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2026学年七年级数学下册期末复习测试卷
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．我国古代数学成就中蕴含了许多具有对称美的图案．在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．钝角三角形中有两个锐角
5．若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（ ）
A． B． C．11 D．9
6．在解二元一次方程组时，老师要求先消掉未知数，得到一个关于的一元一次方程，下面是甲、乙两名同学的答案：
甲：由①得③，将③代入②得．
乙：①②得．
下列说法正确的是（ ）
A．甲乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲乙都错
7．学校计划租用若干辆汽车运送七年级学生和带队教师外出进行博物馆参观活动．按照不浪费座位的原则，如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有人没有车坐；如果选用型客车，一辆车可乘坐人，那么有一辆车只坐了人，并且还空出一辆车．设计划租用辆车，共有学生和带队教师人．则根据题意列方程组为　　)
A． B．
C． D．
8．如图，取直线l上一点A，与直线外一点B相连．以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交、l于点C、D，以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，以点E为圆心，长为半径作弧，交前弧于点F，连接并延长；再以点B为圆心，长为半径作弧，交射线于点G，分别以点E、G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，连接并延长交l于点K．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．若a，b是正整数，且满足，则______．
10．命题：“如果两个图形成轴对称，那么这两个图形全等”的逆命题是________，这个逆命题是________（填“真”或“假”）命题．
11．将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式，若，则_____．
12．如图，把 ABC绕点按逆时针方向旋转得到，已知，则______．
13．如果关于x，y的二元一次方程组的解是，那么关于m，n的二元一次方程组的解是__________．
14．“守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级．
15．小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点的对应点恰好落在折痕上，进而研究该折纸过程中角的变化．若，则用含的式子表示为________．
16．图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____．
三、解答题（11小题，共68分）
17．解方程组：
(1)（用代入消元法）； (2)（用加减消元法）．
18．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
19．关于的二元一次方程组与方程组有相同的解．
(1)求这两个方程组的相同解；
(2)求的值．
20．淘气和笑笑两人分别计算一道整式乘法的题，淘气计算的题：，笑笑计算的题：，由于淘气将第一个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为；由于笑笑将第二个多项式中前面的符号抄成了“”，得到的结果为．
(1)求的值．
(2)请求出这两道题的正确结果．
21．小明在解答“已知 ABC中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以．
（3）假设．
（4）那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序______．
22．为响应国家“绿色低碳、全民节能”号召，助力安徽省“千村万户”光伏惠民工程，某新能源配件店销售A，B两种型号的家用光伏配件，进价分别为70元、50元，如表是该店近两天的销售情况：
销售量/件 销售收入/元
A型光伏配件 B型光伏配件
第一天 3 4 600
第二天 6 5 975
(1)求A，B两种型号光伏配件的销售单价；
(2)若该店为某乡镇光伏项目购进这两种配件总计50件，购进总费用不超过2900元．
①最多可以购进A型光伏配件多少件？
②该店销售这50件配件的总利润能否超过1340元？若能，请给出相应的购进方案；若不能，请说明理由．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中 ABC的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得 ABC的顶点C移到了点的位置．
(1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）；
(2)指出平移的方向和平移的距离；
(3)求线段在平移过程中扫过部分的面积．
24．给出如下定义：如果一个未知数的值既是方程的解又是不等式（组）的解，那么这个未知数的值称为该方程与不等式（组）的“关联解”．
例如：已知关于x的方程和不等式，当时，将其带入方程为，等式成立；将带入不等式为，不等式也成立，则称是方程与不等式的“关联解”．
(1)是方程与 （只填序号①或②或③）的“关联解”，其中：①；②；③．
(2)如果是关于x的方程与关于x的不等式组的“关联解”，求m的取值范围；
(3)关于x的方程与关于x的不等式组有“关联解”，且不等式组有且只有5个整数解，求符合条件的b的整数值．
25．情境：嘉嘉和淇淇为艺术节制作绘画作品，画布长为米，宽为米．操作：两位同学规划的绘图区域（图中空白区域）如下．
嘉嘉：如图1，绘画区域为一个长方形，长为米，宽为米． 淇淇：如图2，绘画区域分为三块，分别为两个正方形和一个长方形，两个正方形的边长均为米，长方形的长为米，宽为米．
(1)若图1中阴影部分的面积为，求（用含和的代数式表示）．
(2)若，求（1）中的值．
(3)若两位同学规划的绘图区域的面积相同，猜想与之间的关系，并说明理由．
26．如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)画出 ABC关于原点成中心对称的．
(2)画出 ABC绕原点逆时针旋转后得到的．
27．数学活动课上，老师带领学生们研究画平行线的方法．
王芳同学提供了通过折纸的方式画平行线．方法如图，第一步按照图方式折叠，折痕经过点，折叠后使点的对应点落在线段上；第二步如图方式折叠，折痕经过点，并且使直线与折叠后的对应直线重合．展开得到图，则直线．
(1)请用学过的知识，证明结论．（注：直线与正方形相交于，两点，与线段相交于点，直线与正方形相交于，两点）
(2)通过不断地尝试，过点再也折不出其它折痕与平行，其中的数学道理是______；
(3)接下来，老师带着同学们继续探究，在图的基础上，连接，如图过点再一次折叠，使线段与线段所在直线重合，折痕与线段相交于点，如果在线段上取一点，在射线上取一点，连接．探究、、的关系．
参考答案
一、选择题
1．C
解：对于A选项，，A错误；
对于B选项，，B错误；
对于C选项，，C正确；
对于D选项，，D错误．
2．B
A． 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ，
B． 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意 ，
C． 不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意，
D． 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ．
3．B
解：∵左边，
又，
对比等式两边对应项系数，可得，．
4．C
解：A选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．
∵时，a可为2或，
∴ 逆命题为假命题．
B选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．
∵ 该条件符合（两边及其其中一边的对角），但不能保证三角形全等（如可能存在两个不全等的三角形满足条件），
∴ 逆命题为假命题．
C选项：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．
∵ 立方运算具有唯一性，由 可以推出，
∴ 逆命题为真命题．
D选项：原命题“钝角三角形中有两个锐角”的逆命题为“有两个锐角的三角形是钝角三角形”．
∵ 有两个锐角的三角形可能是锐角三角形或直角三角形，不一定是钝角三角形，
∴ 逆命题为假命题．
综上，逆命题是真命题的只有C选项．
故选：C．
5．B
解：
得，，
∵
∴
∴；
解不等式组得，
∵关于的不等式组恰好有三个整数解，
∴三个整数解为，0，1，
∴，
∴，
∴
∴整数，，
∴．
∴符合条件的所有整数的和是．
6．C
解：先验证甲的计算：
∵ 由① 移项得 ，
将 代入② 得：，
展开得 ，与甲得到的 不一致，∴甲错误.
再验证乙的计算：
① 得 ，
与②相加得 ，
合并同类项得 ，与乙得到的结果一致，∴乙正确.
综上，甲错乙对.
7．B
解：设计划租用辆车，共有学生和带队教师人，
选用型客车时，一辆车坐人，有人无座，
总人数，即．
选用型客车时，空出一辆车，实际使用车辆为辆，
其中一辆只坐人，其余辆车坐满人，
总人数．
因此，方程组为，
故选：B．
8．D
解：由作图可知：，平分，
∴，
∴．
二、填空题
9．
解：，，
∵，
∴，
∴，
∴．
10． “如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称” “假”
解：逆命题是“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，该命题是假命题．
故答案为：“如果两个图形全等，那么这两个图形成轴对称”，“假”．
11．4
解：∵，
∴，
整理得，
即，
解得．
12．
解：∵把 ABC绕点按逆时针方向旋转得到，，
∴，
∴.
13．
解：令，，则关于，的二元一次方程组可化为．
∵二元一次方程组的解是，
∴，
解方程组，得．
∴关于m，n的二元一次方程组的解是．
14．6
解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得：
，
解得：，
∵x为整数，
∴x取6，
∴学校八年级共有6个班级．
15．
解：设，则，
∵折叠，
∴，
又∵
即
∴
∴，
故答案为：．
16．解：根据图2所示的阴影部分面积为60可得：
，
展开化简：，
，
∴，即．
根据图3所示的阴影部分面积为60可得：．
∴大正方形面积：．
∴未裁剪前大正方形红布的边长为．
三、解答题
17．（1）解：，
把②代入①得，
解得，
把代入②得，
原方程组的解为；
（2）解：，
①②得，
解得，
把代入①得，
解得，
原方程组的解为．
18．（1）解：∵，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，，
∴，
∴．
19．（1）解：联立，
解得：，
∴这两个方程组的相同解为．
（2）联立，将代入，得：
，
，得：，
∴，
∴．
20．（1）解：由题意，得 ，
，
所以，
解得；
，
，
所以，
解得；
（2）解：淘气计算的题：
；
笑笑计算的题：
．
21．证明：假设，
那么，由，得，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
22．（1）解：设A型光伏配件销售单价为元，B型光伏配件销售单价为元，由题意得：
，
解得：；
答：A型光伏配件销售单价为100元，B型光伏配件销售单价为75元；
（2）解：设购进A型光伏配件件，则购进B型光伏配件件，
①由题意得：
，
解得：；
答：最多可以购进A型光伏配件20件
②该店销售这50件配件的总利润能超过1340元，理由如下：
由题意得：
，
解得：，
∴，
∵为整数，
∴的值为，
∴或；
答：能，购进方案为：方案一：购进A型配件19件，B型配件31件；方案二：购进A型配件20件，B型配件30件．
23．（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位．
（3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为．
24．（1）解：将代入不等式，不等式成立，则是方程与的“关联解”；
将代入不等式，不等式成立，则是方程与的“关联解”；
当时，，因此时不等式组不成立，则不是方程与不等式组 的“关联解”；
综上分析可知：是方程与①或②的“关联解”；
（2）解：根据题意可得：，
∴，
不等式组为，
化简得：，
解不等式组得：．
（3）解：解方程得：，
∵关于x的方程与关于x的不等式组有“关联解”，
∴适合不等式组，
∴，
解不等式组得：，
∵，
∴，
∵不等式组有且只有5个整数解，
∴，
解得：，
∴b的整数值为4或5．
25．（1）解：
（平方米）
（2）解：当时，
（平方米）．
（3）解：．
理由：由题意得
，
．
26．（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求．
27．（1）证明：∵折痕经过点P，折叠后使点的对应点落在线段上，
∴，
∵折痕经过点，并且使直线与折叠后的对应直线重合，
∴，
∴，即．
（2）解：∵点为直线外一点，
∴过点有且只有一条直线与直线平行，
∴其中的数学道理是：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
（3）解：如图，当点在线段上时，过点作，
∵过点再一次折叠，使线段与线段所在直线重合，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
整理得，；
如图，当点在的延长线上时，过点作，
∵，
∴，
同理可得，，，，
∴，
整理得，；
综上所述：或．

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