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(共25张PPT)
10.1随机事件与概率
10.1.2事件的关系和运算
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件.这些事件有的简单，有的复杂.我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算.
探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，如：Ci＝“点数为i”，i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于3”；D2＝“点数大于3”；
E1＝“点数为1或2”；E2＝“点数为2或3”；
F＝“点数为偶数”；G＝“点数为奇数”；
……
新知1：事件的关系
如：A＝“点数为1”，B＝“点数为奇数”，则_______
如：A＝“点数为1或2”，B＝“点数不大于2”，则______
如: C＝“点数不大于3”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______
①若事件A发生，则事件B一定发生，则称事件B包含事件A
(或事件A包含于事件B)，记作B A(或A B)．
②若事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B A且A B，
则称事件A与事件B相等，记作A=B.
③事件A与事件B至少有一个发生，且事件C中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作A∪B(或A＋B)．
A B
A=B
C=A∪B
{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}
{1} {1,3,5}
B(A)
Ω
新知1：事件的关系
如: C＝“点数为2”，A＝“点数为1或2”，B＝“点数为2或3”，则_______
④事件A与事件B同时发生，且事件C中的样本点既在事件A中，又在事件B中，则称事件C为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作A∩B(或AB)．
C=A∩B
{1,2}∩{2,3}＝{2}
注：可以定义多个事件的(并)和事件、(交)积事件.
如：对于三个事件A,B,C，
A∪B∪C发生当且仅当A,B,C至少有一个发生；
A∩B∩C发生当且仅当A,B,C同时发生.
巩固：事件的关系
[练习1]同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有（ ）
A. A B B. A B C. A=B D. A[练习2]现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，记取到语文、数学、英语、物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E，则事件“取出的是理科书”可记为________.
[练习3]从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是(　　)
A.{2,4}　　　B.{4,6} C.{4,8}　　　D.{2,8}
A
B∪D∪E
C
{正正} {正正,正反,反正}
巩固：事件的关系
[练习4]在抛掷一枚骰子,观察其向上面的点数的试验中,事件A表示“不大于4的偶数点出现”,事件B表示“小于4的点数出现”，则事件A∪B包含的样本点为________.　　　　 .
A={2,4}
B={1,2,3}
1,2,3,4
新知1：事件的关系
如: A＝“点数为1”，B＝“点数为3”，则_________
⑤事件A与事件B不能同时发生，即A∩B是一个不可能事件，即A∩B= ，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)．
A，B互斥
{1}∩{3}＝
如: A＝“点数为奇数”，B＝“点数为偶数”，则_____________
A，B互为对立
⑥事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,
即A∪B=Ω，且A∩B= ，则称事件A与事件B互为对立.
事件A的对立事件记为A.
—
Ω
A
A
—
互斥事件一定是互为对立事件吗？
互为对立事件一定是互斥事件吗？
互为对立事件一定是互斥事件.
互斥事件不一定互为对立.
事件的关系或运算 含义 符合表示 韦恩图
包含 A发生导致B发生 或
并事件(和事件) A与B至少一个发生 ∪ 或 ＋
交事件(积事件) A与B同时发生 ∩ 或
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 ∩ =
互为对立 A与B有且只有一个发生 ∩ = ， ∪ =
事件的关系或运算
解： (1) 用x1, x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用(x1, x2)表示这个并联电路的状态.
用1表示元件正常，0表示元件失效，
则样本空间为Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
典例分析
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B ，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
—
—
Ω = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
典例分析
(2) 依题可得 A = {(1, 0), (1, 1)},
B = {(0, 1), (1, 1)}，
A∪B表示电路工作正常，
例5 如图示， 由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效. 设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.
(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；
(2) 用集合的形式表示事件A，B以及它们的对立事件；
(3) 用集合的形式表示事件A∪B和事件A∩B ，并说明它们的含义及关系.
乙
甲
—
—
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”.
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
典例分析
解：(1) 所有的试验结果如图所示.
用数组(x1, x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
Ω = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4),
(3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}.
则试验的样本空间为
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”.
(1) 用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
典例分析
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)},
R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)},
R = {(1,2), (2,1)},
G={(3,4), (4,3)},
M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，
N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }.
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”.
(2) 事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？
典例分析
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)},
R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)},
R = {(1,2), (2,1)},
G={(3,4), (4,3)},
M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，
N = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4),
(3,1), (3,2), (4,1), (4,2) }.
R = {(1,2), (2,1)},
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)},
(2) ∵R R1, ∴事件R1包含R；
∵R∩G = , ∴事件R与G互斥；
∵M∪N = Ω, M∩N = ，
∴事件M与N互为对立事件.
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球, 其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4), 从袋中不放回地依次随机摸出2个球.
设事件R1 = “第一次摸到红球”，R2 = “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”.
(3) 事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？
事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？
典例分析
R1 = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3)},
R2 = {(2,1), (3,1), (4,1), (1,2), (3,2), (4,2)},
R = {(1,2), (2,1)},
G={(3,4), (4,3)},
M = {(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}，
(3) R∪G ={(1,2), (2,1), (3,4), (4,3)}
=M
R1∩R2 = {(1,2), (2,1)}
= R.
巩固：事件的关系
P233-1.某人打靶时连续射击2次，下列事件中与事件“至少有一次中靶”的互为对立的是( ).
A.至多一次中靶 B.两次都中靶
C.只有一次中靶 D.两次都不中靶
[变式]某人连续射击3次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(　　)
A．恰有一次击中 B．三次都没击中
C．三次都击中 D．至多击中一次
[练习5]把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( )
A.对立事件 B.互斥但不对立事件
C.不可能事件 D.以上都不对
D
B
D
事件的关系或运算 含义 符合表示 韦恩图
包含 A发生导致B发生 或
并事件(和事件) A与B至少一个发生 ∪ 或 ＋
交事件(积事件) A与B同时发生 ∩ 或
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 ∩ =
互为对立 A与B有且只有一个发生 ∩ = ， ∪ =
课堂小结
1、事件的关系或运算
2、互斥事件与对立事件联系与区别
1、互斥事件是不可能同时发生的事件，
而对立事件是不可能同时发生的两个事件，且其中必有一个要发生.
因此，对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件；
2、对立事件是对两个事件而言的，而互斥事件是对两个或两个以上事件而言的.
课堂小结
1．在列出基本事件时，应先确定基本事件是否与顺序有关．
写样本空间的样本点时，要按一定顺序和规律写，做到补充不漏．
2．写出试验的样本空间的方法：
(1)列举法：适合于较简单的问题．
(2)列表法：适合求较复杂问题中的基本事件数．
(3)树形图法：适合较复杂问题中基本事件的探求．
基本事件的计数问题
通过试验和观察的方法，我们可得到一些事件的概率估计。但此法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值。
在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法。
掷100、1000、10000次硬币，得到正面向上的频率在0.5附近，由此估计掷一枚硬币正面向上的概率为0.5。
研究随机现象,最重要的是知道随机事件发生的可能性大小.对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
[练习6]如图，甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效，设事件A=“甲元件正常”，B=“乙元件正常”．则事件A∪B的对立事件是( )
A.A∩B B.A∪B
C.A∩B D.A∩B
巩固：事件的关系
C
乙
甲
—
—
—
—
—
Ω={(1,0),(1,1),(0,1),(0,0)}
A∪B={(1,0),(0,1),(1,1)}
甲正常或乙正常
即甲乙都不正常
用1表示元件正常，0表示元件失效
巩固：事件的关系
P232-例6.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1=“第一次摸到红球”，R2=“第二次摸到红球”，R=“两次都摸到红球”，
G=“两次都摸到绿球”，M=“两个球颜色相同”，N=“两个球颜色不同”．
则事件R与R1的关系是__________；
事件R与G的关系是__________；
事件M与N的关系是__________.
R∪G=_______；R1∩R2=_______.
R R1
互斥
互为对立
M
R
[练习7]在30件产品中有26件一级品，4件二级品，从中任取3件，记事件A为“3件都是一级品”，则事件A的对立事件是____.
A.3件不都是一级品
B.3件都不是一级品
C.至少有一件是二级品
巩固：事件的关系
AC
END
Thanks!
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