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2025-2026学年下学期八年级期末检测卷
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．若有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知方程的解是，，现给出另一个方程，则它的实数解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．如图，直线，点E，F在直线上（不与点C，D重合），且．若的面积为8，则的面积是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．在一次由（一款围棋人工智能程序）参与的围棋比赛中，每位选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分，无平局，四位同学分别统计了全部选手的得分总数，结果分别是210，212，208，214，经过仔细验算后发现这四位同学计算结果中只有一个数据是正确的，则正确的数据为（ ）
A．208 B．210 C．212 D．214
6．某文具店老板将6月份内每天的笔记本销售量绘制了箱线图，以下说法正确的是（ ）
A．有15天每天销售笔记本在200本以上
B．6月的笔记本每天销售量的中位数在200本以下
C．这个月中笔记本销售量最大的一天，销售量大于400本
D．这个月中每天笔记本的销售量差异不大
7．在四边形中，对角线与相交于点．下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．如图，，点E，F分别是边，的中点，连接，若，，则的长度为（ ）．
A．5 B．3.5 C．3 D．4
9．如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在边长为3的正方形中，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．的值为（ ）
A． B．3 C． D．不确定
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若，则代数式的值为_____
12．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________．
13．已知一组数据的方差计算公式为，则这组数据的中位数是______，标准差是______．
14．如图，在中，平分交边于点，，，则的长为______．
15．如图，的对角线相交于点，点分别是线段的中点，若，的周长是，则_______．
16．如图，法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H得到的平行四边形与原四边形关系密切，因此平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．已知瓦里尼翁平行四边形是矩形，则原四边形的对角线，满足的关系是_____．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算
(1)
(2)
18．解下列方程：
(1)
(2)
19．阅读材料：已知，求的值．
解：∵
．
∴．
解答问题：
已知．求：的值及的值．
20．2026年中国国际园林博览会在温州举办，其特色吉祥物玩偶深受游客喜爱．某商店购进一批吉祥物玩偶，进价每个15元，售价每个25元，第一周按此售价共卖出400个．经过市场调查发现，售价每涨4元，每周就少卖40个．
(1)若商店要让第二周的利润达到6000元，并且最大程度让利消费者，售价应定为多少元？
(2)在（1）的条件下，商店为清除库存，从第三周开始推出促销活动，使销售量在第二周的基础上稳步提升，第四周的销售量达到了363个，求这两周销售量的平均增长率．
21．如图，平行四边形中，分别是、的平分线，且E、F分别在边上，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求平行线与间的距离．
22．2026年央视马年春晚的舞台上，歌咏创意秀《贺花神》融合了动态舞美与传统非遗的国风盛宴，将“十二月花神”的东方浪漫具象化．某校举办了创意作品大赛，现从参赛的作品中随机抽取部分作品的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了下列不完整的统计表和统计图．
所抽取作品的成绩频数分布表
组别 作品成绩x（分） 频数 组内总成绩（分）
第1组 a 171
第2组 9 567
第3组 b 1119
第4组 21 1829
第5组 12 1150
根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽取的作品有______份，b的值为______，所抽取作品成绩的中位数位于第______组；
(2)求所抽取作品成绩的平均数；
(3)若参加此次大赛的作品共有900份，请你估计成绩不低于80分的作品数．
23．如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上．图2是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，已知托板，支撑板，底座，托板固定在支撑板顶端点C处，且，托板可以绕着点C转动，支撑板可以绕着点A转动．
(1)若，，求点D到的距离．（结果保留根号）
(2)为了观看舒适，在（1）的情况下，将绕着点C逆时针旋转后，再将绕着点A顺时针旋转，使得点E落在直线上（如图3），求旋转的角度．
24．点E是正方形的边上一点，连接．
(1)发现：如图1，若点E为中点，交正方形的外角的平分线于点F，则有；理由是：取的中点M，连接，根据两个三角形全等，就可以得出，请直接写出题中说的两个全等三角形．
(2)推广：如图2，若点E为边上（不与点B、C重合）任意一点时，交正方形的外角的平分线于点F，线段与是否仍然相等，并证明你的结论；
(3)探究：如图3，若点E在边上（不与点C、D重合），交正方形外角的平分线于F，过点F作，垂足为H．试探究线段与的关系．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A C B B D C B A
1．D
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 轴对称图形是指沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指绕一个点旋转后能与自身重合的图形．
解：A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D选项既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
2．A
解：二次根式有意义时，被开方数必须是非负数，
若有意义，则，
移项得，
两边同时除以，得．
3．A
将新方程中的看作整体，对应原方程的未知数，再分别解一元二次方程即可得到答案．
解：令则新方程可化为，
原方程的解为，，
∴的解是或，
即或，
当时，整理得，
此方程无实数解；
当时，整理得，
因式分解得，
解得，，
因此新方程的实数解为，．
4．C
过点A作与点G，再根据同高等底进行求解即可．
解：如图，过点A作与点G，
∵，
∴是的高，
∵，且，
∴，
∵，
又∵，
∴的面积是8．
5．B
本题考查一元二次方程的应用（比赛积分问题），以及数的整除性和奇偶性分析．解题的关键是先根据比赛规则推导得分总数的表达式，再依据表达式为两个连续正整数乘积的特征，判断正确数据．
解：设参赛选手有位（为正整数）
∵每位选手都与其他选手恰好比赛一局
∴比赛总场次为
∵每局比赛无论胜负，总分增加分
∴全部选手的得分总数为
即得分总数必为两个连续正整数的乘积
∵，且212、208、214均无法表示为两个连续正整数的乘积
∴正确的数据为210．
故选B．
6．B
本题主要考查箱线图的应用，从箱线图中得到信息是解题的关键．根据箱线图得到信息即可求解．
解：A、由箱线图可得，中位数小于200，不代表这个月有15天每天销售量在200本以上，故A错误；
B、由箱线图可得，中位数小于200，故B正确；
C、由箱线图可得，最大值小于400，故C错误；
D、由箱线图可得，最小值和最大值相差很大，销售量波动明显，差异较大，故D错误；
故选：B．
7．D
根据平行四边形的判定定理，逐一判断各选项，即可找出不能判定的选项．
解：对于A，，，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
对于B，，，由对角线互相平分的四边形是平行四边形，
可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
对于C，，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
可判定四边形是平行四边形，不符合题意；
对于D，当，时，四边形可能是等腰梯形，
无法判定它是平行四边形，符合题意．
8．C
连接并延长交于点，证明，则，，然后利用三角形中位线的性质求解．
解：连接并延长交于点，
∵点，分别是，的中点，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴是的中位线，
∴．
9．B
由菱形的性质可得，，，证明并结合线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，即可得出结果．
解：∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．A
由正方形性质可得，由勾股定理得对角线，则有，然后通过即可求解．
解：如图，连接，
∵在正方形中，，
∴，，
同理可得，
∴，
∴，
∴．
11．2026
解：，
∵，
∴，
∴原式．
12．3
根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值．
解：用配方法解得，
两边平方得，
展开左边得，
整理得，
原方程为
对比系数，可得．
13． 2
本题考查方差，中位数,标准差．由方差的计算公式得出这组数据为0，2，2，4，据此可得中位数．再求出平均数，求出方差，最后求出标准差即可．
解：由方差的计算公式知，这组数据为0，2，2，4，
所以中位数为．平均数．
∴，
∴标准差是，
故答案为：2，．
14．
首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题．
四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
15．2
由得到，，因此，再由得到，从而根据三角形中位线的性质即可求解．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵点分别是线段的中点，
∴．
16．
先判定四边形是平行四边形，再结合矩形的内角为直角的性质，即可推出原四边形对角线满足的条件．
解：根据三角形中位线定理可得：，，，，，，
，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，即
，，
．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)，
（1）用因式分解法解方程即可；
（2）通过公式法求解一元二次方程，即可得到答案．
（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，，，
，
，
，．
19．，
利用平方差公式可得，进而得到，再结合解方程组即可．
解：由题意得：
．
∵，
∴，
由①，
②，
①+②得：，
解得：，
综上，，．
20．(1)35元
(2)
（1）设售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量列出方程进行求解即可；
（2）设这两周销售量的平均增长率为，根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可．
（1）解：设售价应定为元，则单个玩偶的利润为元，
这周的销售量为个，
由题意，得，
整理得，解得，．
因为要最大程度让利消费者，所以舍去，售价应定为35元；
答：售价应定为35元．
（2）解：设这两周销售量的平均增长率为．
由（1）知售价为35元时，第二周的销售量为（个），
则，
解得，（舍去）．
答：这两周销售量的平均增长率为．
21．(1)证明见解析
(2)
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得，再根据等角对等边得，即可得，，然后根据可得，接下来说明四边形是平行四边形，最后根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”得出答案；
（2）连接，先说明是等边三角形，再根据菱形的性质可得．，然后根据勾股定理得出答案．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
∵分别是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
即．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴．
在中，，
根据勾股定理，得，
所以平行线与之间的距离是．
22．(1)60；15；4
(2)80.6分
(3)495份
（1）扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，频数等于样本容量乘以所占百分数，根据中位数的定义，解答即可；
（2）利用平均数的定义求解即可；
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
（1）解：根据题意，得本次抽取的作品有：，
根据题意，得第1组的份数为：（份），
故（份）
中位数是第30个，第31个数据的平均数，
故中位数位于第4组．
（2）解：（分）．
答：所抽取作品成绩的平均数为80.6分．
（3）解：（份）．
答：成绩不低于80分的作品数大约是495份．
23．(1)点D到的距离为
(2)旋转的角度为
（1）过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，证明四边形是矩形，得出，，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，求出，得出答案即可；
（2）画出旋转后的图形，结合图形，明确图形中已知的边角，根据中，，，得出是等腰直角三角形，求出，即可得出答案．
（1）解：如图2，过D作，交于点M，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
由题意可知，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，，
由勾股定理可得：，
∴，
在中，，
由勾股定理可得：，即，
∴，
∴，
答：点D到的距离为．
（2）解：旋转后，如图3所示，根据题意可知，
在中，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
因此旋转的角度为：，
答：旋转的角度为．
本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
24．(1)和
(2)仍然成立，证明见解析
(3)
（1）根据中点定义及等腰直角三角形的性质，正方形的性质可知，，由，可证得，进而可证，即可证明结论；
（2）在上截取，连接，通过等腰直角三角形的性质及正方形的性质类比（1）证明，即可证明结论；
（3）在上截取，连接，由（2）可知，和均为等腰直角三角形，结合勾股定理即可证明．
（1）解：和， 理由如下：
四边形是正方形，
，，
点E为的中点，点M为的中点，
，
，
，
又交正方形外角的平分线于F，
，
，
，
，
，
在和中：，
，
；
（2）解：仍然成立，证明如下：
在上截取，连接，
正方形中，，，
，即，
为等腰直角三角形，
∴，．
平分，，
，
∴，
，
，
，
，
又，
．
，
；
（3）， 理由如下：
在上截取，连接，
同理可证，，
又因为和均为等腰直角三角形，
，
，
所以．
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