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2026学年八年级数学下学期期末自测卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．前三个都是
2．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（ ）
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252
A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52
3．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．估计的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．无法确定
5．如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知三个实数满足则下列结论一定成立的是（ ）．
A． B． C． D．
7．若关于x的分式方程无解，则m的值是（ ）
A．1或2 B．2或3 C．1或3 D．3或0
8．已知m、n是正整数，若+是整数，则满足条件的有序数对（m，n）为（　　）
A．（2，5） B．（8，20） C．（2，5），（8，20） D．以上都不是
9．如图，在矩形中，，，平分交于点E，连接，取的中点F，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若，则____________．
12．若关于的分式方程的解为正整数，则整数的一个值可以是___________．
13．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为______．
14．如图，垂直平分，交于E，，垂足为A，，则的长为_____．
15．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C为x轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E为线段的延长线上一点，且，D为的中点，连接交于点F，连接，当三角形为等腰三角形时，点B的坐标为________．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分）
17．（6分）（1）分解因式：；
（2）利用因式分解计算：．
18．（6分）问题背景：随着新能源汽车的快速发展，数学小组选择价格相近的两款国产汽车进行使用费用的对比，其中一款是燃油车，另一款是新能源车．
素材1：燃油车油箱容积：50升，油价：8元/升，续航里程：千米；新能源车电池电量：100千瓦时，综合电价：1元/千瓦时，续航里程：千米．（续航里程是指加满油或充满电汽车能够连续行驶的最远距离）
素材2：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
解决问题：
(1)用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用；
(2)分别求出这两款车的每千米行驶费用．
19．（8分）综合与探究我们知道，因此将分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可以化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列各题：
(1)化简：_____________，_____________；
(2)若求的值；
(3)根据以上规律计算下列式子的值：
．
20．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）．
(1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积；
(2)在图2的边上画点E，使．
21．（10分）推行“双减”政策后，为了解某市初中生每周校外锻炼身体的时长（单位：）的情况，在全市随机抽取部分初中生进行调查，按五个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组：）进行分类整理，并绘制了如图所示两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)本次调查的总人数为_________，E组所在扇形的圆心角度数为_________；
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)所抽取初中生中每周校外锻炼身体的时长不少于的有多少人？占所抽取初中生的百分之几
22．（10分）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以1/秒的速度向点B运动；同时点Q从点C出发，以2/秒的速度向点D运动．规定其中一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
(1)当四边形是矩形时，直接写出t的值为 ；
(2)在点P，Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长．
23．（12分）阅读下列材料，并解答问题：
【材料1】我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如，，…这样的分式是假分式；如与…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式．
例如：将分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
方法1：；
方法2：由分母为，可设（a，b为待确定的系数），
，
对于任意x，上述等式均成立，
，解得，
．
，
这样，分式就被化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式．
【材料2】对于式子，由知的最小值为1，所以的最大值为3，所以的最大值为5．
(1)分式是 分式（填“真”或“假”）；
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式；
(3)当时，求分式的最大值．
24．（12分）如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形．
(2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
(3)直接写出的最小值．
参考答案
一、选择题
1．B
解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、，是因式分解，故本选项符合题意；
、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意；
、本选项不符合题意．
2．C
解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，，
∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为，
∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是．
3．C
解：∵ ，．
∴A． ，A错误；
B．， B错误；
C．．与选项一致， C正确；
D．，D错误．
4．A
解：
，
又∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴原式的值在5和6之间．
故选：A．
5．A
解：四边形是平行四边形，，，
，，
点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，
，，
，
，
，
．
6．D
解：将代入，
得，
，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
A. ，结论错误，不符合题意；
B. ，结论错误，不符合题意；
C. ，结论错误，不符合题意；
D. ，结论正确，符合题意．
故选：D．
7．A
解：
去分母，得，
．
∵关于x的分式方程无解，
当时，原方程无解，
∴，
当最简公分母，
，
当时，得，
综上m的值为1或，
故选A．
8．C
解：∵+是整数，m、n是正整数，
∴m=2，n=5或m=8，n=20，
当m=2，n=5时，原式=2是整数；
当m=8，n=20时，原式=1是整数；
即满足条件的有序数对（m，n）为（2，5）或（8，20），
故选：C．
9．B
解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵点F是的中点，
∴是斜边上的中线，
∴．
10．B
解：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和，
，
∴，故①正确；
当互相重合时，如图1所示：
∵是中点，，，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，故③正确；
过作，交延长线于点，如图3所示：
∵AH平分，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
根据四边形内角和为得到，
∵，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴最短时，最短；最长时，最长，
当运动到点时，最短，此时，；
当运动到点时，最长，此时，；
∴，故④错误；
无法证明；故②错误，
综上所述，①③正确，
故选：B．
二、填空题
11．0
解：
将，代入上式，得
原式
，
故答案为：0．
12．(或或，写出一个即可)
解：分式方程两边同乘，得，
展开整理得，即，
解得；
∵方程的解为正整数，且，
∴是8的正约数，2，4，，
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时，符合条件；
当时，，此时(增根，舍去)；
故整数的一个值可以是(或或)；
故答案为：(或或，写出一个即可)．
13．
解：∵两个小正方形的面积分别为和，
∴这两个小正方形的边长分别为，，
∴余下部分的面积为．
故答案为：．
14．9.6
解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，垂直平分，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
即，解得，
∴，
∴，，
∴．
15．
解：连接，
由作图知：，，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
解：点A的坐标为，四边形为矩形，
，，
取的中点G，连接，
则，
D为的中点，G为的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
由图可得，故分两种情况讨论：
当时，如图：
则，
，
；
当时，如图：
则，
，
；
综上可知，点B的坐标为或
故答案为：或．
三、解答题
17．（1）解：
．
（2）解：
．
18．（1）解：由题意可知，新能源车的每千米行驶费用为（元）．
（2）解：由题意列分式方程得：，
整理得，，
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元．
19．（1）解：对于，分子分母同乘，得
；
对于，分子分母同乘，得
．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
，
∴；
（3）解：
．
20．（1）解：由题意知，，，，
∴四边形是平行四边形；
则连接，交于O，做一条过O的线段即可；
（2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求；
证明：由勾股定理可知：，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
即．
21．（1）解：由条形统计图可知组有人，由扇形统计图可知，组人数占抽查人数的，
这次抽样调查的样本容量是，
由条形统计图可知组有人，
组所在扇形的圆心角的大小是；
（2）解：组人数为（人），
补全图形如下：
（3）解：所抽取初中生中每周校外锻炼身体的时长不少于的有（人），
占所抽取初中生的．
22．（1）解：（秒），（秒）．
当运动时间为t（）时，，，，，
根据题意得：，
解得：t，
∴当四边形是矩形时，t的值为．
故答案为：；
（2）解：当四边形为菱形时，，
∴，
解得：，
∴，
∴ ．
答：的长为．
23．（1）解：是真分式．
（2）解：设，
则 ，
解得，
.
（3）解：考虑，求其最小值，
∵，，
当时，最小为1
最大为1．
24．（1）证明：如图，过作于点，过作于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵是正方形对角线的一点，
∴，
，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）解：是定值，定值为，理由如下：
∵矩形为正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，定值为．
（3）解：∵矩形为正方形，
∴，
由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，
此时，有最小值，
由（2）知，
∴的最小值为．

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