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第 17 章 因式分解
17.1 用提公因式法分解因式
知识点 1 因式分解的概念
1. 如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有( )
2 2 = ( + )( )；( + 3)( 3) = 2 9； 2 4 5 = ( 4) 5；
2 4 5 = ( 2)2 9
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：A
解析： 2 2 = ( + )( ) 是因式分解；( + 3)( 3) = 2 9 是整式的乘法，不是因
式分解； 2 4 5 = ( 4) 5，等式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解；
2 4 5 = ( 2)2 9，等式的右边不是几个整式的乘积的形式，不是因式分解。所以是
因式分解的有 1 个。
2. 【2025 沧州期中】若 2 + + 4 = ( 2)2，则下列结论正确的是( )
A. 等式从左到右的变形是乘法公式， = 4
B. 等式从左到右的变形是因式分解， = 4
C. 等式从左到右的变形是乘法公式， = 4
D. 等式从左到右的变形是因式分解， = 4
答案：D
解析：等式从左到右的变形是因式分解。 2 + + 4 = ( 2)2，即 2 + + 4 = 2 4 + 4，
所以 = 4。
知识点 2 用提公因式法分解因式
3. 将 3 2( )3 9 ( )2因式分解，应提取的公因式是( )
A. 3 ( )2 B. 3 2( ) C. 9 ( )3 D. 3 ( )3
答案：A
解析：将 3 2( )3 9 ( )2因式分解，应提取的公因式是 3 ( )2。
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第 17 章 因式分解
4. 把 2( 3) + (3 )因式分解的结果应为( )
A. ( 3)( 2 + ) B. ( 3)( + 1)
C. ( 3)( 2 ) D. ( 3)( 1)
答案：D
解析： 2( 3) + (3 ) = 2( 3) ( 3) = ( 3)( 1)。
5. 【2026 渭南期末】写出一个各项的公因式为 的多项式：____________（答案不唯一）
答案： 2 4
6. 【2025 鞍山期末】把下列各式因式分解：
(1) 4 2 3 + 8 2 2 12 2 (2) ( ) +
(3) ( 3) + 2 ( 3) (4) 4 (1 )3 + 2( 1)2
答案：
(1) 4 2 3 + 8 2 2 12 2 = 4 2( + 2 3 )
(2) ( ) + = ( ) ( ) = ( )( 1)
(3) ( 3) + 2 ( 3) = ( 3)( + 2 )
(4) 4 (1 )3 + 2( 1)2 = 4 (1 )3 + 2(1 )2 = 2(1 )2[2 (1 ) + 1] = 2(1
)2(2 2 + 1)
易错警示：提取公因式时要检查系数、字母（或含字母的式子）及其指数是否提取完全。
知识点 3 提公因式法分解因式的应用
7. 如图，长、宽分别为 ， 的长方形的周长为 16，面积为 12，则 2 + 2的值为( )
A. 48 B. 64 C. 80 D. 96
答案：D
16
解析：∵长、宽分别为 ， 的长方形的周长为 16，面积为 12，∴ + = = 8， = 122 。
∴ 2 + 2 = ( + ) = 12 × 8 = 96。
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第 17 章 因式分解
8. 【2026 聊城质检】
(1) 计算( 2)2024 + ( 2)2025的结果是____________
(2) 计算：7.6 × 202.5 + 4.3 × 202.5 19 × 20.25 =____________
答案：(1) 原式= ( 2)2024 × ( 1) = 22024
(2) 原式= 202.5 × (7.6 + 4.3 1.9) = 202.5 × 10 = 2025
9. 已知(2 21)(3 7) (3 7)( 13)可分解因式为(3 + )( + )，其中 ， 均为整
数，则 + 3 的值为_______
答案： 31
解析：(2 21)(3 7) (3 7)( 13) = (3 7)(2 21 + 13) = (3 7)( 8)。
∵(2 21)(3 7) (3 7)( 13)可分解因式为(3 + )( + )，∴(3 7)( 8) =
(3 + )( + )，则 = 7， = 8，故 + 3 = 7 + 3 × ( 8) = 31。
10. 【2026 郑州期末】在学习中，小明发现，当 = 1，2，3 时， 2 6 的值都是负数。于
是小明猜想：当 为任意正整数时， 2 6 的值都是负数。
(1) 小明的猜想正确吗？请举例说明。
(2) 如果小明的猜想不正确，那么当 取哪些正整数时， 2 6 不是负数？
答案：
(1) 小明的猜想不正确。例如： = 7时， 2 6 = 72 6 × 7 = 49 42 = 7 > 0，所以小明
的猜想不正确。
(2) ∵ 2 6 = ( 6)，∴当 ≤ 0或 ≥ 6时， 2 6 ≥ 0，∴当 取大于或等于 6 的正整
数时， 2 6 不是负数。
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17.1 用提公因式法分解因式
知识点 1 因式分解的概念
1. 如图，各式从左到右的变形中，是因式分解的有( )
2 2 = ( + )( )；( + 3)( 3) = 2 9； 2 4 5 = ( 4) 5；
2 4 5 = ( 2)2 9
A. 1 个 B. 2 个
C. 3 个 D. 4 个
2. 【2025 沧州期中】若 2 + + 4 = ( 2)2，则下列结论正确的是( )
A. 等式从左到右的变形是乘法公式， = 4
B. 等式从左到右的变形是因式分解， = 4
C. 等式从左到右的变形是乘法公式， = 4
D. 等式从左到右的变形是因式分解， = 4
知识点 2 用提公因式法分解因式
3. 将 3 2( )3 9 ( )2因式分解，应提取的公因式是( )
A. 3 ( )2 B. 3 2( ) C. 9 ( )3 D. 3 ( )3
4. 把 2( 3) + (3 )因式分解的结果应为( )
A. ( 3)( 2 + ) B. ( 3)( + 1) C. ( 3)( 2 ) D. ( 3)( 1)
5. 【2026 渭南期末】写出一个各项的公因式为 的多项式：____________（答案不唯一）
6. 【2025 鞍山期末】把下列各式因式分解：
(1) 4 2 3 + 8 2 2 12 2 (2) ( ) +
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第 17 章 因式分解
(3) ( 3) + 2 ( 3) (4) 4 (1 )3 + 2( 1)2
知识点 3 提公因式法分解因式的应用
7. 如图，长、宽分别为 ， 的长方形的周长为 16，面积为 12，则 2 + 2的值为( )
A. 48 B. 64 C. 80 D. 96
8. 【2026 聊城质检】
(1) 计算( 2)2024 + ( 2)2025的结果是____________
(2) 计算：7.6 × 202.5 + 4.3 × 202.5 19 × 20.25 =____________
9. 已知(2 21)(3 7) (3 7)( 13)可分解因式为(3 + )( + )，其中 ， 均为整
数，则 + 3 的值为_______
10. 【2026 郑州期末】在学习中，小明发现，当 = 1，2，3 时， 2 6 的值都是负数。于
是小明猜想：当 为任意正整数时， 2 6 的值都是负数。
(1) 小明的猜想正确吗？请举例说明。
(2) 如果小明的猜想不正确，那么当 取哪些正整数时， 2 6 不是负数？
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