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第 17 章 因式分解
17.3 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方式
1、下列是完全平方式的有 ( ) (1) 2 + 2 + 4；(2) 2 + 2 1；(3) 2 + 2 + 1；
(4) 2 + 2 + 1；(5) 2 2 1；(6)4 2 + 4 + 1
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
答案：B
解析：(1)(2)(4) 不是完全平方式；(3)(6) 是完全平方式；(5) 2 2 1 = ( 2 + 2 +
1) = ( + 1)2，是完全平方式。故选 B。
2、【2026 岳阳期中】若 4 2 ( + 2) + 9是完全平方式，则 的值是 ( )
A. 8 B.10 C.10或 14 D.10或 8
答案：C
解析：∵ 4 2 ( + 2) + 9是完全平方式，4 2 ( + 2) + 9 = (2 )2 ± 2 × 2 × 3 + 32，
∴ ( + 2) =± 2 × 2 × 3 =± 12，解得 = 10或 = 14，
∴ 的值是 10或 14。故选 C。
知识点 2 用完全平方公式分解因式
3、【2026 天水期中】下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A. 2 + 2 + 2 B.4 2 4 + 1 C. 2 + 4 + 2 D. 2 4 4
答案：B
解析：A 选项， 2 + 2 + 2不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
B 选项，4 2 4 + 1 = (2 1)2，能用完全平方公式分解因式，符合题意；
C 选项， 2 + 4 + 2不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
D 选项， 2 4 4不能用完全平方公式分解因式，不符合题意。故选 B。
4、【2025 重庆期中】将多项式( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16进行因式分解的结果是 ( )
A.( 2 + 2 4)2 B.( )2 C.( 2 2 4)2 D.( 2 + 2 + 4)2
答案：A
解析：( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16 = ( 2 + 2)2 8( 2 + 2) + 16 = ( 2 + 2 4)2，故选 A。
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第 17 章 因式分解
1
5、因式分解：2 2 2 + =2 _______________
1
答案：2( )22
1 1
解析：原式= 2( 2 + ) = 2( )24 2 。
6、分解因式：
(1) 2 2 + 32 128 (2) ( 2 + 4)2 16 2
(3) ( 2 1)2 6( 2 1) + 9
答案：(1)原式== 2( 2 16 + 64) = 2( 8)2。
(2)原式= ( 2 + 4 + 4 )( 2 + 4 4 ) = ( + 2)2( 2)2。
(3)原式= ( 2 1 3)2 = ( 2 4)2 = ( + 2)2( 2)2。
知识点 3 完全平方公式分解因式的应用
7、不论 ， 为任何实数， 2 + 2 6 + 10 + 35的值都是 ( )
A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 非正数
答案：B
解析： 2 + 2 6 + 10 + 35 = ( 3)2 + ( + 5)2 + 1 > 0，故选 B。
8、【2026岳阳调研】已知( )2 2 + 2 + 1 = 0，则 =_______________
答案：1
解析：∵ ( )2 2 + 2 + 1 = ( )2 2( ) + 1 = ( 1)2 = 0，
∴ 1 = 0，∴ = 1。
9、已知 ， 满足 = 4， = 1，则 2 3 4 2 2 + 2 3 =_______________
答案：8
解析：2 3 4 2 2 + 2 3 = 2 ( 2 2 + 2) = 2 ( )2。
∵ = 4， = 1，∴ 2 ( )2 = 2 × 4 × ( 1)2 = 8。
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第 17 章 因式分解
10、【2026 无锡质检】
(1) 已知有理数 ， 满足( + 2)2 = 2 + 6 9，求 的值。
(2) 先观察下列计算过程，再解答问题。
99 × 99 + 199 = 992 + 2 × 99 + 1 = (99 + 1)2 = 1002 = 104。
问题：
①计算：999 × 999 + 1999 =_______________；
②求 99999 × 99999 + 199999的值。
答案：(1) 8
解析：∵ ( + 2)2 = 2 + 6 9，∴ ( + 2)2 + 2 6 + 9 = 0，
∴ ( + 2)2 + ( 3)2 = 0。∵ ( + 2)2 ≥ 0，( 3)2 ≥ 0，
∴ ( + 2)2 = 0，( 3)2 = 0，∴ + 2 = 0， 3 = 0，
∴ = 2， = 3，∴ = ( 2)3 = 8。
(2)①原式= 9992 + 2 × 999 + 1 = (999 + 1)2 = 10002 = 106。
②原式= 999992 + 2 × 99999 + 1 = (99999 + 1)2 = 1000002 = (105)2 = 1010。
11、有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A区就会自动加上 2，同时 B区就会自动减去 3 ，
且均显示化简后的结果．已知 A、B两区初始显示的分别是 25和 16 ，如图．例如：从初始
状态按一次按键后，A、B两区分别显示 25 + 2, 16 3 .
(1) 从初始状态按两次按键后，分别求 A、B 两区显示的结果；
(2) 从初始状态按四次按键后，计算 A、B 两区显示的代数式的和，请判断这个和能为负数
吗？说明理由。
答案：
(1) A 区：25 + 2 2；B 区： 16 6
解析：按两次按键，A 区加 2 2，B 区减 6 ，故 A 区 25 + 2 2，B 区 16 6 。
(2) 和不能为负数
解析：四次按键后 A 区：25 + 4 2，B 区： 16 12 ，
和为 25 + 4 2 16 12 = 4 2 12 + 9 = (2 3)2 ≥ 0，故和不能为负数。
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17.3 用完全平方公式分解因式
知识点 1 完全平方式
1、下列是完全平方式的有 ( ) (1) 2 + 2 + 4；(2) 2 + 2 1；(3) 2 + 2 + 1；
(4) 2 + 2 + 1；(5) 2 2 1；(6)4 2 + 4 + 1
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2、【2026 岳阳期中】若 4 2 ( + 2) + 9是完全平方式，则 的值是 ( )
A. 8 B.10 C.10或 14 D.10或 8
知识点 2 用完全平方公式分解因式
3、【2026 天水期中】下列多项式中能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A. 2 + 2 + 2 B.4 2 4 + 1 C. 2 + 4 + 2 D. 2 4 4
4、【2025 重庆期中】将多项式( 2 + 2)( 2 + 2 8) + 16进行因式分解的结果是 ( )
A.( 2 + 2 4)2 B.( )2 C.( 2 2 4)2 D.( 2 + 2 + 4)2
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5、因式分解：2 2 2 + =2 _______________
6、分解因式：
(1) 2 2 + 32 128 (2) ( 2 + 4)2 16 2
(3) ( 2 1)2 6( 2 1) + 9
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第 17 章 因式分解
知识点 3 完全平方公式分解因式的应用
7、不论 ， 为任何实数， 2 + 2 6 + 10 + 35的值都是 ( )
A. 非负数 B. 正数 C. 负数 D. 非正数
8、【2026岳阳调研】已知( )2 2 + 2 + 1 = 0，则 =_______________
9、已知 ， 满足 = 4， = 1，则 2 3 4 2 2 + 2 3 =_______________
10、【2026 无锡质检】(1) 已知有理数 ， 满足( + 2)2 = 2 + 6 9，求 的值。
(2) 先观察下列计算过程，再解答问题。
99 × 99 + 199 = 992 + 2 × 99 + 1 = (99 + 1)2 = 1002 = 104。
问题：①计算：999 × 999 + 1999 =_______________；
②求 99999 × 99999 + 199999的值。
11、有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的 A区就会自动加上 2，同时 B区就会自动减去 3 ，
且均显示化简后的结果．已知 A、B两区初始显示的分别是 25和 16 ，如图．例如：从初始
状态按一次按键后，A、B两区分别显示 25 + 2, 16 3 .
(1) 从初始状态按两次按键后，分别求 A、B 两区显示的结果；
(2) 从初始状态按四次按键后，计算 A、B 两区显示的代数式的和，请判断这个和能为负数
吗？说明理由。
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