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2026学年数学八年级下册期末复习卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．16
2．函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将平行四边形的边延长，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（ ）
A． B． C．1 D．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
9．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）．
10．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个．
11．计算：______．
12．因式分解：______．
13．如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为______．
14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______．
15．如图，边长为7的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M．若，则的长为__________________ ．
16．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．）
17．（本题6分）计算：
(1) (2)
18．（本题6分）解方程：
(1)； (2)．
19．（本题6分）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000
摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602
摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602
(1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）；
(2)试估计袋子中有白球________个：
(3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案.
20．（本题6分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．（本题6分）为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查：
调查问卷 年 月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（ ）（单选）． （A）漆扇摇香 （B）花漾手作 （C）宋韵点茶 （D）解忧杂货铺
将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中，________，________；
(2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度；
(3)请补全条形统计图；
(4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？
22．（本题8分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的周长．
23．（本题8分）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床．
(1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？
(2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润．
24．（本题8分）在图1和图2中，四边形为平行四边形，且．
(1)如图1，当，时，用尺规按如下步骤作图：①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G；③连接，交于点F；④作，交于点E．求证：四边形为菱形．
(2)如图2，连接四边形的对角线．用尺规作图的方法求作菱形，且顶点G、H分别在上．（保留作图痕迹，不要求写作法）
25．（本题10分）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，．
(1)如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ；
(2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接．
①求证：是等边三角形；
②求证：．
26．（本题12分）【阅读发现】
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码．
【问题解决】
（1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________；
（2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值；
【拓展延伸】
（3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？
27．（本题12分）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．
(1)观察发现
如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________；
(2)类比探究
在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：；
(3)拓展应用
如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形，
∴四边形为菱形，
∴四边形的周长为．
2．A
∵ 二次根式中，被开方数必须是非负数，
∴，
解得．
3．A
解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：A．
4．B
解：连接，如图所示：
∵四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即．
5．C
解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误．
对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误．
对于选项C：
∵
又∵
∴，与选项一致，故C正确．
对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误．
故选：C．
6．D
解:
去分母得：，
整理得，
解得，
∵关于x的分式方程的解为非正数，
∴，
解得：
又∵
∴
∴且
∴且
故选：D．
7．A
解：如图，过点作于点，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∵，
∴在中，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
故选：A．
8．D
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵于点E，于点F，
∴，
∴四边形是矩形，，
∴由勾股定理得，，
∵G为的中点，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
故①正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
即的值为定值4，故③正确；
∵，
∴当最小时，最小，
∴当时，最小，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故④正确；
∴正确的有①②③④，共4个，
故选：D．
二、填空题
9．
解：第5组的频数为：
，
第5组的频率为：．
10．12
解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4，
∴摸到黄球的概率是0.4，
∴黄球的个数为（个），
∴口袋中大约有红球（个），
故答案为：12．
11．
解：．
12．
解：∵，且，
∴．
13．
解：如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴要使有最小值，则需三点共线，
如图，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
14．22
解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为．
由题意得：．
方程两边同时乘以，得：
．
化简得：．
移项得：．
即．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
即一片国槐树叶一年的平均滞尘量为．
故答案为：22．
15．
解：过点M作于点N，设与交于点K，如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
由题意得：，
∴，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
∴．
故答案为：．
16．2
解：解不等式，
不等式的两边同时乘以6得，
解得，
解不等式得，
∵关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，
∴
∴，
解分式方程：
方程两边同时乘以得，
解得，
∵关于的分式方程的解为非负整数，
∴是非负整数，
∴，且a是偶数，
∴，且a是偶数，
又∵原分式方程不能有增根，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，满足条件的整数a的值可以为0和2，
∴所有满足条件的整数的和是，
故答案为：2．
三、解答题
17．（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）解：，
方程可变形为，
方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，，
所以原分式方程的解是；
（2）解：，
方程可化为，
方程两边同乘以，得，
解得，
检验：当时，
所以原分式方程的解是．
19．（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6；
（2）黑球的个数约为个，
则估计袋子中有白球个，
故答案为：20；
（3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即再添加10个相同的白球．
20．（1）证明：∵四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
，
．
21．（1）解：，
∵，
∴，
故答案为：50，30；
（2）解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是，
故答案为：72；
（3）解：“B”所对应的人数为（人），
补全条形统计图如下：
（4）解：（人）
该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人．
22．（1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：设，
∵四边形是菱形，
∴，
∵矩形中，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
∴菱形的周长．
23．（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
（元）．
答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元．
（2）解：根据题意，得：，
解得：，
A款电热毯的售价为（元），
B款电热毯的售价为（元），
则，
∵，
∴W随a的增大而增大，
∵且x为正整数，
∴当时，W的值最大，．
答：最大利润为1998元．
24．（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴
由作图可知，平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形为菱形．
（2）解：如图，菱形即为所求，
∵垂直平分，
∴，，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵
∴四边形为菱形．
25．（1）解：如图1， 是等边三角形，，
，，
，
，
，
D是的中点，
，，
，
，
∵，
，
，
，
，
；
（2）①证明：如图2，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
∴是等边三角形；
②证明：如图2，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
26．（1）解：
，
当，时，
，，，
将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160．
故答案为：816160；
（2）解：，
∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数，
∴三个因式码为24、25、26，
即三个因式的值分别为24、25、26，
分三种情况：
①当时，另外两个因式的值为25、26，即，，
则，
可知，；
②当时，另外两个因式的值为24、26，即，，
则，
可知，；
③当时，另外两个因式的值为24、25，即，，
则，
可知，；
综上所述，，或，或，；
（3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且）
根据题意得（，为正整数，且）
将代入得
即
因式分解得
将91分解为正整数因数对：、，
当时，
解得，
此时里程数，符合题意；
当时，
解得，
此时里程数，不符合题意，舍去．
故此时汽车仪表盘上的里程数是．
27．（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O，
根据折叠的性质可得垂直平分，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
故答案为：，；
（2）证明：如图，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴．
∴．
∵垂直平分，
∴，
∴．
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴在四边形中，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：线段的长为2或8．
连接，设，
∵，
∴，，
在中，，
当点Q落在线段上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
当点Q在延长线上时，如图，
此时，
在中，，
在中，，
则，
解得，
∴；
综上，线段的长为2或8．

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