资源简介

(共39张PPT)
25.2.1 配方法
第1课时 直接开平方法
1．会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程．
2．运用开平方法解形如x2＝p或(x＋n)2＝p(p≥0)的方程（重点、难点）．
你会解哪些方程？你是如何解的？
二元、三元一次方程组
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
思考：如何解一元二次方程？又有怎样的思想方法呢？
一般步骤
1．去分母
2．去括号
3．移项
4．合并同类项
5．系数化为1
代入消元法
加减消元法
问题 一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程
解：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，列出方程
整理，得
x2＝25．
根据平方根的意义，得
即x1＝5，x2＝－5．
因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm．
x＝±5．
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义．
10×6x2＝1 500．
（2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1＝x2＝0；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根．
一般地，对于方程x2＝p，（Ⅰ）
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不相等的实数根
根据平方根的意义，直接用开平方的方法求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法．
直接开平方法解形如(x＋n)2＝p(p≥0)的方程
探究：对照上面的方法，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？
由方程x2＝25，得x＝±5．由此想到：
由方程(x＋3)2＝5，①
得
即 或
②
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为
解法中，由方程①得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程①转化为我们会解的方程了．
直接开平方法解一元二次方程的“三步法”
开方
求解
变形
将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常数的形式；
利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程；
解一元一次方程，得出方程的根．
例 (教材p6例1)解下列方程：
（2）(x＋2)2－9＝0．
（1）4x2－3=0；
解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得x2＝，
由此可得x＝±．
即 x1＝，x2＝－．
解：（2）移项，得(x＋2)2＝9.
即 x1＝1，x2＝－5．
由此可得x＋2＝±3.
∴x＋2＝3或x＋2＝－3.
例 (教材p6例1)解下列方程：
（2）(x＋2)2－9＝0．
（1）4x2－3=0；
方法总结：
用直接开平方法解一元二次方程时，要把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是一个常数p的形式.只有当p为非负数时，方程才有解.当p>0时，要注意开平方的结果取“正、负”两种情况.
针对训练 解方程：x2+4x+4=1.
解：（1）由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=－1
所以x1＝－1，x2＝－3．
1．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　　）
A．x－6＝－4　　　　　　　　　　　　B．x－6＝4
C．x＋6＝4　　　　　　　　　　　　　D．x＋6＝－4
D
C．4(x－1)2＝9，解方程，得4(x－1)＝±3，x1＝ ，x2＝
D．(2x＋3)2＝25，解方程，得2x＋3＝±5，x1＝1，x2＝－4
2．下列解方程的过程中，正确的是（　　）
A．x2＝－2，解方程，得x＝±
B．(x－2)2＝4，解方程，得x－2＝2，x＝4
D
（1）方程x2＝0.25的根是___________________．
（2）方程2x2＝18的根是________________．
（3）方程(2x－1)2＝9的根是_______________．
x1＝0.5，x2＝－0.5
x1＝3，x2＝－3
x1＝2，x2＝－1
3．填空：
4．解下列方程：
（1）x2－81＝0；　　　（2）2x2＝50；　　　（3）(x＋1)2＝4．
解：（1）x1＝9，x2＝－9．
（2）x1＝5，x2＝－5．
（3）x1＝1，x2＝－3．
直接开平方法
概念
步骤
基本思路
利用平方根的定义求方程的根的方法
关键要把方程化成x2＝p(p≥0)或
(x＋n)2＝p(p≥0)的形式
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
直接开平方法
第2课时 配方法
1．理解配方法的概念．
2．能够用配方法解一元二次方程及解决有关问题（重点）．
3．探索直接开平方法和配方法之间的区别与联系．
（1）9x2＝1；
（2）(x－2)2＝2．
1．用直接开平方法解下列方程：
2．你还记得完全平方公式吗？填一填：
（1）a2＋2ab＋b2＝( )2；
（2）a2－2ab＋b2＝( )2．
a＋b
a－b
解：（1）
（2）
下列方程能用直接开平方法来解吗
（1）x2＋6x＋9＝5；
（2）x2＋4x＋1＝0．
？
解：方程变形为(x＋3)2＝5，
试一试，解方程：x2＋6x＋9＝5．
开平方，得
解得
将方程左边因式分解，得到完全平方式
用直接开平方法解方程
任何一元二次方程都可以通过配方法求解．那如何配方呢？
填上适当的数或式，使下列各等式成立．
（1）x2＋4x＋ ＝(x＋ )2；
（2）x2－6x＋ ＝(x－ )2；
（3）x2＋8x＋ ＝(x＋ )2；
（4）
x2－ x＋ ＝(x－ )2．
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
对于二次项系数为1的二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式．
填一填：
x2＋px＋( )2＝(x＋ )2．
把握二次项系数为1的完全平方式的特点：
常数项等于一次项系数一半的平方．
配方的关键
想一想 怎样解方程x2＋4x＋1＝0 (I)
问题1 能不能将方程(I)变成(x＋n)2＝p的形式呢？
解：
x2＋4x＋1＝0
x2＋4x＝－1
移项
x2＋4x＋4＝－1＋4
两边都加上4
为什么在方程x2＋4x＝－1的两边加上4？加其他的数，行吗？
(x＋2)2＝3
左边写成完全平方的形式
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一般步骤 方法
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边
二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数
三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方
解：（1）移项，得x2－8x＝－1．　　　　　　
例1 （教材P7例2）解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，
即(x－4)2＝15．
由此可得x－4＝±
＝4＋，＝4－．
解：（2）移项，得2x2－3x＝－1．
二次项系数化为1，得 ．
由此可得
解得
配方，得
即 ．
写成 ，不要写成 ，避免配方出错．
例1 （教材P7例2）解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
解：（3）移项，得3x2－6x＝－4．　　
二次项系数化为1，得x2－2x＝－　　　
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，即(x－1)2＝－．
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式不成立，即原方程无实数根．　　　　
注意：在(x＋n)2＝p中，只有当p≥0时，才能直接开平方，p＜0时，直接下结论：方程无实数根．
例1 （教材P7例2）解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0；　　（2）2x2＋1＝3x；　　（3）3x2－6x＋4＝0．
方法总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为(x+n) =p的形式，那么就有（1）p＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）p=0时，方程有两个相等的实数根；（3）p＜0时，方程无实数根.
针对训练 解方程： (1)x2－x－＝0；(2)3x2＋6x－4＝0．
解：(1)移项，得x2－x＝
配方，得x2－x＋＝＋，即＝2.
∴x－＝± ∴x1＝＋，x2＝.
针对训练 解方程： (1)x2－x－＝0；(2)3x2＋6x－4＝0．
解：(2)移项，得3x2＋6x＝4.
配方，得x2＋2x＋1＝＋1，
即(x＋1)2＝.∴x＋1＝±，
系数化为1，得x2＋2x＝.
x1＝－1＋，x2＝－1－.
例2 用配方法求最值．
（1）2x2－4x＋5的最小值；　（2）－3x2＋6x－7的最大值．
解：（1）原式＝2(x－1)2＋3．
当x＝1时，有最小值3．
（2）原式＝－3(x－1)2－4．
当x＝1时，有最大值－4．
ax2＋bx＋c(a，b，c均为常数)型代数式求最值或证明恒为正（负）等问题时，都要想到运用配方法，将含字母部分配成a(x＋m)2＋n的形式来解决．
1．方程x2－4＝0的解是（　　）
A．x＝2　　　　B．x＝－2　　　　C．x＝±2　　　　D．x＝±4
2．方程2x2－3m－x＋m2＋2＝0有一根为x＝0，则m的值为（　　）
A．1　　　　 B．1 C．1或2 D．1或－2
C
C
3．解方程：(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8．
解：方程化简，得x2＋2x＋5＝8．
移项，得x2＋2x＝3．
配方，得x2＋2x＋1＝3＋1，
即(x＋1)2＝4．
开平方，得x＋1＝±2．
解得x1＝1，x2＝－3．
解：配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，
即(x－2)2＝5．
开平方，得x－2＝±．
解得x1＝2＋，x2＝2－．
4．用配方法解x2－4x＝1．
5．解方程：3x2＋8x－3＝0．
解：两边同除以3，移项得x2＋x＝1．
配方，得x2＋x＋()2＝()2＋1，即(x＋)2＝．
开方，得x＋＝±，
即x＋＝或x＋＝－．
所以x1＝，x2＝－3．
配方法
定义
步骤
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法
一移；二化；三配；四开
应用
求代数式的最值

展开更多......

收起↑