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第 17 章 因式分解
17.2 用平方差公式分解因式
知识点 1 用平方差公式分解因式
1.【2026 张掖期末】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 ( )
A. 2 + ( )2 B. 5 2 20 C. ( )2 + ( )2 D. 2 + 9
答案：D
解析：A 选项， 2 + ( )2 = 2 + 2，两项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 A 选
项不符合题意；
B 选项，5 2 20 中两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故 B 选项不符合
题意；
C 选项，( )2 + ( )2 = 2 + 2，两项符号相同，不能用平方差公式分解因式，故 C 选
项不符合题意；
D 选项， 2 + 9 = 2 + 32，两项符号相反且都是平方项，能用平方差公式分解因式，故 D
选项符合题意。
故选 D。
2. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 10 的正整数，
并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 4 2（“ ” 表示漏抄的指数），
则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种
答案：D
解析：该指数可能是 2，4，6，8，10。故选 D。
3.【2026 南通质检】分解因式：8 2 2 =____________。
答案：2(2 + 1)(2 1)
解析：8 2 2 = 2(4 2 1) = 2[(2 )2 12] = 2(2 + 1)(2 1)。
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第 17 章 因式分解
4.【2025 长治质检】有一种用 “因式分解” 法产生的密码，方便记忆。例如：对多项式 4 4
因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，若取 = 8， = 8，则各个因式的值是 = 0，
+ = 16， 2 + 2 = 128，把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 “016128” 作
为一个六位数的密码。对于多项式 4 3 2，若取 = 21， = 19，请你写出一个用上述方
法产生的密码：____________。
答案：212361
解析：4 3 2 = (4 2 2) = (2 )(2 + )，若取 = 21， = 19，则 = 21，2 =
42 19 = 23，2 + = 42 + 19 = 61，把这些值从小到大排列得到 212361。
5.【2025西安期中】分解因式：( )4 1 =____________。
答案：( 2 2 + 2 + 1)( + 1)( 1)
解析：( )4 1 = [( )2]2 12 = [( )2 + 1][( )2 1] = ( 2 2 + 2 +
1)( + 1)( 1)。
6. 分解因式：(1) (3 + )2 ( 3 )2 (2) ( + 2)( 2) 5
答案：(1)= (3 + + 3 )(3 + + 3 ) = (4 2 )(2 + 4 ) = 4(2 )( + 2 )。
(2) = 2 4 5 = 2 9 = ( + 3)( 3)。
知识点 2 平方差公式分解因式的应用
7. 已知416 1可以被 10 到 20 之间的某两个整数整除，则这两个数是 ( )
A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17
答案：D
解析：原式= (48 + 1)(48 1) = (48 + 1)(44 + 1)(42 + 1)(42 1) = (48 + 1)(44 + 1) × 17 ×
15，∴这两个数是 15 和 17。故选 D。
3 = 4
8. 已知 ， 满足方程组 2 + 3 = 5，则 4 36
2的值为_______。
答案： 80
解析：4 2 36 2 = 4( 2 9 2) = 4( 3 )( + 3 ) = 4 × 4 × ( 5) = 80。
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第 17 章 因式分解
9. 已知实数 ， 满足 2 = 2 + 7， 2 = 2 + 7，且 ≠ ，则 + 的值为_______。
答案： 2
解析：已知 2 = 2 + 7， 2 = 2 + 7，将两式相减可得 2 2 = (2 + 7) (2 + 7)，
去括号得 2 2 = 2 + 7 2 7，合并同类项得 2 2 = 2 2 ，
则( + )( ) = 2( )。
因为 ≠ ，所以 ≠ 0，所以等式( + )( ) = 2( )两边同时除以( )，可得
+ = 2。
10.【2026静安质检】因式分解： 3 2 4 + 4
答案：( )( + 2)( 2)
解析：原式= 2( ) 4( ) = ( )( 2 4) = ( )( + 2)( 2)。
易错点 因式分解时因分解不彻底而出错
11. 在实数范围内分解因式： 4 16 4，丽华的解法如下：
解：原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2)。
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来。
答案：不正确；正确结果为( 2 + 4 2)( + 2 )( 2 )
解析：丽华因式分解的结果不正确。正确的解题过程如下：
原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2) = ( 2 + 4 2)( + 2 )( 2 )。
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17.2 用平方差公式分解因式
知识点 1 用平方差公式分解因式
1.【2026 张掖期末】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是 ( )
A. 2 + ( )2 B. 5 2 20
C. ( )2 + ( )2 D. 2 + 9
2. 小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了 的指数，他只知道该数为不大于 10 的正整数，
并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是 4 2（“ ” 表示漏抄的指数），
则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种
3.【2026 南通质检】分解因式：8 2 2 =____________。
4.【2025 长治质检】有一种用 “因式分解” 法产生的密码，方便记忆。例如：对多项式 4 4
因式分解的结果是( )( + )( 2 + 2)，若取 = 8， = 8，则各个因式的值是 = 0，
+ = 16， 2 + 2 = 128，把这些值从小到大排列得到 016128，于是就可以把 “016128” 作
为一个六位数的密码。对于多项式 4 3 2，若取 = 21， = 19，请你写出一个用上述方
法产生的密码：____________。
5.【2025西安期中】分解因式：( )4 1 =____________。
6. 分解因式：(1) (3 + )2 ( 3 )2 (2) ( + 2)( 2) 5
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第 17 章 因式分解
知识点 2 平方差公式分解因式的应用
7. 已知416 1可以被 10 到 20 之间的某两个整数整除，则这两个数是 ( )
A.12，14 B.13，15 C.14，16 D.15，17
3 = 4
8. 已知 ， 满足方程组 2 + 3 = 5，则 4 36
2的值为_______。
9. 已知实数 ， 满足 2 = 2 + 7， 2 = 2 + 7，且 ≠ ，则 + 的值为_______。
10.【2026静安质检】因式分解： 3 2 4 + 4
易错点 因式分解时因分解不彻底而出错
11. 在实数范围内分解因式： 4 16 4，丽华的解法如下：
解：原式= ( 2 + 4 2)( 2 4 2)。
请问丽华因式分解的结果正确吗？如果不正确，把正确的解题过程写出来。
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