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第 15 章 轴对称
15.2 线段的垂直平分线的性质及判定
知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用
1.【2026深圳期中】如图，在△ 中， 是线段 的垂直平分线，
点 是线段 的中点。若 = 5， = 8，则△ 的周长为( )
A.13 B.16 C.17 D.18
2.【2025石家庄期中】在△ 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， 的垂直平
分线分别交 ， 于点 ， 。若 = 10， = 2，则△ 的周长为____________。
3.【2026宝山期末】如图，△ 中， ⊥ ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，
且 = ，连接 。
(1) 求证： = ；
(2) 若△ 的周长为 20cm， = 9cm，求 的长。
知识点 2 线段垂直平分线的判定
4.【2026南通期中】如图，在四边形 中，连接 ， ， = ， = ，则有( )
A. 与 互相垂直平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 平分∠
第 4题图 第 5题图
5.【2025汕尾期中】如图，已知点 (2,3)和点 (4,1)，在 轴或 轴上有一点 ，且点 到点
和点 的距离相等，则点 的坐标为_____________________。
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第 15 章 轴对称
6. 如图，已知△ ， 是∠ 的平分线， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，连接 交
于点 。
(1) 求证： 垂直平分 ；
(2) 若 + = 10， = 3，求△ 的面积。
知识点 3 互逆命题 (定理)
7.【2025泉州期末】“直角都相等” 与 “相等的角是直角” 是 ( )
A. 互逆命题 B. 互逆定理 C. 公理 D. 假命题
8、【2025长沙质检】按要求解答下列各题。
(1) 请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
②如果 + > 0，那么 > 0
(2) 判断 (1) 中①的原命题和逆命题是否为互逆定理。
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15.2 线段的垂直平分线的性质及判定
知识点 1 线段垂直平分线的性质及应用
1.【2026深圳期中】如图，在△ 中， 是线段 的垂直平分线，点 是线段 的中点。
若 = 5， = 8，则△ 的周长为( )
A.13 B.16 C.17 D.18
答案：D
解析：∵ 点 是线段 的中点， = 5，∴ = 2 = 2 × 5 = 10。∵ 是线段 的垂直平
分线，∴ = ，△ 的周长= + + = + + = + = 8 + 10 = 18，
故选 D。
2.【2025石家庄期中】在△ 中， 的垂直平分线分别交 ， 于点 ， ， 的垂直平
分线分别交 ， 于点 ， 。若 = 10， = 2，则△ 的周长为____________。
答案：10或 14
解析：当点 在点 的左侧时，如图 (1)。
由线段垂直平分线的性质可得， = ， = ，△ 的周长为
+ + = + + = = 10.
当点 在点 的右侧时，如图 (2)。
由线段垂直平分线的性质可得， = ， = ，△ 的周长为
+ + = + + = + + + = + 2 = 10 + 4 = 14.
综上所述，△ 的周长为 10或 14，故答案为 10或 14。
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第 15 章 轴对称
3.【2026宝山期末】如图，△ 中， ⊥ ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ，
且 = ，连接 。
(1) 求证： = ；
(2) 若△ 的周长为 20cm， = 9cm，求 的长。
(1) 证明：∵ 垂直平分 ，∴ = 。
∵ ⊥ ， = ，∴ 垂直平分 ，∴ = ，∴ = 。
(2) 答案：5.5cm
解析：∵ △ 的周长为 20cm，∴ + + = 20cm。
∵ = 9cm，∴ + = 11cm。∵ = ， = ，
1 1 1 1 1 1 1 1
= + = + = + + = ( + ) + = +
2 2 2 2 2 2 2 2
1
= ( + ) = 5.5cm.
2
知识点 2 线段垂直平分线的判定
4.【2026南通期中】如图，在四边形 中，连接 ， ， = ， = ，则有( )
A. 与 互相垂直平分 B. 垂直平分
C. 垂直平分 D. 平分∠
答案：B
解析： = ， = ，∴ 垂直平分 ，所以 B 符合题意；由已知条件无法证明
平分 和 平分∠ ，所以 A、C、D 不符合题意。故选 B。
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第 15 章 轴对称
5.【2025汕尾期中】如图，已知点 (2,3)和点 (4,1)，在 轴或 轴上有一点 ，且点 到点
和点 的距离相等，则点 的坐标为_____________________。
答案：(1,0)或(0, 1)
解析：如图，
取格点 (2,1)， (3,2)，作直线 ，则点 为 的中点， = = 2， = ，∴ 点 ，
都在线段 的垂直平分线上，∴ 直线 是线段 的垂直平分线。根据图易得直线 与 轴交
于点(1,0)，与 轴交于点(0, 1)。∵ 点 到点 和点 的距离相等，∴ 点 在线段 的垂直平分
线 上，∴ 点 的坐标为(1,0)或(0, 1)，故答案为(1,0)或(0, 1)。
6. 如图，已知△ ， 是∠ 的平分线， ⊥ 于点 ， ⊥ 于点 ，连接 交
于点 。
(1) 求证： 垂直平分 ；
(2) 若 + = 10， = 3，求△ 的面积。
(1) 证明：∵ 平分∠ , ⊥ ， ⊥ ，∴ ∠ = ∠ ，
∠ = ∠ = 90 ， = ，∴ 点 在 的垂直平分线上.
∠ = ∠ ,
在△ 和△ 中， ∠ = ∠ , ∴ △ ≌△ (AAS) ，
= ,
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第 15 章 轴对称
∴ = ，∴ 点 在 的垂直平分线上，∴ 垂直平分 .
（2）解∵ = 3，∴ = = 3. ∵ + = 10 ，
1 1 1
∴ △ = + = ( + ) = 152 2 2 .
知识点 3 互逆命题 (定理)
7.【2025泉州期末】“直角都相等” 与 “相等的角是直角” 是 ( )
A. 互逆命题 B. 互逆定理 C. 公理 D. 假命题
答案：A
解析：“直角都相等” 的题设是 “两个角是直角”，结论是 “这两个角相等”；“相等的角是直角” 的
题设是 “两个角相等”，结论是 “这两个角是直角”，这两个命题的题设和结论互换，所以是互
逆命题。“相等的角是直角” 是假命题，所以 “直角都相等” 与 “相等的角是直角” 不是互逆定
理。故选 A。
8、【2025长沙质检】按要求解答下列各题。
(1) 请写出以下命题的逆命题：
①相等的角是内错角；
答案：如果两个角是内错角，那么这两个角相等。
②如果 + > 0，那么 > 0
答案：如果 > 0，那么 + > 0
(2) 判断 (1) 中①的原命题和逆命题是否为互逆定理。
答案：不是互逆定理。
解析：因为 (1) 中①的原命题与逆命题都是假命题，所以 (1) 中①的原命题和逆命题不是
互逆定理。
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