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第 18 章 分式
18.3 分式的约分和通分
知识点 1 约分与最简分式
4 + 3 2 1 2 + 2 2 + 2
1. 分式 4 ， 4 ， 1 +
， 2中，最简分式有( ) 2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
2. 【2026漯河期末】下列约分正确的有( )
2 2 3 3 ( )3 2 + +
(1)
2
= ；(2) = 1；(3) = 0 =
+ 2 + 1 + 1 ( )3 + 2
；(4) +
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
3. 【2025延安期末】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，
那么我们称这个分式为 “和谐分式”。下列分式中，是 “和谐分式” 的是( )
1 2 + 2 2
A.
2
B. 2 2 C. 2 2 D.+ 1 ( + )2
( + 2)
4. 若 为实数，分式 2 不是最简分式，则 =_________ +
3 3
5. 【2026成都期末】已知 1 = 0，则代数式 2 2的值是_________ 2 +
2 ( 1) 2 4 + 4 2
6. 约分： (1) (2)
8 2(1 ) 2 4 2
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第 18 章 分式
2 4 + 4 2
7. 先化简，再求值： 3 ，其中 = 2， = 3( 2 )
知识点 2 通分与最简公分母
1 + 1
8. 【2025许昌期中】将分式 2与分式1 2
通分后，
2 + 1
+ 1 1
2 的分母变为(1 + ) (1 )
2，则 的分子变为( )
2 + 1 1 2
A.1 B.1 + C. 1 D. 1 +
1 2 3
9. 【2026 周口期末】分式 2，3 + 6， 3 的最简公分母是_________ 4
1 5
10. 2 与 2通分的结果是_______________________，_______________________ + 2 + 1 1
11. 填写下面的表格：
通分前的分式 最简公分母 通分后的分式
5 3
2 ，4 2
1 1
2 1，2 + 1
+ 1
2 1，2 + 1
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18.3 分式的约分和通分
知识点 1 约分与最简分式
4 + 3 2 1 2 + 2 2 + 2
1. 分式 4 ， 4 ， + ， 2中，最简分式有( ) 1 2
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：C
2 1 2 2 2
解析：分式 的分子与分母有公因式 2
4 + 3 + + 2
1，分式 、
4 1 4 +
、 是最简
2 2
分式。故选 C。
2. 【2026漯河期末】下列约分正确的有( )
2 2 3 3 ( )3 2 + +
(1) 2 = ；(2) 3 = 1；(3) = 0；(4) = + 2 + 1 + 1 ( ) + 2 +
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
答案：A
( 3)( + 1) 3
解析：(1)原式 = 2 = + 1，符合题意；( + 1)
( )3
(2)原式 = = ，不符合题意；
( )3
+ 2
(3)原式 = = 1 + 2 ，不符合题意；
(4) 原式为最简分式，不符合题意。故选 A。
3. 【2025延安期末】如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，
那么我们称这个分式为 “和谐分式”。下列分式中，是 “和谐分式” 的是( )
1 2 + 2 2
A. B.
2 + 1 2 2
C. 2 D. 2 ( + )2
答案：B
1
解析：A 选项， 2 分子、分母都不可以因式分解，不是 “和谐分式”，不符合题意； + 1
2 2
B 选项， =
2 2 ( + )( )
，分母可以因式分解，且是最简分式，是 “和谐分式”，符合
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第 18 章 分式
题意；
+ + 1
C 选项， 2 2 = =( + )( ) ，分母可以因式分解，但不是最简分式，不是 “和
谐分式”，不符合题意；
2 2 ( + )( )
D 选项， = =
( + )2 ( + )2 +
，分子可以因式分解，但不是最简分式，不是 “和
谐分式”，不符合题意。故选 B。
( + 2)
4. 若 为实数，分式 2 不是最简分式，则 =_________ +
答案：0或 4
( + 2)
解析：∵分式 2 不是最简分式，且 为实数，∴ = 0或 4。 +
3 3
5. 【2026成都期末】已知 1 = 0，则代数式 2 2的值是_________ 2 +
答案：3
解析：∵ 1 = 0，∴ = 1，
3 3 3( ) 3 3
∴ 2 2 = 2 = = = 3 1 ，故答案为
3。
2 + ( )
2 ( 1) 2 4 + 4 2
6. 约分： (1)
8 2
(2)
(1 ) 2 4 2
2 ( 1) 1 ( 2 )2 2
答案：(1)= 2 = ， (2)= = 8 ( 1) 4 2 ( + 2 )( 2 ) + 2
。
2 4 + 4 2
7. 先化简，再求值： 3 ，其中 = 2， = 3( 2 )
1
答案： 8
2 4 + 4 2 ( 2 )2 1
解析： = = 。
( 2 )3 ( 2 )3 2
1 1
把 = 2， = 3代入，得原式= = 2 2 × 3 8。
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第 18 章 分式
知识点 2 通分与最简公分母
1 + 1
8. 【2025许昌期中】将分式
1 2
与分式
2
通分后，
2 + 1
+ 1 1
2 的分母变为(1 + ) (1 )
2，则 2的分子变为( ) 2 + 1 1
A.1 B.1 + C. 1 D. 1 +
答案：A
解析：∵两分式的最简公分母为(1 + )(1 )2，
1 1 1 1
∴
1 2
= = 2，∴ 2的分子变为 1 (1 + )(1 ) ，故选 A。(1 + )(1 ) 1
1 2 3
9. 【2026 周口期末】分式 2，3 + 6， 3 的最简公分母是_________ 4
答案：3 ( + 2)( 2)
2 2 3 3 3
解析： = = =3 + 6 3( + 2)， 3 4 ( 2 4) ( + 2)( 2)
，
1 2 3
所以分式 ， ， 3 的最简公分母是 3 ( + 2)( 2) 2 3 + 6 。 4
1 5
10. 2 与 2通分的结果是_________，_________ + 2 + 1 1
( 1)2 5( + 1)
答案：
( + 1)2
；
( 1) ( + 1)2( 1)
1 1 5 5 5
解析：∵ = ， = = ，
2 + 2 + 1 ( + 1)2 1 2 2 1 ( + 1)( 1)
( 1)2 5( + 1)
∴最简公分母为( + 1)2( 1)，∴通分后分别为 ， 。
( + 1)2( 1) ( + 1)2( 1)
11. 填写下面的表格：
通分前的分式 最简公分母 通分后的分式
5 3
2 ，4 2
1 1
2 1，2 + 1
+ 1
2 1，2 + 1
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第 18 章 分式
答案：
通分前的分式 最简公分母 通分后的分式
5 3 4 2，
10 3
2 4 2
，
4 2 4 2
1 1
， 4
2 1 2 + 1 2 1，
2 1 2 + 1 4 2 1 4 2 1
+ 1
， 4
2 1 2 2 + 2 2 1
2 1 2 + 1 2 ，4 1 4 2 1
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