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是________．
14．太原某商场开业时入驻的商店为吸引顾客，推出了各种优惠活动．某商店购进一批饰品，进价为200元，该商店决定在开业期间将商品按七五折售出．为保证这批饰品获利不低于，那么该商店至少应将其标价定为______元．
15．如图，在中，，，为上一点，且，过点作于点，过点作于点，与交于点，则的长为________．
三、解答题
16．计算
(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中．
17．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形．
18．某中学为丰富同学们的课余生活，紧扣国家“教育、科技、人才”三位一体协同发展目标、培育创新型青少年人才，举办了“AI点亮生活”校园设计大赛，活动要求每班推选两个小组（每组6人）参赛．九年级三班先在班里初选，有三个小组脱颖而出，每个小组内组员在班级初赛中的成绩整理如下：
平均数/分 中位数/分 众数/分 方差
甲组 90 90 90 6.33
乙组 90 b 87 12
丙组 a 90 90 c
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上信息，你认为九年级三班可以派哪两个组去参赛？请说明理由．
(3)如果各组再增加一名候选组员，三位候选组员的成绩都是90分，按照增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果是否一致？请直接写出你的结论．
19．2026年春晚机器人表演走红后，各地掀起科技民俗表演热潮，将非遗文化与现代科技巧妙融合．经市场调研发现，目前民俗表演中A型机器人与B型机器人的租用需求较大．已知每个A型机器人的日租金比每个B型机器人多500元．同时，用10500元单独租用1个A型机器人的天数，与用9000元单独租用1个B型机器人的天数恰好相同，分别求每个A，B两种型号机器人的日租金．
20．在国家“双碳”目标与可再生能源发展规划的指引下，山西省大力推进风电等清洁能源项目建设，助力能源结构转型．图1是小陈在家乡看到的风力发电设备，他想利用所学知识估算风电架的高度，以加深对清洁能源基础设施的了解．
测量方案及数据：如图2，线段表示风电架，小陈在点（在同一直线上）处测得风电架顶部点的仰角为．他从点沿着小山坡走到点，此时测得风电架顶部点的仰角为，山坡的坡度，点到的距离为．
任务：若在观测过程中所有点都在同一竖直平面内，请根据小陈的测量数据计算风电架的高度（结果精确到，参考数据：）．
21．下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
阅读下面材料，并完成相应的任务．
关联点 【概念理解】 如图，是线段上的一点（不与点重合），若点满足，则称点是点关于的“关联点”． 【问题解决】如图，在中，，点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上．求证：点是点关于的“关联点”． 证明：，， ∵点在边上（不与点重合），且点在边的垂直平分线上， （依据1），， ，， ，（依据2） ， ∴点是点关于的“关联点”．
任务：
(1)材料中的依据1是指________，依据2是指________．
(2)如图3，在中，，，是线段上一点，，点是点关于的“关联点”，求的长．
(3)已知点是点关于的“关联点”，请在下图中作出点关于的另一个“关联点”点（不与点重合），且与的面积相等．（要求：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②作一个点即可）
22．综合与实践
【问题情境】春日伊始，一批粉色共享单车陆续投放至某市核心商圈及地铁站出口，其凭借出众的颜值与贴心设计，迅速俘获市民青睐，成为街头一道流动的“风景线”．下面是该单车品牌商家在两个试运营点进行运营测试（点位于地铁站出口，点位于商圈核心广场），针对早高峰（）的运营收益进行了连续天的统计分析（本次统计仅针对分钟内的短途骑行订单），相关数据如下．
【数学建模】
运营点
第天（为正整数）的分钟内骑行单价、骑行次数与的关系如下表：
分钟内骑行单价（元/次） 骑行次数/次
第天
第天
第天
第天
… … …
第天 …
第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，已知该运营点每天固定运营成本为元．
运营点
第天的利润（单位：元）与的关系可以近似的用二次函数模型刻画，其图象如下图所示：
【问题解决】
(1)运营点第天的分钟内骑行单价是________元/次（用含的代数式表示）．
(2)求运营点第天的利润（单位：元）与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围；利润骑行单价骑行次数固定运营成本）
(3)①求与的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）．
②当的值为多少时，运营点，的利润之和（即）最大，最大是多少元？
23．综合与探究
问题情境：如图1，在纸片中，，，，点，分别是和的中点，连接．沿将剪开，得到纸片．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，．直线与边交于点（点不与点重合）．
(1)猜想证明：如图1，判断与的数量关系，并说明理由．
(2)问题解决：如图2，当直线经过点时，求的长．
(3)拓展探究：在绕点旋转的过程中，直线与所在直线交于点（点不与点重合）．连接，当，，三点共线时，直接写出的面积．
参考答案
1．C
【详解】解：∵，
∴这些气温中最低的是．
2．A
【详解】解：万亿，
万亿．
3．B
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4．D
【详解】解：这个印章的俯视图是：
．
5．C
【详解】若设乌鸦只，树棵，
每3只栖一树，则余5只无树可栖，
，
每5只栖一树，则空出一树，
，
．
6．D
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
7．B
【详解】解：嘉嘉的最终得分为（分）．
8．C
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴．
故选：C．
9．D
【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H，
∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵
∴
故选：D．
10．A
【详解】解：如图，连接，
在中，点O是的中点，，
，
，
，
，
点E与点C第一次重合时，旋转角为，
，
由旋转的性质可得：，
点A的运动路径为，
点A运动路径的长为：，
故选：A．
11．
【详解】解：原式 ．
12．54
【详解】解：如图，标注字母，
由题意得：ABEC，∠D=∠DCB==108°，∠ABC=90°，
∴∠ECB=180° 90°=90°，∠DCE=108° 90°=18°，
∴∠DEC=180° ∠D ∠DCE=54°，
∵ABEC，
∴∠α=∠DEC=54°．
故答案为：54．
13．
【详解】解：令志愿服务点图书馆、博物馆、养老院分别为A、B、C，
小明和小亮选择志愿服务点的所有情况，画树状图如下：
则小明和小亮选择志愿服务点有9种情况，其中两人恰好选择同一志愿服务点有3种情况，
因此，两人恰好选择同一志愿服务点的概率是．
14．320
【详解】解：设定价为x元，
，
解得：，
∴该商店至少应将其标价定为320元．
故答案为：320．
15．
【详解】解：、，
、、，
，
，
在中，由勾股定理得：，
过点作于点H，交于点M，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
、，
，
，
，
解得：．
16．(1)
(2)，
【详解】（1）解：
；
（2）解：
当时，原式．
17．见详解
【详解】证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
18．(1)90；89.5；1.67（或）
(2)选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可）
(3)一致
【详解】（1）解：；
将乙组成绩由小到大排列为：，则；
；
（2）解：选甲组和丙组去参赛．三个组的平均成绩都是90分，甲组和丙组的方差较小，成绩更集中、稳定，所以选甲组和丙组去参赛（答案不唯一，合理均可）．
（3）解：结果一致，
∵三位候选组员的成绩都是90分，
∴平均分不变仍为90分，
增加一名候选组员后，，，，
∵，
∴，
∴增加一名候选组员后的成绩，九年级三班选派的参赛小组与（2）中得到的结果一致．
19．每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元
【详解】解：设每个型机器人的日租金是元，则每个型机器人的日租金是元．
根据题意，得．解得．
经检验，是原方程的根．
（元）．
答：每个A型机器人的日租金是3500元，每个B型机器人的日租金是3000元．
20．风电架的高度约为
【详解】解：如答图，延长与交于点，则，过点作交的延长线于点．
∴四边形为矩形，，
，
，
，
，
设，则．
在中，，
，
．
在中，，
，
，
．
．
．
解得，
答：风电架的高度约为．
21．(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形的对应边成比例
(2)
(3)如图，点为所求（或点为所求）
【详解】（1）解：∵点在边的垂直平分线上，
∴根据线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，可得，
∵，
∴根据相似三角形的对应边成比例，可得，
故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；相似三角形的对应边成比例；
（2）解：，
，
点是点关于的“关联点”，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：∵与的面积相等，
∴点到的距离等于点到的距离，
∴，
即点在经过点，且与平行的直线上；
∵点是点关于的“关联点”，点是点关于的“关联点”，
∴，
∴，
即点在以点为圆心，的长为半径的圆上，
∴以点为圆心，的长为半径画圆，作，与圆交于点，点为所求（或点为所求）．
22．(1)
(2)
(3)①；②当时，运营点，的利润之和最大，为元
【详解】（1）解：∵第天的分钟内骑行单价与近似的满足我们学过的某种函数关系，
根据表格内数据可知，每增加一天，每天分钟内骑行单价就下降元/次，
∴第天的分钟内骑行单价与的函数关系为一次函数，
设第天的分钟内骑行单价为元/次，关于的一次函数的表达式为，
∵当时，，当时，，代入一次函数表达式得：
，解得：，
∴一次函数表达式为，
∴A运营点第天分钟内骑行单价为：；
（2）解：根据题意可得，，
运营点第天的利润与的函数关系式；
（3）解：①由图象可知，二次函数的图象经过点，，将其分别代入中，
得，解得，
；
②运营点，的利润之和为：，
对称轴为直线，
，取正整数，
或，
当时，，
当时，，
，
当时，运营点的利润之和最大，为元．
23．(1)证明：．理由如下：
如图，连接．
点，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
．
由旋转的性质，得，．
在和中，，
，
．
(2)
(3)或
【详解】（1）略；
（2）解：如图所示，连接，
由旋转的性质，得，．
又∵点是的中点，
∴，
∴在和中，，
，
∴，
∴，
∴垂直平分线段，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
点，分别是，的中点，
∴，
∴；
（3）解：①如图所示，
∵点是线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质，得，，，
∴，
∴点在同一条直线上，
∵点是线段的中点，
∴，
由（1）可设，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴的面积为；
②如图所示，
同①可得，，，，
∴点在同一条直线上，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为；
综上，的面积为或．

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