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专题19.2 实数 暑假预习讲义(知识精讲+典例+针对练习)
(12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 有理数、无理数的概念，能识别和区分有理数与无理数。
掌握 实数的分类与性质，理解实数与数轴上的点一一对应关系。
熟练运用 绝对值的性质进行化简和求值，掌握实数的大小比较方法。
掌握 实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方），并能进行混合运算。
学会 用科学记数法表示数，理解近似数与有效数字的概念，并能按指定要求取近似数。
体会 数形结合、分类讨论思想在实数中的应用，能运用实数的知识解决综合问题。
核心：有理数→无理数→实数分类 → 数轴表示 → 绝对值 → 运算 → 科学记数法
知识梳理 · 核心知识点
有理数的小数形式
有理数定义：整数和分数的统称。任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。
分类：按性质分正有理数、0、负有理数；按定义分整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
常见有理数：整数、有限小数、无限循环小数、百分数、分数。
无理数
定义：无限不循环小数称为无理数。如π、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。
常见的无理数类型：①开方开不尽的数（如、）；②含π的数；③特定结构的无限不循环小数。
实数与数轴
几何特征：实数与数轴上的点一一对应。数轴上的每一个点都表示一个实数，反之每个实数都能在数轴上找到唯一点。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
实数的有序性：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。
相反数、绝对值、倒数：在数轴上，相反数关于原点对称；绝对值表示点到原点的距离。
实数的性质
实数的分类：按定义分有理数和无理数；按正负分正实数、0、负实数。
绝对值的性质：，。
实数的运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在实数范围内同样适用。
平方根与立方根：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；任何实数都有立方根，且正数的立方根为正，负数的立方根为负。
实数的大小比较
方法：①数轴比较法；②差值比较法（则）；③平方法（同号比较）；④估值法（将无理数近似为小数）。
特别技巧：比较两个负数时，绝对值大的反而小。
近似数与有效数字
近似数：接近准确数但不等于准确数的数。按精确度取近似数用四舍五入法。
有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。
精确度：近似数精确到哪一位（如百分位、千分位等）。
科学记数法
定义：把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。
对于绝对值大于10的数， 为正整数；对于绝对值小于1的数， 为负整数。
实数知识结构表
类别 定义 表示形式 举例
有理数 整数和分数统称 有限小数或无限循环小数 3, -2, 0.5, , 0.3
无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、含π的数等 π, , 0.1010010001…
实数 有理数和无理数统称 数轴上的点 所有有理数和无理数
相反数 只有符号不同的两个数 与 3 与 -3
绝对值 数轴上点到原点的距离 = =5
科学记数法 ， 整数
核心考点 ·12大典型考点精讲
考点一：有理数的小数形式 题1-5
※ 方法总结
识别有理数：整数、有限小数、无限循环小数、分数均为有理数。
注意“π”、“”等开方开不尽的数是无理数。
根据有理数的分类填空，注意“非负整数”包括0和正整数，“负有理数”包括负分数和负整数。
1．（2026 公主岭市二模）下列各数：﹣1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】本题考查有理数的定义．有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数，据此求解即可．
【解答】解：根据题意可知只有是无理数，﹣1，4.112134，0，，3.14都是有理数，共有5个．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的定义．
2．（2025秋 南部县期末）在﹣π，0，﹣2，0.1010010001…，3.14%，中有理数的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【分析】有理数是分数和整数的统称，据此可得答案．
【解答】解：由题意可得：
有理数有，共4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数的识别，正确记忆相关知识点是解题关键．
3．（2025秋 蛟河市期末）下列各数中，不是有理数的是（　　）
A． B．3 C．﹣1 D．
【分析】根据有理数的定义选出正确答案，有理数：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式．
【解答】解：A、．是分数，是有理数；
B．是整数，是有理数；
C．﹣1是整数，是有理数；
D．是无限不循环小数，不是有理数；
故选：D．
【点评】此题考查有理数，解题关键在于掌握定义．
4．（2025秋 中江县月考）下列说法：①﹣2是负分数，②3.6不是正数；③非负有理数不包括零；④正整数、负整数统称为整数；⑤零是最小的有理数．其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据前面有负号的分数是负分数求解，对于②根据正数的定义求解； ③根据非负有理数包括正有理数和零求解； ④根据整数分为正整数、负整数和零求解，对于⑤根据没有最小的有理数求解．
【解答】解：①﹣2是负分数，此项正确，符合题意；
②3.6是正数，此项错误，不符合题意；
③非负有理数包括零，此项错误，不符合题意；
④正整数、负整数和零统称为整数，此项错误，不符合题意；
⑤没有最小的有理数，此项错误，不符合题意．
综上所述，正确的有1个．
故选：A．
【点评】本题考查有理数，正确记忆有理数的概念是解题关键．
5．（2025秋 长春校级期中）将下列各数填在相应的括号里：．
负分数集合：{ 　　 …}；
非负整数集合：{ 　5，0　 …}；
负有理数集合：{ 　　 …}．
【分析】根据负分数、非负整数、负有理数的概念进行解答即可．
【解答】解：负分数集合：；
非负整数集合：{5，0 }；
负有理数集合：．
故答案为：；5，0；．
【点评】本题主要考查了有理数的分类，掌握有理数的概念是解题的关键．
考点二：无理数 题6-11
※ 方法总结
无理数判定：无限不循环小数，如开方开不尽的根式、含π的式子、特定构造小数。
有限小数、无限循环小数、分数、整数都是有理数。
能根据无理数的范围写出符合条件的无理数（如 时，可取 、）。
6．（2026春 五华区校级期中）下列各数π，3.14，，，12.，0.23223222322223…（每相邻两个3之间依次多一个2）中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据无理数的定义进行判断即可．
【解答】解：由题知，
所给各数中的无理数有：π，，0.23223222322223…（每相邻两个3之间依次多一个2），共计3个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了无理数、算术平方根及立方根，熟知无理数的定义是解题的关键．
7．（2025秋 中原区校级期末）下列各数中，哪个是无理数（　　）
A．﹣2 B． C．3.97 D．
【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、3.97是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
8．（2025秋 扬州期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A．0.010010001 B．
C． D．0
【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为分数，选项A是有限小数，选项B和D可化为分数，均为有理数，选项C化简后含，是无理数．
【解答】解：A．0.010010001是有限小数，是有理数，不符合题意；
B.，是分数，是有理数，不符合题意；
C.，是无限不循环小数，所以是无理数，符合题意；
D．0是整数，是有理数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了无理数的判断，熟练掌握无理数的定义是关键．
9．（2025春 长寿区校级期末）在、、、π、2.010010001、0.1212212222…这六个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无限不循环小数为无理数，据此进行逐个分析，即可作答．
【解答】解：，π，0.1212212222……是无限不循环小数，即无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了立方根，算术平方根，无理数的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2024秋 重庆期中）下列各数3.14，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有 　3　 个．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可．
【解答】解：根据无理数的定义在数3.14，，1.212212221……，，2﹣π，﹣2020，中，无理数有1.212212221……，2﹣π，，
∴无理数的个数是3个．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查无理数的定义，关键在于了解无理数即为无限不循环小数．
11．（2024春 梁园区期中）若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：　，﹣π　 ．
【分析】无理数就是无限不循环小数，依据定义即可作出解答．
【解答】解：无理数有：，﹣π．（答案不唯一）．
故答案为：，﹣π．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
考点三：计算器——数的开方 题12-15
※ 方法总结
理解计算器按键功能（算术平方根、倒数、平方），并模拟运算流程。
能利用计算器探索规律，如 ，，并归纳出一般结论。
会使用科学计算器进行开方运算，并能结合其它运算（如乘方、减法）得到结果。
12．（2024春 昌平区校级期中）某计算器中有、1/x、x2三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③x2：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（　　）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
【分析】根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，即可得出结论．
【解答】解：根据题意得各步显示的数如下：
第一步：102＝100，第二步：，第三步：；
第四步：0.12＝0.01，第五步：，第六步：；
第七步：102＝100，第八步：，第九步：；
…，
所以显示的数是六步一个循环，
∵2020÷6＝336 4，
∴按了第2020下后荧幕显示的数与第四步相同，所以显示的数是0.01．
故选：A．
【点评】本题主要结合计算器的使用考查规律，找到规律是解题的关键．
13．（2024秋 乌当区月考）如果你的计算器上的一个键“8”坏了，但是需要计算“”，请你用算式表示：能够使用此计算器计算出“”的计算过程是 　2　 ．
【分析】将化为最简二次根式即可．
【解答】解：2．
故答案为：2．
【点评】本题考查用计算器计算数的开方，掌握最简二次根式的化简方法是解题的关键．
14．（2024春 同步）借助计算器求出：　5　 ，　55　 ，　555　 ，…，试猜想　55…5　 ．
【分析】本题要借助计算器来求解，可对根号内的数进行化简，然后再用计算器求解，最后根据结果即可找出规律解决问题．
【解答】解：5
55
555
因此55…5．
【点评】本题主要考查了利用计算器进行数的开方，也考查了数学归纳的思想，解题时通过观察前几项的值，依此类推即可解出本题．
15．（2015秋 龙口市期末）若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 　﹣5　 ．
【分析】根据开立方，开平方，可得答案．
【解答】解：原式＝4﹣9＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了无理数，熟悉计算器是解题关键．
考点四：实数 题16-18
※ 方法总结
实数包括有理数和无理数，实数的分类要全面（正、负、零）。
注意概念辨析：无限小数≠无理数（如无限循环小数是有理数）；带根号的数不一定是无理数（如 ）。
实数与数轴上的点一一对应。
16．（2026春 广州期中）下列说法正确的个数是（　　）
①任何实数都可以开立方；
②无限小数是无理数；
③带根号的数都是无理数；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤连接两点的线段叫做两点之间的距离；
⑥连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据实数的概念、两点间距离的定义及平行公理及推论，对所给说法依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为任何实数都有立方根，
即任何实数都可以开立方，
所以①正确；
因为无限不循环小数是无理数，
所以②错误；
因为2是有理数，
所以③错误；
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
所以④错误；
因为连接两点的线段长度叫做两点之间的距离，
所以⑤错误；
因为连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
所以⑥正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数、两点间的距离、垂线段最短及平行公理及推论，熟知实数的概念、两点间距离的定义及平行公理及推论是解题的关键．
17．（2025秋 封开县校级期中）下列实数中不是有理数的是（　　）
A．π B．0.01001 C．﹣1 D．
【分析】题目要求选出不是有理数的数字，只要知道什么是有理数进行排除即可．
【解答】解：A．π是无限不循环小数，不是有理数，故A选项符合题意；
B．0.01001是有限小数，是有理数，故B选项不符合题意；
C．﹣1是整数，是有理数，故C选项不符合题意；
D．是分数，是有理数，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握相应的概念，有理数是指能表示为两个整数之比的数（分母不为零），包括整数、有限小数和无限循环小数．无理数则不能表示为这种形式．
18．（2025秋 宝山区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、0和负数统称有理数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无理数和有理数统称实数
【分析】根据实数的定义判断即可．
【解答】解：根据实数的定义和分类逐项分析判断如下：
A．正实数、零和负实数统称实数，原说法错误，不符合题意；
B．正有理数、0和负有理数统称有理数，原说法错误，不符合题意；
C．正有理数、零和负有理数统称有理数，原说法错误，不符合题意；
D．无理数和有理数统称实数，说法正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．
考点五：实数的性质 题19-22
※ 方法总结
相反数、绝对值、倒数、平方根、立方根的定义及求法。
注意平方根与算术平方根的区别，负数没有平方根。
绝对值等于本身的数是非负数；互为相反数的绝对值相等。
19．（2025秋 杭州校级期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（　　）
姓名：钱外 得分：_____ 填空题（每小题25分，共100分） ①2的相反数是﹣2； ②绝对值等于本身的数是0和1； ③8的立方根是2； ④16的平方根是4．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
【分析】按照立方根的定义、相反数的定义、倒数的定义以及平方根的定义一一判断，最后根据有理数的乘法计算出得分即可．
【解答】解：2的相反数是﹣2，故①说法正确，
绝对值等于本身的数是非负数，故②说法错误，
8的立方根是2，故说法③正确，
16的平方根是±4，故④说法错误，
正确的有2个，
故该同学得分2×25＝50（分），
故选：B．
【点评】本题考查立方根、相反数、倒数，平方根，有理数的乘法等知识，掌握这些知识是解题的关键．
20．（2025春 西乡塘区期末）下列计算或说法正确的是（　　）
A．0没有平方根 B．的相反数是
C．2的立方根是8 D．
【分析】A．根据平方根的定义求出0的平方根，再判断即可；
B．根据互为相反数的定义求出的相反数，再判断即可；
C．根据立方根的定义求出2的立方根，然后判断即可．
D．根据算术平方根的定义进行化简，然后判断即可．
【解答】解：A．∵0的平方根是0，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
B．∵的相反数是，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
C．∵2的立方根是，∴此选项的说法错误，故此选项不符合题意；
D．∵，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了实数的有关概念，解题关键是熟练掌握平方根与立方根的定义和互为相反数的定义．
21．（2025 龙华区三模）下面为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）
姓名张小亮得分？填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是﹣2． ③﹣π的相反数是π． ④1的立方根是1． ⑤4的平方根是±2．
A．15分 B．12分 C．9分 D．6分
【分析】直接利用绝对值以及倒数、相反数、立方根、平方根的定义分别分析得出答案．
【解答】解：答卷中只有：②2的倒数是﹣2错误，2的倒数是，
∴他的得分应是4×3＝12分，
故选：B．
【点评】本题主要考查绝对值、倒数、相反数、立方根、平方根的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
22．（2024春 巧家县校级月考）已知，则x的值为（　　）
A．7 B． C． D．
【分析】根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
【点评】本题主要考查了绝对值和实数的性质，熟练掌握该知识点是关键．
考点六：实数与数轴 题23-25
※ 方法总结
数轴上点的位置决定数的大小：右边的数总比左边的大。
能根据数轴判断数的符号和绝对值大小，进而比较代数式的大小。
会利用数轴估算无理数的大致位置。
23．（2026春 浔阳区校级月考）有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可．
【解答】解：因为的相反数是，
所以数轴上表示的数可能是b．
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴及相反数，熟知相反数的定义及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
24．（2026 厦门模拟）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是﹣1，1．下列数中，所对应的点在M与N之间的是（　　）
A． B． C． D．﹣1.5
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点M和点N表示的数分别是﹣1和1，
所以在点M和点N之间的点所表示的数比﹣1大且比1小，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
25．（2026 市中区二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞a﹣c C．ac＞bc D．ab＞ac
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由所给数轴可知，
﹣2＜a＜﹣1＜0＜c＜1＜2＜b＜3，
则a+b＞0，a﹣b＜a﹣c，ac＜bc，ab＜ac，
显然只有A选项符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
考点七：绝对值 题26-32
※ 方法总结
绝对值的代数意义和几何意义，利用数轴判断绝对值内式子的符号。
绝对值具有非负性，多个绝对值之和为0时，每个绝对值都为0。
求含有绝对值的式子的最值：利用绝对值的非负性求解。
根据绝对值的性质进行化简（去绝对值符号），注意分类讨论。
26．（2026 无为市一模）实数m，n同时满足m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，则mn值为（　　）
A． B．9 C． D．8
【分析】依据题意，由m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，m＝|n|+1≥1，又|m|＝m，可得|m|＝n+5，故n+5﹣|n|＝1，进而分两种情况讨论计算可得m，n的值．
【解答】解：由题意，∵m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，
∴m＝|n|+1≥1，
∴|m|＝m，
∴m﹣n＝5，
∴m＝5+n，
∴n+5﹣|n|＝1，
∴n﹣|n|＝1﹣5＝﹣4，
∴①当n≥0时，n﹣n＝﹣4，无解；
②当n＜0时，n+n＝﹣4，
∴n＝﹣2，∴m＝3，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、绝对值，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键．
27．（2025秋 东坡区校级期末）已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|的结果为（　　）
A．﹣3a﹣c B．﹣a﹣c C．a﹣2b﹣c D．a+2b﹣c
【分析】根据a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置判断a、b、c的符号，进而得到a+b，c﹣a，b﹣a的符号，由绝对值的定义进行计算即可．
【解答】解：由a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置可知，a＜c＜0＜b，且|a|＜|b|＜|c|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b﹣a＞0，
∴|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|
＝﹣a﹣b﹣c+a+b﹣a
＝﹣a﹣c．
故选：B．
【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键．
28．（2025秋 巢湖市期末）设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
【分析】根据有理数的加法，得a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．再根据绝对值的定义解决此题．
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴1﹣1+1+1＝0．
综上：0．
故选：A．
【点评】本题主要考查绝对值、有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则、绝对值的定义、分类讨论的思想是解决本题的关键．
29．（2025春 肇源县期中）若|x+2|与|y﹣5|互为相反数，则x﹣y＝　﹣7　 ．
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵|x+2|与|y﹣5|互为相反数，
∴|x+2|+|y﹣5|＝0，
∴x+2＝0，y﹣5＝0，
解得x＝﹣2，y＝5，
所以，x﹣y＝﹣2﹣5＝﹣7．
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
30．（2025秋 长寿区校级期中）当x＝　2　 时，式子|x﹣2|+2027有最小值．
【分析】根据|x﹣2|≥0，得到x﹣2＝0时，取得最小值，解答即可．
【解答】解：当x﹣2＝0时，取得最小值，
解得x＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握性质是解题的关键．
31．（2025秋 碑林区校级月考）如果x为有理数，式子1066﹣|x﹣1066|存在最大值，则这个最大值是　1066　 ．
【分析】根据绝对值的非负性求解即可．
【解答】解：∵x为有理数，
∴|x﹣1066|≥0，
∴|x﹣1066|的最小值是0，此时1066﹣|x﹣1066|存在最大值，
解得x＝1066，
即当x＝1066时，1066﹣|x﹣1066|有最大值，最大值为1066，
故答案为：1066．
【点评】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握若a为有理数，则有|a|≥0是解答本题的关键．
32．（2023秋 柳州期末）若|a﹣2|+|b+3|＝0，则（a+b）2023＝　﹣1　 ．
【分析】根据非负数的性质求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【解答】解：∵|a﹣2|≥0，|b+3|≥0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴（a+b）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．
考点八：实数的大小比较 题33-35
※ 方法总结
常用方法：数轴法、差值法、平方法、估值法。
比较含根号的数：将根号外的数移到根号内（如 ）。
比较负数时，绝对值大的反而小。
33．（2025秋 雁塔区校级期末）比较大小：2 　＜　 ．
【分析】先把中的2移到根号内，然后比两个被开方数的大小，从而得到答案即可．
【解答】解：∵，
∴，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握算术平方根的被开方数越大算术平方根就越大．
34．（2025秋 锦江区校级期末）比较大小：　＜　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】利用实数的大小比较解答．
【解答】解：∵2，44，
∴4＜1，
∴，
∴2．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数的大小比较方法．
35．（2025春 永昌县期中）比较大小：　＞　 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
【分析】先比较绝对值的大小即可得出结论．
【解答】解：先比较绝对值的大小，正确进行计算可得：
∵，，且，
∴，
故答案为：＞．
【点评】本题主要考查实数的大小比较，正确进行计算是解题关键．
考点九：实数的运算 题36-37
※ 方法总结
掌握平方根、立方根、绝对值、乘方的运算顺序。
能进行简单的实数混合运算，注意符号和运算律。
绝对值化简时，先判断内部正负。
36．（2026春 荔湾区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据算术平方根、立方根的定义计算，再根据有理数加减法则计算即可；
（2）先根据绝对值、有理数的乘方、立方根的定义计算，再合并即可．
【解答】解：（1）
＝4+2﹣5
＝1；
（2）
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
37．（2026春 重庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据实数的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
考点十：近似数和有效数字 题38-39
※ 方法总结
按精确度取近似数：四舍五入，并注意末尾的0（如1.60与1.6精确度不同）。
有效数字的判定：从左边第一个非0数字起至末位。
对于较大的数，精确到某位时，需先用科学记数法表示。
38．（2025秋 马边县期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
①1.596（精确到0.01）；
②0.03057（精确到千分位）；
③2345000（精确到万位）．
【分析】①将1.596精确到0.01，需看千分位数字，按四舍五入取近似值；
②将0.03057精确到千分位，需看万分位数字，按四舍五入取近似值；
③将2345000精确到万位，先确定万位数字，看千位数字，按四舍五入后用科学记数法表示．
【解答】解：根据四舍五入的规则及不同精确度的取法，可得：
①1.596≈1.60；
②0.03057≈0.031；
③2345000＝2.345×106≈2.35×106．
【点评】本题主要考查了近似数的四舍五入取法，熟练掌握四舍五入的规则及不同精确度的取法是解题的关键．
39．（2024秋 同步）下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？
（1）31.7；
（2）0.0023；
（3）5.39万．
【分析】一个近似数的有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是这个数的有效数字；数字的最后一位是哪位，就是精确到哪一位．
【解答】解：（1）31.7近似到十分位，有3个有效数字；
（2）0.0023精确到万分位，有2个有效数字；
（3）5.39万精确到百位，有3个有效数字．
【点评】本题注意精确到十位或十位以前的数位时，要先用科学记数法表示出这个数，这是经常考查的内容．
考点十一：科学记数法 题40-43
※ 方法总结
科学记数法的标准形式：，， 为整数。
大于10的数 为正整数；小于1的正数 为负整数。
注意单位换算（如米和厘米）后再用科学记数法。
40．（2026 广饶县一模）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为　3.4×10﹣10 米．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000000034＝3.4×10﹣10，
故答案为：3.4×10﹣10．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
41．（2026 福州模拟）国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　5.635×107 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定a和n的值即可．
【解答】解：将56350000用科学记数法表示为：5.635×107．
故答案为：5.635×107．
【点评】本题考查了科学记数法，熟练掌握该知识点是关键．
42．（2026 南京模拟）某种感冒病毒的直径是0.00000012米，将0.00000012用科学记数法可表示为　1.2×10﹣7 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000012＝1.2×10﹣7，
故答案为：1.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
43．（2026 梁溪区二模）根据滨湖区旅游局数据统计显示，今年“五一”小长假，鼋头渚、灵山圣境、三国水浒城三大5A景区共接待旅游总人数254000人，这个数据用科学记数法可表示为 　2.54×105 人．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：254000人，这个数据用科学记数法可表示为2.54×105人．
故答案为：2.54×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
考点十二：创新及压轴题 题44-45
※ 方法总结
反证法证明无理数（如 是无理数）：假设为有理数，推出矛盾。
无理数整数部分和小数部分的表示：用 “原数 - 整数部分” 表示小数部分。
绝对值与数轴综合应用：利用绝对值的几何意义求最值或化简。
新定义问题（如“关联点”）需严格按定义操作。
44．（2026春 闽侯县期中）阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有2m2＝n2．
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．
设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2，
∴2t2＝m2，
∴m也是偶数，
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误，
∴不是有理数．
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
（1）用类似的方法，请证明是无理数；
（2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数．
【分析】（1）仿照例题证明即可求解；
（2）根据材料提示，分别求出整数部分a和小数部分b，即可求解；
（3）分别求出x，y，再根据相反数的定义即可求解．
【解答】（1）证明：假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有5m2＝n2．
∵5m2是5的倍数，
∴n2也是5的倍数，
∴n是5的倍数．
设n＝5t（t是正整数），则n2＝25t2，即25t2＝5m2，
∴5t2＝m2，
∴m也是5的倍数，
∴m，n都是5的倍数，不互质，与假设矛盾，
∴假设错误，
∴不是有理数；
（2）解：∵，
∴，
∴的整数部分a为4，小数部分b为：42，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∴2的整数部分x为3，小数部分y为：2﹣31，
∴，
∴x﹣y的相反数是．
【点评】此题属于无理数、有理数综合题，主要考查了实数的概念以及反证法的应用，估算无理数的大小，正确掌握反证法的基本步骤是解题关键．
45．（2024秋 利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　﹣4或2　 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　6　 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　12　 ．
（4）当a＝　1　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　7　 ．
【分析】（1）根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
（2）先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；
根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；
（3）找到﹣2和5之间的整数点，再相加即可求解；
（4）判断出a＝1时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．
【解答】解：（1）|1﹣4|＝3，
|﹣3﹣2|＝5，
|a﹣（﹣1）|＝3，
所以，a+1＝3或a+1＝﹣3，
解得a＝﹣4或a＝2；
（2）∵表示数a的点位于﹣4与2之间，
∴a+4＞0，a﹣2＜0，
∴|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+[﹣（a﹣2）]＝a+4﹣a+2＝6；
（3）使得|x+2|+|x﹣5|＝7的整数点有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，
﹣2﹣1+0+1+2+3+4+5＝12．
故这些点表示的数的和是12；
（4）a＝1有最小值，最小值＝|1+3|+|1﹣1|+|1﹣4|＝4+0+3＝7．
故答案为：3，5，﹣4或2；6；12；1；7．
【点评】本题考查了绝对值，数轴，读懂题目信息，理解数轴上两个数之间的距离的表示方法是解题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1：根据数轴判断符号，化简含绝对值的式子（利用数轴比较大小，去绝对值符号）。
练习2：科学记数法表示大数（确定指数和有效数字）。
练习3：实数的分类（正整数、分数、无理数的识别）。
练习4：在数轴上定位无理数（估算大小，确定大致位置）。
练习5：实数混合运算（含绝对值、立方根、乘方、算术平方根）及解简单的平方方程。
【练习1】（2025春 梓潼县期末）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先判断出b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，再根据有理数的大小比较法则，绝对值的性质等知识一一判断即可．
【解答】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则
①ab+ac＞0，故原结论正确；
②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；
③1﹣1+1＝1，故原结论错误；
④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；
⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．
故正确结论有2个．
故选：B．
【点评】本题考查了数轴和实数的大小比较，利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
【练习2】（2026 宁乡市一模）2026年2月10日，小行星2026CS飞掠地球时，与地球最近距离约为1087000千米，将数据1087000用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.087×106 B．10.87×106
C．0.1087×107 D．1.087×107
【分析】科学记数法的标准形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此解答即可．
【解答】解：1087000＝1.087×106，
故选：A．
【点评】本题考查科学记数法的表示方法，掌握科学记数法是解题的关键．
【练习3】（2026春 潮阳区期中）将下列各数进行分类（填序号即可）：
①1，②，③0，④﹣3.2，⑤，⑥，⑦1.202002 （每个“2”之间依次多一个“0”）．
正整数：　①⑤　 ；分数：　④⑥　 ；无理数：　②⑦　 ．
【分析】根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数，进行解答即可．
【解答】解：根据有理数分为正整数，正分数，0，负整数，负分数；无理数是指无限不循环小数可知：
∵，
∴正整数有①⑤；
分数有：④⑥；
无理数有：②⑦；
故答案为：①⑤；④⑥；②⑦．
【点评】本题考查了实数的分类，求一个数的立方根，熟练掌握和运用实数的分类是解题的关键．
【练习4】（2026春 越秀区校级期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是Q 点．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特征即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为4＜7＜9，
所以23，
所以12，
显然只有点Q符合题意．
故答案为：Q．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
【练习5】（2026春 铜梁区校级期中）（1）计算：．
（2）解方程：（x+1）2﹣64＝0．
【分析】（1）利用实数的运算法则，平方根的定义计算；
（2）利用实数的运算法则，平方根的定义计算．
【解答】解：（1）．
＝﹣1﹣3﹣[﹣（1）]+4
＝﹣4+14
＝1；
（2）（x+1）2﹣64＝0，
（x+1）2＝64，
x+1＝±8，
x1＝7，x2＝﹣9．
【点评】本题考查了实数的运算，平方根，解题的关键是掌握实数的运算法则，平方根的定义．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：无理数的识别及大小比较。
作业2：无理数的判定（含根式、π、特定小数）。
作业3：利用绝对值的性质求值（分类讨论）。
作业4：根据数轴化简含绝对值的式子。
作业5：近似数的精确度与有效数字判断。
作业6：实数概念的辨析（平方根、数轴对应等）。
作业7：科学记数法表示小于1的正数（注意单位换算）。
作业8：实数混合运算（平方根、立方根、绝对值）。
作业9：利用“有理数×无理数+有理数=0”求参数（整体思想）。
作业10：绝对值的非负性应用及裂项求和。
复习建议 实数章节概念多，注意区分有理数与无理数，掌握绝对值化简和大小比较的技巧。运算时注意符号和根式的化简。科学记数法和近似数是常考基础，务必熟练。建议结合数轴理解实数与点的对应关系，多做综合题提升应用能力。
【作业1】（2026 阳谷县校级模拟）下列关于说法错误的是（　　）
A．是无理数
B．数轴上可以找到表示的点
C．的相反数是
D．
【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【解答】解：∵．．．．．．，属于无限不循环小数，
∴是无理数，故A选项正确；
∵数轴上可以表示任意实数，
∴数轴上可以找到表示的点，故B选项正确；
∵相反数是，故C选项正确；
∵．．．．．．，
∴，故D选项错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查无理数定义，相反数定义，数的比较，数轴上点的表示等，熟练掌握实数大小的比较方法是关键．
【作业2】（2025秋 西固区校级期末）下列各数3.14159，，1.010010001 ，7.56，π，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比，逐个判断各数的类型即可．
【解答】解：下列各数3.14159，，1.010010001 ，7.56，π，，中，
∵3.14159是有限小数，
∴3.14159 是有理数；
∵是无理数，
∴是无理数；
∵1.010010001 是无限不循环小数，
∴1.010010001 是无理数；
∵7.56是有限小数，
∴7.56是有理数；
∵π 是无理数；
∵是分数，
∴ 是有理数；
∵是整数，
∴是有理数；
∴无理数共3个；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的概念，关键区分有限小数、无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数），正确进行计算是解题关键．
【作业3】（2025秋 绥阳县期末）已知实数a，b，c，满足abc＝1，则的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3
【分析】利用绝对值的定义解答．
【解答】解：∵abc＝1，
∴abc三个都是正的或两个负的一个正的，
∴1+1﹣1＝1，
1﹣1+1＝1，
1﹣1﹣1＝﹣3，
1+1+1＝1，
∴的值为1或﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．
【作业4】（2025秋 碑林区校级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a|+|a﹣c|﹣|b+c|的值为（　　）
A．﹣b B．﹣b﹣2c C．﹣2a﹣b D．2a﹣b﹣2c
【分析】根据绝对值的几何意义进行化简合并即可．
【解答】解；由数轴可知：a＜0，a﹣c＜0，b+c＞0，
∴|a|+|a﹣c|﹣|b+c|
＝﹣a+c﹣a﹣（b+c）
＝﹣a+c﹣a﹣b﹣c
＝﹣2a﹣b．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴与绝对值，熟练掌握绝对值性质是关键．
【作业5】（2025秋 南岗区期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.050（精确到0.001）
C．0.05（精确到百分位）
D．0.0502（精确到千分位）
【分析】经过四舍五入得到的数称为近似数，从一个近似数左边第一个不为0的数算起到这个数完，所有这些数字都叫这个近似数的有效数字，由此逐项分析即可得解．
【解答】解：根据近似数和有效数字规定逐项分析判断如下：
A、0.05019≈0.1（精确到0.1），故此选项正确，不符合题意；
B、0.05019≈0.050（精确到0.001），故此选项正确，不符合题意；
C、0.05019≈0.05（精确到百分位），故此选项正确，不符合题意；
D、0.05019≈0.050（精确到千分位），故此选项错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握四舍五入法是关键．
【作业6】（2025秋 浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．有理数与无理数的积是无理数
B．﹣a没有平方根
C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应
D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0
【分析】利用实数的定义，数轴知识，平方根与立方根的定义解答．
【解答】解：有理数与无理数的积不一定是无理数，例如，0与的积是0，0是有理数，选项A错误，不符合题意；
﹣a也可能有平方根，例如，当a为0或负数时，选项B错误，不符合题意；
数轴上的每个点都有一个实数与之对应，选项C错误，不符合题意；
一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0，选项D正确，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了实数与数轴，平方根，立方根，无理数，解题的关键是掌握实数的定义，数轴知识，平方根与立方根的定义．
【作业7】（2025秋 青浦区校级期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.00028m，这个直径用科学记数法表示为　2.8×10﹣2 cm．
【分析】先将米转换为厘米，再用科学记数法表示绝对值小于1的数．
【解答】解：已知某种梅花的花粉直径是0.00028m，这个直径用科学记数法表示为：
0.00028m＝0.00028×100cm＝0.028cm，0.028cm＝2.8×10﹣2cm．
故答案为：2.8×10﹣2．
【点评】本题考查单位换算和科学记数法，掌握科学记数法是解题的关键．
【作业8】（2026春 南昌县期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根、立方根化简求值即可；
（2）根据实数的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝5﹣（﹣3）
＝8；
（2）原式
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
【作业9】（2026春 巴南区期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果mx+n＝0，其中m、n为有理数．x为无理数，那么m＝0，n＝0．运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中m、n为有理数，则m＝　﹣1　 ，n＝　2　 ；
（2）若x、y均为有理数，且，求x+y的值．
【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；
（2）先整理，再按题干提供的方法求解．
【解答】解：（1）∵，其中m、n为有理数，
∴m+1＝0，n﹣2＝0；
∴m＝﹣1，n＝2．
故答案为：﹣1，2；
（2）∵，
∴
∵x、y为有理数，
∴y2+x﹣17＝0，x﹣1＝0，
∴x＝1，y＝±4，
∴当x＝1，y＝4时，x+y＝5；
当x＝1，y＝﹣4时，x+y＝﹣3；
综上所述，x+y的值为5或﹣3．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键．
【作业10】（2025秋 徐汇区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|所表示的数互为相反数，求 的值．
【分析】由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，根据绝对值的非负性可得|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，进而求出a和b的值，再代入所求式子即可．
【解答】解：由题意可知，|ab﹣2|+|b﹣1|＝0，
∴|ab﹣2|＝0，|b﹣1|＝0，
∴b＝1，a＝2，
∴原式
＝1
＝1
．
【点评】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，得出，以及抵消法的运用是解题的关键．
第1页（共1页）专题19.2 实数 暑假预习讲义(知识精讲+典例+针对练习)
(12大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 有理数、无理数的概念，能识别和区分有理数与无理数。
掌握 实数的分类与性质，理解实数与数轴上的点一一对应关系。
熟练运用 绝对值的性质进行化简和求值，掌握实数的大小比较方法。
掌握 实数的运算（加、减、乘、除、乘方、开方），并能进行混合运算。
学会 用科学记数法表示数，理解近似数与有效数字的概念，并能按指定要求取近似数。
体会 数形结合、分类讨论思想在实数中的应用，能运用实数的知识解决综合问题。
核心：有理数→无理数→实数分类 → 数轴表示 → 绝对值 → 运算 → 科学记数法
知识梳理 · 核心知识点
有理数的小数形式
有理数定义：整数和分数的统称。任何有理数都可以写成有限小数或无限循环小数。
分类：按性质分正有理数、0、负有理数；按定义分整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。
常见有理数：整数、有限小数、无限循环小数、百分数、分数。
无理数
定义：无限不循环小数称为无理数。如π、、0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）。
常见的无理数类型：①开方开不尽的数（如、）；②含π的数；③特定结构的无限不循环小数。
实数与数轴
几何特征：实数与数轴上的点一一对应。数轴上的每一个点都表示一个实数，反之每个实数都能在数轴上找到唯一点。
数轴三要素：原点、正方向、单位长度。
实数的有序性：数轴上右边的点表示的数总比左边的大。
相反数、绝对值、倒数：在数轴上，相反数关于原点对称；绝对值表示点到原点的距离。
实数的性质
实数的分类：按定义分有理数和无理数；按正负分正实数、0、负实数。
绝对值的性质：，。
实数的运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律，在实数范围内同样适用。
平方根与立方根：正数有两个平方根（互为相反数），0的平方根是0，负数没有平方根；任何实数都有立方根，且正数的立方根为正，负数的立方根为负。
实数的大小比较
方法：①数轴比较法；②差值比较法（则）；③平方法（同号比较）；④估值法（将无理数近似为小数）。
特别技巧：比较两个负数时，绝对值大的反而小。
近似数与有效数字
近似数：接近准确数但不等于准确数的数。按精确度取近似数用四舍五入法。
有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是有效数字。
精确度：近似数精确到哪一位（如百分位、千分位等）。
科学记数法
定义：把一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。
对于绝对值大于10的数， 为正整数；对于绝对值小于1的数， 为负整数。
实数知识结构表
类别 定义 表示形式 举例
有理数 整数和分数统称 有限小数或无限循环小数 3, -2, 0.5, , 0.3
无理数 无限不循环小数 开方开不尽的数、含π的数等 π, , 0.1010010001…
实数 有理数和无理数统称 数轴上的点 所有有理数和无理数
相反数 只有符号不同的两个数 与 3 与 -3
绝对值 数轴上点到原点的距离 = =5
科学记数法 ， 整数
核心考点 ·12大典型考点精讲
考点一：有理数的小数形式 题1-5
※ 方法总结
识别有理数：整数、有限小数、无限循环小数、分数均为有理数。
注意“π”、“”等开方开不尽的数是无理数。
根据有理数的分类填空，注意“非负整数”包括0和正整数，“负有理数”包括负分数和负整数。
1．（2026 公主岭市二模）下列各数：﹣1，，4.112134，0，，3.14，其中有理数有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2025秋 南部县期末）在﹣π，0，﹣2，0.1010010001…，3.14%，中有理数的个数有（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．（2025秋 蛟河市期末）下列各数中，不是有理数的是（　　）
A． B．3 C．﹣1 D．
4．（2025秋 中江县月考）下列说法：①﹣2是负分数，②3.6不是正数；③非负有理数不包括零；④正整数、负整数统称为整数；⑤零是最小的有理数．其中结论正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025秋 长春校级期中）将下列各数填在相应的括号里：．
负分数集合：{ 　 　 …}；
非负整数集合：{ 　 　 …}；
负有理数集合：{ 　 　 …}．
考点二：无理数 题6-11
※ 方法总结
无理数判定：无限不循环小数，如开方开不尽的根式、含π的式子、特定构造小数。
有限小数、无限循环小数、分数、整数都是有理数。
能根据无理数的范围写出符合条件的无理数（如 时，可取 、）。
6．（2026春 五华区校级期中）下列各数π，3.14，，，12.，0.23223222322223…（每相邻两个3之间依次多一个2）中，无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．（2025秋 中原区校级期末）下列各数中，哪个是无理数（　　）
A．﹣2 B． C．3.97 D．
8．（2025秋 扬州期末）下列实数中是无理数的是（　　）
A．0.010010001 B．
C． D．0
9．（2025春 长寿区校级期末）在、、、π、2.010010001、0.1212212222…这六个数中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2024秋 重庆期中）下列各数3.14，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有 　 　 个．
11．（2024春 梁园区期中）若无理数a满足：﹣4＜a＜﹣1，请写出两个你熟悉的无理数：　 　 ．
考点三：计算器——数的开方 题12-15
※ 方法总结
理解计算器按键功能（算术平方根、倒数、平方），并模拟运算流程。
能利用计算器探索规律，如 ，，并归纳出一般结论。
会使用科学计算器进行开方运算，并能结合其它运算（如乘方、减法）得到结果。
12．（2024春 昌平区校级期中）某计算器中有、1/x、x2三个按键，以下是这三个按键的功能．
①：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；
③x2：将荧幕显示的数变成它的平方．
小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．
若开始输入的数据为10，那么第2020步之后，显示的结果是（　　）
A．0.01 B．0.1 C． D．100
13．（2024秋 乌当区月考）如果你的计算器上的一个键“8”坏了，但是需要计算“”，请你用算式表示：能够使用此计算器计算出“”的计算过程是 　 　 ．
14．（2024春 同步）借助计算器求出：　 　 ，　 　 ，　 　 ，…，试猜想　 　 ．
15．（2015秋 龙口市期末）若用初中数学课本上使用的科学计算器进行计算，则以下按键的结果为 　 　 ．
考点四：实数 题16-18
※ 方法总结
实数包括有理数和无理数，实数的分类要全面（正、负、零）。
注意概念辨析：无限小数≠无理数（如无限循环小数是有理数）；带根号的数不一定是无理数（如 ）。
实数与数轴上的点一一对应。
16．（2026春 广州期中）下列说法正确的个数是（　　）
①任何实数都可以开立方；
②无限小数是无理数；
③带根号的数都是无理数；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤连接两点的线段叫做两点之间的距离；
⑥连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2025秋 封开县校级期中）下列实数中不是有理数的是（　　）
A．π B．0.01001 C．﹣1 D．
18．（2025秋 宝山区校级月考）下列说法正确的是（　　）
A．正实数和负实数统称实数
B．正数、0和负数统称有理数
C．正有理数和负有理数统称有理数
D．无理数和有理数统称实数
考点五：实数的性质 题19-22
※ 方法总结
相反数、绝对值、倒数、平方根、立方根的定义及求法。
注意平方根与算术平方根的区别，负数没有平方根。
绝对值等于本身的数是非负数；互为相反数的绝对值相等。
19．（2025秋 杭州校级期中）如图为钱外同学的小测卷，他的得分应是（　　）
姓名：钱外 得分：_____ 填空题（每小题25分，共100分） ①2的相反数是﹣2； ②绝对值等于本身的数是0和1； ③8的立方根是2； ④16的平方根是4．
A．25分 B．50分 C．75分 D．100分
20．（2025春 西乡塘区期末）下列计算或说法正确的是（　　）
A．0没有平方根 B．的相反数是
C．2的立方根是8 D．
21．（2025 龙华区三模）下面为张小亮的答卷，他的得分应是（　　）
姓名张小亮得分？填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是﹣2． ③﹣π的相反数是π． ④1的立方根是1． ⑤4的平方根是±2．
A．15分 B．12分 C．9分 D．6分
22．（2024春 巧家县校级月考）已知，则x的值为（　　）
A．7 B． C． D．
考点六：实数与数轴 题23-25
※ 方法总结
数轴上点的位置决定数的大小：右边的数总比左边的大。
能根据数轴判断数的符号和绝对值大小，进而比较代数式的大小。
会利用数轴估算无理数的大致位置。
23．（2026春 浔阳区校级月考）有理数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，则表示的相反数的可能是（　　）
A．a B．b C．c D．d
24．（2026 厦门模拟）如图，数轴上的点M，N表示的数分别是﹣1，1．下列数中，所对应的点在M与N之间的是（　　）
A． B． C． D．﹣1.5
25．（2026 市中区二模）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．a﹣b＞a﹣c C．ac＞bc D．ab＞ac
考点七：绝对值 题26-32
※ 方法总结
绝对值的代数意义和几何意义，利用数轴判断绝对值内式子的符号。
绝对值具有非负性，多个绝对值之和为0时，每个绝对值都为0。
求含有绝对值的式子的最值：利用绝对值的非负性求解。
根据绝对值的性质进行化简（去绝对值符号），注意分类讨论。
26．（2026 无为市一模）实数m，n同时满足m﹣|n|＝1，|m|﹣n＝5，则mn值为（　　）
A． B．9 C． D．8
27．（2025秋 东坡区校级期末）已知a，b，c三个有理数在数轴上的对应位置如图所示，化简：|a+b|﹣|c﹣a|+|b﹣a|的结果为（　　）
A．﹣3a﹣c B．﹣a﹣c C．a﹣2b﹣c D．a+2b﹣c
28．（2025秋 巢湖市期末）设abc≠0，且a+b+c＝0，则的值可能是（　　）
A．0 B．±1 C．±2 D．0或±2
29．（2025春 肇源县期中）若|x+2|与|y﹣5|互为相反数，则x﹣y＝　 　 ．
30．（2025秋 长寿区校级期中）当x＝　 　 时，式子|x﹣2|+2027有最小值．
31．（2025秋 碑林区校级月考）如果x为有理数，式子1066﹣|x﹣1066|存在最大值，则这个最大值是　 　 ．
32．（2023秋 柳州期末）若|a﹣2|+|b+3|＝0，则（a+b）2023＝　 　 ．
考点八：实数的大小比较 题33-35
※ 方法总结
常用方法：数轴法、差值法、平方法、估值法。
比较含根号的数：将根号外的数移到根号内（如 ）。
比较负数时，绝对值大的反而小。
33．（2025秋 雁塔区校级期末）比较大小：2 　 　 ．
34．（2025秋 锦江区校级期末）比较大小：　 　 （填“＞”、“＜”或“＝”）．
35．（2025春 永昌县期中）比较大小：　 　 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
考点九：实数的运算 题36-37
※ 方法总结
掌握平方根、立方根、绝对值、乘方的运算顺序。
能进行简单的实数混合运算，注意符号和运算律。
绝对值化简时，先判断内部正负。
36．（2026春 荔湾区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
37．（2026春 重庆期中）计算：
（1）；
（2）．
考点十：近似数和有效数字 题38-39
※ 方法总结
按精确度取近似数：四舍五入，并注意末尾的0（如1.60与1.6精确度不同）。
有效数字的判定：从左边第一个非0数字起至末位。
对于较大的数，精确到某位时，需先用科学记数法表示。
38．（2025秋 马边县期中）按括号里的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
①1.596（精确到0.01）；
②0.03057（精确到千分位）；
③2345000（精确到万位）．
39．（2024秋 同步）下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位，各有哪几个有效数字？
（1）31.7；
（2）0.0023；
（3）5.39万．
考点十一：科学记数法 题40-43
※ 方法总结
科学记数法的标准形式：，， 为整数。
大于10的数 为正整数；小于1的正数 为负整数。
注意单位换算（如米和厘米）后再用科学记数法。
40．（2026 广饶县一模）石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000000034米，将这个数用科学记数法表示为　 　 米．
41．（2026 福州模拟）国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56350000公顷以上．将数据56350000用科学记数法表示为　 　 ．
42．（2026 南京模拟）某种感冒病毒的直径是0.00000012米，将0.00000012用科学记数法可表示为　 　 ．
43．（2026 梁溪区二模）根据滨湖区旅游局数据统计显示，今年“五一”小长假，鼋头渚、灵山圣境、三国水浒城三大5A景区共接待旅游总人数254000人，这个数据用科学记数法可表示为 　 　 人．
考点十二：创新及压轴题 题44-45
※ 方法总结
反证法证明无理数（如 是无理数）：假设为有理数，推出矛盾。
无理数整数部分和小数部分的表示：用 “原数 - 整数部分” 表示小数部分。
绝对值与数轴综合应用：利用绝对值的几何意义求最值或化简。
新定义问题（如“关联点”）需严格按定义操作。
44．（2026春 闽侯县期中）阅读下列材料：
材料1：“为什么不是有理数”．
假设是有理数，那么存在两个互质的正整数m，n，使得，
于是有2m2＝n2．
∵2m2是偶数，∴n2也是偶数，∴n是偶数．
设n＝2t（t是正整数），则n2＝4t2，即4t2＝2m2，
∴2t2＝m2，
∴m也是偶数，
∴m，n都是偶数，不互质，与假设矛盾．
∴假设错误，
∴不是有理数．
材料2：无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部直接写出来，于是小明用来表示的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分，所以是的小数部分．
请解答：
（1）用类似的方法，请证明是无理数；
（2）你能求出的整数部分a和小数部分b吗？并求ab的值；
（3）已知，其中x是整数，且0＜y＜1，试求出x﹣y的相反数．
45．（2024秋 利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　 ；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　 　 ．
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　 　 ；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　 　 ．
（4）当a＝　 　 时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　 　 ．
随堂检测 · 精选练习
练习1：根据数轴判断符号，化简含绝对值的式子（利用数轴比较大小，去绝对值符号）。
练习2：科学记数法表示大数（确定指数和有效数字）。
练习3：实数的分类（正整数、分数、无理数的识别）。
练习4：在数轴上定位无理数（估算大小，确定大致位置）。
练习5：实数混合运算（含绝对值、立方根、乘方、算术平方根）及解简单的平方方程。
【练习1】（2025春 梓潼县期末）已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【练习2】（2026 宁乡市一模）2026年2月10日，小行星2026CS飞掠地球时，与地球最近距离约为1087000千米，将数据1087000用科学记数法表示正确的是（　　）
A．1.087×106 B．10.87×106
C．0.1087×107 D．1.087×107
【练习3】（2026春 潮阳区期中）将下列各数进行分类（填序号即可）：
①1，②，③0，④﹣3.2，⑤，⑥，⑦1.202002 （每个“2”之间依次多一个“0”）．
正整数：　 　 ；分数：　 　 ；无理数：　 　 ．
【练习4】（2026春 越秀区校级期中）如图，在数轴上表示实数的点可能是　 　 点．
【练习5】（2026春 铜梁区校级期中）（1）计算：．
（2）解方程：（x+1）2﹣64＝0．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：无理数的识别及大小比较。
作业2：无理数的判定（含根式、π、特定小数）。
作业3：利用绝对值的性质求值（分类讨论）。
作业4：根据数轴化简含绝对值的式子。
作业5：近似数的精确度与有效数字判断。
作业6：实数概念的辨析（平方根、数轴对应等）。
作业7：科学记数法表示小于1的正数（注意单位换算）。
作业8：实数混合运算（平方根、立方根、绝对值）。
作业9：利用“有理数×无理数+有理数=0”求参数（整体思想）。
作业10：绝对值的非负性应用及裂项求和。
复习建议 实数章节概念多，注意区分有理数与无理数，掌握绝对值化简和大小比较的技巧。运算时注意符号和根式的化简。科学记数法和近似数是常考基础，务必熟练。建议结合数轴理解实数与点的对应关系，多做综合题提升应用能力。
【作业1】（2026 阳谷县校级模拟）下列关于说法错误的是（　　）
A．是无理数
B．数轴上可以找到表示的点
C．的相反数是
D．
【作业2】（2025秋 西固区校级期末）下列各数3.14159，，1.010010001 ，7.56，π，，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业3】（2025秋 绥阳县期末）已知实数a，b，c，满足abc＝1，则的值为（　　）
A．1 B．1或3 C．1或﹣3 D．﹣1或﹣3
【作业4】（2025秋 碑林区校级期末）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a|+|a﹣c|﹣|b+c|的值为（　　）
A．﹣b B．﹣b﹣2c C．﹣2a﹣b D．2a﹣b﹣2c
【作业5】（2025秋 南岗区期末）用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.050（精确到0.001）
C．0.05（精确到百分位）
D．0.0502（精确到千分位）
【作业6】（2025秋 浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（　　）
A．有理数与无理数的积是无理数
B．﹣a没有平方根
C．数轴上的每个点都有一个有理数与之对应
D．一个数的立方根与平方根相等，那么这个数只能是0
【作业7】（2025秋 青浦区校级期末）“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是0.00028m，这个直径用科学记数法表示为　 　 cm．
【作业8】（2026春 南昌县期中）计算：
（1）；
（2）．
【作业9】（2026春 巴南区期中）我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果mx+n＝0，其中m、n为有理数．x为无理数，那么m＝0，n＝0．运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中m、n为有理数，则m＝　 　 ，n＝　 　 ；
（2）若x、y均为有理数，且，求x+y的值．
【作业10】（2025秋 徐汇区校级期中）已知|ab﹣2|与|b﹣1|所表示的数互为相反数，求 的值．
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