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专题19.1 平方根与立方根 提优讲义
(考点精讲+创新压轴+课后巩固)2026-2027年沪教版数学八年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 算术平方根、平方根、立方根的概念，能正确区分平方根与算术平方根。
掌握 平方根与立方根的性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。
熟练运用 平方根和立方根的运算规律（小数点的移动规律），进行近似计算。
能够 解决与平方根、立方根相关的方程问题，会利用算术平方根的非负性求参数值。
体会 数形结合、转化思想、方程思想在根式计算中的应用。
核心：概念辨析 · 性质应用 · 规律迁移 · 方程求解。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 算术平方根
定义： 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”。规定：0的算术平方根是0。
性质： 算术平方根具有非负性，即 （）。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
形如 。
☆ 平方根
定义： 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。即若 ，则 是 的平方根。记作 。
性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
与算术平方根的关系： 正数 的正的平方根就是它的算术平方根。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的平方根的小数点相应地向左或向右移动一位（注意正负）。
☆ 立方根
定义： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。即若 ，则 是 的立方根。记作 。
性质： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。任意实数都有唯一的立方根。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
重要结论： 。
知识总结表
类别 定义 性质 运算规律
算术平方根 非负数 的非负平方根 ， 小数点移动两位，结果移动一位
平方根 平方等于 的数 正数有两个互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根 小数点移动两位，结果移动一位（正负）
立方根 立方等于 的数 实数都有唯一的立方根，符号相同 小数点移动三位，结果移动一位
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】算术平方根（对应第1-9题）
※ 方法总结
算术平方根是非负数，一个正数的算术平方根只有一个。
已知一个数的算术平方根，原数等于它的平方。
算术平方根的小数点移动规律：被开方数小数点每移动两位，结果移动一位。
形如 的方程：先由算术平方根非负得 的范围，再两边平方求解，注意验根。
非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，常用于求参数。
有理数+无理数相等：有理数部分相等，无理数部分系数相等。
正方形面积与边长关系：面积=边长^2，边长=√面积。
1．（2025秋 闵行区校级同步）若一个正数的算术平方根是x，则比这个数小5的数的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：由题意知，比这个数小5的数为x2﹣5，
所以其算术平方根为，
故选：B．
【点评】本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2．（2025秋 闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　）
A．任何数都有算术平方根
B．16的算术平方根是4
C．的算术平方根是4﹣π
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0
【分析】判断各选项关于算术平方根的说法是否正确，需依据算术平方根的定义（非负数的非负平方根）逐一分析．
【解答】解：对于A，负数没有算术平方根，故A错误；
对于B，4，16的算术平方根是4，故B正确；
对于C，（因为π≈3.14＜4）．再求4﹣π的算术平方根，即，而不是4﹣π本身，因此该说法错误；
对于D，设这个数为x，若其算术平方根等于它本身，则，解方程得x＝0或x＝1（因为，），所以“这个数是0”说法错误．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟练运用算术平方根的定义解答．
3．（2025秋 虹口区月考）已知，则（　　）
A．0.2493 B．0.02493 C．0.7882 D．0.07882
【分析】先根据二次根式的性质化简可得，再代入计算即可得．
【解答】解：由条件可知：
，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的化简方法是解题关键．
4．（2025秋 闵行区校级期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形ABCD，它的面积是50．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据大正方形面积求出边长，再结合AE的长度求出长方形的宽，进而得到小正方形的边长，最后计算其周长．
【解答】解：∵四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，大正方形ABCD的面积是50，
∴大正方形的边长，
∵，
∴长方形的宽为，
∴小正方形的边长为，
∴小正方形的周长为，
故答案为：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义和正方形周长公式是解题的关键．
5．（2025秋 闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　54.77　 ．
【分析】先将原式变形为，进而得出答案．
【解答】解：1010×5.477＝54.77．
故答案为：54.77．
【点评】本题主要考查算术平均数，熟练掌握其知识点是解题的关键．
6．（2026春 闵行区校级月考）已知，则x＝　10　 ．
【分析】先根据算术平方根的性质确定x的取值范围，再将方程两边平方化为一元二次方程求解，最后验根舍去增根，得到符合条件的x的值．
【解答】解：∵，
∴，
解得x≥7，
方程两边同时平方，得x﹣1＝（x﹣7）2，
x2﹣15x+50＝0，
（x﹣5）（x﹣10）＝0，
x﹣5＝0或x﹣10＝0，
解得x1＝5，x2＝10，
检验：当x＝5时，不满足x≥7，且左边，右边5﹣7＝﹣2，x＝5是增根，舍去；
当x＝10时，左边，右边10﹣7＝3，等式成立，符合条件，
∴x＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是算术平方根，熟知算术平方根a本身是非负数是解题的关键．
7．（2025秋 宝山区校级期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　　 ．
【分析】先根据与互为相反数，求出x＝3，y＝﹣2，进而得到x2+y＝32+（﹣2）＝7，即可求出x2+y的算术平方根是．
【解答】解：根据题意可知，，
∴2x﹣6＝0，2+y＝0，
解得：x＝3，y＝﹣2，
∴x2+y＝32+（﹣2）＝9﹣2＝7，
∴x2+y的算术平方根是．
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根，相反数，掌握相应的定义是关键．
8．（2025秋 浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3，求x﹣y的算术平方根．
【分析】将原式变形为3x﹣7yy＝9+3，由x，y是有理数得出3x﹣7y＝9，y＝3，即可求出x的值，再计算x﹣y的值，然后根据算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3，
3x﹣6y﹣yy＝9+3，
3x﹣7yy＝9+3，
∵x，y是有理数，
∴3x﹣7y＝9，y＝3，
∴x＝10，
∴x﹣y＝10﹣3＝7，
∵7的算术平方根是，
∴x﹣y的算术平方根是．
【点评】本题考查了算术平方根，正确求出x、y的值是解题的关键．
9．（2025秋 闵行区校级同步）求下列各数的算术平方根：
（1）0.16；
（2）；
（3）52．
【分析】（1）因为0.42＝0.16，所以；
（2）因为，所以；
（2）因为52＝25，所以．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟练运用算术平方根的概念．
【考点2】平方根（对应第10-20题）
※ 方法总结
正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
已知一个数的两个平方根（可能相等），可列方程求解：两平方根的和为0（若互为相反数），或相等。
平方根的小数点移动规律同算术平方根。
，注意化简后取绝对值。
利用平方根定义求方程的解，如 化为 ，再开平方。
一个正数的两个平方根之和为0，常用于求参数。
10．（2025秋 徐汇区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A． B．2的算术平方根是4
C．1的平方根是±1 D．0没有平方根
【分析】依据平方根和算术平方根的性质求解即可．
【解答】解：A． ，原说法错误，不符合题意；
B．2的算术平方根是，原说法错误，不符合题意；
C．1的平方根是±1，说法正确，符合题意；
D．0的平方根是0，原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查的是算术平方根和平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
11．（2025秋 闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　）
A．121 B．100 C．3 D．9
【分析】根据平方根的定义进行计算即可．
【解答】解：∵一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，
∴3a+2﹣7a+10＝0，
解得a＝3，
当a＝3时，3a+2＝11，﹣7a+10＝﹣11，
∴这个数为（±11）2＝121，
故选：A．
【点评】本题考查平方根，连接平方根的定义是正确解答的关键．
12．（2025春 青秀区校级月考）16的平方根是（　　）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
【分析】依据平方根的定义解答即可．
【解答】解：∵（±4）2＝16，
∴16的平方根是±4．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
13．（2025秋 松江区校级月考）若2k﹣4与3k﹣1是同一个数的平方根，则k的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0．所以分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数．
【解答】解：分两种情况讨论：一是两个平方根相等；二是两个平方根互为相反数：
情况一：2k﹣4＝3k﹣1，
2k﹣3k＝﹣1+4，
﹣k＝3，
k＝﹣3，
情况二：2k﹣4+3k﹣1＝0，
5k﹣5＝0，
5k＝5，
k＝1，
综上，k的值为﹣3或1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的性质，分两种情况（两个平方根相等或互为相反数）讨论是解题的关键．
14．（2026春 江岸区期中）已知3.142＝9.8596，若x2＝0.098596，则x的值为（　　）
A．31.4 B．0.314 C．±31.4 D．±0.314
【分析】根据结果小数点的移动规律得出底数小数点的移动规律即可．
【解答】解：∵3.142＝9.8596，x2＝0.098596，
∴x＝±0.314，
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握小数点的移动规律是解题的关键．
15．（2026 秦淮区校级模拟）10﹣4的平方根是（　　）
A．0.001 B．0.01 C．±0.001 D．±0.01
【分析】根据平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：±±10﹣2＝±0.01．
故选：D．
【点评】本题考查平方根，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（2026春 浦东新区校级期中）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　﹣7　 ．
【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出x的值，进而求出a的值，再代入代数式计算即可求解．
【解答】解：根据题意，正数a的平方根为2x﹣1和2﹣x．
由于一个正数的两个平方根互为相反数，
因此有：（2x﹣1）+（2﹣x）＝0，
解得：x＝﹣1，
将x＝﹣1代入2x﹣1，
得：2x﹣1＝2（﹣1）﹣1＝﹣3，
∴a的平方根为﹣3和3，即a＝9．
∴2﹣a＝2﹣9＝﹣7．
【点评】题目考查了平方根，解题的关键在于相关知识的灵活运用．
17．（2025秋 徐汇区校级月考）的平方根是　　 ．
【分析】先明确平方根的概念，再根据概念进行计算即可．
【解答】解：，
0.4的平方根，
故答案为：．
【点评】本题考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．
18．（2025秋 宝山区校级月考）求下列各数的平方根：
（1）6400；
（2）0.000016；
（3）a4．
【分析】（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）根据平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）根据题意可知，；
（2）根据题意可知，；
（3）根据题意可知，．
【点评】本题考查了平方根，立方根，掌握平方根，立方根的定义是关键．
19．（2025秋 鼓楼区校级期末）已知数A＝6﹣2x有平方根．
（1）求x的取值范围；
（2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值．
【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解；
（2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求A．
【解答】解：（1）根据题意可知，6﹣2x≥0，
解得：x≤3；
（2）根据题意可知，（a+1）+（2a﹣7）＝0，
a+1+2a﹣7＝0，
解得：a＝2，
将a＝2代入a+1，得其中一个平方根为2+1＝3，
因为A是这个平方根的平方，所以A＝32＝9．
【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的非负性以及一个正数的两个平方根互为相反数是关键．
20．（2025秋 洛宁县期末）已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15．
（1）求这个正数；
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据平方根定义得出a+3+2a﹣15＝0，求出a，求出a+3，即可求出答案；
（2）求出的值，根据平方根定义求出即可．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15，
∴a+3+2a﹣15＝0，
∴a＝4，
a+3＝7，
这个正数为72＝49；
（2）a+12＝4+12＝16，
∵4，
∴的平方根是±2
【点评】本题考查了平方根的定义，能熟记平方根定义是解此题的关键，注意：a（a≥0）的平方根是．
【考点3】立方根（对应第21-33题）
※ 方法总结
任意实数都有立方根，且立方根与原数符号相同。
立方根的小数点移动规律：被开方数小数点每移动三位，结果移动一位。
若 ，则 。
利用立方根定义解方程：如 ，直接开立方。
非负性结合：若 ，则 ；类似地，绝对值与平方根结合也可求参数。
新定义问题（如“最美实数”）：先根据定义列出方程（算术平方根等于立方根），再求解。
21．（2025秋 松江区期末）下列说法正确的是（　　）
A．只有正数才有平方根
B．27的立方根是±3
C．是17的一个平方根
D．的算术平方根是4
【分析】根据立方根，平方根，算术平方根的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、只有正数和0才有平方根，故A不符合题意；
B、27的立方根是3，故B不符合题意；
C、是17的一个平方根，故C符合题意；
D、的算术平方根是2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22．（2025秋 浦东新区校级期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为72cm3，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的棱长为（　　）
A．2cm B． C．3cm D．
【分析】利用立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：∵二阶魔方的体积为72cm3，
∴每个方块的体积为：72÷8＝9（cm3），
∴每个小正方体的棱长为．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键．
23．（2025秋 上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可．
【解答】解：①非负数有平方根，原说法“任何数都有平方根”错误；
②8，2是的立方根，原说法错误；
③，原说法错误；
④（﹣4）3的立方根是﹣4，原说法错误；
⑤算术平方根不可能是负数，正确；
所以不正确的有4个．
故选：C．
【点评】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键．
24．（2025秋 黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　）
甲：x的值是1；
乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值．
A．甲说的对，x的值就是1
B．乙说的对，x的另一个值是2
C．乙说的对，x的另一个值是﹣1
D．两人都不对，x应有3个不同值
【分析】根据立方根的性质进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣1＝±1或x﹣1＝0，
当x﹣1＝1时，x＝2；
当x﹣1＝﹣1时，x＝0；
当x﹣1＝0时，x＝1；
即x有3个不同的值，故两人说法都不对．
故选：D．
【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的性质是解题的关键．
25．（2025秋 闵行区校级期中）已知，那么（　　）
A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b
【分析】根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可．
【解答】解：∵2025÷1000＝2.025，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键．
26．（2025秋 浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
【分析】根据“最美实数”的定义，可知或，求出a的值即可．
【解答】解：根据“最美实数”的定义若是“最美实数”，则有或，
若，解得，
若，解得，
综上，a的值为或，
故选：D．
【点评】本题考查算术平方根及立方根，理解“最美实数”是关键．
27．（2026春 南岗区校级期中）已知，则x2+x的值为　0或2或6　 ．
【分析】根据立方根的定义求出x的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵x﹣1，即一个数的立方根等于它本身，
∴x﹣1＝1或x﹣1＝0或x﹣1＝﹣1，
解得x＝2或x＝1或x＝0，
当x＝2时，x2+x＝4+2＝6，
当x＝1时，x2+x＝1+1＝2，
当x＝0时，x2+x＝0，
综上所述，x2+x＝6或x2+x＝2或x2+x＝0，
故答案为：0或2或6．
【点评】本题考查立方根，理解立方根的定义是正确解答的关键．
28．（2026春 浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　2　 ．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出x，y的值，进而求出xy的立方根即可．
【解答】解：根据题意，得，
∵，，
∴1﹣2x＝0，y﹣16＝0，
，解得，
∴xy8，
∵8的立方根是2，
∴xy的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了相反数，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，正确计算是解题的关键．
29．（2025秋 虹口区期中）观察表格规律．
a 0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
利用规律解答，若1.333，2.872，则　0.2872　 ．
【分析】根据立方根的小数点的移动规律解答即可．
【解答】解：∵2.872，
∴0.2872．
故答案为：0.2872．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键．
30．（2025秋 浦东新区校级期中）已知，则的值是　10.1a ．（结果用含字母a的代数式表示）
【分析】先将要求的式子变形为，再根据立方根的性质计算即可．
【解答】解：∵，
∴0.1a+10a＝10.1a，
故答案为：10.1a．
【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键．
31．（2026春 浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，绝对值以及立方根的定义进行计算即可；
（2）根据a＜c＜b，确定a、b、c的值，再求出5a+2b﹣c的值，由立方根的定义进行计算即可．
【解答】解：（1）∵|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2，
∴a＝±4，b3，3c﹣2＝﹣8，
即a＝±4，b＝3，c＝﹣2；
（2）∵a＜c＜b，
∴a＝﹣4，b＝3，c＝﹣2，
∴5a+2b﹣c＝﹣20+6﹣（﹣2）＝﹣20+6+2＝﹣12，
∴5a+2b﹣c的立方根为．
【点评】本题考查算术平方根、立方根以及绝对值，掌握算术平方根、立方根以及绝对值的定义是正确解答的关键．
32．（2025秋 浦东新区校级月考）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若a＞b＞c，求5a+b﹣c的平方根．
【分析】（1）根据绝对值，算术平方根，立方根的意义可得a＝±4，b＝3，3c﹣2＝﹣8，然后进行计算即可解答；
（2）利用（1）的结论和已知易得a＝4，b＝3，c＝﹣2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）因为|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2，
所以 a＝±4，b＝3，3c﹣2＝﹣8，
解得：a＝±4，b＝3，c＝﹣2；
（2）因为a＞b＞c，a＝±4，b＝3，c＝﹣2，
所以a＝4，b＝3，c＝﹣2，
所以5a+b﹣c＝5×4+3﹣（﹣2）＝25，
因为25的平方根是±5，
所以5a+b﹣c 的平方根是±5．
【点评】本题考查了立方根，平方根，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
33．（2025秋 闵行区校级同步）已知a+1的算术平方根是2，﹣27的立方根是b﹣5，c﹣3的平方根是±1．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+b+c的平方根和立方根．
【分析】（1）根据算术平方根、平方根及立方根的定义得出关于a，b，c的等式，据此进行计算即可；
（2）结合（1）中的结果进行计算即可．
【解答】解：（1）由题知，
因为 a+1 的算术平方根是2，
则 a+1＝22＝4，
解得 a＝3．
因为﹣27的立方根是b﹣5，
则b﹣5，
解得b＝2．
因为c﹣3的平方根是±1，
所以c﹣3＝（±1）2＝1，
解得c＝4．
所以a，b，c的值分别为3，2，4；
（2）由（1）知，
a+b+c＝3+2+4＝9．
所以a+b+c的平方根是，立方根为．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根及立方根，熟知平方根及立方根的定义是解题的关键．
【考点4】创新及压轴题（对应第34-36题）
※ 方法总结
求一个数的立方根（估算）：先确定位数，再根据末位数字确定个位，根据范围确定十位。
面积拼接问题：由小正方形拼成大正方形，面积为各小正方形面积之和，边长为面积算术平方根。
几何实际应用：根据面积、边长关系列不等式（组）或方程，结合算术平方根求解。
利用算术平方根的非负性解决最值或存在性问题。
34．（2025秋 黄浦区校级月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？
（1）【发现与思考】因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是两位数．因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是　9　 ．因为303＝27000，403＝64000，所以的十位数字是　3　 ，所以　39　 ．
（2）【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出185193的立方根．
【分析】（1）根据推导过程即可完成填空；
（2）结合（1）中的推导过程即可求解．
【解答】解：（1）∵59319的个位数字是9，
∴的个位数字是9，
∵303＝27000，403＝64000，
∴的十位数字是3，
∴．
故答案为：9；3；39；
（2）∵103＝1000，1003＝1000000，
又∵1000＜185193＜1000000，
∴是两位数，
∵185193的个位数字是3，
∴的个位数字是7，
∵503＝125000，603＝216000，
∴的十位数字是5，
∴．
【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键．
35．（2025秋 闵行区校级期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　5　 dm2，边长为　　 dm．
【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　　 dm．
【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？
【分析】（1）由题意得出大正方形的面积，即可得出答案；
（2）根据（1）的方法画出图形，得出大正方形的面积，即可得出答案；
（3）设长为3xdm，则宽为2xdm，则得出2x×3x＝4.86，解出x，则可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：这个正方形的面积为5dm2的大正方形，边长为；
故答案为：5；．
（2）如图，
∵用10个面积为1dm2的小正方形纸片剪拼成一个面积为10dm2的大正方形，
∴拼成的大正方形A1B1C1D1的边长为；
故答案为：；
（3）欢欢的想法不对，
假设能沿着正方形的方向裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，且它的长宽之比为3：2，设长为3xdm，则宽为2xdm，则有：
2x×3x＝4.86，
解得，x＝±0.9，
∵3x为长方形的长，
∴x＞0，
∴x＝0.9，
则长为3x＝2.7，
∵要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，
∴长方形的长应当为2×0.3+2.7＝3.3（dm），
∵3.32＝10.89＞10，
∴假设错误，不能．
【点评】本题主要考查算术平方根的应用，正确进行计算是解题关键．
36．（2025秋 松江区期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形ABCD），建造一个长方形健身区域（长方形EFGH）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合．
（1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的x的取值范围；
（2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形边长不小于长椅长度和健身区域的面积不小于64平方米列不等式组求解即可；
（2）根据整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍列方程求解即可．
【解答】解：（1），
解得；
（2），
解得，，
∵，
∴，
∴存在符合要求的正方形休息亭，其边长为米．
【点评】本题考查了不等式组的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 求16的算术平方根（答案为4）。
练习2 — 利用算术平方根小数点移动规律：。
练习3 — 先求，再求8的立方根为2。
练习4 — 由，得，则（小数点移动规律）。
练习5 — 已知正数的两个平方根之和为0，列方程求。
练习6 — 已知两个平方根互为相反数，先求，再求，最后求的立方根为3。
复习重点：概念辨析 · 小数点移动规律 · 方程思想 · 非负性。
【练习1】（2025春 思明区校级期中）16的算术平方根是 　4　 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行解题即可．
【解答】解：4．
故答案为：4
【点评】本题考查算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
【练习2】（2026春 越秀区校级期中）已知，则　1.01　 ．
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【解答】解：∵，
∴1.01；
故答案为：1.01．
【点评】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
【练习3】（2025秋 黄浦区校级月考）的立方根是 　2　 ．
【分析】一个数x的立方等于a，那么这个数x即为a的立方根，先求得的值，然后根据立方根的定义即可求得答案．
【解答】解：8，
∵23＝8，
∴的立方根是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根及立方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【练习4】（2025秋 浦东新区校级期末）已知，如果，则x≈　5230000　 ．
【分析】通过比较已知立方根与未知立方根之间的倍数关系，利用立方根的性质进行求解．
【解答】解：已知．
所以x≈1003×5.23＝1000000×5.23＝5230000．
故答案为：5230000．
【点评】本题考查立方根，掌握知识点是解题的关键．
【练习5】（2025秋 金山区校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是x﹣1和3x+5，则x的值为　﹣1　 ．
【分析】根据已知得出方程x﹣1+3x+5＝0即可求出x．
【解答】解：根据题意，得x﹣1+3x+5＝0，
x+3x＝1﹣5，
4x＝﹣4，
x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平方根，能根据题意得出关于x的方程是解此题的关键，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
【练习6】（2026春 越秀区校级期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣10．
（1）求x与a的值；
（2）求a﹣9的立方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数列等式求得x的值，根据平方根的定义求原数即可；
（2）根据立方根的定义求a﹣9的立方根即可．
【解答】解：（1）由题意得（x+5）+（4x﹣10）＝0，
解得x＝1，
x+5＝1+5＝6，
∴a＝62＝36，
即x的值为1，a的值为36；
（2）a﹣9＝36﹣9＝27，
∴a﹣9的立方根为3．
【点评】本题考查了立方根，平方根，熟练掌握相关定义是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 正方形面积与边长关系：面积介于1和5之间，边长介于1和之间，故选。
作业2 — 立方根、平方根、算术平方根的概念辨析（注意符号）。
作业3 — 已知平方根求原数，再求和的算术平方根（注意有两个可能）。
作业4 — 算术平方根、平方根、立方根概念综合判断（注意）。
作业5 — 立方根的性质：125的立方根是5，不是±5。
作业6 — 立方根的小数点移动规律：。
作业7 — 圆面积与半径的关系：面积比9倍，半径比3倍。
作业8 — 的平方根是。
作业9 — 算术平方根的小数点移动：。
作业10 — 立方根移动规律与符号：，则。
作业11 — 由是的平方根得，的算术平方根为3，则。
作业12 — 绝对值与平方根非负性：，由得，，解得，立方根为。
作业13 — 解平方根方程：得；解立方根方程：得。
作业14 — 已知算术平方根和立方根列方程组求，再求平方根。
作业15 — 立方根互为相反数 被开方数互为相反数；平方根是它本身 原数为0。求的平方根。
作业16 — 同一正数的两个平方根之和为0，求及，再根据立方根求，最后求平方根。
作业17 — 算术平方根、立方根小数点移动规律的归纳与运用（填空与计算）。
作业18 — 实际应用：自由落体公式，求时间或高度，并结合动能公式判断是否造成伤害。
复习建议 平方根与立方根是实数运算的基础，务必准确区分平方根与算术平方根，熟练掌握小数点移动规律，理解非负性的应用。新定义问题要抓住定义本质转化方程，压轴题往往结合面积、几何图形，要善于建模。
【作业1】（2025秋 长宁区期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案．
【解答】解：由题意可设正方形ABCD的面积为s，则其范围为1＜s＜5，
那么其边长在1到之间，
则其边长为，
故选：B．
【点评】本题考查算术平方根，结合已知条件求得正方形ABCD的面积的范围是解题的关键．
【作业2】（2025秋 松江区月考）下列判断正确的是（　　）
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7
C．的立方根是 D．的平方根是
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可．
【解答】解：A、﹣64的立方根是﹣4，故此选项符合题意；
B、49的算术平方根是7，故此选项不符合题意；
C、的立方根是，故此选项不符合题意；
D、的平方根是，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
【作业3】（2025秋 浦东新区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，（）2的平方根是b，则的值为（　　）
A． B．5 C．5或 D．或
【分析】先依据平方根的性质求得a、b的值，然后再进行计算即可．
【解答】解：∵﹣4是a的一个平方根，
∴a＝16；
∵（）2的平方根是b，
∴b＝±3．
∴当a＝16，b＝3时，；
当a＝16，b＝﹣3时，．
故选：D．
【点评】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．
【作业4】（2025秋 普陀区月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．8的算术平方根是4
B．的算术平方根是
C．的平方根是
D．64的立方根是±4
【分析】根据定义逐一判断各选项即可．
【解答】解：A、8的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意；
B、的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意；
C、的平方根是，选项说法正确，符合题意；
D、64的立方根是4，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，掌握算术平方根，平方根，立方根的定义是关键．
【作业5】（2025秋 黄浦区校级月考）下列说法中，不正确的是（　　）
A．0.027的立方根是0.3 B．﹣1的立方根是﹣1
C．0的立方根是0 D．125的立方根是±5
【分析】利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解．
【解答】解：A．0.027的立方根是0.3，故选项正确，不符合题意：
B．﹣1的立方根是﹣1，故选项正确，不符合题意：
C．0的立方根是0，故选项正确，不符合题意：
D．∵53＝125，（﹣5）3＝﹣125，
∴125的立方根等于5，故选项错误，符合题意：
故选：D．
【点评】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键；
【作业6】（2025秋 上海校级期中）如果，那么的结果约是（　　）
A．0.2872 B．0.02872 C．0.6188 D．0.06188
【分析】如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可．
【解答】解：如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍，
∵，且，，
∴．
故选：A．
【点评】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大1000倍，则它的立方根扩大10倍，如果把一个数缩小1000倍，则它的立方根缩小10倍，做题的关键是掌握以上规律．
【作业7】（2026春 金山区校级月考）大圆的面积是小圆面积的9倍，则大圆的半径是小圆半径的　3　 倍．
【分析】设小圆半径和大圆半径，结合面积的倍数关系，利用圆面积公式推导即可得到半径的倍数关系．
【解答】解：设小圆的半径为r，大圆的半径为R．
根据圆的面积公式可得，，
由题意得πR2＝9πr2，
得R2＝（3r）2，
得R＝3r，即．
故答案为：3．
【点评】本题考查了算术平方根，理解题意，熟练掌握算术平方根性质是关键．
【作业8】（2025秋 闵行区期末）的平方根是 　　 ．
【分析】根据平方根的定义解决此题．
【解答】解：的平方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解决本题的关键．
【作业9】（2025秋 奉贤区校级期中）已知：11.12≈3.3352，111.2≈10.5452，那么　1.0545　 ．
【分析】根据算术平方根的性质，即可解答．
【解答】解：∵111.2≈10.5452，
∴10.545，
∴1.0545，
故答案为：1.0545．
【点评】本题考查了算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．
【作业10】（2025秋 奉贤区期中）已知，且，则x≈　﹣5.23×106 ．
【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
【解答】解：∵，
∴173.5，
若，
∴x≈﹣5.23×106，
故答案为﹣5.23×106．
【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
【作业11】（2025秋 徐汇区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为　　 ．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义，分别求出a和b的值，再计算a+b的算术平方根即可．
【解答】解：根据平方根和算术平方根的定义可得：a＝16，
∵，且9的算术平方根是b，
∴b＝3，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查平方根与算术平方根，熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键．
【作业12】（2025秋 杨浦区校级月考）已知m、n都是实数，且满足，则（m+n）的立方根是　﹣2　 ．
【分析】因为且，可得8+m＝0，1+n2＝1，求出m，n后代入求值即可．
【解答】解：由条件可知8+m＝0，1+n2＝1，
m＝﹣8，n＝0，
∴．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查算术平方根，绝对值，立方根，掌握相关知识是解决问题的关键．
【作业13】（2026春 惠州期中）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）（x﹣1）3＝﹣125．
【分析】（1）根据平方根的定义解答即可，如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
（2）根据立方根的定义解答即可，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根，记作：．
【解答】解：（1）4x2﹣81＝0，
4x2＝81，
x，
x，
∴；
（2）（x﹣1）3＝﹣125，
x﹣1＝﹣5，
解得x＝﹣4．
【点评】本题考查了平方根以及立方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义并灵活运用．
【作业14】（2025秋 上海校级期中）已知的立方根为3，求的平方根．
【分析】根据平方根和立方根的定义，得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值，再进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：
，
解得，
∴，
∴的平方根为±2．
【点评】本题考查平方根和立方根，正确记忆相关知识点是解题关键．
【作业15】（2025秋 闵行区校级月考）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根．
【分析】根据题意可得y﹣1＝﹣（3﹣2y）和x﹣5＝0，分别求出x、y，将其代入进行计算即可．
【解答】解：∵和互为相反数，
∴y﹣1+（3﹣2y）＝0，
解得y＝2，
∵x﹣5的平方根是它本身，
∴x﹣5＝0，
∴x＝5，
∴x+y＝5+2＝7，
∴x+y的平方根为．
【点评】本题考查了相反数、平方根、解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程．
【作业16】（2025秋 上海校级月考）已知2a+1和a﹣4是同一个正数m的平方根，b﹣4的立方根为﹣2，求5m﹣b的平方根？
【分析】根据平分根的概念得到2a+1+a﹣4＝0，即可求出m的值，根据立方根的概念求出b的值，代入5m﹣b运算即可．
【解答】解：∵2a+1和a﹣4是同一个正数m的平方根，
∴2a+1+a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴2a+1＝3，
∴m＝32＝9，
∵b﹣4的立方根为﹣2，
∴b﹣4＝﹣8，
∴b＝﹣4，
∴5m﹣b＝5×9﹣（﹣4）＝45+4＝49，
∵49的平方根是±7，
∴5m﹣b的平方根为±7．
【点评】本题考查了平分根与立方根，熟悉理解平分根与立方根是解题的关键．
【作业17】（2025秋 闵行区校级月考）观察下表：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
（1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位　 ；
（2）根据你发现的规律填空：已知．
则　0.2284　 ，　﹣228.4　 ；
若，则x≈　0.0005217　 ；
（3）拓展提升：
①已知，则　﹣7.697　 ；
②已知，则　14.42　 ．
【分析】（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题；
（2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；
（3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解．
【解答】解：（1）由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位，
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位；
（2）∵．
∴，；
若，则x≈0.0005217，
故答案为：0.2284，﹣228.4，0.0005217；
（3）①∵知，
∴，
故答案为：﹣7.697；
②∵，
∴，
故答案为：14.42．
【点评】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键．
【作业18】（2025秋 杨浦区校级月考）据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）某物体自45m高空下落，所需时间为　3　 s；
（2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
【分析】（1）把h＝45m代入公式即可；
（2）求出h，代入动能计算公式即可求出．
【解答】解：（1）由题意知h＝45m，
∴t3（s），
故从45m高空抛物到落地时间为3s；
故答案为：3；
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由：
当t＝4s时，4，
∴h＝80m，
这个玩具产生的动能＝10×0.1×80＝80（J）＞65J，
∴这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人．
【点评】本题考查了算术平方根的应用，通过具体情境考查了算术平方根，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键．
第1页（共1页）专题19.1 平方根与立方根 提优讲义
(考点精讲+创新压轴+课后巩固)2026-2027年沪教版数学八年级上册
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 算术平方根、平方根、立方根的概念，能正确区分平方根与算术平方根。
掌握 平方根与立方根的性质，能熟练求非负数的平方根、算术平方根及任意实数的立方根。
熟练运用 平方根和立方根的运算规律（小数点的移动规律），进行近似计算。
能够 解决与平方根、立方根相关的方程问题，会利用算术平方根的非负性求参数值。
体会 数形结合、转化思想、方程思想在根式计算中的应用。
核心：概念辨析 · 性质应用 · 规律迁移 · 方程求解。
知识梳理 · 核心知识点
☆ 算术平方根
定义： 一般地，如果一个正数 的平方等于 ，即 ，那么这个正数 叫做 的算术平方根。 的算术平方根记为 ，读作“根号 ”。规定：0的算术平方根是0。
性质： 算术平方根具有非负性，即 （）。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
形如 。
☆ 平方根
定义： 如果一个数的平方等于 ，那么这个数叫做 的平方根。即若 ，则 是 的平方根。记作 。
性质： 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
与算术平方根的关系： 正数 的正的平方根就是它的算术平方根。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动两位，它的平方根的小数点相应地向左或向右移动一位（注意正负）。
☆ 立方根
定义： 如果一个数的立方等于 ，那么这个数叫做 的立方根。即若 ，则 是 的立方根。记作 。
性质： 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。任意实数都有唯一的立方根。
运算规律： 被开方数的小数点每向左或向右移动三位，它的立方根的小数点就相应地向左或向右移动一位。
重要结论： 。
知识总结表
类别 定义 性质 运算规律
算术平方根 非负数 的非负平方根 ， 小数点移动两位，结果移动一位
平方根 平方等于 的数 正数有两个互为相反数；0的平方根是0；负数无平方根 小数点移动两位，结果移动一位（正负）
立方根 立方等于 的数 实数都有唯一的立方根，符号相同 小数点移动三位，结果移动一位
核心考点 ·4大典型考点精讲
【考点1】算术平方根（对应第1-9题）
※ 方法总结
算术平方根是非负数，一个正数的算术平方根只有一个。
已知一个数的算术平方根，原数等于它的平方。
算术平方根的小数点移动规律：被开方数小数点每移动两位，结果移动一位。
形如 的方程：先由算术平方根非负得 的范围，再两边平方求解，注意验根。
非负性：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，常用于求参数。
有理数+无理数相等：有理数部分相等，无理数部分系数相等。
正方形面积与边长关系：面积=边长^2，边长=√面积。
1．（2025秋 闵行区校级同步）若一个正数的算术平方根是x，则比这个数小5的数的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025秋 闵行区校级同步）下列说法正确的是（　　）
A．任何数都有算术平方根
B．16的算术平方根是4
C．的算术平方根是4﹣π
D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0
3．（2025秋 虹口区月考）已知，则（　　）
A．0.2493 B．0.02493 C．0.7882 D．0.07882
4．（2025秋 闵行区校级期中）把四张一模一样的长方形纸片按如图所示的方式摆放，形成大正方形ABCD，它的面积是50．图中空白部分是一个小正方形．如果，那么这个小正方形的周长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025秋 闵行区期末）已知1.732，5.477，那么　 　 ．
6．（2026春 闵行区校级月考）已知，则x＝　 　 ．
7．（2025秋 宝山区校级期末）如果与互为相反数，那么x2+y的算术平方根是　 　 ．
8．（2025秋 浦东新区校级期中）若x，y是有理数，且满足3（x﹣2y）﹣（1）y＝9+3，求x﹣y的算术平方根．
9．（2025秋 闵行区校级同步）求下列各数的算术平方根：
（1）0.16；
（2）；
（3）52．
【考点2】平方根（对应第10-20题）
※ 方法总结
正数的平方根有两个，互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
已知一个数的两个平方根（可能相等），可列方程求解：两平方根的和为0（若互为相反数），或相等。
平方根的小数点移动规律同算术平方根。
，注意化简后取绝对值。
利用平方根定义求方程的解，如 化为 ，再开平方。
一个正数的两个平方根之和为0，常用于求参数。
10．（2025秋 徐汇区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A． B．2的算术平方根是4
C．1的平方根是±1 D．0没有平方根
11．（2025秋 闵行区月考）一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和﹣7a+10，那么这个数是（　　）
A．121 B．100 C．3 D．9
12．（2025春 青秀区校级月考）16的平方根是（　　）
A．8 B．±8 C．±4 D．4
13．（2025秋 松江区校级月考）若2k﹣4与3k﹣1是同一个数的平方根，则k的值是（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．﹣3或1
14．（2026春 江岸区期中）已知3.142＝9.8596，若x2＝0.098596，则x的值为（　　）
A．31.4 B．0.314 C．±31.4 D．±0.314
15．（2026 秦淮区校级模拟）10﹣4的平方根是（　　）
A．0.001 B．0.01 C．±0.001 D．±0.01
16．（2026春 浦东新区校级期中）一个正数a的平方根是2x﹣1与2﹣x，则2﹣a的值是　 　 ．
17．（2025秋 徐汇区校级月考）的平方根是　 　 ．
18．（2025秋 宝山区校级月考）求下列各数的平方根：
（1）6400；
（2）0.000016；
（3）a4．
19．（2025秋 鼓楼区校级期末）已知数A＝6﹣2x有平方根．
（1）求x的取值范围；
（2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值．
20．（2025秋 洛宁县期末）已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15．
（1）求这个正数；
（2）求的平方根．
【考点3】立方根（对应第21-33题）
※ 方法总结
任意实数都有立方根，且立方根与原数符号相同。
立方根的小数点移动规律：被开方数小数点每移动三位，结果移动一位。
若 ，则 。
利用立方根定义解方程：如 ，直接开立方。
非负性结合：若 ，则 ；类似地，绝对值与平方根结合也可求参数。
新定义问题（如“最美实数”）：先根据定义列出方程（算术平方根等于立方根），再求解。
21．（2025秋 松江区期末）下列说法正确的是（　　）
A．只有正数才有平方根
B．27的立方根是±3
C．是17的一个平方根
D．的算术平方根是4
22．（2025秋 浦东新区校级期中）如图，二阶魔方由8个大小相同的小正方体组成，已知二阶魔方的体积为72cm3，小正方体之间的缝隙忽略不计，那么每个小正方体的棱长为（　　）
A．2cm B． C．3cm D．
23．（2025秋 上海校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
24．（2025秋 黄浦区期中）有这样一道题目：“已知x﹣1，求x的值．”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是（　　）
甲：x的值是1；
乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值．
A．甲说的对，x的值就是1
B．乙说的对，x的另一个值是2
C．乙说的对，x的另一个值是﹣1
D．两人都不对，x应有3个不同值
25．（2025秋 闵行区校级期中）已知，那么（　　）
A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b
26．（2025秋 浦东新区校级期中）规定：若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则称这样的数为“最美实数”．若是“最美实数”，则a的值是（　　）
A． B． C．或 D．或
27．（2026春 南岗区校级期中）已知，则x2+x的值为　 　 ．
28．（2026春 浦东新区校级期中）如果和互为相反数，那么xy的立方根是　 　 ．
29．（2025秋 虹口区期中）观察表格规律．
a 0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
利用规律解答，若1.333，2.872，则　 　 ．
30．（2025秋 浦东新区校级期中）已知，则的值是　 　 ．（结果用含字母a的代数式表示）
31．（2026春 浦东新区校级期中）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若a＜c＜b，求5a+2b﹣c的立方根．
32．（2025秋 浦东新区校级月考）已知|a|＝4，b是9的算术平方根，3c﹣2的立方根是﹣2．
（1）求a，b，c的值；
（2）若a＞b＞c，求5a+b﹣c的平方根．
33．（2025秋 闵行区校级同步）已知a+1的算术平方根是2，﹣27的立方根是b﹣5，c﹣3的平方根是±1．
（1）求a、b、c的值；
（2）求a+b+c的平方根和立方根．
【考点4】创新及压轴题（对应第34-36题）
※ 方法总结
求一个数的立方根（估算）：先确定位数，再根据末位数字确定个位，根据范围确定十位。
面积拼接问题：由小正方形拼成大正方形，面积为各小正方形面积之和，边长为面积算术平方根。
几何实际应用：根据面积、边长关系列不等式（组）或方程，结合算术平方根求解。
利用算术平方根的非负性解决最值或存在性问题。
34．（2025秋 黄浦区校级月考）据说著名数学家华罗庚有次搭乘飞机时，看到邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出，邻座的乘客十分惊奇，忙问计算的奥妙．你知道华罗庚是怎样迅速又准确地计算出来的吗？
（1）【发现与思考】因为103＝1000，1003＝1000000，1000＜59319＜1000000，所以是两位数．因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是　 　 ．因为303＝27000，403＝64000，所以的十位数字是　 　 ，所以　 　 ．
（2）【运用并解决】类比上述的【发现与思考】，推理求出185193的立方根．
35．（2025秋 闵行区校级期中）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为1（dm2）的小正方形纸片剪拼成一个面积为n（dm2）的大正方形．【问题发现】（1）如图①，由五个小正方形组成的图形纸，小明把它剪开，拼成一个正方形，这个正方形的面积为　 　 dm2，边长为　 　 dm．
【知识迁移】（2）如图②，小刚受小明的启发，把由十个小正方形组成的图形纸剪开，并拼成大正方形A1B1C1D1，请仿照上题用虚线在图②中画出拼成的正方形，这个正方形边长为　 　 dm．
【拓展延伸】（3）欢欢为了完成某手工制作，需要在（2）中的正方形A1B1C1D1纸片（已无缝隙粘拼）中，沿着平行于边的方向，裁出一块面积为4.86dm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，且要求长方形的四周至少留出0.3dm的边框，且不能拼接，欢欢认为一定能用这个正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，你认为欢欢的想法对吗？为什么？
36．（2025秋 松江区期中）如图所示，某社区计划利用一块长16米，宽为8米的长方形空地（长方形ABCD），建造一个长方形健身区域（长方形EFGH）和两个边长均为米的正方形休息亭．健身区域的上下两边与空地的边重合，休息亭紧贴健身区域两侧，且其左右两边与空地的边重合．
（1）若要求健身区域的面积不小于64平方米，且两个休息亭内部需各放置一张长3米的长椅（即正方形边长不小于长椅长度）求满足条件的x的取值范围；
（2）在（1）的取值范围内，设计要求：整个大长方形空地面积与两个休息亭面积之和，等于健身区域面积的2倍．判断是否存在符合要求的正方形休息亭，若存在，求出其边长；若不存在，请说明理由．
随堂检测 · 精选练习
练习1 — 求16的算术平方根（答案为4）。
练习2 — 利用算术平方根小数点移动规律：。
练习3 — 先求，再求8的立方根为2。
练习4 — 由，得，则（小数点移动规律）。
练习5 — 已知正数的两个平方根之和为0，列方程求。
练习6 — 已知两个平方根互为相反数，先求，再求，最后求的立方根为3。
复习重点：概念辨析 · 小数点移动规律 · 方程思想 · 非负性。
【练习1】（2025春 思明区校级期中）16的算术平方根是 　 　 ．
【练习2】（2026春 越秀区校级期中）已知，则　 　 ．
【练习3】（2025秋 黄浦区校级月考）的立方根是 　 　 ．
【练习4】（2025秋 浦东新区校级期末）已知，如果，则x≈　 　 ．
【练习5】（2025秋 金山区校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是x﹣1和3x+5，则x的值为　 　 ．
【练习6】（2026春 越秀区校级期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣10．
（1）求x与a的值；
（2）求a﹣9的立方根．
课后巩固 · 针对性练习
作业1 — 正方形面积与边长关系：面积介于1和5之间，边长介于1和之间，故选。
作业2 — 立方根、平方根、算术平方根的概念辨析（注意符号）。
作业3 — 已知平方根求原数，再求和的算术平方根（注意有两个可能）。
作业4 — 算术平方根、平方根、立方根概念综合判断（注意）。
作业5 — 立方根的性质：125的立方根是5，不是±5。
作业6 — 立方根的小数点移动规律：。
作业7 — 圆面积与半径的关系：面积比9倍，半径比3倍。
作业8 — 的平方根是。
作业9 — 算术平方根的小数点移动：。
作业10 — 立方根移动规律与符号：，则。
作业11 — 由是的平方根得，的算术平方根为3，则。
作业12 — 绝对值与平方根非负性：，由得，，解得，立方根为。
作业13 — 解平方根方程：得；解立方根方程：得。
作业14 — 已知算术平方根和立方根列方程组求，再求平方根。
作业15 — 立方根互为相反数 被开方数互为相反数；平方根是它本身 原数为0。求的平方根。
作业16 — 同一正数的两个平方根之和为0，求及，再根据立方根求，最后求平方根。
作业17 — 算术平方根、立方根小数点移动规律的归纳与运用（填空与计算）。
作业18 — 实际应用：自由落体公式，求时间或高度，并结合动能公式判断是否造成伤害。
复习建议 平方根与立方根是实数运算的基础，务必准确区分平方根与算术平方根，熟练掌握小数点移动规律，理解非负性的应用。新定义问题要抓住定义本质转化方程，压轴题往往结合面积、几何图形，要善于建模。
【作业1】（2025秋 长宁区期中）大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则正方形ABCD的边长可能是（　　）
A．1 B． C． D．3
【作业2】（2025秋 松江区月考）下列判断正确的是（　　）
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7
C．的立方根是 D．的平方根是
【作业3】（2025秋 浦东新区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，（）2的平方根是b，则的值为（　　）
A． B．5 C．5或 D．或
【作业4】（2025秋 普陀区月考）下列说法中，正确的是（　　）
A．8的算术平方根是4
B．的算术平方根是
C．的平方根是
D．64的立方根是±4
【作业5】（2025秋 黄浦区校级月考）下列说法中，不正确的是（　　）
A．0.027的立方根是0.3 B．﹣1的立方根是﹣1
C．0的立方根是0 D．125的立方根是±5
【作业6】（2025秋 上海校级期中）如果，那么的结果约是（　　）
A．0.2872 B．0.02872 C．0.6188 D．0.06188
【作业7】（2026春 金山区校级月考）大圆的面积是小圆面积的9倍，则大圆的半径是小圆半径的　 　 倍．
【作业8】（2025秋 闵行区期末）的平方根是 　 　 ．
【作业9】（2025秋 奉贤区校级期中）已知：11.12≈3.3352，111.2≈10.5452，那么　 　 ．
【作业10】（2025秋 奉贤区期中）已知，且，则x≈　 　 ．
【作业11】（2025秋 徐汇区校级月考）若﹣4是a的一个平方根，的算术平方根是b，则的值为　 　 ．
【作业12】（2025秋 杨浦区校级月考）已知m、n都是实数，且满足，则（m+n）的立方根是　 　 ．
【作业13】（2026春 惠州期中）求下列各式中x的值：
（1）4x2﹣81＝0；
（2）（x﹣1）3＝﹣125．
【作业14】（2025秋 上海校级期中）已知的立方根为3，求的平方根．
【作业15】（2025秋 闵行区校级月考）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根．
【作业16】（2025秋 上海校级月考）已知2a+1和a﹣4是同一个正数m的平方根，b﹣4的立方根为﹣2，求5m﹣b的平方根？
【作业17】（2025秋 闵行区校级月考）观察下表：
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
（1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　 　 ；
（2）根据你发现的规律填空：已知．
则　 　 ，　 　 ；
若，则x≈　 　 ；
（3）拓展提升：
①已知，则　 　 ；
②已知，则　 　 ．
【作业18】（2025秋 杨浦区校级月考）据研究，物体自空中下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．
（1）某物体自45m高空下落，所需时间为　 　 s；
（2）已知高空落物动能W（单位J）＝10×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m），某质量为0.1kg的玩具自空中某处掉落地面，用时4s，这个玩具产生的动能会对楼下的行人造成伤害吗？请说明理由．（注：伤害无防护人体只需要65J的动能）
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