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26.4 实际问题与二次函数
第1课时 最大高度与几何图形面积问题
1．分析实际问题中变量之间的二次函数关系（难点）．
2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
3．能应用二次函数的性质解决最大高度和图形中最大面积问题（重点）．
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值．
（1）y＝x2－4x－5；　　　　　（2）y＝－x2－3x＋4．
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x＝2；
顶点坐标：(2，－9)；最小值：－9．
（2）开口方向：向下；对称轴：x＝ ；
顶点坐标：( ， )；最大值： ．
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
分析：
①由a＝－5可得，图象的开口向下；
②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画函数图象的草图如图；
③根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度．
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度．
即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m．
一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点有最低（高）点，也就是说，当x＝ 时，二次函数有最小（大）值 ．
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
l
S
(30－l)
l(30－l)
0＜l＜30
何时取最大值呢？
分析：①已知矩形场地的周长是60 m，一边长是l m，则另一边长是 m，场地面积S＝ m2．
②由一边长l及另一边长30－l都是正数，
可列不等式组： ．
解不等式组得l的范围是 ．
分析：③根据解析式，可以确定这个函数的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与横轴的交点坐标是 ，与纵轴的交点坐标是 ．
向下
直线l＝15
(15，225)
(0，0)，(30，0)
(0，0)
l
S
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
④根据l的取值范围及③，画出该函数图象的草图．
50
100
S
150
200
250
O
－50
50
l
由图象知：
点 是图象的最高点，即当l＝ 时，S有最 （选填“大”或“小”）值．
(15，225)
15
大
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
可列方程
S＝l(30－l)，
即S＝－l2＋30l
(0＜l＜30)．
即当l是15 m时，场地的面积S最大为225 m2．
l
S
解：矩形场地的周长是60 m，一边长为l m，
所以另一边长为 m.
用总长为60 m的篱笆围成一个矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？
例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）之间的关系式是h=-4.9t +2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）
解：对于二次函数h=-4.9t +2.8t+11,
当t==0.3时，h有最大值
=11.4
因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4 m.
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1．审：仔细审题，厘清题意．
2．设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，设出适当的未知数．
3．列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式．
4．解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题．
5．检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
例2 如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设垂直于墙的边长为x m,则平行于墙的边长为(20-2x)m,矩形菜园的面积
S=x(20-2x),即S=-2x +20x(0因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m .
当x==5时，S有最大值
=50
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1．根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函数关系式；
2．确定自变量的取值范围；
3．根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图；
4．根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值．
2．用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不可能为（　　）
A．20　　　　　　B．40　　　　　　C．100　　　　　　D．120
1．已知一个直角三角形两直角边长之和为20 cm，则这个直角三角形的最大面积为（　　）
A．25 cm2　　　　B．50 cm2　　　　C．100 cm2　　　　D．不确定
B
D
3．根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是：h=-5t2+20t,则小球运动中的最大高度是 m.
解：h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20，
∵-5＜0，
∴当t=2时，h有最大值，最大值为20，
20
4．如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＋BD＝10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC＝x，四边形ABCD面积为y，
则BD＝(10－x)．
即当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大．
最大高度和最大面积问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
最值在顶点处或不在顶点处取得
第2课时 最大利润问题
1．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题（重点）．
2．能弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围（难点）．
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题．商品买卖过程中，作为商家，利润最大化是永恒的追求．
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
你知道这些数量关系吗？
（1）销售额＝售价×销售量；
（2）利润＝销售额－总成本＝单件利润×销售量；
（3）单件利润＝售价－进价．
调整价格包括涨价和降价两种情况．让我们一起来分析一下吧！
（1）涨价销售
①设每件涨价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
建立函数关系式：y＝(20＋x)(300－10x)，
即：y＝－10x2＋100x＋6 000．
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
(20＋x)
(300－10x)
(20＋x)(300－10x)
6 000
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，
故300－10x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤30．
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y＝－10x2＋100x＋6 000，
所以当 时，y＝－10×52＋100×5＋6 000＝6 250．
即涨价5元时，最大利润是6 250元．
建立函数关系式：y＝(20－x)(300＋20x)，
即：y＝－20x2＋100x＋6 000．
（2）降价销售
①设每件降价x元，每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元） 销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
(20－x)
(300＋20x)
(20－x)(300＋20x)
6 000
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20－x≥0，且x≥0，因此自变量的取值范围是0≤x≤20．
③降价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
即降价2.5元时，最大利润是6 125元．
综上可知，定价57.5元时，最大利润是6 125元．
y＝－20x2＋100x＋6 000，
②自变量x的取值范围如何确定？
当 时，
由（1）（2）的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗？
求解最大利润问题的一般步骤
1．建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝单件利润×销售量”；
2．结合实际意义，确定自变量的取值范围；
3．在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出．
例 王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房．根据合作社提供的房间单价x（元）和游客居住房间数y（间）的信息，乐乐绘制出y与x的函数图象如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式．
(70，75)
(80，70)
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
根据题意得解得
故y与x之间的函数关系式是y＝－0.5x＋110．
（2）合作社规定每个房间价格不低于60元且不超过150元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出20元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
解：设合作社每天获得的利润为w元，
由（1）可知游客居住房间数为y＝－0.5x＋110，
则w＝x(－0.5x＋110)－20(－0.5x＋110)＝－0.5x2＋120x－2 200
＝－0.5(x－120)2＋5 000．
因为60≤x≤150，所以当x＝120时，w取得最大值，此时w＝5 000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5 000元．
方法总结
利用二次函数解决利润最大问题的一般策略
(1)明确利润、单价、销售量之间的关系，根据题意列出二次函数的解析式.
(2)讨论最大值时，可转化为顶点式y=a(x-h) +k,并利用二次函数的性质确定最大值.
1．某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30)出售，可卖出(600－20x)件，为使利润最大，则每件售价应定为________元．
25
2．进价为80元/件的某衬衣定价为100元/件时，每月可卖出2 000件；售价每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出该衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________，每月利润w（元）与衬衣售价x（元/件）之间的函数关系式为____________________________
（以上关系式只列式不化简）．
y＝2 000－5(x－100)
w＝[2000－5(x－100)](x－80)
3．一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次．第1档次（最低档次）的产品一天能生产80件，每件可获利润12元．产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件．如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？
解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则
w＝[12＋2(x－1)][80－4(x－1)]
＝(10＋2x)(84－4x)
＝－8x2＋128x＋840
＝－8(x－8)2＋1 352．
因为x≤9，故当x＝8时，w有最大值，且w最大＝1 352．
答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1 352元．
4．某种商品每天的销售利润 y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：
y＝ax2＋bx－75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题中条件可求y＝－x2＋20x－75．
∵－1＜0，对称轴为x＝10，
∴当x＝10时，y值最大，最大值为25．
7
x/元
y/元
5
16
O
即销售单价定为10元时，销售利润最大为25元．
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
解：由对称性知y＝16时，x＝7或13．
7
x/元
y/元
5
16
O
故销售单价在7≤x≤13时，利润不低于16元．
最大利润问题
建立函数关系式
确定自变量的取值范围
确定最大利润
总利润＝单件利润×销售量
＝总售价－总成本
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
第3课时 建立二次函数模型解决
实际问题
1．能建立合适的直角坐标系，用二次函数的知识解决与抛物线相关的实际问题（重点、难点）．
2．进一步巩固二次函数的性质与图象特征．
生活中我们可以看到很多抛物线形的物体或运动轨迹，比如拱桥、喷泉等，还有其他的例子吗？
如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
分析：我们知道，二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．
为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）．
解：设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2．
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－．
这条抛物线表示的二次函数为y＝－x2．
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3．
当y＝－3时，－x2＝－3，解得x1＝，x2＝－，
所以当水面下降1 m时，水面宽度为2 m．
水面下降1 m，水面宽度增加(－4) m．
还有其他建坐标系的方式吗？
x
y
O
x
y
O
x
y
O
注意：同一个问题中，建立平面直角坐标系的方法有多种，建立适当的平面直角坐标系能简化函数解析式，通常应使已知点在坐标轴上．
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12 m，宽是4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y＝－ x2＋2x＋c表示．
（1）请写出该抛物线的函数关系式；
解：根据题意得C(0，4)，
把C(0，4)代入y＝－ x2＋2x＋c得c＝4，
所以抛物线解析式为y＝－
x2
＋2x＋4．
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
∴这辆货车能安全通过．
∴对称轴为x＝6，
由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，
当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6，
解：抛物线解析式为y＝－ x2＋2x＋4＝－
(x－6)2＋10，
例2 如图，施工队要修建一个横断面为抛物线的隧道，OM宽度为16米，其顶点P到OM的距离为8米．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，并求出这条抛物线的函数解析式；
设y＝a(x－8)2＋8，
x
y
解：如图，以O为原点建立平面直角坐标系，易得抛物线的顶点坐标为(8，8)．
将点(0，0)代入上式，得0＝64a＋8，
解得
故函数的解析式为 (0≤x≤16)．
（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明．
即允许的最大高度为6米，
解：由题意得车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧与边沿处的距离x＝7.5－3.5＝4．
当x＝4时，y＝6，
而5.8＜6，故该车辆能通行．但是车顶与隧道间距很小，需小心行驶．
8
16
4
7.5
x
y
方法总结 解决形状为抛物线形的实际问题时，一般分为以下四个步骤：
（1）建立适当的平面直角坐标系；
（2）根据条件，把已知的线段长转化为点的坐标；
（3）恰当选用二次函数的解析式形式，用待定系数法求出抛物线的解析式；
（4）利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，进而得到实际问题的解．
1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　）
A．9.2 m 　　　B．9.1 m
C．9 m 　　　　 D．5.1 m
B
2．某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水平宽度AB＝1.6 m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4 m，那么在如图所示的直角坐标系中，涵洞所在的抛物线的解析式是 ．
y＝－3.75x2
A B
3.校运动会小明参加铅球比赛，若某次投掷，铅球飞行的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=（x-3）2+2.5，那么小明这次投掷的成绩是 米．
8
解：令y=0，则为（x-3）2+2.5=0，
解得x1=8，x2=-2（舍去），
∴小明这次投掷的成绩是8米
4．某幢建筑物，从10米高的窗户A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状（如图），若抛物线最高点M离墙1米，离地面 米，求水流落地点B离墙的距离．
M
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线形问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确地转化为点的坐标；
选择简便的运算方法．
实际问题
数学模型
转化的关键

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