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2025-2026学年下学期八年级期末检测试卷02
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下面各图标中，是中心对称的图形是（ ）
A． B． C． D．
2．已知n个数据的和为108，平均数为12，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．下列各式是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；分别以B，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点G；连接并延长，交于点E．若，，则的长为（ ）
A．10 B．11 C．14 D．20
5．下列各式（都有意义）：，，，，，中，属于最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
7．“双大课间”活动让师生共享美好体育生活．为检测学生体育锻炼效果，我市某校从某班随机抽取10名学生进行篮球定时定点投篮检测，并将投篮进球数据绘成如图所示的条形统计图，对于这10名学生的定时定点投篮进球数，下列说法中错误的是（ ）
A．中位数是5 B．方差是2
C．平均数是 D．众数是5
8．如图，菱形的对角线与相交于点O，，，则菱形的周长为（ ）
A．20 B．40 C．48 D．64
9．已知正方形的边长为6，，它的两边分别交线段、于点、．则下列结论：（1）；（2）若，则，（3）的周长一定等于12，（4）平分，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，点O是对角线的中点．某数学学习小组要在上找两点E，F，使四边形为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取，的中点E，F 作于点E，于点F
请回答下列问题：
对以上方案的判断，你认为正确的是：（ ）
A．甲方案可行，乙方案不可行 B．甲方案不可行，乙方案可行
C．甲乙两方案均可行 D．甲乙两方案均不可行
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某校机器人编程团队参加创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数是______．
12．已知，则的值为_________．
13．已知方程有两个实数根，则的值等于_______．
14．如图，小华注意到跷跷板静止状态时，可以与地面构成一个，跷跷板中间的支撑杆垂直于地面（E，F分别为、的中点）．若，则此时点距离地面的高度为__________．
15．如图，在矩形中，对角线、相交于点，若，则等于_____．
16．如图，这是我国古代数学家赵爽的弦图，它由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长为，，斜边长为．已知，，则图中小正方形的边长为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．解方程
(1)
(2)
19．如图，在四边形中，，，是上一点，交于F，连接．
(1)证明：
(2)若，试证明四边形是菱形；
(3)若，，求．
20．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件．
(1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？
(2)平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由．
21．如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的长．
22．先阅读，后解答：
，；像上述解题过程中，与、与相乘，积不含有二次根式，我们可将这两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
(1)的有理化因式是____________；的有理化因式是____________．
(2)将下列式子进行分母有理化：①___________；②____________．
(3)类比（2）中②的计算结果，计算：
23．如图，在中，，点M是边的中点，动点P从点A出发，沿折线运动，到达点B停止运动，点Q是的中点，连接．
(1)线段的长度是______；
(2)点B到的距离是______；
(3)当是等腰三角形时，求的长度；
(4)当时，直接写出的长度．
24．探究不同情境，回答下面问题：
(1)【问题初探】请解答王老师提出的问题：数学活动课上，王老师出示了如下问题：如图1，在正方形中，在上取点M，连接，过点A作交于点N．求证：．
(2)【解决问题】在原有问题条件不变的基础上，王老师提出新问题，请你解答．如图2，点O为正方形的对角线交点，P，Q分别在边，上，满足，连接，，．
①判断的形状，并说明理由；
②若，求的最小值．
(3)【深入研究】数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，在（2）的条件下，如图3，连接，，与交于点H，使，若，，请求出正方形的面积（用含有m，n的式子表示）．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B C B D B B C C
1．D
在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据定义判断即可．
解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意．
2．C
利用平均数的计算公式直接计算即可求解．
解：∵n个数据的和为108，平均数为12，
∴．
3．B
二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需同时满足根指数为2、被开方数为非负数两个条件．
解：A、的被开方数，无意义，不是二次根式；
B、的根指数为2，被开方数，符合二次根式定义，是二次根式；
C、中的取值不确定，当时不是二次根式，不符合要求；
D、的根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
4．C
由作图可知平分，由平行四边形可得，，，由平行线的性质，结合等角对等边，等量代换，可得，即可得的长．
解：由题中作图可知平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．B
根据最简二次根式定义判断即可．
解：，被开方数含有分母，不是最简二次根式，
，被开方数含有能开得尽的因数9，不是最简二次根式，
，分母中含有根号，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
，被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，
是最简二次根式，
所以最简二次根式有2个．
6．D
由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可．
解：关于的一元二次方程有实数根，
，且，
且．
7．B
此题考查了加权平均数，中位数、众数和方差的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键．分别根据中位数、众数、加权平均数以及方差的定义解答即可．
解：把这10名学生的定时定点投篮进球数从小到大排列，排在第5和第6个数是5，所以中位数是5，故选项A正确，不符合题意；
这10名学生的定时定点投篮进球数出现最多的数是5，所以众数是5，故选项D正确，不符合题意；
平均数是：，故选项C正确，不符合题意；
方差是：
，
故选项B错误，符合题意．
故选：B．
8．B
根据菱形的性质可得，，，在中利用勾股定理求出的长，进而求出菱形的周长．
解：四边形是菱形，
，，，，
，，
，，
在中，由勾股定理得：，
菱形的周长为．
9．C
将绕点A顺时针旋转得到，则，利用正方形性质和证，从而得到（1）正确，再利用（1）结论和三角形全等判断其它结论．
解：如图，将绕点A顺时针旋转得到，
则，
，
，
，
，
则在和中，
由
，
接下来逐一分析四个结论：
（1）
，
由，
，故（1）正确；
（2），设，
则由（1）正确知，，
在中，由勾股定理得
，
，
解得，即，故（2）正确；
（3）由（1）正确知，
故周长，故（3）正确；
（4），
，
若平分，则，但由于是动点，故不一定是，即不一定平分，故（4）错误；
综上所述，正确的结论为（1）（2）（3）共3个．
10．C
甲方案，由平行四边形的性质得，，则，由，、分别是、的中点，得，可证明，得，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形；
乙方案，由于点，于点，得，，由平行四边形的性质得，，则，可证明，得，即可证明四边形是平行四边形．
解：甲方案：四边形是平行四边形，
，，
，
是对角线的中点，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
四边形是平行四边形；故甲方案正确；
乙方案：于点，于点，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，故乙方案正确；
综上所述，甲乙两方案均可行．
11．95
先将数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数确定中位数即可．
解：将位评委给出的分数从小到大排列为：，
数据个数为奇数，中位数为排列后位于中间位置的数，
因此中位数为．
12．
根据非负数的和为的条件，求出的值，进而求出结果.
解：∵，
∴，
即：，
解得：，
∴ ．
13．
本题可先利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式变形后代入计算即可得到结果.
∵方程有两个实数根，
又∵，，，
∴，，
∴．
14．
根据三角形中位线定理计算即可得出结果．
解：∵E，F分别为、的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴此时点距离地面的高度为．
15．28
根据矩形的对角线相等且互相平分可得，利用等边对等角可得，再结合三角形外角的性质即可求解．
解：四边形是矩形，
，，，
，
，
是的外角，
，
，
，
．
16．2
由题意可知：中间小正方形的边长为：，先求出每一个直角三角形的面积和大正方形的面积，然后根据求解即可．
解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，
∴小正方形的面积等于：，
∵，
∴每一个直角三角形的面积为：，
∵，
∴大正方形的面积为：，
∴，
∴，
∵，
∴．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
18．(1)
(2)
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得；
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)
（1）根据边边边证明两个三角形全等；
（2）根据平行线的性质可知，进而根据等边对等角可知，再根据四条边相等可知为菱形；
（3）证明，可知，进而可知是等腰三角形，设，根据所对的直角边等于斜边的一半可知，再根据勾股定理即可求解．
（1）证明：在和中，
,
∴，
∴
（2）解：∵
∴,
∵
∴,
∴,
∴,
∴四边形是菱形
（3）解：由（2）可知四边形是菱形，
∵，
∴,
在和中，
,
∴，
∴，，
∵，
∴
∴
,
∴,
∴，
设，
∴,
∴,
在等腰三角形中，
∴
∴．
20．(1)售价应定为70元
(2)不能，理由见解析
（1）设每件降价元，根据销售这种服装平均每天盈利1000元，列出方程，解方程即可；
（2）根据每天盈利达到1250元，列出方程，判断方程是否有解即可．
（1）解：设每件降价元，
由题意列方程：，
整理得，
解得，，
要使顾客得到较多实惠，取，售价为元，
答：售价应定为70元．
（2）解：当，
整理得：，
判别式，方程无实数根，
答：平均每天盈利不能达到1250元．
21．(1)见解析
(2)
（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论；
（2）由平行四边形的性质得，，证明出，然后由三角形面积求出的长即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，，
∵，
∴，
，
，
．
的长为．
22．(1)；
(2)①；②
(3)
（1）根据有理化因式的定义得到答案即可；
（2）进行分母有理化即可；
（3）对每个式子都进行分母有理化，再进行化简求值即可．
（1）解：，，
故的有理化因式是；的有理化因式是；
（2）解：；
；
（3）解：原式
．
23．(1)10
(2)
(3)或或5
(4)或
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）等积法进行求解即可；
（3）分三种情况进行讨论求解即可；
（4）根据三角形的中位线定理，得到，进而得到，进行求解即可．
（1）解：∵，
∴；
（2）解：设点B到的距离为，
∵，由（1）知：，
∴，即，
∴；
（3）解：当是等腰三角形时，分三种情况：
①当时，则；
②当时，则，
∵，
∴，
∴，
∴；
③当时，作，则，
由（2）可知：，
∴，
∴；
综上：或或5；
（4）解： ∵点M是边的中点，点Q是的中点，
∴，即，
∵，
∴，
当点在上运动时，由（3）可知：此时；
当点在上运动时，则，
∴；
综上：或．
24．(1)见解析
(2)①是等腰直角三角形，理由见解析；②的最小值为
(3)
（1）根据正方形的性质得到，进而得到，证明，得到，根据即可证明；
（2）①连接、，根据正方形的性质得到，根据得到，进而得到，根据得到，证明，得到，根据得到，即，可知是等腰直角三角形；
②根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，则当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小，根据得到，根据勾股定理得到，连接，根据中位线定理得到，，即，根据勾股定理求出，设，则，根据勾股定理得到，求出，即，根据勾股定理得到，即的最小值为，进而可知的最小值为；
（3）连接、、，根据正方形的性质得到点O是的中点，进而得到是的中位线，得到，进而得到，根据得到，即，根据得到，证明，得到，根据等腰三角形的定义及勾股定理得到，根据正方形的性质得到，根据勾股定理得到，进而可求正方形的面积．
（1）证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：①是等腰直角三角形，理由如下．
如图，连接、，
∵点O为正方形的对角线交点，
∴，
由（1）知：，
，
，
即，
，
∴，即，
∵，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形；
②由①知是等腰直角三角形，
∴，
∴当取得最小值时，最小，根据垂线段最短，得：当时，最小，
∵，
∴
∵，，
∴，
如图，连接，
∵点M、O分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
在中，，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
即的最小值为，
∴，
故的最小值为；
（3）解：如图，连接、、，
∵点O为正方形的对角线交点，
∴点O是的中点，
∵点H是的中点，
∴是的中位线，
∴，
，即，
∴，即，
∵，
∵是等腰直角三角形，
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，，
∴，
∴正方形的面积．
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