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25.2.2 公式法
第1课时 一元二次方程根的判别式
1．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况（重点）．
2．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．
问题 老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？
我们可以用配方法解一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)．
移项，得
二次项系数化为1，得
配方，得
即
∵a≠0，∴4a2＞0． 式子b2－4ac的值有以下三种情况:
（1）
（2）
（3）
判别式的情况 一元二次方程根的情况
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
Δ≥0
一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac．
ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)
一元二次方程
Δ的值
根的情况
按要求填表：
0
4
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3．判断根的情况，得出结论．
1．化为一般式，确定a，b，c的值．
根的判别式的使用方法
2．计算Δ的值，确定Δ的符号．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
解：（1）这里a＝2，b＝1，c＝－4，
∵Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－4)＝33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
这里a＝4，b＝－12，c＝9．
∵Δ＝b2－4ac＝(－12)2－4×4×9＝0，
∴原方程有两个相等的实数根．
解：（2）把原方程化为一般形式，得
4y2－12y＋9＝0．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
解：（3）把原方程化为一般形式，得
5t2－6t＋5＝0．
这里a＝5，b＝－6，c＝5．
∵Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×5×5＝－64＜0，
∴原方程没有实数根．
例1 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）2x2＋x－4＝0； （2）4y2＋9＝12y； （3）5(t2＋1)－6t＝0．
方法总结
给出一个一元二次方程，不解方程，可由b2－4ac的值的符号来判断方程根的情况．当b2－4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
解:（1）∵关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－3)2－4k＞0，即9－4k＞0，
解不等式，得k＜．
∵kx2－3x＋1＝0是一元二次方程，∴k≠0，
故k的取值范围是k＜且k≠0．
例2 已知关于x的一元二次方程kx2－3x＋1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．
解：（2）取不等式k＜的一个正整数解k＝2，
则方程为2x2－3x＋1＝0．
应用配方法解这个方程，得x1＝1，x2＝．
方法总结
应用判别式求字母的取值范围的思路
利用根的判别式求待定字母的取值范围时，首先要根据方程的根的情况判断b —4ac与0的大小关系，然后利用题目中的条件列出关于所求字母的不等式(组),最后求解.
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．
解:（1）当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝0，即(－12)2－4k＝0，
解得k＝36．
此时方程为x2－12x＋36＝0，
解得x1＝x2＝6．
长为3，6，6的线段能构成等腰三角形．
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2－12x＋k＝0的两根，求k的值．
（2）当3为等腰三角形的腰长时，x＝3是方程的根．
把x＝3代入方程，得9－36＋k＝0，∴k＝27，
∴方程为x2－12x＋27＝0，解得x1＝3，x2＝9．
∵3＋3＜9，
∴长为3，3，9的线段不能构成三角形，
∴k＝27不符合要求．
综上，k的值为36．
1．一元二次方程x2－5x＋7＝0的根的情况是（　　）
A
A．没有实数根 　　　　　　 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 　　　　 D．有两个实数根
解析：∵Δ＝(－5)2－4×1×7＝－3＜0，
∴此方程没有实数根．
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋5＝a有实数根，则a的取值范围是（　　）
D
A．a＜1　　　　　B．a＞1　　　　　C．a≤1　　　　　D．a≥1
Δ≥0
解析：整理方程，得x2－4x＋5－a＝0，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴Δ＝16－4×1×(5－a)≥0，
解得a≥1，
∴a的取值范围为a≥1．
3．关于x的方程m2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ．
且
解析：∵a＝m2，b＝2m＋1，c＝1，方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋1)2－4m2＝1＋4m＞0，∴m＞．
又二次项系数不为0，
∴m≠0，即m＞且m≠0．
4．若关于x的方程kx2－4x＋2＝0有实数根，则k的取值范围为_________．
k≤2
解析：分两种情况讨论．
（1）若方程为一元一次方程，则k＝0，
方程化为－4x＋2＝0，解得
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
即(－4)2－4×k×2≥0且k≠0，
解得k≤2且k≠0，
综上所述，k的取值范围为k≤2．
根的判别式Δ＝b2－4ac
与根的关系
应用
Δ＞0 方程有两个不相等的实数根
Δ＝0 方程有两个相等的实数根
Δ＜0 方程没有实数根
不解方程确定方程根的情况
由根的情况确定字母的值或范围
第2课时 用公式法解一元二次方程
2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程（重点、难点）．
1．了解一元二次方程求根公式的推导过程．
请用配方法解下列方程：
方程（1）用配方法比较简单，方程（2）用配方法比较复杂，对于方程（2）有没有更好的方法呢？
（1）x2－4x＋3＝0； （2）3x2－＝4．
解：（1）x2－4x＋3＝0，
x2－4x＝－3，
x2－4x＋22＝－3＋22，
(x－2)2＝1，
x－2＝±1，
x1＝3，x2＝1．
（2）3x2－＝4，
x2－x＝，
x2－x＋＝，
＝，x－＝±，
∴x1＝，x2＝
用配方法解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
，
，
x2＋
，
当b2－4ac≥0时，
，
，
，
．
求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为
的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．
例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0．
（3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x．
解：（1）这里a＝1，b＝－4，c＝－7．
∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0，
∴x＝＝＝2±．
即x1＝2＋，x2＝2－．
∴方程有两个不等的实数根，
解：（2）由题意得a＝2，b＝－2，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝81＝0，
∴x1＝x2＝－＝＝．
例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0．
（3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x．
∴方程有两个相等的实数根，
此时a＝5，b＝－4，c＝－1．
∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0，
∴x＝＝＝．
即x1＝1，x2＝－．
例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0．
（3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x．
解：（3）方程化为5x2－4x－1＝0．
∴方程有两个不相等的实数根，
此时a＝1，b＝－8，c＝17．
∴Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0，
∴方程无实数根．
例1 （教材P11例3）用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0；　　　　　 （2）2x2－2x＋1＝0．
（3）5x2－3x＝x＋1；　　　　 （4）x2＋17＝8x．
解：（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
用公式法解一元二次方程的步骤
1．把方程化为一般形式，一般应使a＞0；
2．指出一般式中的a，b，c的值；
3．计算代数式b2－4ac的值，判断其是否非负；
4．当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式求解．
例2 用公式法解方程：x2＋3＝2x．
解：将方程化为一般形式，得
x2－2x＋3＝0．
这里a＝1，b＝－2，c＝3．
∵b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝0，
∴x＝，
即x1＝x2＝．
此时b2－4ac＝0
方程有两个相等的实数根
例3 用公式法解方程，并求根的近似值（精确到0.01）：
(x＋1)(3x－1)＝1．
解：将方程化为一般形式，得3x2＋2x－2＝0．
这里a＝3，b＝2，c＝－2．
∵b2－4ac＝22－4×3×(－2)＝28＞0，
∴x＝＝．
即x1＝≈≈0.55，x2＝≈≈－1.22．
方法总结
用公式法解一元二次方程，首先将方程化成一般形式，确定各项的系数(注意符号)，当b2－4ac≥0时，将各系数代入求根公式求解．注意只有在b2－4ac≥0的情况下才能使用公式法进行求解．
1．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是关于x的方程x2－6x＋8＝0的一个解，则这个三角形的周长为_______．
解析：x2－6x＋8＝0，这里a＝1，b＝－6，c＝8．
∵b2－4ac＝(－6)2－4×1×8＝4＞0，
∴x＝＝，即x1＝4，x2＝2．
∵6－3＜第三边的长＜6＋3，即3＜第三边的长＜9，
∴第三边的长为4．
∴这个三角形周长为3＋6＋4＝13．
13
2．用公式法解方程：(x－2)(1－3x)＝6．
解：化为一般式，得3x2－7x＋8＝0，
这里a＝3，b＝－7，c＝8．
∵b2－4ac＝(－7)2－4×3×8＝49－96＝－47＜0，
∴原方程没有实数根．
3．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
解：（1）∵a＝1，b＝－3，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17＞0．
∴x＝＝．
∴．
解：（2）方程化为x2＋4x＋1＝0．
∵a＝1，b＝4，c＝1，
∴b2－4ac＝42－4×1×1＝12＞0，
∴x＝＝．
∴x1＝，x2＝．
3．用公式法解下列一元二次方程．
（1）x2－3x－2＝0；
（2）－x2－2x＝2x＋1．
4．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的一个根为0，求m的值．
解：把x＝0代入原方程，得m2－3m＋2＝0．
这里a＝1，b＝－3，c＝2，
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×2＝1＞0，
∴m＝＝，即m1＝2，m2＝1．
又原方程为关于x的一元二次方程，
∴m－1≠0，即m≠1，∴m＝2．
5．无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出你的答案并说明理由．
解：方程化简为x2－5x＋6－p2＝0，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝4p2＋1≥1，
∴Δ＞0，
∴无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．
公式法
求根公式
步骤
一化（一般形式）；
二定（系数值）；
三求（Δ值）；
四代（求根公式计算）

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