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北师大版九年级数学上册正方形的判定专题复习练习题
1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
2．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．在复习特殊平行四边形时，老师画出了特殊平行四边形之间的关系图（沿箭头方向转换），某同学在①②③④⑤处分别填上转换需要的条件：①一组邻边相等；②有一个直角；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤有一个直角且一组邻边相等．其中填写错误个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
6．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ．
7．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °．
8．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ．
．
9．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ．
10．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ．
11．如图，已知中，，是的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．请解答下列问题：
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．
12．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
13．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
14．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？
15．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）；
(2)若，，求的长；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
16．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长．
答案解析
1．在四边形中，．如果再添加一个条件可证明四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是正方形
【分析】此题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定性质得出四边形是矩形是解决问题的关键．一组邻边相等时矩形为正方形．对角线垂直的矩形是正方形．
根据四边形中，，得出四边形是矩形，进而利用正方形的判定定理得出需要添加的条件．一组邻边相等时矩形为正方形．
【详解】解：∵四边形中，，
∴四边形是矩形，
当一组邻边相等时，矩形为正方形，这个条件可以是：．
故选：A．
2．已知四边形是平行四边形，与相交于点O，下列结论正确的有（ ）
①当时，它是菱形；②时，它是菱形；③当时，它是矩形；④当时，它是正方形．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】正方形的判定定理理解、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形
【分析】本题考查了特殊四边形的判定．利用菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
当时，对边相等，无法证明平行四边形是菱形，①结论错误；
当时，对角线垂直，即平行四边形是菱形，②结论正确；
当时，有一个角是直角，即平行四边形是矩形，③结论正确；
当时，对角线相等，即平行四边形是矩形，④结论错误；
结论中正确的是②③，共2个，
故选：C．
3．在复习特殊平行四边形时，老师画出了特殊平行四边形之间的关系图（沿箭头方向转换），某同学在①②③④⑤处分别填上转换需要的条件：①一组邻边相等；②有一个直角；③对角线互相垂直；④对角线相等；⑤有一个直角且一组邻边相等．其中填写错误个数有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】正方形的判定定理理解、利用平行四边形的性质求解、矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定．根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果．
【详解】解：有一个是直角的平行四边形是矩形，①的说法错误；
一组邻边相等的平行四边形是菱形，②的说法错误；
对角线互相垂直的矩形是正方形，③的说法正确；
对角线相等的菱形是正方形，④的说法正确；
有一个直角且一组邻边相等的平行四边形是正方形，⑤的说法正确．
综上，填写错误的个数有2个，
故选：C．
4．已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接、，交于点H．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】根据正方形的性质与判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，先证明四边形为矩形，再证明和全等得，则矩形为正方形，由此得，则，进而得，则，由此可得的度数．
【详解】解：过点E作于点M，作，交的延长线于N，设与交于T，如图所示：
则，
∵四边形和都是正方形，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线，构造正方形和全等三角形是解决问题的难点．
5．如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】A
【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键．
由旋转得，，可得出四边形为正方形，可得5．在中，由勾股定理得，，则，即可解答．
【详解】解：由旋转得，
四边形为矩形，
四边形为正方形，
在中，由勾股定理得，，
∴．
故选A．
6．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添一个条件使四边形是正方形
【分析】本题考查正方形的判定，根据“对角线相等的菱形是正方形”或“有一个角是直角的菱形是正方形”，即可解答．
【详解】解：可添加条件是，理由
∵四边形是菱形，，
∴菱形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
7．如图，在四边形中，，，，则的度数是 °．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质与判定求角度、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】如图，作，于，连接，证明四边形是正方形，则，，证明是等边三角形，则，，根据，求解作答即可．
【详解】解：如图，作，于，连接，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握正方形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为 ．
．
【答案】
【知识点】求绕原点旋转90度的点的坐标、根据正方形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案．
【详解】解：如图，延长交x轴于点M，
∵点A的坐标为，
∴．
∵绕点A逆时针旋转得到，，
∴．
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∴点O的对应点的坐标为．
故答案为：．
9．如图，在四边形中，，过点作的垂线交于点，，，，，则的长为 ．
【答案】/
【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接，则四边形是矩形，可证明，推出四边形是正方形，则，如图所示，在上取一点H，使得，连接，可证明，推出，则，；设，导角可证明，则，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作于G，过点A作交延长线于T，连接，
∵，
则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
如图所示，在上取一点H，使得，连接，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等待，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．如图，P是正方形对角线上的一点，直线m，n经过点P且，若四边形与四边形的面积分别是，，那么四边形与四边形的面积之和是 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、根据正方形的性质与判定求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，证明四边形的面积正方形的面积，，得到，四边形的面积正方形的面积，，则，则四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即可得到答案．
【详解】解：过点P作于点M，的延长线与相交于点R，过点P作于点N，的延长线与相交于点S，
∵P是正方形对角线上的一点，
∴，，
∴四边形、都是矩形，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴
∵直线m，n经过点P且，
∴
∴，
∵，
∴
∴，
∴四边形的面积正方形的面积
∴，
同理可证，是正方形，，
则四边形的面积正方形的面积，，
∴四边形与四边形的面积之和矩形和矩形的面积之和，即四边形与四边形的面积之和
故答案为：
11．如图，已知中，，是的中点，是的中点．过点作交的延长线于点．请解答下列问题：
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)当时，四边形是正方形；见解析
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、三线合一、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了菱形的判定，正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
（1）先证明，然后证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线得到，即可证明为菱形；
（2）根据等腰三角形三线合一得到，即可证明其为正方形．
【详解】（1）证明：，
，
∵是中点，
，
∵
∴，
，
∵是中点，
，
四边形是平行四边形，
又∵，是的中点，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形；
理由：，，是的中点，
，
∴，
∵四边形是菱形
∴四边形是正方形．
12．在菱形中，对角线，交于点，点，在对角线上的位置如图所示，且，，连接，，，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是正方形、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长
【分析】本题考查菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，二次根式，熟练掌握菱形的性质和正方形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用菱形的性质得出，，，再利用，得出，得出四边形是平行四边形，再由，，即可得证；
（2）先利用勾股定理求出，再利用正方形的性质得出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
13．如图，在和中，，，，为边上一点．
(1)求证：
(2)若点是的中点，求证：四边形是正方形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证明四边形是正方形、斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质：
（1）只需要证明，即可证明；
（2）根据直角三角形的性质得到，再由三线合一定理得到，再证明，即可证明四边形是正方形．
【详解】（1）证明：，
，
在和中，
，
；
（2）证明：中，D是中点的，，
，
又，
，
四边形是菱形．
又，
四边形是正方形．
14．如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作交直线于点，垂足为，连接．
(1)求证：；
(2)当D在中点时，判断四边形的形状，并说明理由；
(3)若D为中点，则当　　时，四边形是正方形？
【答案】(1)见解析
(2)菱形，见解析
(3)
【知识点】证明四边形是菱形、证明四边形是正方形、利用平行四边形性质和判定证明、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】（1）先求出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形是平行四边形，求出，根据菱形的判定推出即可；
（3）当，四边形是正方形．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由如下：
为中点，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为中点，
，
四边形是菱形；
（3）解：当时，
，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定、直角三角形的性质的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
15．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)如图，求证：矩形是正方形（提示：过E分别作、）；
(2)若，，求的长；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)或
【知识点】用勾股定理解三角形、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键．
（1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论；
（2）过点G作交延长线于H，证明是等腰直角三角形，可求出，证明，得到，则可证明，由（1）可得，，证明四边形是矩形，得到，则可得到，则；
（3）分当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可．
【详解】（1）证明：作于P，于Q，则
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，，
∵四边形是矩形，
∴，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）解：如图所示，过点G作交延长线于H
由正方形的性质可得，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
由（1）可得，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴
∴；
（3）解：当与的夹角为时，点F在边上，，
则，
在四边形中，由四边形内角和定理得：；
②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示：
∵，，
∴，
综上所述，的度数为或．
16．问题解决：如图①，在矩形中，点E，F分别在边上，于点G．
（1）求证：四边形是正方形；
（2）延长到点H，使得，连接，判断的形状，并说明理由．
类比迁移：如图②，在菱形中，点E，F分别在边上，与相交于点G，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，见解析；类比迁移：9
【知识点】利用菱形的性质求线段长、证明四边形是正方形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等知识点，理解题意并灵活运用相关知识、正确做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．
（1）先说明可得，再证明得到，然后根据一组邻边相等的矩形是正方形即可证明结论；
（2）由可得，再证明可得，从而得到等腰三角形；
类比迁移：如图，延长到点H，使，连接，由菱形的性质可证明，再结合已知可得是等边三角形，最后利用线段的和差即可解答．
【详解】（1）解：证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
在和中，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）是等腰三角形，
理由：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形．
类比迁移：如图，延长到点H，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
∴是等边三角形，
，
∴．

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