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第 13 章 三角形
13.5 直角三角形的性质与判定
知识点 1 直角三角形的性质
1、【2025大庆期中】如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，如果把它补成完整的三角
形纸板，需要补的角的度数是（ ）
A.45 B.35 C.55 D.25
答案：B
解析：∵ 直角三角形的两锐角互余，∴ 需要补的角的度数为 90 55 = 35 ，故选 B。
2、在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = 2∠ ，则 ∠ =（ ）
A.60 B.30 C.45 D.90
答案：A
解析：在 △ 中，∠ = 90 ，∠ + ∠ = 90 。∵ ∠ = 2∠ ，∴ 3∠ = 90 ，∠ = 30 ，
∠ = 60 。故选 A。
3、【2026海淀期末】如图，D 为 △ 内一点， 平分 ∠ ， ⊥ ，∠ = ∠ ，
若 ∠ = 36 ，则 ∠ 的度数为（ ）
A.36 B.44 C.27 D.54
答案：C
解析： 平分 ∠ ，∠ = 2∠ = 2 × 36 = 72 。∵ ⊥ ，∴ ∠ = 90 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 36 = 54 。在 △ 中，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，即
∠ + ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ + 54 + 72 = 180 ，∴ ∠ = 27 。故选 C。
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第 13 章 三角形
4、【2026丽江期末】如图，在 △ 中，∠ = 90 ， 是 △ 的角平分线，过点 B 作
的垂线，交 的延长线于点 E。若 ∠ = 16 ，则 ∠ 的度数为______。
答案：58
解析：由题意得 ∠ = 90 ，∠ = ∠ 。∵ ∠ = 90 ，∴ 90 ∠ = 90 ∠ ，
∴ ∠ = ∠ = 16 。又 是 △ 的角平分线，∴ ∠ = 2∠ = 2 × 16 = 32 ，
∴ ∠ = 90 ∠ = 90 32 = 58 ，故答案为58 。
5、如图，在 △ 中，∠ = 90 ， 平分 ∠ 。
(1) 若 ∠ = 40 ，求 ∠ 的度数。
答案：65
解析：在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = 40 ，∴ ∠ = 90 40 = 50 。∵ 平分 ∠ ，
1
∴ ∠ = ∠ = ∠ = 25 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 65 2 。
(2) 在图中画出 △ 的边 上的高 ，与 交于点 F。试说明：
①∠ = ∠ ；
答案：
解析：∵ 是 边上的高线，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 。∵ ∠ = 90 ，
∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ 。
②∠ = ∠ 。
答案：：∵ 是 边上的高线，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 。∵ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 。∵ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = ∠ 。
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第 13 章 三角形
知识点 2 直角三角形的判定
6、【2026南阳期末】如图，在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = ∠ ，则 △ 是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
答案：C
解析：在 △ 中，∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 180 ∠ = 180 90 = 90 。∵ ∠ =
∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 180 90 = 90 ，∴△ 是
直角三角形。故选 C。
7、【2026东营质检】在下列条件：
(1) ∠ + ∠ = ∠ ；(2) ∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3；(3) ∠ = ∠ = 2∠ ；(4) ∠ = 90 ∠ ；
(5) ∠ = ∠ = ∠ 。中，能确定 △ 为直角三角形的条件有____个。
答案：3
1解析：①∵ ∠ + ∠ = ∠ ，∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∴ ∠ + ∠ = ∠ = × 180 = 90 ，∴△2
为直角三角形，故①符合题意；
3
② ∵ ∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3，∴ ∠ = × 180 = 90 6 ，∴△ 为直角三角形，故②符合题意；
2 1
③ ∵ ∠ = ∠ = 2∠ ，∴ ∠ = ∠ = × 180 = 72 ，∠ = × 180 = 36 5 5 ，∴△ 不是直
角三角形，故③不符合题意；
④∵ ∠ = 90 ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴ ∠ = 180 (∠ + ∠ ) = 90 ，∴△ 为直角
三角形，故④符合题意；
1
⑤ ∵ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ = × 180 = 60 3 ，∴△ 不是直角三角形，故⑤不
符合题意。
综上，符合题意的有①②④，故答案为 3。
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第 13 章 三角形
8、【2026武汉期中】如图所示，在 △ 中， 是 边上的高，E 是 边上一点，
交 于点 M，且 ∠ = ∠ ，求证：△ 是直角三角形。
答案：∵ 是 边上的高，∴ ∠ = 90 ，∴ ∠ + ∠ = 90 。
∵ ∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，∴ ∠ + ∠ = 90 ，∴△ 是直角三角形。
易错点 忽略用分类讨论思想确定直角三角形的直角导致漏解
9、【2026沙坪坝质检】在 △ 中，∠ = 15 ，∠ = 65 ，点 D 在 边上，连接 ，
若 △ 为直角三角形，则 ∠ 的度数为_______________。
答案：10 或25
解析：如图，
当 ∠ = 90 时，∠ = 90 ，∴ ∠ = 90 ∠ = 90 65 = 25 ；当 ∠ ′ = 90
时，∠ ′ = 90 ∠ = 90 15 = 75 ，∴ ∠ ′ = 105 ，∴ ∠ ′ = 180 ∠ ′ ∠ =
10 。综上所述，∠ 的度数为10 或25 。
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13.5 直角三角形的性质与判定
知识点 1 直角三角形的性质
1、【2025大庆期中】如图，有一个直角三角形纸板破损了一个角，
如果把它补成完整的三角形纸板，需要补的角的度数是（ ）
A.45 B.35 C.55 D.25
2、在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = 2∠ ，则 ∠ =（ ）
A.60 B.30 C.45 D.90
3、【2026海淀期末】如图，D 为 △ 内一点， 平分 ∠ ， ⊥ ，∠ = ∠ ，
若 ∠ = 36 ，则 ∠ 的度数为（ ）
A.36 B.44 C.27 D.54
第 3题图 第 4题图
4、【2026丽江期末】如图，在 △ 中，∠ = 90 ， 是 △ 的角平分线，过点 B 作
的垂线，交 的延长线于点 E。若 ∠ = 16 ，则 ∠ 的度数为______。
5、如图，在 △ 中，∠ = 90 ， 平分 ∠ 。
(1) 若 ∠ = 40 ，求 ∠ 的度数。
(2) 在图中画出 △ 的边 上的高 ，与 交于点 F。试说明：
①∠ = ∠ ；
②∠ = ∠ 。
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第 13 章 三角形
知识点 2 直角三角形的判定
6、【2026南阳期末】如图，在 △ 中，∠ = 90 ，∠ = ∠ ，则 △ 是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
7、【2026东营质检】在下列条件：
(1) ∠ + ∠ = ∠ ；(2) ∠ : ∠ : ∠ = 1: 2: 3；(3) ∠ = ∠ = 2∠ ；(4) ∠ = 90 ∠ ；
(5) ∠ = ∠ = ∠ 。中，能确定 △ 为直角三角形的条件有____个。
8、【2026武汉期中】如图所示，在 △ 中， 是 边上的高，E 是 边上一点，
交 于点 M，且 ∠ = ∠ ，求证：△ 是直角三角形。
易错点 忽略用分类讨论思想确定直角三角形的直角导致漏解
9、【2026沙坪坝质检】在 △ 中，∠ = 15 ，∠ = 65 ，点 D 在 边上，连接 ，
若 △ 为直角三角形，则 ∠ 的度数为_______________。
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