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第1课时 二次函数 y＝ax ＋k 的图象和性质
26.2.2 二次函数 y＝a(x－h) ＋k
的图象和性质
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象（重点）．
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质并会应用（重点）．
3．理解y＝ax 与y＝ax ＋k之间的联系（难点）．
上一节课我们已经学习了二次函数y＝ax2的图象和性质，那么二次函数y＝ax2＋k的图象又是怎样的呢？又有什么性质呢？
在同一坐标系下画出下列三个函数y＝x ，y＝x ＋1和y＝x －1的图象．
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y＝x2＋1 … 10 5 2 1 2 5 10 …
y＝x2－1 … 8 3 0 －1 0 3 8 …
y＝x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
（1）列表．
（2）描点．
（3）连线．
得到这三个二次函数的图象．
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2＋1
y＝x2－1
y＝x2
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2＋1
y＝x2－1
y＝x2
根据图象回答下列问题:
（1）图象的形状都是_________．
（2）三条抛物线的开口方向______；
（3）对称轴都是______；
（4）从上而下顶点坐标分别是___________________________；
抛物线
向上
y轴
(0，0)，
(0，1)，
(0，－1)
（5）顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_______，_______，________．
（6）函数的增减性都相同：___________________________，
___________________________．
低
小
y＝0
y＝－1
y＝1
对称轴左侧y随x增大而减小
对称轴右侧y随x增大而增大
抛物线y＝ax2＋k可以由抛物线y＝ax2向上或向下平移|k|个单位得到．
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减．
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
0
－1
－2
－3
－4
－5
y＝x2＋1
y＝x2－1
y＝x2
在同一坐标系内画出二次函数y＝－2x ＋1，y＝－2x －1与y＝－2x 的图象．
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
x
y
O
y＝－2x2
y＝－2x2＋1
如图为这三个二次函数的图象．
y＝－2x2－1
根据图象回答下列问题:
（1）图象的形状都是________．
（2）三条抛物线的开口方向______；
（3）对称轴都是______；
（4）从上而下顶点坐标分别是_________________________；
抛物线
向下
y轴
(0，0)，
(0，1)，
(0，－1)
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
x
y
O
y＝－2x2
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
（5）顶点都是最_____点，函数都有最_____值，从上而下最大值分别为_______，_______，________；
（6）函数的增减性都相同：___________________________，
___________________________．
高
大
y＝0
y＝－1
y＝1
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
2
－2
－4
－6
－8
－10
－2
2
4
－4
x
y
O
y＝－2x2
y＝－2x2＋1
y＝－2x2－1
二次函数 a的取值 开口 顶点坐标 对称轴 增减性 最值
y＝ax2＋k
(a≠0)
当x＝0时，y最小值＝k
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大
当x＝0时，y最大值＝k
a＜0
a＞0
向下
向上
(0，k)
y轴
二次函数y＝ax2＋k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到：
当k＞0时，向上平移k个单位长度得到；
当k＜0时，向下平移个单位长度得到．
上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减．
二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k(a≠0)的图象的关系
例1 关于二次函数y＝2x2＋4，下列说法错误的是（　　）
A．其图象的开口方向向上
B．当x＝0时，y有最大值4
C．其图象的对称轴是y轴
D．其图象的顶点坐标为(0，4)
B
例2 关于抛物线y＝－x2＋1与y＝x2－1，下列说法正确的是（　　）
A．开口方向相同
B．顶点相同
C．对称轴相同
D．当x＞0时，y随x的增大而增大
C
方法总结
由二次函数的解析式推断抛物线性质的方法
(1)a决定抛物线的开口方向，且|a|的大小决定开口的大小.特别地，当两个抛物线形状一样时，两者的|a|是相等的；
(2)k确定抛物线与对称轴交点的纵坐标.
例3 在直角坐标系中，函数y＝3x与y＝－x2＋1的图象大致是（　　）
A
B
C
D
D
解析：∵y＝3x的比例系数k＝3＞0，∴y随x的增大而增大，即直线从左到右呈上升趋势，故排除A，C．
又二次函数y＝－x2＋1的图象开口向下，∴排除B．
方法总结
解决根据解析式判断函数图象问题，关键是把题目中的多个函数逐个单独分析，确定每个函数的核心特征，利用特征进行判断.
1．已知抛物线y＝2x2－3．
（1）它的开口向____，对称轴为______，顶点坐标为__________；
（2）把抛物线y＝2x2______________________可得抛物线y＝2x2－3；
（3）若点(－4，y1)，(－1，y2)在抛物线y＝2x2－3上，则y1____y2（填“＞”“＜”或“＝”）．
上
y轴
向下平移3个单位长度
＞
(0，－3)
2．关于二次函数y＝－2x2＋3，下列说法中正确的是（　　）
A．它的图象开口方向向上
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．它的顶点坐标是(3，0)
D．当x＝0时，y有最小值是3
B
3．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移3个单位长度，那么所得新抛物线的解析式是__________．
4．二次函数y＝mx2＋m－2的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围为___________．
y＝x2－1
0＜m＜2
二次函数
y＝ax2＋k(a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y＝ax2的关系
平方项不变，常数项上加下减
开口方向由a的符号决定
k决定顶点位置
对称轴是y轴
增减性结合开口方向和对称轴才能确定
第2课时 二次函数 y＝a(x－h)
的图象和性质
1．会画二次函数y＝a(x－h)2的图象（重点）．
2．掌握二次函数y＝a(x－h)2的性质（重点）．
3．比较函数y＝ax2与y＝a(x－h)2的联系和区别（难点）．
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)与y＝ax2(a≠0)的图象有何关系？
二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象可以由y＝ax2(a≠0)的图象平移得到：
当k＞0时，向上平移k个单位长度得到．
当k＜0时，向下平移|k|个单位长度得到．
函数 的图象，能否也可以由函数 平移得到？
在坐标系中，画出二次函数 与 的图象．
解：列表．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
x
y
－4
－3
－2
－1
O
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
向上
y轴
x＝2
(0，0)
(2，0)
根据所画图象，填写下表：
通过上述例子，猜想函数y＝a(x－h)2的性质是什么．
画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
··· ···
··· ···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－4.5
－8
－8
解：列表．
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
0
x
y
描点、连线，画出这两个函数的图象．
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
向下
直线x＝－1
(－1，0)
直线x＝0
直线x＝1
向下
向下
(0，0)
(1，0)
O
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
y＝a(x－h)2 a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 (h，0) (h，0)
最值 当x＝h时，y最小值＝0 当x＝h时，y最大值＝0
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上的三个点为A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________．
y2＜y3＜y1
解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝3＞0，
∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时，y随x的增大而增大．
∵点A的坐标为(－3 ，y1)，
∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．
∵－1＜0＜ ，∴y2＜y3＜y1．故答案为y2＜y3＜y1．
想一想 抛物线 ， 与抛物线 有什么关系？
向左平移1个单位长度
向右平移1个单位长度
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
x
y
O
二次函数y＝a(x－h)2的图象与y＝ax2的图象的关系
左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变．
y＝a(x－h)2
向左平移h个单位长度
y＝a(x＋h)2
向右平移h个单位长度
y＝ax2
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位长度后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位长度后，二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，解得 ，
∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2．
方法总结
解决此类问题先根据平移规律写出函数解析式，再把点的坐标代入求出参数即可.
例2 已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是（　　）
A．y1＜y2＜0　　　　　　　　　　　　　B．0＜y1＜y2
C．0＜y2＜y1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．y2＜y1＜0
A
方法总结
比较函数值大小问题的解题方法
（1）定性质：确定抛物线开口、对称轴、单调性；
（2）判位置：判断两点在对称轴的同侧或异侧；
（3）比大小：同侧用单调性，异侧用对称性或距离法；
（4）验符号：结合函数最值或范围，确定y的符号.
1．将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是（　　）
C
A．向上平移1个单位长度　　　　　　B．向下平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度　　　　　　D．向右平移1个单位长度
2．对于二次函数y＝3(x＋2)2，下列说法正确的是（　　）
D
A．图象的开口向下　　　　　　　　　　B．图象的对称轴是直线x＝2
C．当x＞－2时，y随x的增大而减小　　　D．函数有最小值0
3．对于函数y＝－2(x－m)2的图象，下列说法不正确的是（　　）
D
A．开口向下　　　　　　　　　　　　　B．对称轴是直线x＝m
C．最大值为0　　　　　　　　　　　　 D．与y轴不相交
4．在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x－2)2的图象，并指出两个图象之间的平移关系．
解：画出的函数图象如图．
y
O
x
y＝2x2
2
y＝2(x－2)2
函数y＝2(x－2)2的图象可由函数y＝2x2的图象向右平移2个单位长度得到．
二次函数
y＝a(x－h)2(a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y＝ax2的关系
括号内左加右减，括号外不变
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性、最值需要结合开口
方向和对称轴才能确定
第3课时 二次函数 y＝a(x－h) ＋k 的图象和性质
1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象（重点）．
2．掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质并会应用（重点）．
3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)与y＝ax2(a≠0)之间的联系（难点）．
二次函数图象可以互相平移得到．
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
左右平移
上下平移
y＝a(x－h)2＋k
？
画出函数 的图象，指出它的开口方向、顶点与对称轴．
解：先列表．
…
…
…
…
2
1
0
－1
－2
－3
－4
x
－5.5
－3
－1.5
－1
－1.5
－3
－5.5
1
2
3
4
5
x
－1
－2
－3
－4
－5
－6
－7
－8
－9
1
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
－10
直线x＝－1
描点，连线得
的函数图象．
开口方向向下；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标是(－1，－1)．
－2
2
x
y
O
－2
4
6
8
－4
2
4
画出函数y＝2(x＋1)2－2的图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴与顶点．
开口方向向上；
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标是(－1，－2)．
二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质
y＝a(x－h)2＋k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 直线x＝h 直线x＝h
顶点坐标 (h，k) (h，k)
最值 当x＝h时，y最小值＝k 当x＝h时，y最大值＝k
增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大 当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
平移方法1
1
2
3
4
5
x
－1
－2
－3
－4
－5
－6
－7
－8
－9
1
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
－10
单位长度
向下平移1个
向左平移
1个单位长度
怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？
平移方法2
1
2
3
4
5
x
－1
－2
－3
－4
－5
－6
－7
－8
－9
1
y
O
－1
－2
－3
－4
－5
－10
单位长度
向下平移1个
向左平移
1个单位长度
二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k的关系
y＝ax2
y＝ax2＋k
y＝a(x－h)2
y＝a(x－h)2＋k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
上下平移，括号外上加下减；
左右平移，括号内左加右减．
二次项系数a不变．
例1 对于抛物线y＝－(x＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x＞1时，y随x的增大而减小．
其中正确结论有（　　）
A．0　　　　　　B．1　　　　　　C．2　　　　　　D．3
D
解析：①∵a＝－1＜0，∴抛物线的开口向下，正确；
②对称轴为直线x＝－1，错误；
③顶点坐标为(－1，3)，正确；
④x＞1时，y随x的增大而减小，正确．
综上所述，结论正确的是①③④，共3个，故选D．
方法总结
明晰抛物线y=a(x－h) +k的各种形式，解决性质问题
抛物线y=a(x－h) +k有多种形式，比如当h=0,k≠0时，变为y=ax +k;当h≠0,k=0时，变为y=a(x－h) .解决各种形式的抛物线的性质问题的关键是要记准抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.．
例2 已知抛物线的顶点为(－1，2)且过原点，求抛物线的函数解析式．
解：∵抛物线的顶点为(－1，2)，
∴可设抛物线的函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2．
又抛物线过(0，0)，
∴0＝a(0＋1)2＋2，
解得a＝－2，
∴抛物线的函数解析式为y＝－2(x＋1)2＋2．
方法总结
巧设顶点式求二次函数的解析式
已知二次函数图象的顶点坐标(h,k),常设解析式为y=a(x－h) +k,然后将图象上一个已知点的坐标代入，便可求得二次函数的解析式.
例3 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1.6 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3.6 m，水管应多长？
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系．
点(1.6，3)是图中这段抛物线的顶点，
因此，可设这段抛物线对应的函数是y＝a(x－1.6) ＋3(0≤x≤3.6)．
由这段抛物线经过点(3.6，0)可得0＝a(3－1.6) ＋3，
解得 ．
因此　　　　　　　　　　 ．
当x＝0时，y＝1.08，也就是说，水管的长应为1.08 m．
方法总结
解决二次函数实际问题，先审题，需要建立坐标系的先建立坐标系，然后根据条件列出解析式，把相关数据代入，求出解析式，再解决相应问题.
1．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（　　）
A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
B
2．下列关于二次函数y＝－2(x－2)2＋1图象的叙述，其中错误的是（　　）
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝2
C．此函数有最小值是1
D．当x＞2时，y随x的增大而减小
C
3．二次函数y＝2(x＋2)2－1的图象是（　　）
C
A B C D
4．指出下面函数的开口方向，对称轴和顶点坐标．
（1）y＝5(x＋2)2＋1；　　　　　　　（2）y＝－7(x－2)2－1；
（3）y＝(x－4)2＋3；　　　　　　 　（4）y＝－(x＋2)2－3．
开口向上
对称轴为x＝－2
顶点坐标为(－2，1)
开口向下
对称轴为x＝2
顶点坐标为(2，－1)
开口向上
对称轴为x＝4
顶点坐标为(4，3)
开口向下
对称轴为x＝－2
顶点坐标为(－2，－3)
5．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的关系式．
解：由函数顶点坐标是(1，－2)，
设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－2．
图象过点(0，0)，则0＝a(0－1)2－2，
解得a＝2，
∴这个二次函数的关系式为y＝2(x－1)2－2．
二次函数
y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y＝ax2的关系
上下平移，括号外上加下减；
左右平移，括号内左加右减
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性、最值需要结合开口方向和对称轴才能确定

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