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专题20.1 二次根式及其性质 【暑假预习】提优讲义
(5大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
思维导图 · 课程内容总览
课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式（被开方数非负）。
掌握 二次根式有意义的条件（被开方数≥0），能根据条件求字母取值范围。
熟练运用 二次根式的性质进行化简（、等），并能结合数轴、绝对值化简。
掌握 最简二次根式的概念，能将一般二次根式化为最简二次根式。
学会 运用“穿墙”规律、复合二次根式化简（）等技巧解决创新题型。
体会 数形结合、分类讨论思想在二次根式化简与求值中的应用。
核心：二次根式定义 → 有意义的条件 → 性质与化简 → 最简二次根式 → 创新应用。
知识梳理 · 核心知识点
二次根式的定义
定义：一般地，形如 （）的式子叫做二次根式。其中 叫做被开方数。
判断要点：① 根指数为2（通常省略）；② 被开方数必须是非负数。
注意： 不是二次根式（根指数为3）； 不一定有意义，需保证 。
二次根式有意义的条件
被开方数必须大于等于0，即 。
若二次根式位于分母或与其他式子结合，还需满足其他限制（如分母≠0）。
利用非负性可求参数的值（如 推出 ）。
二次根式的性质与化简
几何特征：，表示数轴上点 到原点的距离。
基本性质：
；
（）；
（）。
化简原则：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
结合数轴化简：先判断绝对值内部的正负，再根据 去绝对值。
分母有理化：利用 化去分母中的根号。
最简二次根式
定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
判断标准：① 被开方数是整数或整式；② 被开方数中每个因式的指数都小于根指数2。
化简步骤：① 分解质因数；② 开方开得尽的部分移到根号外；③ 分母有理化。
复合二次根式化简（创新题型）
对于 ，若存在 使 ，，则可化为 。
“穿墙”规律：（）。
二次根式知识结构表
类别 核心内容 注意事项
二次根式定义 （） 根指数为2，被开方数非负
有意义条件 被开方数≥0 与分母、零次幂等结合时额外限制
性质 注意 a,b 非负
最简二次根式 被开方数不含分母、不含开得尽方的因式 分母有理化，提取平方因子
复合二次根式 的化简 构造完全平方，拆分为两数平方和
核心考点 ·5大典型考点精讲
考点一：二次根式的定义 题1-5
※ 方法总结
识别二次根式：根指数为2，被开方数≥0。
注意 （三次根式）不是二次根式； 当 为任意实数时都有意义，因为 。
根据数列规律求第 项时，观察根号下的被开方数变化规律。
1．（2026春 蓬莱区期中）下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024 东营区校级开学）已知下列各式：，，，，，，，．其中二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2025春 高新区校级月考）二次根式：一般地，形如（a　 　 ）的式子叫做二次根式，其中，a叫作　 　 数．
4．（2025春 温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　 　 ．
5．（2024秋 衡阳月考）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是　 　 ．
考点二：二次根式有意义的条件 题6-14
※ 方法总结
被开方数≥0 列出不等式（组）求解。
若出现两个根式且被开方数互为相反数（如 和 ），则被开方数只能为0，可求 。
当根式在分母位置时，还需保证分母≠0。
注意结合“算术平方根的非负性”和“偶次幂的非负性”求值。
6．（2026春 温州期中）若二次根式有意义，则字母a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a≥2 C．a＞﹣2 D．a≥0
7．（2025春 靖江市校级期中）若x，y都是实数，且，则xy的值是（　　）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
8．（2025秋 宝山区校级月考）已知a，b为实数，且，则的值为（　　）
A．﹣3 B．7 C．﹣3或7 D．9
9．（2025春 宜都市期末）等式成立的条件是（　　）
A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．0＜x≤1
10．（2025春 长宁区校级期中）方程的解是　 　 ．
11．（2025秋 射洪市校级月考）已知a、b满足，则a﹣b的平方根为 　 　 ．
12．（2025春 费县期末）若是整数，那么自然数n所有可能值的和是　 　 ．
13．（2025秋 北碚区期末）已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足．
（1）求6a+2b的算术平方根；
（2）求等腰△ABC的周长．
14．（2024春 浦东新区校级期中）已知实数a满足，求a﹣20062的值．
考点三：二次根式的性质与化简 题15-27
※ 方法总结
化简含字母的二次根式，注意字母的取值范围（由被开方数非负决定）。
核心公式：，先判断a的正负再脱绝对值。
结合数轴时，先根据数轴判断各代数式的符号，再利用 化简。
分母有理化：分子分母同乘适当因式，化去分母中的根号。
“穿墙”规律与复合二次根式化简：构造完全平方，拆分为两个根式的和或差。
15．（2026春 衢州期中）当1＜a＜2时，代数式化简后的结果是（　　）
A．﹣1 B．2a﹣3 C．1 D．3﹣2a
16．（2026春 温岭市期中）若二次根式，则a的取值范围表示正确的是（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3
17．（2026春 西青区校级月考）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　）
A．4m B．6m C．﹣4m D．﹣2m
18．（2026春 东阳市月考）已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
19．（2026春 扶绥县校级月考）当1＜x＜4时，化简|x﹣4|的结果为（　　）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣2x﹣3 D．﹣5
20．（2026春 荔湾区校级期中）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果 　 　 ．
21．（2025秋 杨浦区期末）化简：　 　 ．
22．（2025秋 仁寿县校级月考）把根号外的因式移到根号内得　 　 ．
23．（2025秋 闵行区校级期中）化简：　 　 ．
24．（2025春 洮北区校级月考）实数a，b在数轴上对应位置如图所示，则 　 　 ．
25．（2025 东港区校级一模）已知m是的小数部分，则的值为　 　 ．
26．（2026春 栖霞市期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等．
【猜想】
（1）　 　 ，并验证；
【推理证明】
（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确；
【创新应用】
（3）按此规律，若（a，b为正整数），求a+b的值．
27．（2026春 福山区期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当2≤a≤3时，化简，　 　 ．
（2）若等式成立，则a的取值范围是　 　 ．
（3）若，求a的取值．
考点四：最简二次根式 题28-34
※ 方法总结
最简二次根式必须满足：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
判断时，先将根式化简，再检查是否满足上述条件。
若被开方数含有字母，需考虑字母的取值（如 需根据 的符号开方）。
利用最简二次根式的定义可求参数（如指数关系列方程）。
28．（2026春 惠州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
29．（2025春 滨城区校级月考）若a＞0，把化成最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
30．（2024秋 宝丰县期末）若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 　 　 ．
31．（2021秋 浦东新区校级月考）在、、、、中，最简二次根式是　 　 ．
32．（2021秋 平昌县月考）化简：﹣a化成最简二次根式为　 　 ．
33．（2025春 同步）若和都是最简二次根式，求m，n的值．
34．（2012秋 合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）；
（2）．
考点五：创新及压轴题 题35-37
※ 方法总结
多重二次根式化简：将被开方数化为完全平方形式，常用配方法或待定系数法。
“穿墙”规律：，可用于简化计算。
当出现 时，先化为 形式，再构造完全平方。
注意利用二次根式有意义的条件及非负性确定字母的值。
35．（2025秋 静安区校级期中）已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值．
36．（2022秋 吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ，那么便有±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ，
∴2
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
37．（2021秋 思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：
2；3；4；…
（1）填空：　 　 ，　 　 ；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
随堂检测 · 精选练习
练习1：识别最简二次根式（被开方数不含分母、不含开得尽方的因式）。
练习2：由 为整数求正整数 的最小值（将根号内因数开方）。
练习3：根据数轴化简含二次根式的代数式（利用 及数轴符号）。
练习4：利用二次根式有意义的条件求字母范围，再化简含绝对值的式子。
练习5：实数混合运算（含平方根、立方根、绝对值、乘方）。
【练习1】（2025秋 唐河县期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【练习2】（2026春 番禺区期中）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【练习3】（2026春 长寿区期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是　 　 ．
【练习4】（2026春 城中区期中）已知：x，y为实数，且，则的化简结果为　 　 ．
【练习5】（2025春 滨海新区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：二次根式有意义的条件（任意实数均成立）。
作业2：根据数轴化简含绝对值和二次根式的式子。
作业3：将根号外的因式移到根号内（注意符号）。
作业4：化简含字母的二次根式（先判断字母符号）。
作业5：二次根式有意义的条件（简单不等式）。
作业6：利用二次根式有意义的条件求代数式的值（绝对值化简）。
作业7：根据数轴化简含多个根式的式子。
作业8：最简二次根式的识别与化简（综合判断）。
作业9：二次根式与立方根综合（求值）。
作业10：新定义“整数区间”及复合二次根式化简（创新题）。
复习建议 二次根式是八年级代数的重要基础，务必熟练掌握定义、有意义的条件、性质及最简二次根式的判定。化简时注意符号和取值范围，结合数轴能有效处理含绝对值的根式。创新题型需多练习构造完全平方和“穿墙”规律，提升综合解题能力【作业1】（2025 绵阳）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【作业2】（2025春 望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
【作业3】（2025春 营口校级期中）将中根号外的m移到根号里后得到的式子为（　　）
A． B． C． D．
【作业4】（2025春 漯河校级期中）化简二次根式的结果为（　　）
A． B． C． D．
【作业5】（2025 西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【作业6】（2026春 蓬江区校级期中）已知|a﹣2007|a，则a﹣20072的值是　 　 ．
【作业7】（2026春 旺苍县校级月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　 　 ．
【作业8】下列二次根式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？
，，，，（a≥0），，，，，（a＞b＞0），（x＞0，y＞0），．
【作业9】（2025春 信阳期中）（1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【作业10】（2026春 浏阳市期中）我们约定：无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“整数区间”为（1，2），的“整数区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题：
（1）的“整数区间”是　 　 ；的“整数区间”是　 　 ；
（2）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），且的“整数区间”为（3，4），求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，试求出的“整数区间”．
第1页（共1页）专题20.1 二次根式及其性质 【暑假预习】提优讲义
(5大考点精讲+创新压轴题+课后巩固)
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课程目标 · 精准把握学习方向
理解 二次根式的概念，能判断一个式子是否为二次根式（被开方数非负）。
掌握 二次根式有意义的条件（被开方数≥0），能根据条件求字母取值范围。
熟练运用 二次根式的性质进行化简（、等），并能结合数轴、绝对值化简。
掌握 最简二次根式的概念，能将一般二次根式化为最简二次根式。
学会 运用“穿墙”规律、复合二次根式化简（）等技巧解决创新题型。
体会 数形结合、分类讨论思想在二次根式化简与求值中的应用。
核心：二次根式定义 → 有意义的条件 → 性质与化简 → 最简二次根式 → 创新应用。
知识梳理 · 核心知识点
二次根式的定义
定义：一般地，形如 （）的式子叫做二次根式。其中 叫做被开方数。
判断要点：① 根指数为2（通常省略）；② 被开方数必须是非负数。
注意： 不是二次根式（根指数为3）； 不一定有意义，需保证 。
二次根式有意义的条件
被开方数必须大于等于0，即 。
若二次根式位于分母或与其他式子结合，还需满足其他限制（如分母≠0）。
利用非负性可求参数的值（如 推出 ）。
二次根式的性质与化简
几何特征：，表示数轴上点 到原点的距离。
基本性质：
；
（）；
（）。
化简原则：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
结合数轴化简：先判断绝对值内部的正负，再根据 去绝对值。
分母有理化：利用 化去分母中的根号。
最简二次根式
定义：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
判断标准：① 被开方数是整数或整式；② 被开方数中每个因式的指数都小于根指数2。
化简步骤：① 分解质因数；② 开方开得尽的部分移到根号外；③ 分母有理化。
复合二次根式化简（创新题型）
对于 ，若存在 使 ，，则可化为 。
“穿墙”规律：（）。
二次根式知识结构表
类别 核心内容 注意事项
二次根式定义 （） 根指数为2，被开方数非负
有意义条件 被开方数≥0 与分母、零次幂等结合时额外限制
性质 注意 a,b 非负
最简二次根式 被开方数不含分母、不含开得尽方的因式 分母有理化，提取平方因子
复合二次根式 的化简 构造完全平方，拆分为两数平方和
核心考点 ·5大典型考点精讲
考点一：二次根式的定义 题1-5
※ 方法总结
识别二次根式：根指数为2，被开方数≥0。
注意 （三次根式）不是二次根式； 当 为任意实数时都有意义，因为 。
根据数列规律求第 项时，观察根号下的被开方数变化规律。
1．（2026春 蓬莱区期中）下列各式中，不是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式的定义（形如的式子叫做二次根式）逐项判断即可得．
【解答】解：A、是二次根式，则此项不符合题意；
B、不是二次根式，则此项符合题意；
C、是二次根式，则此项不符合题意；
D、是二次根式，则此项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的定义，熟记二次根式的定义是解题关键．
2．（2024 东营区校级开学）已知下列各式：，，，，，，，．其中二次根式有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．根据二次根式的定义，即得答案．
【解答】解：二次根式是，，，共有4个．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的定义，正确理解二次根式的定义是解题的关键．
3．（2025春 高新区校级月考）二次根式：一般地，形如（a　≥0　 ）的式子叫做二次根式，其中，a叫作　被开方　 数．
【分析】根据二次根式的定义即可求解．
【解答】解：根据题意可知，二次根式的形式为（a≥0），a叫作被开方数．
故答案为：≥0；被开方．
【点评】本题考查了二次根式的定义，掌握二次根式的定义是关键．
4．（2025春 温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为　3　 ．
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可．
【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了二次根式的定义，正确计算是解题的关键．
5．（2024秋 衡阳月考）观察并分析下列数据，寻找规律：0，，2，，，，，…那么第10个数据应是　　 ．
【分析】根据0，，2，，，，，…即可得到0，，，，，，，从而得到第n个数为．
【解答】解：第十个数为．
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能够由题中得出的规律求解一些第几项的值的问题．
考点二：二次根式有意义的条件 题6-14
※ 方法总结
被开方数≥0 列出不等式（组）求解。
若出现两个根式且被开方数互为相反数（如 和 ），则被开方数只能为0，可求 。
当根式在分母位置时，还需保证分母≠0。
注意结合“算术平方根的非负性”和“偶次幂的非负性”求值。
6．（2026春 温州期中）若二次根式有意义，则字母a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a≥2 C．a＞﹣2 D．a≥0
【分析】利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可得到答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，
∴a+2≥0，
解得a≥﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
7．（2025春 靖江市校级期中）若x，y都是实数，且，则xy的值是（　　）
A．0 B．4 C．2 D．不能确定
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，
解得x≥1且x≤1，
∴x＝1，
∴y＝4，
∴xy＝1×4＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键．
8．（2025秋 宝山区校级月考）已知a，b为实数，且，则的值为（　　）
A．﹣3 B．7 C．﹣3或7 D．9
【分析】根据二次根式的被开方数非负得到不等式组，然后求出a，b，再代入求解即可．
【解答】解：由条件可知，
∴a＝8，b＝25，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的立方根和算术平方根，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件即被开方数非负．
9．（2025春 宜都市期末）等式成立的条件是（　　）
A．x≥0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．0＜x≤1
【分析】根据二次根式的有意义的条、分式有意义的条件，据此列不等式组求解即可．
【解答】解：由条件可得，
解得0≤x＜1．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次根式的有意义的条、分式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为零成为解题的关键．
10．（2025春 长宁区校级期中）方程的解是x＝5　 ．
【分析】利用二次根式乘积为零的性质，分别令每个根式内的表达式为零，再结合根式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：由题意可得：
需满足：或，
解得：x＝5或x＝1，
当x＝5时，代入原方程：，满足方程；
当x＝1时，代入原方程：，发现无意义，
因此x＝1被舍去，
综上，方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，本题关键在于理解根式有意义的条件（被开方数非负）及乘积为零的条件．
11．（2025秋 射洪市校级月考）已知a、b满足，则a﹣b的平方根为 　±4　 ．
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式求出a的值，再求出b的值，然后求出a﹣b，再利用平方根的定义解答．
【解答】解：根据题意得a﹣9≥0且9﹣a≥0，
解得a≥9且a≤9，
∴a＝9，
此时b＝﹣7，
∴a﹣b＝16，
∴a﹣b的平方根是±4，
故答案为：±4．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数是非负数．同时考查了平方根的定义．
12．（2025春 费县期末）若是整数，那么自然数n所有可能值的和是　60　 ．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，求出m的取值范围，再根据是整数，即可得出答案．
【解答】解：由条件可知18﹣n≥0，且18﹣n是完全平方数，
∴①18﹣n＝1，即，n＝17，
②18﹣n＝4，即n＝14，
③18﹣n＝9，即n＝9，
④18﹣n＝16，即n＝2，
⑤18﹣n＝0，即n＝18，
综上自然数n的值可以是，2，9，14，17，18，
2+9+14+17+18＝60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．
13．（2025秋 北碚区期末）已知a、b是等腰△ABC的两边，且满足．
（1）求6a+2b的算术平方根；
（2）求等腰△ABC的周长．
【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算6a+2b的值，最后求出其算术平方根；
（2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰△ABC的周长．
【解答】解：（1）由题意得，，
解得b＝3，
将b＝3代入，
可得，
由条件可得6×5+2×3＝36，
∴36的算术平方根是6，
即6a+2b的算术平方根是6．
（2）当a为腰长时，等腰△ABC的三边长分别为5，5，3，
∵5+5＝10＞3，5+3＝8＞5，
∴能构成三角形，
此时周长为13，
当b为腰长时，等腰△ABC的三边长为3，3，5，
∵3+3＝6＞5，3+5＝8＞3，
∴能构成三角形，
此时周长为11，
∴等腰△ABC的周长为11或13．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
14．（2024春 浦东新区校级期中）已知实数a满足，求a﹣20062的值．
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围，再去掉绝对值好然后平方求出a的值，代入进行计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，a﹣2007≥0，
解得a≥2007，
∴a﹣2006a，
∴2006，
两边平方得，a＝20062+2007，
所以，a﹣20062＝20062+2007﹣20062＝2007．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于0列式求出a的取值范围是解题的关键．
考点三：二次根式的性质与化简 题15-27
※ 方法总结
化简含字母的二次根式，注意字母的取值范围（由被开方数非负决定）。
核心公式：，先判断a的正负再脱绝对值。
结合数轴时，先根据数轴判断各代数式的符号，再利用 化简。
分母有理化：分子分母同乘适当因式，化去分母中的根号。
“穿墙”规律与复合二次根式化简：构造完全平方，拆分为两个根式的和或差。
15．（2026春 衢州期中）当1＜a＜2时，代数式化简后的结果是（　　）
A．﹣1 B．2a﹣3 C．1 D．3﹣2a
【分析】根据题意，得到a﹣1＞0，a﹣2＜0，把二次根式化简，可得到结果．
【解答】解：∵1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
∴
＝|a﹣1|+|a﹣2|
＝a﹣1+2﹣a
＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
16．（2026春 温岭市期中）若二次根式，则a的取值范围表示正确的是（　　）
A．a＜3 B．a＞3 C．a≤3 D．a≥3
【分析】根据二次根式的性质和已知条件列出关于a的不等式，进行解答即可．
【解答】解：∵二次根式，
∴3﹣a≤0，
﹣a≤﹣3，
a≥3，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
17．（2026春 西青区校级月考）若实数m，n在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（　　）
A．4m B．6m C．﹣4m D．﹣2m
【分析】由数轴可得n＜m＜0，则m+n＜0，m﹣n＞0，再根据二次根式的性质与化简及绝对值的性质即可得出答案．
【解答】解：由数轴可得n＜m＜0，
则m+n＜0，m﹣n＞0，
∴原式＝﹣m﹣n﹣（m﹣n）
＝﹣m﹣n﹣m+n
＝﹣2m．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，熟练掌握其知识点是解题的关键．
18．（2026春 东阳市月考）已知b＜0，化简二次根式的正确结果是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的性质进行化简，即可求解；
【解答】解：由条件可知a＜0，b＜0，
∴；
故答案为：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简．根据题意确定的取值范围是解题的关键．
19．（2026春 扶绥县校级月考）当1＜x＜4时，化简|x﹣4|的结果为（　　）
A．3 B．2x﹣5 C．﹣2x﹣3 D．﹣5
【分析】根据二次根式的性质化简，然后去绝对值计算即可．
【解答】解：∵1＜x＜4，
∴
＝|x﹣4|+|x﹣1|
＝4﹣x+x﹣1
＝3，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的性质，根据化简是解题的关键．
20．（2026春 荔湾区校级期中）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果 　﹣2b ．
【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，
∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|
＝﹣a﹣b+a﹣b
＝﹣2b．
故答案为：﹣2b．
【点评】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，合并同类项法则，解题的关键是根据数轴确定a，b的范围．
21．（2025秋 杨浦区期末）化简：　　 ．
【分析】根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a，化解解答即可．
【解答】解：根据分母有理化，二次根式的性质，分子，分母同时乘以3a可得：
，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握性质是解题的关键．
22．（2025秋 仁寿县校级月考）把根号外的因式移到根号内得　．　 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件可知2﹣m＜0，然后把2﹣m移到根号内，进行计算即可．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质和化简，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
23．（2025秋 闵行区校级期中）化简：　　 ．
【分析】根据条件xy＜0和平方根的定义，可知x＜0、y＜0，将48 分解为16×3，并提取平方因子，同时考虑绝对值符号，由于xy＜0进行绝对值简化即可．
【解答】解：根据条件xy＜0和平方根的定义，可知x＜0、y＜0，将48 分解为16×3，并提取平方因子可得：，
由于xy＜0，x2y3≥0，
则x＜0、y＞0，
当x＜0、y＞0时，|x|＝﹣x、|y|＝y，则|x| |y|＝﹣xy，
因此，．
故答案为：．
【点评】本题考查二次根式的化简，熟练掌握化简二次根式的方法是解题的关键．
24．（2025春 洮北区校级月考）实数a，b在数轴上对应位置如图所示，则 a ．
【分析】根据数轴得到b＜0 a，|b| |a|，结合因式分解，二次根式的性质化简即可求解．
【解答】解：根据题意可得a﹣b＞0，
∴原式＝a﹣b﹣（﹣b）
＝a，
故答案为：a．
【点评】本题考查了数轴的特点，二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质化简是解题的关键．
25．（2025 东港区校级一模）已知m是的小数部分，则的值为　4　 ．
【分析】先估算得到m2，则2，即m，利用完全平方公式得到原式，再根据二次根式的性质得到原式＝|m|，去绝对值得原式＝﹣m，然后把m和的值代入计算即可．
【解答】解：∵m是的小数部分，
∴m2，
原式|m|
∵m2，
∴2，即m，
∴原式＝﹣（m）
＝﹣m
＝﹣（2）2
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，估算无理数的大小，完全平方公式，熟知以上知识是解题的关键．
26．（2026春 栖霞市期中）【阅读材料】著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”小明在学习了二次根式后，发现了一个有趣的数学现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：，等．
【猜想】
（1）　5　 ，并验证；
【推理证明】
（2）分析上述式子，你能猜出其中的规律吗？用字母n表示这一规律，并验证你的猜想是否正确；
【创新应用】
（3）按此规律，若（a，b为正整数），求a+b的值．
【分析】（1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用n（n≥2）表示即可；
（3）根据“穿墙”的定义，分别求出a，b的值即可得到答案．
【解答】解：（1）仿照示例，可得：，
故答案为：5，
验证：5；
（2）规律：，
验证：；
（3）∵，
根据（2）规律可得：a＝8，a2﹣1＝b，
∴a＝8，b＝63，
∴a+b＝71．
【点评】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
27．（2026春 福山区期中）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3．
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当2≤a≤3时，化简，　3　 ．
（2）若等式成立，则a的取值范围是　3≤a≤7　 ．
（3）若，求a的取值．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解答】解：（1）∵2≤a≤3，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3，
故答案为：3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7，
故答案为：3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+11+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
.原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5 时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
.此方程无解，故﹣1＜a＜5 不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2 或a＝6．
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
考点四：最简二次根式 题28-34
※ 方法总结
最简二次根式必须满足：① 被开方数不含分母；② 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
判断时，先将根式化简，再检查是否满足上述条件。
若被开方数含有字母，需考虑字母的取值（如 需根据 的符号开方）。
利用最简二次根式的定义可求参数（如指数关系列方程）。
28．（2026春 惠州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可．
【解答】解：根据最简二次根式的两个判定条件逐项分析判断如下：
，故A不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意；
的被开方数30不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件，故选项D是最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握该知识点是关键．
29．（2025春 滨城区校级月考）若a＞0，把化成最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件得到，而a＞0，则b＜0，再进行化简．
【解答】解：根据二次根式有意义的条件得到，而a＞0，则b＜0，
∵a＞0，，
∴b＜0，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握．
30．（2024秋 宝丰县期末）若是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是 　2　 ．
【分析】先根据二次根式有意义求出m的取值范围，再根据m为整数，以及最简二次根式的定义即可求出m的最小值．
【解答】解：由题意得3m﹣4≥0，
解得m，
∵m为整数，
∴当m＝2时，是最简二次根式；
故答案为：2．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是关键．
31．（2021秋 浦东新区校级月考）在、、、、中，最简二次根式是　、　 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：、是最简二次根式，
故答案为：、．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
32．（2021秋 平昌县月考）化简：﹣a化成最简二次根式为　　 ．
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解答】解：由题意a＜0，
﹣a，
故答案为：．
【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
33．（2025春 同步）若和都是最简二次根式，求m，n的值．
【分析】根据最简二次根式的定义列出方程组，求出m、n的值即可．
【解答】解：∵和都是最简二次根式，
∴，
∴．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母是解题的关键．
34．（2012秋 合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）；
（2）．
【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．
【解答】解：（1）原式；
（2）当b，c同为正数时，原式．
当b，c同为负数时，原式（）．
当c＝0时，原式＝0．
【点评】化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开方数不含分母；将被开方数中能开得尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分．
考点五：创新及压轴题 题35-37
※ 方法总结
多重二次根式化简：将被开方数化为完全平方形式，常用配方法或待定系数法。
“穿墙”规律：，可用于简化计算。
当出现 时，先化为 形式，再构造完全平方。
注意利用二次根式有意义的条件及非负性确定字母的值。
35．（2025秋 静安区校级期中）已知x，y是实数，且y，求5x+6y的值．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求出x的值，再求出y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，
解得x＝3，
所以，y，
所以，5x+6y＝5×3+6×（）＝15﹣2＝13．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
36．（2022秋 吉安县期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m， ，那么便有±（a＞b）例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12；
由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7， ，
∴2
由上述例题的方法化简：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】先把各题中的无理式变成 的形式，再根据范例分别求出各题中的a、b，即可求解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【点评】主要考查二次根式根号内含有根号的式子化简．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式根号内含有根号的式子化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．
37．（2021秋 思明区校级期末）观察下列各式，发现规律：
2；3；4；…
（1）填空：　5　 ，　6　 ；
（2）计算（写出计算过程）：；
（3）请用含自然数n（n≥1）的代数式把你所发现的规律表示出来．
【分析】（1）根据已知等式得出规律，写出所求结果即可；
（2）利用二次根式性质计算得到结果即可；
（3）归纳总结得到一般性规律，写出即可．
【解答】解：（1）根据题意得：5；6；
故答案为：5；6；
（2）2015；
（3）归纳总结得：（n+1）（自然数n≥1）．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
随堂检测 · 精选练习
练习1：识别最简二次根式（被开方数不含分母、不含开得尽方的因式）。
练习2：由 为整数求正整数 的最小值（将根号内因数开方）。
练习3：根据数轴化简含二次根式的代数式（利用 及数轴符号）。
练习4：利用二次根式有意义的条件求字母范围，再化简含绝对值的式子。
练习5：实数混合运算（含平方根、立方根、绝对值、乘方）。
【练习1】（2025秋 唐河县期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【解答】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C、被开方数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是关键．
【练习2】（2026春 番禺区期中）若是整数，则正整数n的最小值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】要使为整数，需满足24n是完全平方数，由，即可确定n的最小值．
【解答】解：∵，
∴，
由条件可知6n是完全平方数，
∴n的最小值为：6．
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
【练习3】（2026春 长寿区期中）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是b﹣2　 ．
【分析】先根据数轴的定义得出a＜0，1﹣a＞0，1﹣b＜0，再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后计算加减即可得．
【解答】解：∵a＜0＜1＜b，
∴1﹣a＞0，1﹣b＜0，
则原式＝﹣a﹣（1﹣a）+（b﹣1）
＝﹣a﹣1+a+b﹣1
＝b﹣2．
故答案为：b﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是关键．
【练习4】（2026春 城中区期中）已知：x，y为实数，且，则的化简结果为　﹣1　 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件确定x的值，进而得到y的取值范围，再利用二次根式性质和绝对值性质化简原式．
【解答】解：由题意得：，
解得x＝1，
将x＝1代入不等式，
∴y＜4，
∴y﹣4＜0，y﹣5＜0，
原式＝|y﹣4|﹣|y﹣5|
＝4﹣y﹣（5﹣y）
＝4﹣y﹣5+y
＝﹣1．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，实数的运算，熟知以上知识是解题的关键．
【练习5】（2025春 滨海新区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式＝4﹣3+2﹣2
＝1．
【点评】本题主要考查实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
课后巩固 · 针对性练习
作业1：二次根式有意义的条件（任意实数均成立）。
作业2：根据数轴化简含绝对值和二次根式的式子。
作业3：将根号外的因式移到根号内（注意符号）。
作业4：化简含字母的二次根式（先判断字母符号）。
作业5：二次根式有意义的条件（简单不等式）。
作业6：利用二次根式有意义的条件求代数式的值（绝对值化简）。
作业7：根据数轴化简含多个根式的式子。
作业8：最简二次根式的识别与化简（综合判断）。
作业9：二次根式与立方根综合（求值）。
作业10：新定义“整数区间”及复合二次根式化简（创新题）。
复习建议 二次根式是八年级代数的重要基础，务必熟练掌握定义、有意义的条件、性质及最简二次根式的判定。化简时注意符号和取值范围，结合数轴能有效处理含绝对值的根式。创新题型需多练习构造完全平方和“穿墙”规律，提升综合解题能力【作业1】（2025 绵阳）若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件进行判断．
【解答】解：∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
∴一定有意义，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
【作业2】（2025春 望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（　　）
A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0，
∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c）
＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，熟练掌握以上知识点是关键．
【作业3】（2025春 营口校级期中）将中根号外的m移到根号里后得到的式子为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质即可解答．
【解答】解：将中根号外的m移到根号里，则：
由题意可知：，
∴m＜0，
∴
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【作业4】（2025春 漯河校级期中）化简二次根式的结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简．
【解答】解：化简得：，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式性质与化简，掌握是解题关键．
【作业5】（2025 西藏）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2
【分析】根据二次根式有意义进行判断即可．
【解答】解：∵有意义，
∴2﹣x≥0，
∴x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义是解题的关键．
【作业6】（2026春 蓬江区校级期中）已知|a﹣2007|a，则a﹣20072的值是　2008　 ．
【分析】此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
【解答】解：∵|a﹣2007|a，∴a≥2008．
∴a﹣2007a，
2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
【点评】解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
【作业7】（2026春 旺苍县校级月考）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是　2b ．
【分析】观察数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法法则判断a+b的正负，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】解：观察数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴
＝﹣a+b﹣（﹣a﹣b）
＝﹣a+b+a+b
＝2b，
故答案为：2b．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简和数轴，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
【作业8】下列二次根式中，哪些是最简二次根式，哪些不是？
，，，，（a≥0），，，，，（a＞b＞0），（x＞0，y＞0），．
【分析】最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一分析各个二次根式，即可找出最简二次根式；然后利用二次根式的性质把不是最简二次根式的二次根式进行化简，来进行说明理由即可．
【解答】解：是最简二次根式；
3，被开方数含能开得尽方的因数9，不是最简二次根式；
，被开方数含有小数，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
3a（a≥0），被开方数含能开得尽方的因数9a2，不是最简二次根式；
，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
是最简二次根式；
（a+b）（a＞b＞0），被开方数含能开得尽方的因数（a+b）2，不是最简二次根式；
（x+y）（x＞0，y＞0），被开方数含能开得尽方的因数（x+y）2，不是最简二次根式；
是最简二次根式．
【点评】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
【作业9】（2025春 信阳期中）（1）若x，y都是实数，且，求5x+13y+6的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件，可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入求解即可；
（2）根据题意得到3y﹣1+1﹣2x＝0，进一步计算即可求解．
【解答】解：（1）由题意解得x＝3，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴3y﹣1+1﹣2x＝0，
∴．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，立方根的性质．熟练掌握以上知识点是关键．
【作业10】（2026春 浏阳市期中）我们约定：无理数的被开方数T（T为正整数）满足n2＜T＜（n+1）2（其中n为正整数），则称无理数的“整数区间”为（n，n+1）；同理规定无理数的“整数区间”为（﹣n﹣1，﹣n）．例如：因为12＜2＜22，所以，所以的“整数区间”为（1，2），的“整数区间”为（﹣2，﹣1）．请解答下列问题：
（1）的“整数区间”是　（4，5）　 ；的“整数区间”是　（﹣6，﹣5）　 ；
（2）若无理数（a为正整数）的“整数区间”为（﹣3，﹣2），且的“整数区间”为（3，4），求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，试求出的“整数区间”．
【分析】（1）根据“整数区间”的定义求解即可；
（2）先根据无理数和的“整数区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，然后代入求解即可；
（3）由题意可得x+y﹣2026≥0、2026﹣x﹣y≥0，得出x+y＝2026，进而得出2x+3y﹣m＝0、3x+4y﹣2m＝0，两式相减可得m＝x+y＝2026，再根据“整数区间”的定义求解即可．
【解答】解：（1）∵42＝16＜19＜52＝25，52＝25＜26＜62＝36，
∴，，
∴的“整数区间”是（4，5），的“整数区间”是（﹣6，﹣5）；
故答案为：（4，5）；（﹣6，﹣5）；
（2）由条件可知，
∴22＜a＜32，即4＜a＜9，
∵的“整数区间”为（3，4），
∴，
∴32＜a+3＜42，即9＜a+3＜16，
∴6＜a＜13，
∴6＜a＜9，
∵a为正整数，
∴a＝7或a＝8，
当a＝7时，；
当a＝8时，．
综上所述，的值为或3．
（3）∵，
∴x+y﹣2026≥0、2026﹣x﹣y≥0，
∴x+y＝2026，
∴，
∵，
∴2x+3y﹣m＝0、3x+4y﹣2m＝0，
两式相减得x+y﹣m＝0，即x+y＝m＝2026，
∴，
∵452＝2025＜2026＜462＝2116，
∴，
∴的“整数区间”是（45，46）．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、非负数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
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