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26.3 二次函数与一元二次方程
第1课时 二次函数与一元二次方程(1)
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与一元二次方程之间的联系（重点、难点）．
1．关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为x＝1，则当x＝_____时，一次函数
y＝kx＋b的函数值为0．
1
2．一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解为________．
x＝2
一次函数y＝ax＋b
当y＝0时所对应的x的值
直线y＝ax＋b与x轴（直线y＝0）交点的横坐标
关于x的一元一次方程ax＋b＝0的解
函数解析式
函数图象
数形结合
二次函数有与此关系类似的方程吗？
在直角坐标系中画出二次函数y＝x －2x－3的图象．
－1
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1
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5
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2
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5
y
x
图象与x轴的交点坐标是什么？
y＝x －2x－3
二次函数图象与x轴的交点
坐标是(－1，0)，(3，0)．
一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是
x1＝－1，x2＝3．
－1
－1
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1
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1
2
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5
y
x
y＝x －2x－3
发现
（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根；
（2）二次函数的图象与x轴交点问题可以转化为一元二次方程去解决．
二次函数图象与x轴的交点
坐标是(－1，0)，(3，0)．
一元二次方程x2－2x－3＝0的两根是
x1＝－1，x2＝3．
例1 若二次函数y=x2-6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2-6x+c=1的解为（　　）
A．x=1 B．x=6 C．x=1或x=-7 D．x=1或x=5
解析：∵二次函数y=x2-6x+c,
∴抛物线的对称轴是直线x=3，
∵图象经过点A（1，1），
∴点（5，1）也是图象上的点，
∴方程x2-6x+c=1的解为x=1或x=5.
D
方法总结 求解一元二次方程的常见方法
(1)根据题目，灵活选择以下方法：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法进行求解.
(2)利用二次函数图象与x轴的交点的横坐标即为对应一元二次方程的根进行求解.
(3)把一元二次方程的根看成对应的两个函数图象的交点的横坐标，利用两个函数图象的交点求解.
例2 二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
解：∵二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴的交点即为方程x2-2x+3=0的根，
∵Δ=（-2）2-4×1×3=4-12=-8＜0，
∴x2-2x+3=0无实数根，
∴二次函数y=x2-2x+3的图象与x轴没有交点.
A
方法总结
判断抛物线与坐标轴交点个数的方法
(1)抛物线y=ax +bx+c与x轴交点个数的判断方法：
①若△=b —4ac>0,则抛物线与x轴有2个交点；
②若△=b —4ac=0,则抛物线与x轴有1个交点；
③若△=b —4ac<0,则抛物线与x轴没有交点.
(2)抛物线y=ax +bx+c与y轴总有一个交点(0,c).
如何根据二次函数与x轴的交点个数，判断一元二次方程的根的情况？
二次函数与x轴交点个数 一元二次方程根的情况
2个
1个
0个
两个不相等实数根
两个相等
实数根
无实数根
－1
－1
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－2
－3
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1
2
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1
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5
y
x
y＝2x2＋x－3
y＝4x2－4x＋1
y＝x2－x＋1
O
由？决定
b －4ac的符号
＜0
＝0
＞0
如何根据二次函数与x轴的交点个数，判断一元二次方程的根的情况？
二次函数与x轴交点个数 一元二次方程根的情况
2个
1个
0个
两个不相等实数根
两个相等
实数根
无实数根
二次函数 y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根 一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0根的判别式Δ＝b2－4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的
实数根
没有交点
没有实数根
b2－4ac＞0
b2－4ac＝0
b2－4ac＜0
h＝20t－5t2
例3 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的关系近似为h＝20t－5t2．小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？
这说明，当自变量t=2时，二次函数h＝20t－5t2的函数值为20，即当小球飞行2 s时，它的飞行高度为20 m．
解：当h＝20时，由函数关系h＝20t－5t2，列得方程
20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解方程，得t1＝t2＝2．
O
h
t
h＝20t－5t2
20
2
方法总结
用二次函数解决实际问题的关键是把实际问题转化为数学问题并建立数学模型，然后解方程即可.
1.若二次函数y=a（x-1）2+k的图象与x轴交于点（-2，0），则图象与x轴的另一个交点为（　　）
A．（0，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
解析：抛物线y=a（x-1）2+k的对称轴为直线x=1，
而点（-2，0）关于直线x=1的对称点为（4，0），
所以抛物线与x轴另一个交点的坐标为（4，0）．
D
2.若二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点，那么b的值为 ．
解析：对于二次函数y=9x2-bx+1，其中a=9，一次项系数为-b,c=1，
判别式Δ=（-b）2-4×9×1=b2-36，
∵二次函数y=9x2-bx+1的图象与x轴只有一个交点，
∴Δ=0，得b2-36=0，解得b=6或b=-6.
±6
3.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0）．若2＜m＜4，则b的取值范围是 ．
解：由题意，∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0），
∴y=（x-1）（x-m）=x2-（m+1）x+m,
∴b=-（m+1）．
∵2＜m＜4，
∴2＜-b-1＜4，
∴3＜-b＜5，
∴-5＜b＜-3．
-5＜b＜-3
4.某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时距地面 m，与篮框中心的水平距离为7 m，当球出手后水平距离为4 m时到达最大高度4 m，设篮球运行轨迹为抛物线，篮框距地面3 m．
（1）建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？
解：（1）由题意可知，A(0， )，B(4，4)，C(7，3)，
其中B是抛物线的顶点．
设抛物线解析式为y＝a(x－4)2＋4，
将点A的坐标代入，可得a＝－ ，
故y＝－ (x－4)2＋4．
当x＝7时，y＝－ (7－4)2＋4＝3，
∴点C(7，3)在该抛物线上．
∴此球一定能投中．
（2）此时，如果对方队员乙在甲面前1 m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 m，那么他能否获得成功？
解：（2）将x＝1代入函数解析式，得y＝3．
∵3.1＞3，
∴盖帽拦截能获得成功．
y＝－ (x－4)2＋4
关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝m的根
数形结合
二次函数y＝ax2＋bx＋c
当y＝m时所对应的x的值
函数解析式
抛物线y＝ax2＋bx＋c
与直线y＝m交点的横坐标
函数图象
“小球飞行”问题
第2课时 二次函数与一元二次方程(2)
1．能从二次函数与一元二次方程的关系中总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程根的个数之间的关系（难点）．
2．会用一元二次方程解决二次函数图象与x轴的交点问题．
3．能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（重点）．
x＝2
（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为( )，
一元一次方程x＋2＝0的根为____________．
（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为( )，
一元一次方程－3x＋6＝0的根为________．
x＝－2
－2，0
观察发现：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
2，0
交点横坐标＝方程的根
二次函数的图象与x轴的交点呢？
画出函数y＝2x2－4x－1的图象，求方程2x2－4x－1的解.(精确到0.1)
－1
－1
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5
y
x
图象与x轴的交点坐标是什么？
y＝2x －4x－1
画出函数y＝2x2－4x－1的图象，求方程2x2－4x－1的解.(精确到0.1)
－1
－1
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3
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5
y
x
y＝2x －4x－1
由图象知，当x≈2.2或
x≈－0.2时，y＝0.
即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.
例1 利用函数图象求一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作二次函数y＝x2－2x－2的图象，如图，
它与x轴的公共点的横坐标x1≈－0.7，x2≈2.7，
所以一元二次方程x2－2x－2＝0的实数根为
x1≈－0.7，x2≈2.7.
方法总结
用图象法求一元二次方程的近似根的步骤：
（1）画出函数的图象，并由图象确定方程根的个数；
（2）由图象交点位置确定横坐标的范围；
（3）估计方程的近似根．
例2 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x 1（填“≥”或“≤”）；
（2）写出二次函数y=ax2+bx+c的顶点 ；
（3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ；
（4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ．
解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，开口向下，
∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1．
（2）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（-1，0），（3，0），
∴y=a（x+1）（x-3），
代入（0，3）得，3=-3a,解得a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）．
解：（3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为-1＜x＜3；
（4）∵x=5时，y=-（x-1）2+4=-12，x=1时，y=4，
∴当0＜x＜5时，y的取值范围是-12＜y≤4．
方法总结
利用二次函数的图象解不等式，关键是准确画出函数图象，y>0时，对应的范围是x轴上方的图象；y<0时，对应的范围是x轴下方的图象.
1.二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则不等式x2-x-2＜0的解集是（　　）
A．x＜-1 B．x＞2 C．-1＜x＜2 D．x＜-1或x＞2
解析：由图可知，抛物线与x轴的交点为（-1，0）、（2，0），
所以，不等式x2-x-2＜0的解集是-1＜x＜2．
C
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是 ．
解：函数值y＜0时，自变量x的取值范围是-1＜x＜3．
-1＜x＜3
3.小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=-3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为 ．
解：∵抛物线与x轴的一个交点为（-3.4，0），又抛物线的对称轴为：x=-1，
∴另一个交点坐标为：（1.4，0），
则方程的另一个近似根为1.4.
1.4
4．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根（精确到0.1）．
解：作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示．
故一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根是x1≈－0.4（或－0.5），x2≈2.4（或2.5）．
O
y＝x2－2x－1
由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．
先求－1和0之间的根.当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25；
因此，x＝－0.4（或x＝－0.5）是方程的一个近似根，
同理，x＝2.4（或x＝2.5）是方程的另一个近似根．
画图象
当y＝0时
二次函数
一元二次方程
方程根的情况
两个不相等的实数根
两个相等的实数根
没有实数根
抛物线与x轴的公共点情况
两个公共点
一个公共点
没有公共点
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解方程

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