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第 16 章 整式的乘法
16.8 完全平方公式
知识点 1 完全平方公式
1、下列运算:
(1) (3 + )2 = 9 2 + 2；(2) ( 2 )2 = 2 4 2；(3) ( )2 = 2 + 2 + 2；
1
(4) ( )2 = 2
1
2 +
2 4。 其中，运算错误的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2、下列图形中阴影部分的面积能够直观地解释 ( 1)2 = 2 2 + 1 的是( )
A B C D
1
3、【2025徐汇期中】已知 2 5 + 1 = 0，则 ( )2 = ______
4、计算:
1
(1) ( )2 (2) ( 2)2 ( + 2)( 2)2
知识点 2 完全平方公式的应用
5、若 2 + 2 = ( + )2 + = ( )2 ，则 ， 的数量关系为( )
A. = B. = C. = 1 D. 无法确定
6、【2026南京质检】若 = ( + 2)( + 4)， = ( + 3)2，则 ， 的大小关系为( )
A. > B. < C. = D. 无法确定
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第 16 章 整式的乘法
7、【2026太原期中】如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 = 5， = 2，
长方形 的面积是 12。分别以 ， 为边在正方形 外部作正方形①和正方形②，
则正方形①和正方形②面积的和为______。
8、【2026南阳】已知(2023 )(2025 ) = 2024，则(2023 )2 + (2025 )2 =______。
9、【2026长宁质检】利用完全平方公式简便计算:
(1) 20192 (2) 1012 + 992
易错点 1 应用完全平方公式时出现符号错误
10、计算( )2等于( )
A. 2 2 + 2 B. 2 + 2 + 2 C. 2 + 2 D. 2 2
易错点 2 应用完全平方公式时出现系数不平方或漏掉中间项导致错误
11、【2026 万州期中】计算: (2 + 3 )2 =______。
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16.8 完全平方公式
知识点 1 完全平方公式
1、下列运算:
(1) (3 + )2 = 9 2 + 2；(2) ( 2 )2 = 2 4 2；(3) ( )2 = 2 + 2 + 2；
1 1
(4) ( )2 = 2 2 +2 4。 其中，运算错误的有( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：C
解析：
(1) (3 + )2 = 9 2 + 6 + 2，故 (1) 运算错误；
(2) ( 2 )2 = 2 4 + 4 2，故 (2) 运算错误；
(3) ( )2 = 2 + 2 + 2，故 (3) 运算正确；
1 1
(4) ( )2 = 2 +2 4，故 (4) 运算错误。
所以运算错误的有 (1)(2)(4)，共 3 个。
2、下列图形中阴影部分的面积能够直观地解释 ( 1)2 = 2 2 + 1 的是( )
A B C D
答案：A
解析：选项 A 中的阴影部分的面积能够直观地解释 ( 1)2 = 2 2 + 1。
1
3、【2025徐汇期中】已知 2 5 + 1 = 0，则 ( )2 = ______
答案：21
解析：
由 2
1 1
5 + 1 = 0 得 ≠ 0，两边同除以 得： 5 + = 0，即 + = 5 。
1
( + )2
1 1 1
4 = 2 + 2 2 = ( )
2
，代入得：
52 4 = 21，即( )2 = 21 。
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第 16 章 整式的乘法
4、计算:
1
(1) ( )2 (2) ( 2)2 ( + 2)( 2)2
1
答案：(1) 2 + + 24
1 1 1
解析：原式= [ ( + )]2 = ( + )2 = 2 + + 22 2 4 。
(2) 4 + 8
解析：原式= ( 2 4 + 4) ( 2 4) = 2 4 + 4 2 + 4 = 4 + 8。
知识点 2 完全平方公式的应用
5、若 2 + 2 = ( + )2 + = ( )2 ，则 ， 的数量关系为( )
A. = B. = C. = 1 D. 无法确定
答案：A
解析： 2 + 2 = ( + )2 2 = ( )2 ( 2 )，所以 = 2 ， = 2 ，故 = 。
6、【2026南京质检】若 = ( + 2)( + 4)， = ( + 3)2，则 ， 的大小关系为( )
A. > B. < C. = D. 无法确定
答案：B
解析： = ( + 2)( + 4) ( + 3)2 = 2 + 6 + 8 2 6 9 = 1 < 0，所以 < 。
7、【2026太原期中】如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 边上，且 = 5， = 2，
长方形 的面积是 12。分别以 ， 为边在正方形 外部作正方形①和正方形②，
则正方形①和正方形②面积的和为______。
答案：33
解析：设正方形①边长为 ，正方形②边长为 ，则 = 12。
由 = 得 5 + = 2 + ，即 = 3。
( )2 = 2 2 + 2，代入得 9 = 2 + 2 24，所以 2 + 2 = 33，即面积和为 33。
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第 16 章 整式的乘法
8、【2026南阳】已知(2023 )(2025 ) = 2024，则(2023 )2 + (2025 )2 =______。
答案：4052
解析：
[(2023 ) (2025 )]2 = (2023 )2 + (2025 )2 2(2023 )(2025 )，
左边= ( 2)2 = 4，所以(2023 )2 + (2025 )2 = 4 + 2 × 2024 = 4052。
9、【2026长宁质检】利用完全平方公式简便计算:
(1) 20192 (2) 1012 + 992
答案：
(1) 4076361
解析：原式= (2020 1)2 = 20202 2 × 2020 × 1 + 12 = 4080400 4040 + 1 = 4076361。
(2) 20002
解析：原式= (100 + 1)2 + (100 1)2 = 10000 + 200 + 1 + 10000 200 + 1 = 20002。
易错点 1 应用完全平方公式时出现符号错误
10、计算( )2等于( )
A. 2 2 + 2 B. 2 + 2 + 2 C. 2 + 2 D. 2 2
答案：B
解析：原式= [ ( + )]2 = ( + )2 = 2 + 2 + 2。
易错点 2 应用完全平方公式时出现系数不平方或漏掉中间项导致错误
11、【2026 万州期中】计算: (2 + 3 )2 =______。
答案：4 2 + 12 + 9 2
解析：
(2 + 3 )2 = (2 )2 + 2 × 2 ·3 + (3 )2 = 4 2 + 12 + 9 2。
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