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苏州市2025~2026年第二学期期末考试模拟试卷（三）
初 二 数 学 2026.06
注意事项:
1.本试卷共27小题,满分130分,考试时间120分钟;
2.答题前,考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上,并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符;
3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上,不在答题区域内的答案一律无效,不得用其他笔答题;
4.考生答题必须答在答题卡上,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破,答在试卷和草稿纸上一律无效.
选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上.
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是
A． B． C． D．
2．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是
A． B．
C． D．
3．上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为
A． B． C． D．
（第3题图） （第4题图）
4．如图，小聪从点沿直线走向路灯的正下方点处，他的影长随他与点之间的距离变化而变化．若小聪的身高为，则关于的函数表达式为
A． B．
C． D．
5．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是
A． B． C． D．
6．《九章算术》中有题为：每头牛比每只羊贵1两，20两买牛，15两买羊，买得牛、羊的数量相等，求每头牛的价格．根据题意，嘉嘉和淇淇分别列出了尚不完整的方程如图所示．下列说法不正确的是
嘉嘉： 淇淇：
A．表示每头牛的价格 B．表示买得牛（羊）的数量
C．表示 D．表示
7．如图，为的中点，若点D在直线上运动，连接，则在点D运动过程中，线段的最小值是
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
（第7题图） （第8题图）
8．如图，正方形的边长为，点在边上，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，的平分线交于点，则的长为
A B． C． D．
二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卡相应位置上.
9．从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是 ▲ ．
10．将方程化成（为常数）的形式，则 ▲ ．
11．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“安”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“安”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长更接近的整数是 ▲ ．
12．分式方程的解是 ▲ ．
13．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为 ▲ ．
（第13题图） （第15题图）
14．对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ▲ ．
15．如图，在四边形中，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒，当时，则t的值为 ▲ ．
16．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点(B点除外)，以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 ▲ .
三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔．
17．（本题满分3分）
计算：．
18．（本题满分5分）
下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程．
甲同学解：第一步第二步 乙同学解：∵ 第一步∴ 第二步∴ 第三步即， 第四步
(1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误；
(2)从两个方程中任选一个进行正确解答．
19．（本题满分5分）
先化简：，再从，，1，2中选择一个适当的数，代入求值．
20．（本题满分5分）
如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点）．已知点A和点B的坐标分别为和．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为．
(2)四边形的面积为 ▲ ．
21．（本题满分6分）
如图，中，，现进行如下操作：
①以点C为圆心，任意长为半径画弧交于点E，交于点F；
②以点A为圆心，长为半径画弧交于点H；
③以点H为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点G；
④过点G作射线；
⑤以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，连接得四边形．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)连接，，求证：．
22．（本题8分）在贯彻落实“五育并举”的工作中，某校开设了五个社团活动：传统国学（A）科技兴趣（B）、民族体育（C）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图，请根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（第22题图）
(1)本次调查的学生共有 ▲ 人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，传统国学（A）对应扇形的圆心角度数是 ▲ ；
(4)若该校有2700名学生，请估算本学期参加艺术鉴赏（D）活动的学生人数．
23．（本题满分6分）
观察下列等式，并回答问题．
；；；
…
华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的 ▲ 倍；
(2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除．
24．（本题满分8分）
如图，在等腰中，，平分，分别过点A，C作，的平行线交于点E，连接，交于点F，G．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求的值．
25．（本题10分）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元/双时，每天能售出200双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格x（元）间存在如图所示的函数关系．
(1)求出与的函数关系式；
(2)公司希望平均每天获得的利润达到8960元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价多少？
(3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的，公司每天能否获得9000元的利润．若能，求出定价：若不能，请说明理由．
26．（本题满分12分）
如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，点在轴正半轴上，以，为邻边作平行四边形，点的坐标为．
（第26题图）
(1)求点的坐标和直线的解析式；
(2)为线段上一点，其横坐标为，过点作的垂线，交轴于点，交直线于点
①如图2，若，求的面积；
②若以，，为顶点的三角形与相似，求的值．
27．（本题满分14分）
【问题探究】
（第27题图）
(1)如图1，在正方形中，点、分别为、边上不与端点重合的一动点，连接交于点，交对角线于点，且．
①与的关系是 ▲ ；
②若，求的值．
【类比探究】
(2)如图2，在矩形中，，，点、分别在边、上，点为线段上一动点，过点作的垂线分别交边、于点、点．若线段恰好平分矩形的面积，且，求的长；
【知识迁移】
(3)如图3，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值；
【拓展应用】
(4)如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上，将四边形沿翻折，点的对应点点恰好落在上，点的对应点是点，则的最小值为 ▲ （用、的代数式表示）．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A D D D C B
1．B
【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再对比被开方数是否和相同，即可得出答案．
【详解】解：∵是最简二次根式，被开方数为.
对各选项化简：A选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式；
B选项，化简后被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式；
C选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式；
D选项是最简二次根式，被开方数为，不是同类二次根式．
2．C
【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可．
【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补，
∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补，
∵与角互补的角为， 与角互补的角为，
∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形．
3．A
【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解；
根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值．
【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同，
∴它们是相似图形，对应边成比例．
设屏幕上照片的宽为，
则，，，
∴．
故选：A．
4．D
【分析】根据题目是点光源，将图像画出来，然后将各个线段的代数式表示出来，根据相似三角形列出相似比，将数值代入，解出答案．
【详解】解：如图所示，是小聪的身高，是小聪的影子长度，
，
∵，小聪与点之间的距离，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
化简，得．
5．D
【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求；
对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求；
对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求；
对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求．
6．D
【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，每头牛比每只羊贵1两，牛、羊数量相等．嘉嘉的方程中，表示每头牛的价格，表示每只羊的价格；淇淇的方程中，若为牛（羊）的数量，则为牛价格，由方程和题意可知，表示羊的价格；根据题意，羊的价格为，故应为；因此选项B正确，选项D错误．
【详解】解：设每头牛价格为两，每只羊价格为两，
∵，且牛数量为，羊数量为，数量相等，
∴．
嘉嘉方程：，对比得x为牛价格，为羊价格，即，故A、C正确．
淇淇方程：，为数量，则为牛价格，牛价格减1为羊价格，即，又羊价格为，
∴，而非，故B正确，D错误．
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，勾股定理，面积法，想到将求的最小值值转换为求的最小值，因想到连接证明，求的最小值则应该求的最小值，是解题的关键．
连接将与的交点记为G，利用三角形相似的性质，进行角度转换证明，F是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值．
【详解】解：如图，连接将与的交点记为G，
，
，
，
，
，
，
，
，
中，，
，即，
∵F是的中点，
，
，
∴
在中，,
∴，
∴，即，
∴当时，最短，此时也最短，
当时，，
，
，
，
即线段的最小值是4．
故选C．
8．B
【分析】连接并延长交的延长线于，在上取点，使，连接，可证是等腰直角三角形，得到，，即得，再证明，得到，，进而可得是等腰直角三角形，得到，，再得到，最后利用相似三角形的性质解答即可求解．
【详解】解：如图，连接并延长交的延长线于，在上取点，使，连接，
∵四边形是正方形，边长为，
，，
∴，
是等腰直角三角形，
，，
，
由旋转可得，，，
，
∵，
，
又
，
，，
，
∵，
是等腰直角三角形，
，，
∴， ，
∴，
平分，
，
∴，
∴，
∴，
．
9．
【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可．
【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个，
∴字母“”出现的概率是，
故答案为∶．
10．1
【分析】利用配方法将原方程变形为的形式，求出和的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：原方程为，
移项得，
配方，给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得，
即 ，整理为 的形式得，
，，
则，
因此．
11．2
【分析】首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度．
【详解】解：四边形为正方形，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
，
“安”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且，，
，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，
∴更接近的整数是2，即的长更接近的整数是2．
12．
【分析】先将分式方程化为整式方程求解，最后检验所得根是否使原分式方程分母不为零．
【详解】解：，
对分母因式分解得 ，
方程两边同乘最简公分母，得
整理得
解得
检验：当时，，原分式方程分母为零，
因此是增根，舍去；
当时， ，满足原分式方程分母不为零的要求.
因此原分式方程的解为．
13．
【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质等．由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可．
【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点，
，，
，
，
如图，取中点H，连接，
点为的中点，点H为的中点，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
，
故答案为：．
15．或
【分析】设运动时间为t秒，根据题意，得，此时，，此时，分四边形是平行四边形，等腰梯形两种情况求解即可；
【详解】解：设运动时间为t秒，根据题意，得，此时，，此时，
，故当时，四边形是平行四边形，则有，
故，解得，
P点停止运动时间为，Q点停止运动时间为，
符合要求；
当四边形是等腰梯形时，也满足，
过点D作于点E，过点P作于点F，
，，，
故四边形是矩形，
同理可证，四边形是矩形，四边形是矩形，
故，，
，
∵在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，也满足要求，
综上，符合条件的t值为或；
16．8
【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案.
【详解】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，
∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC，
∴BH=BC=2，
∴AH==，
∵S△ABC=，
即，
∴CN=4，
在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3，
∴BN=BA+AN=8，
∵四边形CDEF是正方形，
∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD，
∵∠CDN+∠NCD=90°，
∴∠EDM=∠DCN，
又∵∠EMD=∠DNC=90°，
∴△EDM≌△DCN，
∴EM=DN，
设BD=x，则DN=8-x，
∴S△BDE===，
∵，
∴S△BDE的最大值为8，
故答案为8.
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键.
17．
【分析】根据二次根式乘法、负整数指数幂运算、绝对值的化简，按照运算法则分别计算每一项，再合并即可得到最终结果．
【详解】解： 原式
．
18．(1)一，一
(2)选甲：方程的解为；选乙：方程的解为
【分析】（）根据解答过程判断即可求解；
（）选甲的方程：利用因式分解法直接解答即可；选乙的方程：先把方程转化为一般式，再利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：甲同学第一步开始出现错误，漏了的情况；乙同学第一步开始出现错误，没有把方程转化为一般式，误得到，
故答案为：一，一；
（2）解：选甲的方程：
∵，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
选乙的方程：
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∴，．
19．
，
【分析】按照分式混合运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定可代入的x值，最后代入计算即可．
【详解】解：原式，
，，，
，1，2，
将代入得，原式．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据位似定义结合题目要求作图即可；
（2）过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．先证，从而证得为等腰直角三角形，并计算的面积，再根据相似三角形的性质，由两个三角形的相似比求得它们的面积比，求出的面积，最后根据四边形的面积为：，求出四边形的面积．
【详解】（1）解：作图如图所示．
（2）解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D．
∵点A和点B的坐标分别为和，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，相似比为，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
21．(1)四边形是菱形，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）由作图得，，，得到，然后结合即可证明；
（2）由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到．
【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
由作图得，，
∴
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是菱形
∴，
∴
由作图得，
∴
∴．
22．(1)90
(2)见解析
(3)
(4)300人
【分析】（1）用劳技实践（E）社团人数除以所占的百分比求解；
（2）先用总人数分别减去传统国学（A）、科技兴趣（B）、艺术鉴赏（D）、劳技实践（E）社团的人数计算出民族体育（C）社团的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用360度乘传统国学（A）社团所占的比例来求解；
（4）用2700乘艺术鉴赏（D）社团所占的比例来求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生人数为：
（人）．
故答案为：90；
（2）解：民族体育（C）社团人数为：（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：在扇形统计图中，传统国学（A）社团对应扇形的圆心角度数是
．
故答案为：；
（4）解：该校有2700名学生，本学期参加艺术鉴赏（D）社团活动的学生人数为
（人）．
【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，理解先求出本次调查人数是解答关键．
23．(1)43
(2)
见解析
【分析】（1）利用平方差公式法进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算后判断即可.
【详解】（1）解：，
∴的结果是3的43倍；
（2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为，
∴
∵为整数，
∴为整数，
∴能被整除
即与的平方差能被3整除．
24．(1)见解析；
(2)3．
【分析】（1）根据题意可知，即四边形是平行四边形，再结合等腰三角形三线合一得到即可得证；
（2）先证，得到，则F是的中点，再过点F作的平行线，交于点H，求得，再由求解即可．
【详解】（1）证明：根据题意得，
∴四边形是平行四边形．
∵在中，平分，
∴，即，
∴四边形是矩形；
（2）解：由（1）得，四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴F是的中点．
如解图，过点F作的平行线，交于点H，
∴H为的中点．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的值为3．
25．(1)
(2)88元
(3)公司每天能获得9000元的利润，此时定价为90元
【分析】（1）由题意，设y与x的函数关系式为，然后由待定系数法求解析式，即可得到答案；
（2）根据题意，列出一元二次方程，然后解方程，即可求出方程的解；
（3）由题意，列一元二次方程，求出x的值，然后列出一元一次不等式，求出不等式的解集，即可求出答案．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
将，代入得：，
解得，
与的函数关系式为．
（2）解：根据题意得，
整理得：，
解得：，
∵要求优惠力度最大，
取，
．
答：每双运动鞋的售价应该定为88元；
（3）解：公司每天能获得9000元的利润，理由如下：
根据题意得，
整理得，
解得．
∵每双运动鞋的利润不低于成本价的，
，
解得：符合题意，
公司每天能获得9000元的利润，此时每双运动鞋的定价为元．
26．(1)；
(2)①
②的值为或
【分析】（1）利用平行四边形性质求得，进而得出直线的解析式为，即可求得答案；
（2）①运用勾股定理可得，，再证得，即可求得，，再运用即可求得答案；
②过点作轴于点，设，可证得，求得，得出，分两种情况：当时，当时，即可求得答案．
【详解】（1）解：如图1，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵在轴上，，
∴，
∵直线经过点，
∴，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
∵，
∴；
（2）解：①如图，
当时，，
∵，，
∴点是的中点，
在中，，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
；
②过点作轴于点，设，如图：
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
当时，如图：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，分类讨论是解题的关键．
27．(1)①；；②
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）①由可证得，又有同角的余角相等可得，；
②，可得，由各个线段的比例关系、勾股定理表示出各个线段长，再求解的值；
（2）正确添加辅助线，过作交于，过作交于，连接交于，可证得，再由勾股定理求解即可；
（3）正确添加辅助线，补全矩形，由三角形相似和等边三角形、矩形的性质，即可证得；
（4）由，可证得，通过等量代换可得，，由轴对称和三角形两边之和大于第三边可知，当，，三点共线时，有最小值，最小值为，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：①∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即；
②设正方形的边长为，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：过作交于，过作交于，
∵，∴，
∵，，∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平分矩形的面积，连接交于，
∴，
∵，所以，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（3）解：过点作，交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
（4）解：连接，，过点作于点，作点关于的对称点，
由翻折的性质，，，，，，
∴，
∴，即，
在与中，
，
∴，
∴，
由（3）可知，，
∴，即，
，
由对称的性质可知，，，，
，
当，，三点共线时，有最小值，最小值为，
，
∴的最小值为．
（第2题图）
（第11题图）
（第16题图）
（第20题图）
（第21题图）
（第24题图）
（第25题图）
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