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2026学年八年级数学下册期末检测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A．B．C． D．
2．为了解学生体育锻炼的用时情况，陈老师对本班50名学生一天的锻炼时间进行调查，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，那么一天锻炼时间为1小时的频率为（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．乌鲁木齐市林业局考察一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是（ ）
A． B． C． D．
5．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
7．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．前三个都是
8．如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
9．小强是一位密码翻译爱好者，他在密码手册里记录了这样一条信息：，分别对应“惠”，“爱”，“我”，“州”，“相”，“信”六个字，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．相信我爱 B．我爱惠州 C．相爱惠州 D．相信惠州
10．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
11．若式子在实数范围内有意义，则实数可取的数是___________．（只写一个）
12．分式的值为0，则x的值为______．
13．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于__________．
14．若关于x的分式方程无解，则k的值为______．
15．若实数x，y，m满足，，则m的值为______________．
16．计算：__ ．
17．在对多项式进行因式分解时，我们可以把它先分组再分解：
原式，这种方法叫做分组分解法．请你运用分组分解法，把分解因式的结果为___________．
18．将正方形和正方形按图1方式放置，边 与边重合，.将正方形绕点逆时针方向旋转一个角度，的延长线交线段于点（图2）．在此旋转过程中，点运动的路线长＝___________．
三、解答题（本大题8小题，共66分．）
19．（本题6分）计算：
(1) (2)
20．（本题6分）解下列分式方程：
(1) (2)
21．（本题6分）先化简，再求值：，其中．
22．（本题6分）某校举行全体学生“禁毒知识竞赛”活动，每位学生完成道选择题．现随机抽取了部分学生的答对题数，绘制成如下不完整的图表．
组别
答对题数
人数
根据以上信息，完成下列问题：
(1)统计表中的_____，_____，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是_____；
(3)已知该校共有名学生，若答对题数不小于个定为优秀，请你估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数．
23．（本题10分）如图，将平行四边形的边延长至点E，使 ，连接，F是边的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，求的长．
24．（本题10分）近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注．小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车和B款燃油车，已知B款车每千米行驶费用比A款车多元．
(1)两款车在相同路段且行驶里程相同时，A款车的总行驶费用为元，B款车的总行驶费用为元．求纯电动汽车和燃油车的每千米行驶费用；
(2)已知A款车保险费：6500元/年，保养费用：1230元/年，B款车保险费：2900元/年，保养费：0.075元/千米，综合考虑行驶费用和其它费用，小明家年平均行驶里程为多少千米时，买电动车较为划算？
25．（本题10分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
(1)在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
(2)在图2中，以为对角线画平行四边形（非矩形）；
(3)在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．
26．（本题12分）在菱形中，，点在边上（不与、重合），将线段绕着点顺时针旋转后，点落在点处，连接，交边于点．
(1)如图1，如果，延长至点，使得，连接．求证：；
(2)连接，
①如图2，设，求与之间的函数表达式：（不写定义域）
②如果．求证：．
参考答案
一、选择题
1．C
解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形；
B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形；
C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形；
D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形；
则只有选项C不一定是菱形．
2．D
解：一天锻炼时间为1小时的频率为．
3．C
解：A．的被开方数含有分母，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
B．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意；
C．满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意；
D．的被开方数含能开得尽方的因数，可化简为，不是最简二次根式，不符合题意．
4．B
解：由统计图可知，随着移植数量的增加，成活的频率逐步稳定在附近，
∴可估计这种树苗移植成活的概率约是，
故选：B．
5．B
解：原式．
6．B
解：连接，如图所示：
∵，，，
∴，
∵于E，于F，
∴四边形是矩形，
∴，与互相平分，
∵M是的中点，
∴M为的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
∴当时，，
∴最短时，，
∴当最短时，．
7．B
解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、，是因式分解，故本选项符合题意；
、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、本选项不符合题意．
8．C
解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，
由旋转可得，
∴，，
∴为等边三角形．
∴，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴点G在垂直于的直线上．
作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．
作，则四边形为矩形，
∴，，
∴．
，
，
∴，即的最小值为2．
9．B
解：
，
∵对应“我”，对应“爱”，对应“惠”，对应“州”，
∴结果呈现的密码信息可能是“我爱惠州”．
故选：B．
10．B
解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和，
，
∴，故①正确；
当互相重合时，如图1所示：
∵是中点，，，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，故③正确；
过作，交延长线于点，如图3所示：
∵AH平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
根据四边形内角和为得到，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴最短时，最短；最长时，最长，
当运动到点时，最短，此时，；
当运动到点时，最长，此时，；
∴，故④错误；
无法证明；故②错误，
综上所述，①③正确，
故选：B．
二、填空题
11．（不唯一）
解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得：
，解得；
任取一个满足条件的实数，此处取（不唯一）．
12．
解：由题意得：且，
∴．
13．2
解：∵平移，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积，
∴，即平移距离为2；
故答案为：2
14．1
解：，
两边同乘最简公分母得：，
关于的分式方程无解，
原分式方程有增根，增根使分母，即，
将代入得：．
15．3
解：，，
两式相加，得：，
，
，
，，
，
．
16．
解：
，
故答案为：．
17．
解：
．
故答案为：．
18．
解：∵
∴，，
设，
∵的延长线交线段于点，
∴直线恒过点，当时，此时最大，
因此点到直线的距离最大为，
当点到直线的距离最大时，
∵ 得，即，
∵，代入得： ，
∴，
∴在直角三角形中，，
∴，
∴此时旋转角，
当从到：从点（）运动到最远点（），路程为，
当从到：从最远点往回运动，终点时，，路程为，
总路线长：．
三、解答题
19．（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
（2）解：
方程两边都乘，得，
解得．
检验：当时，．
∴是原方程的解．
21．解：
，
当时，原式．
22．（1）解：抽取学生总人数为：（人），
∴（人），
∴（人）；
补全条形统计图如下：
（2）解：扇形统计图中“组”所对应的圆心角的度数是：；
（3）解：∵名学生中优秀的人数有：（人），
∴（人），
∴估计该校本次“禁毒知识竞赛”优秀的学生人数为人．
23．（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，F是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点A作于点N，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴．
24．（1）解：设A款车每千米行驶费用a元，则B款车每千米行驶费用为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
,
答：纯电动汽车的每千米行驶费用为元，燃油车的每千米行驶费用为元．
（2）解：设小明家年平均行使里程为，
纯电动汽车的年使用费用为元，
燃油车的年使用费用为元，
根据题意得：，
解得：，
答：当小明家年平均行驶里程超过时，购买纯电动汽车比较划算．
25．（1）解：如图，平行四边形即为所求；
理由：∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，平行四边形即为所求；
理由：∵，
∴四边形是平行四边形；
（3）解：如图，矩形即为所作：
理由：∵，，,
∴，
∴四边形是矩形．
26．（1）解：如图，
由题意可得，
∴
∴
由旋转可得，
在与中，
∴
∴
∵菱形，
∴，
∵
∴， ，
∴，即
∴，
（2）解：如图，延长至点，使得，连接．
①由题意可得，
∴
∴
由旋转可得，
在与中，
∴
∴，，
∵菱形，
∴，
∴，
∵
∴， ，
∴，即
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
②∵，，
∴
过点A作交延长线于G，过点H作于Q，如图，
∵菱形，
∴，，，
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

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