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高2028届高一（下）第三次月考
数学试卷
(考试时间：120分钟，满分150分)
一、
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1、(原创)已知复数=满足z=3+4i,则二的虚部为()
A.3
B.4
C.4
D.-4i
2、(原创)一个水平放置的平面图形△OAB,用斜二测画法画出了它的直观图△OA'B',
y4
如图所示，OA=6,OB=4,则原平面图形△OAB的面积为()
B队
A.6√2
B.3
C.12W2
D.24
3、(原创)已知球的半径为5cm,球的一个截面圆的周长为6πcm,则球心到该截面所在平面的距
离为()
A.2cm
B.3cm
C.4cm
D.5cm
4、(改编)已知直线α，b,c,下列命题中正确的是()
A.若a⊥c,b⊥c,则a/Ib
B.若a/1b,c⊥a,则c⊥b
C.若a/1b11c,则a,b,c共面
D.若a,b异面，b,c异面，则a,c异面
5、如图，在正方体ABCD-ABCD中，MN分别为AC,AB的中点，异面直线MN与DD所成角
为()
B.
c
D.
4
6、(原创)
设日=6，月=8，a在6上的投影向量为-3B,则a与b的夹角为()
P
A君
B.
c.2
D.5n
5题图
3
6
7、已知△4BC中，a=4,b=4W3,A=30°，则C等于()
A.30°
B.30°或150
C.60°
D.30°或90
8、(原创)已知正方体ABCD-AB,C,D中，棱长为2，点P为线段BC上的动点，
则D,P+PC的最小值为()
B
A.2W2-√2
B.2V2
C.2W2+√2
D.4
8题图
第2页（共4页）
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9、(原创)已知复数z满足(1-)=2，以下说法正确的有()
A.z=1+i
B.二在复平面内对应的点在第一象限
c.=1
D.若=是方程x2-px+2=0的一个根(p∈R),则p=2
10、(原创)如图所示，线段AB是圆C的弦，其中AC=5,AB=6,点D为圆C上任意一点，则
以下结论正确的是()
A.0≤AD≤10
B.AB-AC=18
C.AB·AD的最大值是48
D.当AB.CD=0时，si∠BAD=
3W10
10
11、(原创)在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，点P是正方体内及其表面上一动点，且
D,P∥面A,BC,则线段B,P的长度可能是()
A.2
B.
25
c.4v3
3
D.2√2
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12、(原创)已知a=1,2),b=(m-1,4),若a⊥b,则m=
13、(原创)己知一个圆锥的底面直径等于母线长，侧面积为4π，则该圆锥的体积为
14、如图所示，有一只内壁呈半球面的小碗，半径为5，碗内放了三颗汤圆（视为半
径均为的球)，三颗汤圆两两相切，且汤圆与碗的内壁均相切.若汤圆与碗口等高，
则上=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15(13分)
已知=4,5=2，且ā与5的夹角为120°，求：
()2a-:
(2)若向量2a-乃与2ā-3b平行，求实数1的值.
第2页（共4页）高2028届高一（下）第三次月考数学参考答案
一、单项选择题
14、CDCB5-8、BCDC
二、多项选择题
9、ABD
10、ABC11、CD
三、填空题
12、-7
13、
26
3
14、1+
3
四、解答题
15、解(1)(2a-=4a-2×2a-5+6°=64-4×4×2×cos120°+4=84，所以pā-=84=22
(2)由于向量2ā-25与2ā-3平行，所以存在实数k,
使得2a-历=k(2a-3)=2a-3i,所以{
2=k2
-2=3,解得2=±6.
16、解(1)因为AB=2,AD=4,所以圆柱的母线长为4，底面半径为1，
则圆柱00的侧面积S=2l=2π×1×4=8π
!
(2)取OO的中点F,连接D,易求得m=P+2=5,
即圆柱00，的外接球的半径为5，故该球的表面积为4π×（√5）=20π。
(3)取4E的中点2.连接D0,Q.因助M为E的中点，所以g/WAB,Q-4B,
又D018,D0-号B,所以Q/D0,Q=D0,所以四边形D0迎为平行四边形，
则DQ11OM,又DQc平面ADE,O,M位平面ADE,所以OM11平面ADE.
17、解(1)取PD的中点Q,因为O为BD中点，
所以在△P3D中，0为中位线，所以Q01PB,Q0-P阳-
，所以为异面直线PB与AC所成角（或其补角），
在00A中，40=D-D=4可-5,40-4C=万，Q0-,
3
9
由余弦定理可得cos∠M0A=40+00-AQ2+
5迈
2A020
2×N2
=24,又∠004∈(0，x,
3
所以∠20,4为锐角，所以异面直线PB与4C所成角的余弦值为
24
第1页，共顶
(2)当F是棱PC中点时，BF/平面AEC
证明如下：取PE中点M,连接FM,DM,则FM/ICE,
:FM丈平面AEC,ECc平面AEC,∴MI/平面AEC,
在△BDM中，E为BG中点，O为BD中点，OEI/DM
DME平面AEC,EOC平面AEC,所以DMII平面AEC;DMOMF=F,所以平面DFG/I平
面AEC;DFc平面DFG,∴.DFII平面AEC
18、解(1)由正弦定理可得：3sinA=5 sinCsin B+3 sin BcosC,
因为simA=sin(B+C)=sin BcosC+cosBsinC,
所以3(sin BcosC+cosBsinC)=V5 sinCsin B+3 sin BcosC,即3 cosBsinC=√5 sin BsinC,
由如C0可得3asB-5sm8,即m8-看-5，由0a
65.5-2
(2)因为sin 4 sincsinB
3
所拟2a-c=4sn4-2sc=4如4-2n(-4
-4a4-5cs4-a4-知4-5os-29n4a-2ain4-周副
由三角形为锐角三角形可知，
解得<4<
6
以4引(4-副9
所以2a-c=26sm4-得(03)，
(3)如图，由余弦定理，b2=ad2+c2-2 accosB=ad+c2-ac≥2ac-ac=ac,
即acs3,当且仅当a=c时，等号成立，
又Ds如D君c号，化简可得，0(a+d小-iac，
621
62
所即5-马c5-,当且仅当a-时等号成粒
a+c 2vac 2
2
3
故BD长度的最大值为
第2页，共领

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