资源简介

第 15 章 轴对称
15.8 等边三角形的性质与判定
知识点 1 等边三角形的性质
1、【2026庆阳期中】如图，在等边△ 中， = 6cm， 平分∠ ，点 在 的延长线
上，连接 ，∠ = 30 ，则 的长是( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
答案：C
解析：∵△ 是等边三角形， = 6cm， 平分∠ ，∴ ∠ = 60 ， = = 3cm。
∵ ∠ = 30 ，∠ + ∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ ∠ = 60 30 = 30 = ∠ ，
∴ = = 3cm，故选 C。
2、【2026济南期末】如图，已知∠ = 30 ，点 1， 2， 3， 在射线 上，点 1， 2，
3， 在射线 上，若 1 = 2，△ 1 1 2，△ 2 2 3，△ 3 3 4， 均为等边三角形，则
△ 6 6 7的边长为( )
A.16 B.32 C.64 D.128
答案：C
解析：∵△ 1 1 2为等边三角形，∴ ∠ 1 1 2 = 60 ， 1 1 = 1 2，
∴ ∠ = ∠ ∠ = 60 1 1 1 1 2 30 = 30 ，∴ ∠ 1 1 = ∠ ，
∴ 1 1 = 1，∴ 1 1 = 1 2 = 1，
同理可得： 2 2 = 2 3 = 2 = 2 1 = 22， 3 3 = 3 2 34 = 3 = 2 2 = 2 1 = 2 ，
4 4 = 4 5 = 4 = 2 33 = 2 1 = 24， ∴ = 2 ，
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第 15 章 轴对称
∴△ 6 6 7的边长 6 6 = 26 = 64，故选 C。
3、【2025大连期中】如图，△ 是等边三角形，点 ， ， 分别在 ， ， 上，∠1 = ∠2，
∠ = 70 ，则∠ = ______。
答案：50
解析：∵△ 是等边三角形，∴ ∠ = ∠ = ∠ = 60 。
∵ ∠ = ∠2 + ∠ = ∠1 + ∠ ，∠1 = ∠2，∴ ∠ = ∠ = 60 。
∵ ∠ = 70 ，∴ ∠ = 180 ∠ ∠ = 180 60 70 = 50 。故答案为50 。
4、【2025南平期中】如图， 是等边△ 的外角∠ 内部的一条射线，点 关于 的对
称点为 ，连接 ， 。
(1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 若∠ = 40 ，求∠ 的度数。
答案：（1）
（2）20
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第 15 章 轴对称
解析：∵ ， 关于 对称，∴ 垂直平分 ， = ，∠ = ∠ = 40 。
∵△ 是等边三角形，∴ ∠ = 60 ， = ，
∴ ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 60 + 2 × 40 = 140 ， = ，
180 140
∴ ∠ = ∠ ，∴ ∠ = = 20 2 。
知识点 2 等边三角形的判定
5、下列条件中，不能判定△ 为等边三角形的是( )
A.∠ = ∠ = 60 B.∠ + ∠ = 120
C.∠ = 60 ， = D.∠ = 60 ， =
答案：B
解析：∵ ∠ = ∠ = 60 ，∴ ∠ = 60 ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴△ 是等边三角形，故选项 A 不
符合题意；
∵ ∠ + ∠ = 120 ，∴ ∠ = 60 ，∠ 和∠ 的度数不确定，∴△ 不一定是等边三角形，故选
项 B 符合题意；
∵ ∠ = 60 ， = ，∴△ 是等边三角形，故选项 C 不符合题意；
∵ ∠ = 60 ， = ，∴△ 是等边三角形，故选项 D 不符合题意。
6、【2026武汉期末】落地灯既实用又可起装饰作用。如图是某种落地灯的简易示意图，已知
悬杆 部分的长度与支杆 相等，且∠ = 120 （ ， ， 三点在同一条直线上）。若
的长度为 50cm，则此时 ， 两点之间的距离为( )
A.25cm B.50cm C.55cm D.100cm
答案：B
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第 15 章 轴对称
解析：
如图，连接 。由题意可知， = 。
∵ ∠ = 120 ，∴ ∠ = 180 ∠ = 180 120 = 60 ，
∴△ 是等边三角形，∴ = = 50cm，即此时 ， 两点之间的距离为 50cm，故选 B。
7、【2026无锡质检】若 ， ， 为三角形的三边长，且( )2 + + | | = 0，则这
个三角形是______________。（按边分类）
答案：等边三角形
解析：∵ ( )2 + + | | = 0，∴ = 0， = 0， = 0，
∴ = ， = ， = ，∴ = = ，∴这个三角形是等边三角形。
故答案为等边三角形。
1
8、【2026平顶山期中】如图，已知在△ 中，∠ = 60 ， = 。求证：△ 2 是直角
三角形。
证明：
如图，在 上截取 = ，连接 。∵ ∠ = 60 ，∴△ 是等边三角形，
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第 15 章 轴对称
∴ = = ，∠ = ∠ = 60 。
1 1
∵ = ，∴ = ，∴ = = ，∴ ∠ = ∠ 2 2 。
∵ ∠ = ∠ + ∠ ，∴ ∠ = 30 ，∴ ∠ = ∠ + ∠ = 90 ，
∴△ 为直角三角形。
知识点 3 等边三角形的性质与判定的综合应用
9、【2025长春期中】如图，在四边形 中， = ， = ，∠ = 60 ，点 为
上一点，连接 ， 交于点 ， ∥ 。
(1) 判断△ 的形状，并说明理由；
答案：△ 是等边三角形，理由见解析
解析：△ 是等边三角形。理由如下：∵ = ，∠ = 60 ，∴△ 为等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60 。∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = 60 ，∠ = ∠ = 60 ，
∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴△ 是等边三角形。
(2) 若 = 13， = 9，则 的长为_______。
答案：5
解析：
连接 交 于点 ，如图。
∵ = ， = ，∴ 垂直平分 ， 平分∠ ，∴ ∠ = ∠ 。
∵ ∥ ，∴ ∠ = ∠ = ∠ ，∴ = = 9，∴ = = 13 9 = 4。
∵△ 是等边三角形，∴ = = 4，∴ = = 9 4 = 5。故答案为 5。
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15.8 等边三角形的性质与判定
知识点 1 等边三角形的性质
1、【2026庆阳期中】如图，在等边△ 中， = 6cm， 平分∠ ，点 在 的延长线
上，连接 ，∠ = 30 ，则 的长是( )
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
第 1题图 第 2题图
2、【2026济南期末】如图，已知∠ = 30 ，点 1， 2， 3， 在射线 上，点 1， 2，
3， 在射线 上，若 1 = 2，△ 1 1 2，△ 2 2 3，△ 3 3 4， 均为等边三角形，则
△ 6 6 7的边长为( )
A.16 B.32 C.64 D.128
3、【2025大连期中】如图，△ 是等边三角形，点 ， ， 分别在 ， ， 上，∠1 = ∠2，
∠ = 70 ，则∠ = ______。
4、【2025南平期中】如图， 是等边△ 的外角∠ 内部的一条射线，点 关于 的对
称点为 ，连接 ， 。
(1)依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 若∠ = 40 ，求∠ 的度数。
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第 15 章 轴对称
知识点 2 等边三角形的判定
5、下列条件中，不能判定△ 为等边三角形的是( )
A.∠ = ∠ = 60 B.∠ + ∠ = 120
C.∠ = 60 ， = D.∠ = 60 ， =
6、【2026武汉期末】落地灯既实用又可起装饰作用。如图是某种落地灯的简易示意图，
已知悬杆 部分的长度与支杆 相等，且∠ = 120 （ ， ， 三点在同一条直线
上）。若 的长度为 50cm，则此时 ， 两点之间的距离为( )
A.25cm B.50cm C.55cm D.100cm
7、【2026无锡质检】若 ， ， 为三角形的三边长，且( )2 + + | | = 0，则这
个三角形是______________。（按边分类）
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8、【2026平顶山期中】如图，已知在△ 中，∠ = 60 ， = 2 。求证：
△ 是直角
三角形。
知识点 3 等边三角形的性质与判定的综合应用
9、【2025长春期中】如图，在四边形 中， = ， = ，∠ = 60 ，点 为
上一点，连接 ， 交于点 ， ∥ 。
(1) 判断△ 的形状，并说明理由；
(2) 若 = 13， = 9，则 的长为_______。
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