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2026学年八年级数学下学期期末复习卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分．）
1．下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　）
A．a（x+y）＝ax+ay B．x2+2xy+y2＝（x+y）2
C．（x+2）（x+3）＝x2+5x+6 D．y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3
2．下列式子中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．若分式的值为零，则x的值为（　　）
A．x＝﹣1 B．x＝±1 C．x＝1 D．x≠﹣1
4．从数学角度来看，对下列语句的判断正确的是（　　）
A．成语“刻舟求剑”是随机事件
B．诗句“手可摘星辰”是必然事件
C．成语“水中捞月”是不可能事件
D．谚语“竹篮打水一场空”是随机事件
5．若m为任意整数，则（3m+2）2﹣9m2的值总能（　　）
A．被4整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被6整除
6．分式与的最简公分母是（　　）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ABCD是平行四边形
B．若AC⊥BD，四边形ABCD是菱形
C．若AC＝BD，四边形ABCD是矩形
D．若∠ABC＝90°，四边形ABCD是正方形
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）
A．2 B．4 C． D．2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
9．化简：　 　 ．
10．如果，那么代数式x2﹣8x+5的值为　 　 ．
11．已知，则xy＝　 　 ．
12．如图，在 ABCD中，AD＝3，AE平分∠DAB交CD于点E，BF平分∠ABC交CD于点F，已知EF＝1，则AB长为　 　 ．
13．不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和若干个蓝球，这些小球除颜色外其他均相同．每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，估计口袋中蓝球的个数为
　 个．
14．比较大小： 　 　 ．
15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足ab﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC是 　 　 三角形．
16．关于x的分式方程有增根，则m的值是　 　 ．
17．如图，两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，若矩形纸片的宽为3，∠ABC＝60°，BD＝　 　 ．
18．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），则点A的坐标是 　 　 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分64分．）
19．（8分）计算：
（1）； （2）．
20．（8分）解方程：
（1）； （2）．
21．（6分）先化简，再求代数式的值，其中．
22．（8分）端午节到了，某商场出售A，B两种粽子礼盒，其中B种礼盒单价是A种礼盒的1.5倍，已知用2000元购买A种礼盒的数量，比用2400元购买B种礼盒的数量多5盒，求A，B两种粽子礼盒的单价分别是多少元？
23．（8分）数学发展史是数学文化的重要组成部分，了解数学发展史有助于我们理解数学知识，提升学习兴趣．某校同学们对“概率发展的历史背景”的了解程度在九年级进行随机抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅统计图．根据统计图的信息，解答下列问题：
（1）求条形统计图中m的值；
（2）若该校九年级共有学生1500名，估计该校约有多少名学生不了解“概率发展的历史背景”；
（3）计算在图2中“很了解”部分圆心角α的度数；
（4）调查结果中，该校九年级（2）班学生中了解程度为“很了解”的同学是两名男生、一名女生，现准备从其中随机抽取两名去市里参加“初中数学知识的历史背景”知识竞赛，用画树状图或列表法，求恰好抽中一名男生和一名女生的概率．
24．（8分）如图，在 ABCD中，AE平分∠DAC，交CD于点E，CF平分∠ACB，交AB于点F．
（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD＝AC，求证：四边形AFCE是矩形．
25．（8分）如图，已知∠AOB，点C在射线OA上，点D在射线OB上，其中OC＝OD．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出菱形CODN．
（2）作出（1）中菱形CODN后，若，∠AOB＝60°，求ON的长．
26．（10分）问题背景：如图1，在正方形ABCD中，边长为3．点M，N是边AB，BC上两点，且BM＝CN＝1，连接CM，DN，CM与DN相交于点O．
（1）探索发现：如图1，探索线段DN与CM的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）探索发现：如图2，若点E，F分别是DN与CM的中点，计算EF的长；
（3）拓展提高：如图3，延长CM至P，连接BP，若∠BPC＝45°，请直接写出线段PM的长．
参考答案
一、选择题
1．解：A、a（x+y）＝ax+ay是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意；
B、将多项式x2+2xy+y2化为两个整式（x+y）的乘积，符合因式分解的定义，符合题意；
C、（x+2）（x+3）＝x2+5x+6是整式乘法，最终结果是多项式的和，不符合因式分解定义，不符合题意；
D、y2﹣2y+3＝y（y﹣2）+3的结果是两个部分相加的形式，不是几个整式的积，不符合定义，不符合题意．
故选：B．
2．解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
3．解：∵分式的值为零，
∴|x|﹣1＝0且x+1≠0，
由|x|﹣1＝0得x＝±1，
由x+1≠0得x≠﹣1．
故x＝1．
故选：C．
4．解：A、诗句“刻舟求剑“是不可能事件，不正确，不符合题意；
B、诗句”手可摘星辰“是不可能事件，不正确，不符合题意；
C、成语“水中捞月”是不可能事件，正确，符合题意；
D、谚语“竹篮打水一场空”是必然事件，不正确，不符合题意；
故选：C．
5．解：（3m+2）2﹣9m2＝（3m+2+3m）（3m+2﹣3m）＝2（6m+2）＝4（3m+1），
4（3m+1）的值总能被4整除，
因此（3m+2）2﹣9m2的值总能被4整除，
故选：A．
6．解：分式与的最简公分母是6x3．
故选：A．
7．解：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选项A不符合题意；
B、若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、若∠ABC＝90°，则平行四边形ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
8．解：如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2CE．
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP．
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1PCF．
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值．
∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝1．
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°．
∴∠DP2P1＝90°．
∴∠DP1P2＝45°．
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长．
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝1．
∴BP1．
∴PB的最小值是．
故选：C．
二、填空题
9．解：原式a+1．
故答案为：a+1．
10．解：由题知，
x2﹣8x+5＝（x﹣4）2﹣11．
因为，
所以原式＝（）2﹣11＝7﹣11＝﹣4．
故答案为：﹣4．
11．解：由题意得：，
解得，
则y＝2，
∴，
故答案为：．
12．解： ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，BC＝AD＝3，
∴∠ABF＝∠CFB，∠EAB＝∠DEA，
∵AE平分∠DAB，BF平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBF＝∠ABF，
∴∠AED＝∠DAE，∠CBF＝∠CFB，
∴AD＝DE，BC＝FC，
∴DE＝CF＝AD＝3，
∴CD＝DE+CF﹣EF＝3+3﹣1＝5，
∴AB＝5．
故答案为：5．
13．解：设口袋中蓝球的个数为n，
所以由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在0.5，可得摸到蓝球的概率为0.5，
∴0.5，
解得n＝5，
经检验，n＝5是原方程的解，
因此n的值最可能是5．
故答案为：5．
14．解：，
，
∵7＞6＞5，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＜．
15．解：∵ab﹣b2＝ac﹣bc，
∴b（a﹣b）＝c（a﹣b），
即（a﹣b）（b﹣c）＝0，
∴a＝b或b＝c，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
16．解：方程两边都乘2﹣3x得：2x﹣m＝2（2﹣3x），
∵方程有增根，
∴2﹣3x＝0，
∴，
把代入上述整式方程得：；
故答案为：．
17．解：∵两张等宽矩形纸片交叉叠放在一起，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形的宽相等，
即平行四边形的两条高相等，
∴邻边相等，
∴ ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
过A作AE⊥BC于E，AE＝3，
∵∠ABC＝60°，
∴AB＝2BE，
在Rt△ABE中，AB2＝BE2+AE2，
即，
∴AB＝2，
连接AC交BD于点O，
∵菱形ABCD，
∴∠ABD＝30°，
∴OA，
∴BO，
∴BD＝2OB＝6，
故答案为：6．
18．解：如图，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥AH轴于点G，
则四边形BEHG是矩形，
∴GH＝BE，∠EBG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠EBC，
∵∠EBC+∠ECB＝∠ECB+∠DCF＝90°，
∴∠EBC＝∠DCF，
∴∠ABG＝∠DCF，
在△ABG和△DCF中，
，
∴△ABG≌△DCF（AAS），
∴AG＝DF，BG＝CF，
∵点B的坐标是（﹣4，6），点C的坐标是（﹣2，0），点D的坐标是（10，4），
∴BE＝6，OC＝2，OF＝10，DF＝4，
∴AG＝DF＝4，
∴AH＝AG+GH＝AG+BE＝4+6＝10，
∴BG＝CF＝OC+OF＝12，
∴OH＝12﹣4＝8，
则点A的坐标是（8，10）．
方法2：C点到D点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，
∴B点到A点向右平移12个单位长度，向上平移4个单位长度，
∴A（8，10）；
故答案为：（8，10）．
三、解答题
19．解：（1）
2
2﹣222
4；
（2）
3
ab
．
20．解：（1）
方程两边同时乘x﹣2，得1＝x﹣1，
解得x＝2，
检验：，当x＝2时，x﹣2＝0，所以x＝2不是分式方程的解，
所以原分式方程无解；
（2）
方程可化为，
方程两边同时乘2x﹣3，得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣3≠0，
所以原分式方程的解是x＝1．
21．解：

，
当4﹣1＝3时，原式．
22．解：设A种粽子礼盒的单价是x元，则B种粽子礼盒的单价是1.5x元，由题意得：
，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝120．
答：A种粽子礼盒的单价是80元，则B种粽子礼盒的单价是120元．
23．解：（1）（名），
∴参与调查的学生人数为60名，
∴m＝60﹣12﹣24﹣6＝18（名）；
（2）由题意得，该校不了解“概率发展的历史背景”的学生数为（名）；
（3）由题意得，“很了解”部分圆心角；
（4）根据题意画树状图为：
根据树状图可知共有6种等可能的结果，其中恰好抽中一名男生和一名女生的可能共有4种，
∴恰好抽中一名男生和一名女生的概率为P（一男一女）．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC．AD∥BC，∠B＝∠D，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵AE平分∠DAC，CF平分∠ACB，
∴∠DAE∠DAC，∠BCF∠ACB，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE与△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA）．
（2）∵△ADE≌△CBF，
∴AE＝CF，DE＝BF，
∵AB＝CD，
∴AF＝CE，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE平分∠DAC，AD＝AC，
∴AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∴四边形AFCE是矩形．
25．解：（1）如图，以点C为圆心，OD的长为半径画弧，再以点D为圆心，OC的长为半径画弧，两弧交于点N，连接CN，DN，
则四边形CODN即为所求．
（2）连接CD，ON，相交于M，
∵四边形CODN为菱形，
∴OC＝OD，CD⊥ON，OM＝MN，CM＝DM，
∵∠AOB＝60°，
∴△COD为等边三角形，
∴CD，
∴DMCD．
在Rt△DOM中，由勾股定理得，OM3，
∴ON＝2OM＝6．
26．解：（1）线段CM和DN的关系为：CM＝DN，且DN⊥CM，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠DCN＝90°，BC＝CD，
∴在△BCM和△CDN中，
，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴∠BCM＝∠CDN，CM＝DN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
∴CM＝DN，且DN⊥CM；
（2）连接CE并延长交AD于G，连接GM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC∥AD，AD＝AB，∠A＝90°，
∴∠ENC＝∠EDG，
∴在△CNE和△GDE中，
，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴GD＝CN＝1，CE＝EG，
又∵MF＝CF，
∴，
∵BM＝DG＝1，正方形的边长为3，
∴AM＝AG＝2，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2，
∴22+22＝GM2，
∴，
∴；
（3）如图，过点B作BH⊥CM于点H，
∵CM2＝BC2+BM2，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵∠BPC＝45°，
∴，
∴，
∴．

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