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第16讲 极值与最值 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B B C D A
6 7 8 9 10
D 见解析 D
11 12 13 14 15
见解析 见解析 见解析 BD AB
16 17 18 19 20
见解析 见解析 见解析 见解析 B
21 22 23 24 25
A B A C B
26 27 28 29 30
D B 见解析
31 32 33 34 35
见解析 见解析 见解析
36 37 38 39 40
见解析 见解析
41 42 43 44 45
A 1(答案不唯一，2、3均可) [0,1] 见解析 B
46 47 48 49 50
C 见解析 见解析 见解析 见解析
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
1.（2026·马鞍山一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可.
函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为，
当时，；当时，；当时，，
当且仅当时取等号，则函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，所以极值点个数为2.
对应选项B.
【点拨】通过观察导函数图象与轴的交点及两侧符号变化，可直接判定原函数的极值点位置.
2.（2024·全国·专题练习）若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ 　　）个单调区间.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】若函数存在一个极大值与一个极小值，则至少有3个单调区间，
若有3个单调区间，
不妨设的定义域为，若，其中可以为，可以为，
则在上单调递增，在上单调递减，(若定义域为内不连续不影响总体单调性)，
故，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，有，不合题意；
若有4个单调区间，
例如的定义域为，则，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，
故函数存在一个极大值与一个极小值，且，满足题意，此时有4个单调区间，
综上所述：至少有4个单调区间.
对应选项B.
【点拨】结合极大值与极小值的大小关系，可推断出函数图象的起伏情况，进而确定单调区间的最小数量.
3.（2024·全国·专题练习）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ 　　）
A.
B. 函数在处取得最大值，在处取得最小值
C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值
D. 函数的最小值为
【答案】C
【解析】由题图可知，当时，，所以函数在上单调递增，
又，所以，故A不正确．
因为，，且当时，；当时，；
当时，．所以函数在处取得极大值，但不一定取得最大值，在处取得极小值，不一定是最小值，故B不正确，C正确．
由题图可知，当时，，所以函数在上单调递减，从而，所以D不正确．
对应选项C．
【点拨】导函数的正负直接决定原函数的增减性，据此可分析出函数在各点处的极值情况及大小关系.
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立. 综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
对应选项D.
【点拨】导函数的零点不一定是极值点，只有当导数在零点两侧变号时，原函数才取得极值.
考法2：求具体函数的极值与极值点
5.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【解析】由函数，可得，
令，即，可得或，
因为，可得，
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递增；
当时，，所以，单调递减；
当时，，所以，单调递增，
所以在上递增，在上递减，在上递增，
在上递增，在上递减，在上递增，
其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点，
所以在区间的极值点为，共有4个.
对应选项A.
【点拨】求导后将极值点问题转化为三角方程的求解，结合给定区间找出所有符合条件的变号零点.
6.（2026·湖北新八校·一模）函数的极大值点为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，易得在，递增，在递减，则极大值点为，对应选项A.
【点拨】对三次函数求导，通过分解因式确定导数的符号变化，从而准确定位极大值点.
7.（2026·河南郑州·二模）函数的所有极值点之和为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，令，解得，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.
所以在取得极大值，在取得极小值，所以函数所有极值点之和为.
【点拨】求导后得到一元二次方程，其两个不相等的实数根即为极值点，利用韦达定理或直接求根即可得解.
8.（2026·安徽淮北·二模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为原不等式的解集是且，
故、为的零点，
则或（舍）
所以，
则，
，得或；，得，
则在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为.
故答案为：.
【点拨】由不等式的解集特征可反推出三次函数的零点及因式结构，进而求导确定极大值.
9.（2025·河南金科新未来·5月联考）已知函数的定义域和值域相同.
（1）求；
（2）记的导函数为，求的极小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）若，则的定义域为，值域为，不符合题意；
若，则的定义域为，值域为，则有，解得.
综上所述，.
（2），定义域为，，记，
则.
当时，时，.所以在上单调递减，在上单调递增.因此的极小值为.
故的极小值为1.
【点拨】利用函数定义域与值域相同这一条件锁定参数值，随后通过求导分析单调性得出极小值.
考法3：含参函数的极值点个数问题
10.（2026·福建福州宁德·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　）
A. 为奇数 B. 为奇数 C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】求导得出，令可得或或，对、的大小以及、的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项.
因为函数，该函数的定义域为，
（1）当时，，
由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去；
（2）当且时，
，
由可得或或，
因为函数有且仅有个极值点、、，且，
则且，符合题意，
①若，则，，
则，所以，，，
若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
此时函数只有一个极值点，不符合题意；
当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下：
单调递增 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时函数有两个极值点，不符合题意；
当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意；
当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时函数有个极值点，符合题意，且，，，
此时，则；
②当时，同理可知、均为偶数，且，，，
此时，则.
故D选项正确.
【点拨】对含参函数求导后，需根据参数的大小及指数的奇偶性分类讨论导数的符号变化，从而确定极值点个数.
11.（2026·山东名校联盟·5月核心素养评估）已知函数.
若函数有极大值点，求证.
【答案】见解析
【解析】由题意，，
因为有极大值点，所以，即，
所以，
所以，
要证，即证，
即证，
因为，所以，
所以，即，
因为且，
当时，，即证，
当时，，即证，
所以只需证对任意且恒成立，
令，
则，
所以在上单调递增，
当时，，即，
当时，，即，
所以对任意且恒成立，
所以得证.
【点拨】利用极值点处导数为零的条件消去参数，将目标不等式转化为只含的单变量不等式，构造新函数进行证明.
考法4：含参函数的极值求解与讨论
12.（2026·广东中山·二模）已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值．
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，所以即在上单调递增．
当时，由，得，由，得，
所以即在上单调递减，在上单调递增.
【点拨】求导后，根据参数的符号分类讨论导函数的单调性，进而分析原函数的极值情况.
13.（2025·广东江门·一模）已知函数.
当时．
（i）设，讨论函数在上的单调性；
（ii）证明：对任意的，有．
【答案】（i）在上单调递增；（ii）证明见解析.
【解析】
（i）时，且，则，故在上单调递增；
（ii）令，则，
由，则，
由（i）知，，即在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
因为，所以在上单调递增，则，
所以，
综上，对任意的，有.
【点拨】将双变量不等式证明转化为单变量函数的最值问题，通过构造差函数并分析其单调性完成证明.
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
14.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　）
A. B. 是极小值点 C. D.
【答案】BD
【解析】由题意得的定义域为，则，
而极值点满足，则，结合题意得，
可得方程的根出现在时，即时，
而，，，
结合零点存在性定理得，，
对于A，由已知得，，
则，不满足，故A错误，
对于B，令，且，
令，则，
令，，
当时，，则在上单调递增，
而，，则，
由零点存在性定理得存在作为零点，
即存在作为零点，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
令，，令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
则是的极小值点，故B正确，
对于C，由已知得，，
则，而，
，而，则，得到，
由正弦函数性质得在上单调递减，
则，得到，故C错误，
对于D，由题意得，，
满足，由已知得，则，
可得，
令，且，
而，当时，，
则在上单调递增，则，
即，故D正确.
【点拨】极值点满足的超越方程无法直接求解，需利用零点存在性定理确定其所在区间，再结合函数的单调性与周期性逐项分析.
15.（2025·山东名校考试联盟·二模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 一定有两个极值点
B. 若，则或
C. 过点作曲线的切线有且仅有一条
D. 当时，
【答案】AB
【解析】由题设，
当或时，，则在、上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
所以分别为极大值点、极小值点，A对；
由，令，则，
所以或，故对于，则或，B对；
由且，则处的切线为，过，
由，则处的切线过，
所以过的切线至少有两条，C错；
由，，
所以，故，D错.
【点拨】通过导数确定极值点与切线，结合三次函数的中心对称性，可快速计算出对称点处的函数值之和.
16.（2026·山东济南·二模）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）当时，，则，
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）易知的定义域为，且，
因为，令，得到或（舍去），
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
又由题意知，存在，使，
所以.
令，则，
令，
则，
所以当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，
故的取值范围为.
【点拨】将存在性问题转化为函数最小值小于给定表达式，分离参数后构造新函数，通过求导寻找最值.
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
17.（2026·山东德州·三模）已知函数.
求的极值；
【答案】极大值为，无极小值
【解析】的定义域为，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值.
【点拨】对含有对数的函数求导，通过分析导函数的符号变化直接得出极值.
18.（2026·江苏苏锡常镇四市·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.
（1）求的极值；
（2）证明：.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）见解析
【解析】（1）因为，所以.
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以的极小值为，无极大值.
（2）因为，所以在点处的切线方程为，
即，所以.
设，则.
设，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以的最大值为，
即，所以在上单调递减.
因为，所以当时，；当时，，
所以，不等式得证.
【点拨】求出切线方程后，构造原函数与切线函数的差函数，通过二次求导分析其单调性与最值，从而证明不等式.
19.（2025·山东青岛·一模）已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，证明：.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减
（2）见解析
【解析】（1）当时，，，
则，
当或时，；
当时，，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，，得，
因为函数有两个极值点，所以方程有两个不相等的实根，
设为，且，因为函数在时的图象关于轴对称，
所以，即，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以分别是函数的极大值点和极小值点，
即，，
又，即，
则，
又，则，
设，，
则，即函数在上单调递减，
所以，即.
【点拨】利用极值点满足的方程消去参数，将极值之差转化为关于单变量的函数，利用导数求其最值即可得证.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
20.（2024·贵州·模拟预测）已知函数在处取得极大值，则（ 　　）
A. 8 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】因为，所以，
所以，解得，
经检验，符合题意，所以.
故选：B
【点拨】利用极值点处导数为零及函数值列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点.
21.（2024·陕西商洛·三模）若函数无极值，则的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，因为无极值，所以，解得，所以的取值范围为．
故选：A.
【点拨】三次函数无极值等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式即可求解.
22.（2024·湖南长沙一中·阶段练习）函数在区间上存在极值，则的最大值为（ 　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】函数的定义域为，
，
令，，
所以当时，，当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
又因为当时，，则，
，
，
所以存在唯一，使得，
所以函数在时，时，
所以函数在单调递增，单调递减，
所以要使函数在区间上存在极值，
所以的最大值为3，
故选:B.
【点拨】先通过求导确定函数的唯一极值点，再根据极值点必须落在给定区间内建立不等式求解参数最大值.
23.（2024·江苏扬州新华中学·开学考试）若是函数的极大值点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
令，得：
当，即
此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点，
反之，当，即，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，是函数的极小值点，不符合题意；
当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点.
综上得：.
故选：A.
【点拨】求导后得到两个可能的极值点，通过比较它们的大小关系确定单调区间，从而锁定极大值点对应的参数范围.
考法8：已知极值点求参数
24.（2025·江西·5月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】由，得.因为是的极值点，所以，得，经检验知当时，满足是的极值点.
【点拨】利用极值点处导数为零求出参数的唯一候选值，再通过分析单调性验证其是否确为极值点.
25.（2024·全国·专题练习）已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数，
则，
要使函数在处取得极小值，则，
故选：B.
【点拨】求导后分解因式，根据极小值点左减右增的特征，确定两个根的大小关系，从而得出参数范围.
26.（2026·江苏南京·二模）已知函数有两个极值点，且，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】已知函数有两个极值点，
则有两个不等的实数根，
所以，解得，
且，，
由，得或，
当时，，
即，
因为，所以，
即，
即，解得，不符合题意，舍去；
当时，，
即，
即，
即，
解得，符合题意.
故答案为：.
【点拨】本题考查极值点与导数零点的关系，以及利用韦达定理处理极值点相关问题，解题的关键是将极值点转化为导函数的零点，再结合韦达定理求解.
27.（2026·安徽黄山·一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由，求导可得
令，可得：或，
当时，即，恒成立，在定义域上单调递减，不符合题意；
当时，因为，所以，
由，得，由，得或，
即在和单调递减，在单调递增，
即函数在处取得极小值，不符合题意；
当时，因为，所以，
由，得，由，得或，
即在和单调递减，在单调递增，
即函数在处取得极大值，符合题意；
综上实数的取值范围为，
故答案为：
【点拨】本题考查根据函数的极值点求参数范围，解题的关键是正确求导并对极值点的大小进行分类讨论，从而确定函数的单调性与极值情况.
考法9：根据极值点个数求参数范围
28.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，
因为函数恰有两个极值点，所以有两个变号零点，
所以方程有两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
所以在处取得极大值，极大值为，无极小值，
又当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以要使方程有两个不相等的实数根，
需满足或，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：D.
【点拨】本题考查根据极值点个数求参数范围，解题的关键是将极值点个数问题转化为导函数零点个数问题，再利用分离参数法构造函数求解.
29.（2024·广东梅州梅江区梅州中学·模拟预测）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的定义域是，，
令，
所以在区间上，递减；在区间上，递增.
要使有两个极值点，则，
此时，
构造函数，
所以在上递增，所以，
所以，
所以实数的取值范围为.
故选：D
【点拨】将极值点问题转化为导函数方程的根的个数问题，利用导数分析辅助函数的单调性与最值，从而确定参数范围.
30.（2026·湖南长沙长郡中学·二模）函数.
（1） 时，求在处的切线方程；
（2） 若有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）当时，，，
又，，所以在处的切线方程为，
即.
（2），
由题可知在有两个变号零点，
由，得，令，，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
又，，，，所以，
由有两个极值点，则，故.
【点拨】本题考查利用导数求切线方程以及根据极值点个数求参数范围，解题的关键是将极值点个数问题转化为方程根的个数问题，再利用分离参数法构造函数求解.
31.（2026·江西九江·二模）已知函数.
（1） 在处 切线的斜率为，求的值；
（2） 若函数有两个极值点，
（i） 求的取值范围；
（ii） 证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
（1）对求导：
，
因为在处切线斜率为，所以，
所以，
解得；
（2）（i）函数的定义域为，极值点满足，
即，
整理得，
该方程在有两个不同正根，
所以判别式，解得，
两根之和，两根之积，
综上；
（ii）由（i）知，
先计算：
，
代入，
且，
所以，
要证，
即证，
整理得，
令，
求导，
因为，
由零点存在定理，存在唯一的隐零点，
使得，
即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此在处取得最大值，
将代入：
，
令，
由对勾函数性质知在上单调递增，
，
因此，
即，
故.
【点拨】利用韦达定理处理极值点之和与积，将双变量不等式转化为关于参数的单变量不等式，通过构造函数求最值完成证明.
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
32.（2026·山东东营·一模）已知函数，
若函数在处取得极值，
（i）求的值；
（ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（i）
（ii）
【解析】（i）由，得，
因为在处取得极值，所以，
当时，，
当或时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，符合题意，故.
（ii）由（i）知，则，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
，所以在上单调递增，
又，所以存在，使得，
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，所以当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以，所以.
【点拨】分离参数后，将恒成立问题转化为求新函数的最小值，通过多次求导分析单调性锁定最值.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
33.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，令，得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
【点拨】求导确定极值点，比较极值与区间端点处的函数值，即可找出最大值.
34.（2024·云南昆明一中·阶段练习）已知函数在区间上最大值为，最小值为，则的值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意，，，在上，
故函数单调递增，所以，，，
故的值是.
故答案为：
【点拨】通过求导发现函数在给定闭区间上单调递增，最值即在区间两端点处取得.
考法12：求含参函数的最值
35.（2025·福建百校联考·5月押题）已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）为极小值点，无极大值点
（2）
【解析】（1）函数的定义域为，
又，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
所以为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
所以在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得；
当，即，此时在上单调递减，
所以，不符合题意；
综上可得.
【点拨】本题考查利用导数求函数的极值点以及含参函数在闭区间上的最值，解题的关键是根据极值点与区间的相对位置关系进行分类讨论.
36.（2024·全国·模拟预测）已知函数．讨论函数的最值；
【答案】当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值
【解析】函数的定义域为，，
当时，，在上单调递增，无最值；
当时，令，得，所以在上单调递减；
令，得，所以在单调递增，
所以的最小值为，无最大值．
综上，当时，无最值；当时，的最小值为，无最大值．
【点拨】根据参数的符号分类讨论导函数的零点情况，从而确定函数的单调性与最值.
37.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）极小值为，无极大值
（2）
【解析】（1）当时，，定义域为，
因为，
当时，当时，
从而在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）①若，对任意的实数，当且时，
由于，，
所以，所以不合题意.
②若，.
当时，当时，
从面在上单调递减，在上单调递增.
故.
因此，所以.
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
从而的最大值为.
当且仅当时取等号，此时，，满足，
故的最大值为.
【点拨】由恒成立条件分离出参数，将转化为关于的单变量函数，利用导数求其最大值.
考法13：最值与不等式、方程综合
38.（2025·江西·5月联考）已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】作出的图象可知，在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，，设，则.令，则，当时，单调递增，当时，单调递减，则，故面积的最大值为.
【点拨】将三角形面积表示为关于的函数，利用导数求出该面积函数的最大值.
39.（2025·江西重点中学盟校·第二次联考）已知函数，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
所以，所以，又，所以，
因为在上单调递增，所以，所以，
令，则.由，得；由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故答案为.
【点拨】通过同构变形找出变量间的内在联系，将目标式转化为关于单变量的函数，利用导数求其最小值.
40.（2026·山东德州·二模）已知函数.
求在上的最大值；
【答案】
【解析】因为，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，在单调递增，
所以.
【点拨】通过分析导函数中各项的取值范围，判定导数恒非负，从而确定函数单调递增，最大值在右端点取得.
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
41.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值．
依题意可得函数的定义域为，
由函数的最大值为0，
即在上恒成立，
即的图象在的下方，
结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值，
根据对称性，不妨只考虑的情况，
即当与相切时，取得最小值，
即在上恒成立，
令，即时，取得最小值，
则，令，则，
又时，，即在上单调递增；
时，，即在上单调递减，
所以，解得．
故选：A
【点拨】将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数的最小值.
42.（2024·山东实验中学·一模）若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是＿＿＿＿＿＿.
【答案】1(答案不唯一，2、3均可)
【解析】因为，则. 由可得，由可得或，
所以，函数的减区间为，增区间为、，
所以，函数的极大值为，极小值为，
令，其中，则，解得，
因为函数在区间上存在最小值，则，解得，
所以，整数的取值集合为. 故答案为：1(答案不唯一，2、3均可).
【点拨】求出极值点后，根据最小值在极小值点处取得，列出极小值点落在给定区间内的不等式组求解.
43.（2024·福建泉州·阶段练习）已知函数的最小值为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
【答案】[0,1]
【解析】函数定义域为，，显然，
当时，，当时，函数在上单调递减，，因此，
当时，函数在上单调递减，其取值集合为，
函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，
而，于是，不符合题意，
当时，，令，，当时，，
即在上单调递增，，，即有，
当时，，即，当且仅当时取等号，因此，
当时，，显然当时，，函数在上单调递减，
，不符合题意，
综上得，，
所以则的取值范围为. 故答案为：
【点拨】本题考查根据函数的最值求参数范围，解题的关键是去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用导数研究其单调性与最值.
44.（2025·河南南阳一中·三模）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）当时，，则，
所以，则，
故所求切线方程为.
（2）依题意，令，则，即，
解得或，
①当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在上的最小值为，
令，即，即，即，
令，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以，当且仅当时等号成立，
所以的解为.
②当时，，
所以在上单调递减，
所以在上的最小值为，不合题意.
③当时，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以在上的最小值为或，
又，
因为，所以，即，
所以，即，所以；
若，解得，与矛盾.
综上所述，.
【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究含参函数在闭区间上的最值，解题的关键是正确求导并对参数进行分类讨论，从而确定函数的单调性与最值情况.
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
45.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】若存在，对任意的，都有，
则对任意的恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以，
设，则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以当取到最大值时，的值为.
故选：A.
【点拨】本题考查利用导数解决不等式恒成立与存在性问题，解题的关键是将问题转化为求函数的最值，再构造函数利用导数求解.
46.（2026·湖北十堰一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，定义域为，
因为恒成立，所以，
当且仅当，即时取等号，
则的值域为，且在上单调递增，
由，得，
因为，使得，
所以，即，
令，则，解得或（舍），
所以，解得，
则实数的最小值为.
【点拨】将存在性与任意性问题转化为函数值域的包含关系，利用基本不等式求出导函数的最值是解题的关键.
47.（2026·安徽皖江名校联盟·最后一卷）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若恒成立，求实数.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值
（2）
【解析】（1）由已知得，，
令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
在处取得极小值，极小值为，无极大值.
（2）由（1）知，
又，，
，，
所以，，使得，
当时，，
当时，，
因为恒成立，
所以当时，，
当时，，
所以也是的零点，
即，
又，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
又因为，且，
所以，即，即，
所以在上有两个零点，
不妨设为，则，
因为也是的零点，所以，
所以，即，
即，
所以，
此时，在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
所以在上有两个零点，符合题意，
综上，.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，以及根据不等式恒成立求参数，解题的关键是根据两个函数的符号关系，转化为两函数具有相同的零点，再结合零点存在性定理求解.
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
48.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）已知函数.
（1）在处切线的斜率为，求的值；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】（1）对求导：
，
因为在处切线斜率为，所以，
所以，
解得；
（2）（i）函数的定义域为，极值点满足，
即，
整理得，
该方程在有两个不同正根，
所以判别式，解得，
两根之和，两根之积，
综上；
（ii）由（i）知，
先计算：
，
代入，
且，
所以，
要证，
即证，
整理得，
令，
求导，
因为，
由零点存在定理，存在唯一的隐零点，
使得，
即，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因此在处取得最大值，
将代入：
，
令，
由对勾函数性质知在上单调递增，
，
因此，
即，
故.
【点拨】利用韦达定理处理极值点之和与积，将双变量不等式转化为关于参数的单变量不等式，通过构造函数求最值完成证明.
49.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，其中.
设为在内的极小值点，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】由题知，，即，
要证，即证，
令，则，
令，得，
再令，，
当时，，则单调递减，
所以，单调递减，
所以，从而，可得单调递减，
所以有，
则有，
因此.
【点拨】利用极值点方程替换参数，构造新函数并多次求导分析单调性，从而完成不等式的放缩证明.
50.（2026·河南濮阳·二模）已知函数.
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若函数有极大值点，求证.
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）证明见解析
【解析】（1）由题意，，定义域为，
，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）因为有极大值点，所以，即，
所以，
所以，
要证，即证，
即证，
因为，所以，
所以，即，
因为且，
当时，，即证，
当时，，即证，
所以只需证对任意且恒成立，
令，
则，
所以在上单调递增，
当时，，即，
当时，，即，
所以对任意且恒成立，
所以得证.
【点拨】利用极值点处导数为零消去参数，将目标不等式转化为关于的单变量不等式，构造函数求最值即可得证.
第 2 页，共 17 页第16讲 极值与最值 · 分类练习
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
1.（2026·马鞍山一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.若函数存在一个极大值与一个极小值满足，则至少有（ 　　）个单调区间.
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ 　　）
A.
B. 函数在处取得最大值，在处取得最小值
C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值
D. 函数的最小值为
4.已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的（ 　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
考法2：求具体函数的极值与极值点
5.（2026·广州一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.（2026·湖北新八校一模）函数的极大值点为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·郑州二模）函数的所有极值点之和为＿＿＿＿＿＿.
8.（2026·淮北二模）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为＿＿＿＿＿＿.
9.（2025·金科新未来5月联考）已知函数的定义域和值域相同.
（1）求；
（2）记的导函数为，求的极小值.
考法3：含参函数的极值点个数问题
10.（2026·福州二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　）
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若，则 D. 若，则
11.（2026·山东名校联盟5月评估）已知函数.
若函数有极大值点，求证.
考法4：含参函数的极值求解与讨论
12.（2026·中山二模）已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性.
13.（2025·江门一模）已知函数.
当时．
（i）设，讨论函数在上的单调性；
（ii）证明：对任意的，有．
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
14.（2026·安庆二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　）
A. B. 是极小值点
C. D.
15.（2025·山东名校考试联盟二模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 一定有两个极值点
B. 若，则或
C. 过点作曲线的切线有且仅有一条
D. 当时，
16.（2026·济南二模）已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若存在，使，求的取值范围.
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
17.（2026·德州三模）已知函数.
求的极值；
18.（2026·苏锡常镇四市二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.
（1）求的极值；
（2）证明：.
19.（2025·青岛一模）已知函数，.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，证明：.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
20.已知函数在处取得极大值，则（ 　　）
A. 8 B. C. 2 D.
21.若函数无极值，则的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
22.函数在区间上存在极值，则的最大值为（ 　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
23.若是函数的极大值点，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法8：已知极值点求参数
24.（2025·江西5月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　）
A. 2 B. C. 1 D.
25.已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
26.（2026·南京二模）已知函数有两个极值点，且，则＿＿＿＿＿＿.
27.（2026·黄山一模）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
考法9：根据极值点个数求参数范围
28.（2025·江西九师联盟5月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
29.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ 　　）
A. B. C. D.
30.（2026·长沙长郡中学二模）函数.
（1） 时，求在处的切线方程；
（2） 若有两个极值点，求的取值范围.
31.（2026·九江二模）已知函数.
（1） 在处 切线的斜率为，求的值；
（2） 若函数有两个极值点，
（i） 求的取值范围；
（ii） 证明：.
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
32.（2026·东营一模）已知函数，
若函数在处取得极值，
（i）求的值；
（ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
33.（2026·滨州二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
34.已知函数在区间上最大值为，最小值为，则的值是＿＿＿＿＿＿.
考法12：求含参函数的最值
35.（2025·福建百校联考5月押题）已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
36.已知函数．讨论函数的最值；
37.（2024·上饶六校联盟模拟）已知函数.
（1）若，求的极值；
（2）若，求的最大值.
考法13：最值与不等式、方程综合
38.（2025·江西5月联考）已知为坐标原点，直线与函数的图象分别交于两点，则面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
39.（2025·江西重点中学盟校联考）已知函数，若，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
40.（2026·德州二模）已知函数.
求在上的最大值；
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
41.（2026·随州三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
42.若函数在区间上存在最小值，则整数的取值可以是＿＿＿＿＿＿.
43.已知函数的最小值为，则的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
44.（2025·南阳一中三模）已知函数，其中.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为，求的值.
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
45.（2026·德州二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
46.（2026·十堰一模）已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
47.（2026·皖江名校联盟最后一卷）已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若恒成立，求实数.
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
48.（2026·长沙南雅中学适应性保温训练）已知函数.
（1）在处切线的斜率为，求的值；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
49.（2026·合肥三模）已知函数，其中.
设为在内的极小值点，求证：.
50.（2026·濮阳二模）已知函数.
（1）令，讨论函数的单调性；
（2）若函数有极大值点，求证.
第 2 页，共 17 页第16讲 极值与最值 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1.极值与最值 2
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 3
三、典题精讲 4
考点一：求函数的极值与极值点 4
考点二：根据极值、极值点求参数 9
考点三：求函数的最值 12
考点四：根据最值求参数及综合应用 14
四、高考真题 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 第6题 单选题 5分 直接 考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分析导数符号
2026 第11题 多选题 6分 间接 解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数后利用导数求最值
2025 第19题 解答题 17分 直接 考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最值求参数的最小值
2024 第10题 多选题 6分 直接 考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定区间上的最值
2024 第18题 解答题 17分 直接 考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最值及取值范围
近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最值解决恒成立问题.
· 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，将几何最值或代数最值转化为函数最值问题.
· 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性.
· 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏.
· 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数工具求解最值.
二、知识清单
1.极值与最值
（1） 函数的极值
· 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作.如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为极值，称为极值点.
· 注：
①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点 ；但推不出为的极值点.
（2）函数的最值
· 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
· 导函数为 ()
①当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者.
②当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者.
注：
①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值.
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点.
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【易错提醒】
· 可导函数在处取得极值，则，但只是在处取得极值的必要不充分条件.
· 闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值.
· 函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不一定小于极大值.
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论
（1） 若函数在区间上存在最小值和最大值，则
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 .
（2） 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式（或）在区间上恒成立 .
不等式（或）在区间上恒成立 .
（3） 若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 .
（4） 若函数在区间上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式（或）在区间上有解 .
不等式（或）在区间上有解 .
（5） 对于任意的，总存在，使得.
（6） 对于任意的，总存在，使得.
（7） 若存在，对于任意的，使得.
（8） 若存在，对于任意的，使得.
（9） 对于任意的，使得.
（10） 对于任意的，使得.
（11） 若存在，总存在，使得.
（12） 若存在，总存在，使得.
三、典题精讲
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【思路】结合导数图象与 轴的交点，分析导数值的正负变化，进而判断原函数的单调性与极值点.
【解析】根据给定的函数图象确定的变号零点个数即可.
函数的图象与轴有3个公共点，从左到右依次记为，
当时，；当时，；当时，，
当且仅当时取等号，∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴函数在处取得极大值，在处取得极小值，∴极值点个数为2.
对应选项B.
【规律】第一步，找出导函数图象与轴的交点（变号零点）；第二步，观察零点两侧导数值的符号，由正变负为极大值点，由负变正为极小值点.
考法2：求具体函数的极值与极值点
例2.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】A
【思路】先求出导函数，令导函数为零解出极值点，再通过列表或分析导函数在极值点两侧的符号变化确定极值点个数.
【解析】由函数，可得，
令，即，可得或，
∵，∴可得，
当时，，∴，单调递增；
当时，，∴，单调递减；
当时，，∴，单调递增；
当时，，∴，单调递增；
当时，，∴，单调递减；
当时，，∴，单调递增，
∴在上递增，在上递减，在上递增，
在上递增，在上递减，在上递增，
其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点，
∴在区间的极值点为，共有4个.
对应选项A.
【规律】第一步，对函数求导得；第二步，令求出区间内的所有驻点；第三步，通过列表或分段判断驻点两侧与的符号，进而确定的符号变化，得出极值点个数.
考法3：含参函数的极值点个数问题
例3.（2026·福建福州·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　）
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【思路】对含参函数求导，根据参数的大小以及指数的奇偶性分类讨论导数的符号变化，从而确定极值点个数.
【解析】求导得出，令可得或或，对、的大小以及、的奇偶性进行分类讨论，利用列表的形式分析函数的单调性，结合极值点的定义可得出合适的选项.
因为函数，该函数的定义域为，
（1）当时，，
由可得或，此时函数不可能有三个极值点，舍去；
（2）当且时，
，
由可得或或，
因为函数有且仅有个极值点、、，且，
则且，符合题意，
①若，则，，
则，所以，，，
若、都为奇数，则、都为偶数，列表如下：
单调递减 单调递减 极小值 单调递增 单调递增
此时函数只有一个极值点，不符合题意；
当为奇数，为偶数，则为偶数，为奇数，列表如下：
单调递增 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时函数有两个极值点，不符合题意；
当为偶数，为奇数时，同理可知，函数有两个极值点，不符合题意；
当、均为偶数时，、均为奇数，列表如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
此时函数有个极值点，符合题意，且，，，
此时，则；
②当时，同理可知、均为偶数，且，，，
此时，则.
故D选项正确.
【规律】第一步，求导并提公因式，令找出可能的极值点；第二步，根据参数的大小关系确定零点的相对位置；第三步，根据指数的奇偶性，判断导函数在各个零点两侧的符号变化，筛选出真正的极值点.
考法4：含参函数的极值求解与讨论
例4.（2026·广东中山·二模）已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性.
【答案】（1）
（2）见解析
【思路】求导后，根据参数 的符号分类讨论导函数的单调性，进而分析原函数的极值情况.
【解析】（1）当时，，的定义域为，
则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，取得极小值.
（2）的定义域为，
，
令，则，
当时，恒成立，∴即在上单调递增.
当时，由，得，由，得，
∴即在上单调递减，在上单调递增.
【规律】第一步，求出导函数并再次求导得到；第二步，根据参数的符号（和）分类讨论的正负；第三步，由的符号得出导函数的单调区间.
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　）
A. B. 是极小值点
C. D.
【答案】BD
【思路】极值点满足超越方程，无法直接求解，需利用零点存在性定理确定其所在区间，再结合函数的单调性与周期性逐项分析.
【解析】由题意得的定义域为，则，
而极值点满足，则，结合题意得，
可得方程的根出现在时，即时，
而，，，
结合零点存在性定理得，，
对于A，由已知得，，
则，不满足，故A错误，
对于B，令，且，
令，则，
令，，
当时，，则在上单调递增，
而，，则，
由零点存在性定理得存在作为零点，
即存在作为零点，
令，，令，，
则在上单调递减，在上单调递增，
即在上单调递减，在上单调递增，
而，，，
则，由零点存在性定理得存在作为零点，
令，，令，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
则是的极小值点，故B正确，
对于C，由已知得，，
则，而，
，而，则，得到，
由正弦函数性质得在上单调递减，
则，得到，故C错误，
对于D，由题意得，，
满足，由已知得，则，
可得，
令，且，
而，当时，，
则在上单调递增，则，
即，故D正确.
【规律】第一步，求导并令，转化为；第二步，利用零点存在性定理确定各极值点所在的区间；第三步，结合正弦函数的周期性与单调性，逐个分析相邻极值点的距离及极值的大小关系.
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
例6.（2026·山东德州·三模）已知函数.
求的极值；
【答案】极大值为，无极小值
【思路】对含有对数的函数求导，通过分析导函数的符号变化直接得出极值.
【解析】的定义域为，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴在处取得极大值，极大值为，无极小值.
【规律】第一步，确定函数定义域为；第二步，求导并令导数为零解出驻点；第三步，判断两侧导数的符号，左正右负，从而确定在处取得极大值.
【考点一 方法总结】
· 根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与 轴的交点及两侧符号变化，正变负为极大值点，负变正为极小值点.
· 求具体函数的极值：求导，解 ，列表分析单调性，确定极值.
· 含参函数极值点个数：求导后，根据参数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变化，或转化为导函数变号零点个数.
· 极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极值点所在区间，再结合单调性分析.
· 极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证明不等式.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
例7.已知函数在处取得极大值，则（ 　　）
A. 8 B. C. 2 D.
【答案】B
【思路】利用极值点处导数为零及函数值等于极值列方程组，求出参数后务必进行充分性检验.
【解析】∵，∴，
∴，解得，
经检验，符合题意，∴.
故选：B
【规律】第一步，利用极值点处导数为零列出方程；第二步，利用极值列出方程；第三步，联立解出的值，并代回原函数检验是否确为极大值点.
考法8：已知极值点求参数
例8.（2025·江西·五月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【思路】利用极值点处导数为零求出参数的唯一候选值，再通过分析单调性验证其是否确为极值点.
【解析】由，得.∵是的极值点，∴，得，经检验知当时，满足是的极值点.
【规律】第一步，求导并利用求出的唯一候选值；第二步，将代回导函数，判断两侧的导数符号变化，验证其确实为极值点.
考法9：根据极值点个数求参数范围
例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【思路】将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合确定参数范围.
【解析】∵，∴，
∵函数恰有两个极值点，∴有两个变号零点，
∴方程有两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根，
令，则，
令，得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递减，
∴在处取得极大值，极大值为，无极小值，
又当时，，当时，，
当时，，当时，，
∴要使方程有两个不相等的实数根，
需满足或，解得或，
即实数的取值范围是.
故选：D.
【规律】第一步，求导并将“有两个极值点”转化为“导函数有两个变号零点”；第二步，分离参数得到；第三步，构造新函数并求导分析其单调性与极值，结合图象确定的取值范围.
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
例10.（2026·山东东营·一模）已知函数，
若函数在处取得极值，
（i）求的值；
（ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（i）
（ii）
【思路】分离参数后，将恒成立问题转化为求新函数的最小值，通过多次求导分析单调性锁定最值.
【解析】（i）由，得，
∵在处取得极值，∴，
当时，，
当或时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴在处取得极小值，符合题意，故.
（ii）由（i）知，则，
即在上恒成立，
令，则，
令，则，
，∴在上单调递增，
又，∴存在，使得，
∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，
又，∴当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
∴，∴.
【规律】第一步，利用极值点条件求出；第二步，将恒成立不等式分离参数得到；第三步，对多次求导分析单调性，求出其最小值，从而得到的范围.
【考点二 方法总结】
· 已知极值或极值点求参数：利用 且 极值，列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点.
· 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式 求解.
· 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】求导确定极值点，比较极值与区间端点处的函数值，即可找出最大值.
【解析】，令，得或，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴.
【规律】第一步，求导并解出导数为零的点和；第二步，判断给定区间内导数的符号变化，得出单调性；第三步，比较极值与端点值，确定最大值.
考法12：求含参函数的最值
例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）为极小值点，无极大值点
（2）
【思路】求导后，根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最小值所在位置，进而解出参数.
【解析】（1）函数的定义域为，
又，
∴当时，当时，
∴的单调递减区间为，单调递增区间为，
∴为的极小值点，无极大值点.
（2）当，即时，在上单调递增，
∴在处取得最小值，，不符合题意；
当，即，此时在上单调递减，在上单调递增，
∴，解得；
当，即，此时在上单调递减，
∴，不符合题意；
综上可得.
【规律】第一步，求导确定极小值点为；第二步，根据极小值点与区间的相对位置（在区间左侧、内部、右侧）分类讨论；第三步，分别求出各情况下的最小值并令其等于0，解出符合条件的.
考法13：最值与不等式、方程综合
例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】通过换元将复杂函数化简，利用导数分析新函数的极值情况，从而确定原函数极值存在的参数条件.
【解析】令，得，将函数有极值问题转化为函数有极值问题，再求出导数，并按分类探讨导函数有无变号零点问题求解.
令，则，原函数化为，依题意，函数有极值，
求导得，
令，，求导得，
而，令，得，
当时，，则，得函数在上单调递减，
又时，；时，，
∴存在，使得，即函数，亦即函数存在极值；
当时，，由，得；由，得，
函数在上递减，在上递增，则，
设，求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，又，且时，，
则时，，此时函数，即无极值；
当时，，且时，；时，，
此时函数，即存在极值，
∴的取值范围为.
故选：A
【规律】第一步，通过换元将原函数转化为；第二步，对求导并提取出核心部分；第三步，对求导分析其单调性与最值，进而确定原函数存在极值的参数条件.
【考点三 方法总结】
· 求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值.
· 含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位置，进而解出参数.
· 最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式.
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
例14.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数的最小值.
【解析】结合函数图像分析，从而得到当与相切时，取得最小值，进而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出最值，进而得到的最小值.
依题意可得函数的定义域为，
由函数的最大值为0，
即在上恒成立，
即的图象在的下方，
结合图象可得，当函数的图象过原点，且与相切时，取得最小值，
根据对称性，不妨只考虑的情况，
即当与相切时，取得最小值，
即在上恒成立，
令，即时，取得最小值，
则，令，则，
又时，，即在上单调递增；
时，，即在上单调递减，
∴，解得.
故选：A
【规律】第一步，将最大值问题转化为不等式恒成立；第二步，结合图象发现相切时取最小值；第三步，利用导数求出相切时的临界条件，解出的最小值.
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
例15.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】分离参数后，将恒成立问题转化为求右侧函数的最小值，再对最小值函数求导寻找最大值.
【解析】若存在，对任意的，都有，
则对任意的恒成立，
设，则，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴，
∴，
设，则，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
∴当时，取得最大值，
∴当取到最大值时，的值为.
故选：A.
【规律】第一步，将恒成立问题分离参数得到；第二步，对求导求出其最小值，得到；第三步，对求导分析单调性，求出其最大值对应的值.
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数.
（1）在处切线的斜率为，求的值；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【思路】利用极值点满足的方程消去参数，将双变量不等式转化为单变量函数的最值问题进行证明.
【解析】（1）对求导：
，
∵在处切线斜率为，∴，
∴，
解得；
（2）（i）函数的定义域为，极值点满足，
即，
整理得，
该方程在有两个不同正根，
∴判别式，解得，
两根之和，两根之积，
综上；
（ii）由（i）知，
先计算：
，
代入，
且，
∴，
要证，
即证，
整理得，
令，
求导，
∵，
由零点存在定理，存在唯一的隐零点，
使得，
即，
当时，单调递增；
当时，，单调递减，
因此在处取得最大值，
将代入：
，
令，
由对勾函数性质知在上单调递增，
，
因此，
即，
故.
【规律】第一步，利用两根之和与两根之积将转化为关于参数的表达式；第二步，构造新函数并求导，利用隐零点替换对数项；第三步，结合对勾函数的单调性求出最大值，完成不等式证明.
【考点四 方法总结】
· 已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论.
· 最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对最值函数求导寻找参数的最值或范围.
· 极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，求导得.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
假设在处取得最大值，则必有，即.
同时，即.
将代入得.
若，则，此时，代入原函数得，矛盾.
∴，从而，解得.
此时.
检验：当时，，.
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减.
∴在处取得最大值，符合题意.
2.（2025·全国一卷）设函数，求在的最大值；
给定，设为实数，证明：存在，使得；
若存在使得对任意，都有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1），
∵，∴，∴，
当时，即，
当时，即，
∴在上为增函数，在为减函数，
∴在上的最大值为.
（2）由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为1的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.
∴存在，使得成立.
（3）记，
∵，
∴为周期函数且周期为，∴只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，∴，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
∴，∴，
综上，可取使得等号成立.
综上，.
3.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对A，∵函数的定义域为，而，
易知当时，，当或时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，∴，
而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
∴，即，正确；
对D，当时，，
∴，正确.
4.（2024·全国一卷）已知函数.
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）时，，其中，
则，
∵，当且仅当时等号成立，
∴，而成立，∴即，
∴的最小值为.
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
∵在图象上，∴，
而，
，
∴也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为.
（3）∵当且仅当，∴为的一个解，
∴即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
∴恒成立，∴在上为增函数，
∴即在上恒成立.
当时，，
∴恒成立，∴在上为增函数，
∴即在上恒成立.
当，则当时，，
∴在上为减函数，∴，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而当时，由上述过程可得在递增，∴的解为，
即的解为.
综上，.
5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，且被截得的弦长分别为，则（ 　　）
A. 可以取任意实数
B. 满足的直线共有3条
C. 满足的直线多于3条
D. 当时，的最大值为
【答案】BCD
【解析】三个圆的圆心分别为，半径均为1.这三个圆心构成一个边长为2的等边三角形.
直线与三个圆均有两个交点，等价于直线到三个圆心的距离均小于1.
对于A，若，直线趋近于垂直轴，其方程形如.要与均相交，需满足且，这显然不可能，∴不能取任意实数，A错误.
对于B，，即直线到三个圆心的距离相等.这样的直线是等边三角形的三条中位线所在的直线.中位线到顶点的距离为高的半，即，满足相交条件，∴共有3条，B正确.
对于C，弦长.当直线为中位线时，，此时，.由柯西不等式可证得的最大值为.∵函数连续，在最大值与最小值之间必定存在无穷多条直线满足和为3，∴满足条件的直线多于3条，C正确.
对于D，当时，直线.
.
.
令，则要求.
设，求导得.
令，解得，此时取得最大值.
代入得最大值为，D正确.
第 2 页，共 17 页第16讲 极值与最值 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
1.极值与最值 2
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论 3
三、典题精练 4
考点一：求函数的极值与极值点 4
考点二：根据极值、极值点求参数 6
考点三：求函数的最值 8
考点四：根据最值求参数及综合应用 9
四、高考真题 10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 第6题 单选题 5分 直接 考查根据函数的最大值求参数，需构造辅助函数分析导数符号
2026 第11题 多选题 6分 间接 解析几何中求弦长之和的最大值，转化为一元函数后利用导数求最值
2025 第19题 解答题 17分 直接 考查利用导数求三角复合函数的最大值，并结合最值求参数的最小值
2024 第10题 多选题 6分 直接 考查具体函数的求导，判断极小值点及函数在特定区间上的最值
2024 第18题 解答题 17分 直接 考查含参函数求导，根据不等式恒成立求参数的最值及取值范围
近三年全国一卷中，极值与最值是导数板块的核心考查内容.不仅在解答题中作为压轴题的核心考点直接出现，也常在单选、多选题中作为解题工具间接考查，综合性较强.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：具体函数的极值与最值求解、根据极值或最值反求参数、利用导数求最值解决恒成立问题.
· 命题趋势：试题注重知识的交汇融合，常与解析几何、数列、三角函数等模块结合，将几何最值或代数最值转化为函数最值问题.
· 试题特点：计算量大，对逻辑推理与代数变形能力要求较高.常需要灵活运用分离参数、构造辅助函数、隐零点处理等解题技巧.
3. 备考策略
· 熟练掌握利用导数求极值与最值的标准步骤，确保基础求导与符号判断的准确性.
· 强化分类讨论意识，在处理含参函数最值时，明确分类标准，做到不重不漏.
· 提升跨模块综合能力，学会在解析几何、数列等背景下，提取函数关系并利用导数工具求解最值.
二、知识清单
1.极值与最值
（1） 函数的极值
· 函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作.如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称为极值，称为极值点.
· 注：
①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号异号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点 ；但推不出为的极值点.
（2）函数的最值
· 函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
· 导函数为 ()
①当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者.
②当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者.
注：
①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值.
②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点.
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
【易错提醒】
· 可导函数在处取得极值，则，但只是在处取得极值的必要不充分条件.
· 闭区间上的连续函数一定有最值，但开区间上的连续函数不一定有最值.
· 函数的极值是局部概念，而最值是整体概念.极大值不一定大于极小值，极小值也不一定小于极大值.
2.不等式恒成立与存在性问题相关结论
（1） 若函数在区间上存在最小值和最大值，则
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 ；
不等式在区间上恒成立 .
（2） 若函数在区间上不存在最大（小）值，且值域为，则
不等式（或）在区间上恒成立 .
不等式（或）在区间上恒成立 .
（3） 若函数在区间上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 ；
不等式在区间上有解 .
（4） 若函数在区间上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：
不等式（或）在区间上有解 .
不等式（或）在区间上有解 .
（5） 对于任意的，总存在，使得.
（6） 对于任意的，总存在，使得.
（7） 若存在，对于任意的，使得.
（8） 若存在，对于任意的，使得.
（9） 对于任意的，使得.
（10） 对于任意的，使得.
（11） 若存在，总存在，使得.
（12） 若存在，总存在，使得.
三、典题精练
考点一：求函数的极值与极值点
考法1：根据导数图象与概念判断极值点
例1.（2026·安徽马鞍山·一模）函数的导函数的图象如图所示，则函数在区间上的极值点有（ 　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
考法2：求具体函数的极值与极值点
例2.（2026·广东广州·一模）函数在区间上的极值点个数为（ 　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
考法3：含参函数的极值点个数问题
例3.（2026·福建福州·二模）已知函数有且仅有个极值点、、，且，则（ 　　）
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若，则 D. 若，则
考法4：含参函数的极值求解与讨论
例4.（2026·广东中山·二模）已知函数.
（1）若，求的极小值；
（2）讨论导函数的单调性.
考法5：极值与切线、单调性、对称性等综合
例5.（2026·安徽安庆·二模）（多选）已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于任意的正整数，则（ 　　）
A. B. 是极小值点
C. D.
考法6：极值与不等式证明及恒成立问题
例6.（2026·山东德州·三模）已知函数.
求的极值；
【考点一 方法总结】
· 根据导数图象判断极值点：观察导函数图象与 轴的交点及两侧符号变化，正变负为极大值点，负变正为极小值点.
· 求具体函数的极值：求导，解 ，列表分析单调性，确定极值.
· 含参函数极值点个数：求导后，根据参数大小、指数奇偶性分类讨论导数符号变化，或转化为导函数变号零点个数.
· 极值与切线、单调性综合：利用极值点处导数为零，结合零点存在性定理确定极值点所在区间，再结合单调性分析.
· 极值与不等式证明：构造差函数，通过求导分析单调性与极值（最值），从而证明不等式.
考点二：根据极值、极值点求参数
考法7：已知极值求参数
例7.已知函数在处取得极大值，则（ 　　）
A. 8 B. C. 2 D.
考法8：已知极值点求参数
例8.（2025·江西·五月联考）已知是函数的极值点，则（ 　　）
A. 2 B. C. 1 D.
考法9：根据极值点个数求参数范围
例9.（2025·九师联盟·五月检测）已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
考法10：极值点结合不等式与切线综合求参数
例10.（2026·山东东营·一模）已知函数，
若函数在处取得极值，
（i）求的值；
（ii）已知，若在上恒成立，求实数的取值范围.
【考点二 方法总结】
· 已知极值或极值点求参数：利用 且 极值，列方程组求出参数，务必进行充分性检验以排除伪极值点.
· 三次函数无极值：等价于其导函数（二次函数）恒大于等于或恒小于等于零，利用判别式 求解.
· 极值点个数求参数范围：将极值点个数转化为导函数变号零点个数，分离参数后构造新函数，通过数形结合或求导确定参数范围.
考点三：求函数的最值
考法11：求具体函数的最值
例11.（2026·山东滨州·二模）已知函数，则函数的最大值为＿＿＿＿＿＿.
考法12：求含参函数的最值
例12.（2025·福建百校·五月押题）已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值.
考法13：最值与不等式、方程综合
例13.（2026·安徽临泉·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
· 求闭区间上函数的最值：求出函数在区间内的所有极值，将极值与区间端点处的函数值进行比较，最大者为最大值，最小者为最小值.
· 含参函数最值：根据极值点与闭区间端点的大小关系分类讨论，确定最值所在位置，进而解出参数.
· 最值与不等式综合：通过换元或同构变形将复杂函数化简，利用导数分析新函数的单调性与最值，从而确定参数条件或证明不等式.
考点四：根据最值求参数及综合应用
考法14：已知最值求参数
例14.（2026·湖北随州·三模）已知，函数的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法15：最值结合不等式恒成立与存在性求参数
例15.（2026·山东德州·二模）若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法16：极值最值与隐零点及放缩法综合证明
例16.（2026·湖南长沙·适应）已知函数.
（1）在处切线的斜率为，求的值；
（2）若函数有两个极值点，
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
【考点四 方法总结】
· 已知最值求参数：将最值问题转化为两函数图象的上下位置关系，利用相切时的临界状态求出参数，或根据极值点与区间端点大小关系分类讨论.
· 最值结合不等式恒成立：分离参数，将恒成立问题转化为求新函数的最值，再对最值函数求导寻找参数的最值或范围.
· 极值最值与隐零点放缩：利用极值点满足的方程（隐零点方程）替换参数或消元，构造新函数并多次求导分析单调性，完成不等式的放缩证明.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2025·全国一卷）设函数，求在的最大值；
给定，设为实数，证明：存在，使得；
若存在使得对任意，都有，求的最小值.
3.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
4.（2024·全国一卷）已知函数.
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
5.（2026·全国一卷）（多选）已知圆，圆，圆，直线与均有两个交点，且被截得的弦长分别为，则（ 　　）
A. 可以取任意实数
B. 满足的直线共有3条
C. 满足的直线多于3条
D. 当时，的最大值为
第 2 页，共 17 页第16讲 极值与最值 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D B B B D
6 7 8 9 10
D A B ABC BC
11 12 13 14 15
ACD （1） （2）见解析
16 17 18 19
（1） （2）极小值为，无极大值 （3）见解析 （1）极小值为，无极大值 （2）证明见解析 （1） （2） （1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明见解析
逐题详解
1.（2026·福州·4月适应）已知函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ，则（ 　　）
A. 为奇数 B. 为奇数
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
【解析】求导得出 ，
由 可得 或 或 ，
因为函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ，
则 且 ，符合题意，
①若 ，则 ，，
则 ，所以 ，，，
若 、 都为奇数，则 、 都为偶数，
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递增.
此时函数 只有一个极值点，不符合题意；
当 为奇数， 为偶数，则 为偶数， 为奇数，同理可得函数 有两个极值点，不符合题意；
当 为偶数， 为奇数时，同理可知，函数 有两个极值点，不符合题意；
当 、 均为偶数时，、 均为奇数，
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
此时函数 有3个极值点，符合题意，且 ，，，
此时 ，则 ；
②当 时，同理可知 、 均为偶数，且 ，，，
此时 ，则 .
故D选项正确.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值，难点在于对参数的分类讨论，需结合极值点个数确定参数的奇偶性并比较大小.
2.（2025·江西上进·5月练兵）函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　）
A. 675 B. 676 C. 2027 D. 2028
【答案】B
【解析】由题意可得 .
当 时，显然 ，于是 ，
易知符合条件的解为 的变号零点，即 的极值点，
于是 的极值点均可视作 的图象与直线 交点的横坐标，
由 可知交点必在第四象限.
当 时，由图象可知 的解集为 .
故 的图象与直线 在每一个区间 上有且仅有一个交点.
由 解得 ，故满足条件的区间共676个，
于是 的图象与直线 在区间 上共有676个交点，即 在区间 上共有676个极值点.
【点拨】将极值点个数问题转化为导函数零点个数问题，进而转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合思想是关键.
3.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ，记 的非零极值点为 ，则取 最大值时，（ 　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】，
令 ，得 或 ，则 .
设 ，，则 ，
当 时，， 单调递增，
当 时，， 单调递减，
由 的单调性可知，当 为整数时，最大值在 或 处取得，
又 ，
故 ，.
【点拨】求导后找到非零极值点 关于 的表达式，再构造新函数利用导数研究其单调性，注意 为正整数的限制.
4.（2026·杭州二中·5月测试）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，，
可得函数 在 上单调递增，
又 ，
由 ，得 ，
因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 的最小值为2.
【点拨】观察函数解析式的结构特征，发现 ，结合函数的单调性得到 ，再利用基本不等式求最值.
5.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 在 上单调递增，则下列各式有最大值的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，
由于 在 上单调递增，所以 恒成立，即 恒成立.
若 ，则 ，此时 显然不能恒成立，故 .
要使 恒成立，则 与 必须同时变号，故 ，即 .
对于A，，无最大值；
对于B，，设 ，，当 时，，当 时，，故 有最小值，无最大值；
对于C，，当 时，，无最大值；
对于D，，设 ，，当 时，，当 时，，故 在 处取得最大值 .
故选D.
【点拨】将函数的单调性转化为导函数恒大于等于零，利用两因式同时变号得出参数之间的等量关系是解题的关键.
6.（2026·湖南天壹·5月模拟）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
而 ，则 时，， 单调递减，
时，， 单调递增，
故 ，
于是 ，
，，
故选D.
【点拨】利用导数求出函数的最小值，得到关于 的不等式，再利用对数的运算性质转化为所求代数式的范围.
7.（2025·广东上进·5月测评）已知函数 ，则 的极小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
当 时，，，故 ，所以 ；
当 时，，，所以 .
综上，当 时 恒成立，故 在区间 上单调递增，
又因为 ，所以 的图象关于直线 对称，
故 在区间 上单调递减，
故 为 的极小值点， 的极小值为 .
【点拨】求导后直接判断符号较难，可结合函数的对称性或分段放缩来判断导函数的符号变化，从而确定极值.
8.已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
记 ，，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
故当 时，函数 有最小值为 .
【点拨】利用导数研究三角分式函数的单调性，求导后分子部分再次构造函数判断符号是常用的处理技巧.
9.（2026·山东济南·二模）已知函数 ，则（ 　　）
A. 有两个极值点
B. 当且仅当
C. 当 时，
D. 若 ，则
【答案】ABC
【解析】对于A选项，由 ，令 解得 或 ，当 或 时，，函数 单调递增，当 时，，函数 单调递减，所以 有两个极值点，A选项正确；
对于B选项，，令 ，解得 ，B选项正确；
对于C选项，当 时，，所以 ，因为函数 在 上单调递增，所以 ，C选项正确；
对于D选项，若 ，取 ，，满足 ，但 ，D选项错误.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性以及零点，结合因式分解与特殊值法可快速判断选项正误.
10.（2025·江苏四市·一模）已知函数 ，其导函数为 ，则（ 　　）
A. 直线 是曲线 的切线
B. 有三个零点
C.
D. 若 在区间 上有最大值，则 的取值范围为
【答案】BC
【解析】因为 ，则 ，，所以 ，C正确；
因为 ，令 ，得 ，解得 或 ，当 或 时，，当 时，，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，且 ，，，，故 有两个极值点，三个零点，故B正确；
设切点的坐标为 ，则切线斜率为 ，则 ，所以不存在斜率为 的切线，直线 不是曲线 的切线，故A错误；
因为 ，所以若 在区间 上有最大值，则 ，所以 ，故D错误.
【点拨】通过求导分析函数的单调性与极值，画出函数的大致图象，数形结合是解决零点问题和最值区间问题的有效方法.
11.（2026·湖南雅礼·模拟）已知函数 ，则（ 　　）
A.
B. 有4个极值点
C. 在区间 上有零点
D. 在区间 上单调递增
【答案】ACD
【解析】对于A选项，由 ，所以选项A正确；
对于B选项，令函数 ，
则 ，
所以 为偶函数，，
令函数 ，则 ，
易知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上有唯一零点 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，所以 ，又 时 ，
所以 在 上有唯一零点 ，
即 在 上有唯一零点 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，
，
，
所以 恒大于0，
所以 在 上单调递增，无极值点，所以选项B错误；
对于C选项，由于 ，，
又 ，
由零点存在性定理可知 在区间 上有零点，但在 上无零点，所以选项C错误；
对于D选项，因为 恒成立，
所以 在区间 上单调递增，所以选项D正确.
【点拨】本题考查导数在研究函数性质中的综合应用，利用函数的奇偶性简化求导过程，通过多次求导确定导函数的符号变化是解题的关键.
12.（2026·河北沧州·二模）设 ，函数 的极小值为 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 的极小值为 ，令 ，则 或 ，故 或 为 的极小值点.
若 ，即 为 的极小值点.
由题设 ，
令 ，则 ，
当 时，，当 时，，
故 在 上递减， 上递增，
而 且 ，故 时 ， 时 ，
而 时，， 时 ，
故 时，， 时 ，
此时 不是 的极小值点，与题设矛盾；
若 ，
若 为 的极小值点，故 ，
由题设 ，
因 ，故必有 ，故 即 ，与 矛盾；
若 为 的极小值点，
因为 ，且 时，， 时 ，
故 在 的附近总有 ，
由局部保号性可得 即 .
综上，.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值，分类讨论极小值点可能的情况，并结合局部保号性求解参数范围.
13.已知函数 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
当 时，，
所以 在 单调递增；
当 时，，
所以 在 单调递减；
所以 .
【点拨】将三角函数求导后转化为关于 的二次函数，进而判断导数的符号，求出函数的最大值.
14.若存在实数 ，使得关于 的不等式 对 恒成立，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当 ，且 时，由 ，得 .
设 ，则 .
当 时，， 在 上单调递增，
当 时，， 在 上单调递减.
所以 ，得 ，
等价于 ，而 ，
当且仅当 时等号成立.
所以 ，则 ，
所以 ，
解得 ，所以 的最大值是 .
【点拨】采用分离参数法，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数和基本不等式分别求出参数 的上下界，进而求出 的范围.
15.（13分）（2026·广东汕头·二模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线过点 ，求 的值；
（2） 求 的极值点.
【答案】（1）
（2） 见解析
【解析】（1） 求导得 ，则 ，
又有 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为：， 4 分
又由切线过点 ，则 ； 6 分
（2） 由（1）可知，，
令 ，则 .
①当 时，对 ，有 ， 单调递增，无极值点. 8 分
②当 时， 的图象开口向下，且对称轴为直线 ，
又 ，则 在 时有一根 ，
时， 单调递增，
时， 单调递减.
所以 在 处取得极大值，极大值点为 ，无极小值点. 10 分
③当 时， 的图象开口向上，.
i. 当 ，即 时，有 ，所以当 时，
有 单调递增，无极值点. 11 分
ii. 当 ，即 时，在 时，，
有两个根 .
时， 单调递增；
时， 单调递减；
时， 单调递增.
有极大值点 ，极小值点 .
综上所述，
当 时， 单调递增，无极值点；
当 时， 的极大值点为 ，无极小值点；
当 时， 的极大值点为 ，极小值点为 . 13 分
【点拨】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值，难点在于对参数 的分类讨论，需结合二次函数的图象特征进行分析.
16.（15分）（2025·燕博园·3月检测）已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 求函数 的极值；
（3） 讨论函数 在 上的单调性.
【答案】（1）
（2） 极小值为 ，无极大值
（3） 在 上单调递减
【解析】（1） 由于 定义域为 ，
， 2 分
，，
故曲线 在点 处的切线方程为：，即 . 5 分
（2） 令 ，则 ，
令 ，则 ，
则函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 8 分
故函数 的极小值为 ，无极大值. 10 分
（3） 由于函数 ，
令 ，
则 在区间 上单调递减， 12 分
且 ，，
故 ，使 ，即 ，
当 时，，当 时，，
故 在 上递增，在 上递减. 14 分
故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，显然，等号不成立，
故 ，故 在 上是减函数. 15 分
【点拨】第（3）问中，通过两次求导研究函数的单调性，并利用隐零点代换结合基本不等式证明导函数恒小于0是解题的关键.
17.（15分）（2025·广东衡水·5月联考）已知函数 .
（1） 求 的极值；
（2） 证明：.
【答案】（1） 极小值为 ，无极大值
（2） 证明见解析
【解析】（1） ， 1 分
可知当 时，， 单调递减； 2 分
当 时，， 单调递减； 3 分
当 时，， 单调递增， 4 分
故 有极小值 ， 5 分
无极大值. 7 分
（2） 当 时，有 恒成立. 8 分
当 时，构造函数 ，则 ， 10 分
当 时，，故 在 上单调递增， 11 分
于是 ，即 ， 12 分
于是此时 ， 13 分
由（1）可知 ，故 ，故 . 15 分
【点拨】利用导数求出函数的极小值，再通过构造函数 证明 ，结合第（1）问的结论进行放缩证明.
18.（17分）（2026·湖南长郡·二模）函数 .
（1） 时，求 在 处的切线方程；
（2） 若 有两个极值点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 时，，，
又 ， 3 分
，
所以 在 处的切线方程为 ，
即 . 7 分
（2） ，
由题可知 在 有两个变号零点， 10 分
由 ，得 ，
令 ，， 13 分
当 时，， 在 上单调递增，
当 时，， 在 上单调递减，
又 ，，，，
所以 ， 15 分
由 有两个极值点，则 ，
故 . 17 分
【点拨】将极值点个数问题转化为导函数的变号零点个数问题，通过分离参数构造函数，利用导数研究新函数的单调性与最值是解决此类问题的通法.
19.（17分）（2026·安徽铜陵·一模）已知函数 .
（1） 若 ，求 的单调区间；
（2） ， 成立，求实数 的取值范围；
（3） 若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ，求证：.
【答案】（1） 单调递减区间为，单调递增区间为
（2）
（3） 证明见解析
【解析】（1） 当 时，可得 ，可得 ，
令 ，可得 ， 2 分
当 时，，可得 ，即 ， 单调递减；
当 时，，所以 ， 单调递增，
则 ，即 ， 单调递增，
所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 . 5 分
（2） 令 ，
可得 ，
令 ，
则 ， 7 分
当 时，，，，故 ，
当 时，，，故 ，
所以当 时，可得 ， 单调递增，即 单调递增，
，
当 时，，则 ， 在 上单调递增，
所以 ，所以 成立，满足题意； 10 分
当 时，存在 ，使得 ，
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增，
当 时，，不满足题意，
综上可得，实数 的取值范围为 . 11 分
（3） 当 时，，可得 ，
设 ，可得 ，
设 ，可得 ，
设 ，可得 ， 13 分
当 时，，可得 ，
则 在 上单调递增，
因为 ，
所以存在唯一 ，使得 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
所以存在唯一的 ，使得 ，
且 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由 ，，，
又由 ，
因为 ，可得 ，
可得 ，，所以 ，
则存在唯一 ，使得 ， 15 分
且 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，，，则 在 上单调递增，
则 ，则存在唯一 ，使得 ，
当 时，，当 时，，
当 时，，可得 ， 在 上单调递增，，，
综上可得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
要使得 与 的图象有三个交点，
则 ，
，则 ，
又因为 ，则 ，则 ，
所以 ，得证. 17 分
【点拨】本题综合考查了导数在研究函数单调性、极值以及不等式证明中的应用.第（3）问中，通过多次求导确定极值点的大致范围，并结合函数值的大小关系进行放缩是证明的关键.
第 2 页，共 17 页第16讲 极值与最值·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·福州·4月适应）已知函数 有且仅有3个极值点 、、，且 ，则（ 　　）
A. 为奇数
B. 为奇数
C. 若，则
D. 若，则
2.（2025·江西上进·5月练兵）函数 在区间 上的极值点个数为（ 　　）
A. 675 B. 676 C. 2027 D. 2028
3.（2026·湖南衡阳·一模）已知函数 ，记 的非零极值点为 ，则取 最大值时，（ 　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
4.（2026·杭州二中·5月测试）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. 1 B. 2 C. D.
5.（2026·浙江绍兴·二模）已知函数 在 上单调递增，则下列各式有最大值的是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·湖南天壹·5月模拟）已知函数 ，若 ，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2025·广东上进·5月测评）已知函数 ，则 的极小值为（ 　　）
A. B. C. D.
8.已知函数 ， ，则函数 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分.
9.（2026·山东济南·二模）已知函数 ，则（ 　　）
A. 有两个极值点
B. 当且仅当
C. 当 时，
D. 若 ，则
10.（2025·江苏四市·一模）已知函数 ，其导函数为 ，则（ 　　）
A. 直线 是曲线 的切线
B. 有三个零点
C.
D. 若 在区间 上有最大值，则 的取值范围为
11.（2026·湖南雅礼·模拟）已知函数 ，则（ 　　）
A.
B. 有4个极值点
C. 在区间 上有零点
D. 在区间 上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·河北沧州·二模）设 ，函数 的极小值为 ，则 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
13.已知函数 ，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
14.若存在实数 ，使得关于 的不等式 对 恒成立，则 的最大值是＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·广东汕头·二模）已知函数 .
（1） 若曲线 在点 处的切线过点 ，求 的值；
（2） 求 的极值点.
16.（15分）（2025·燕博园·3月检测）已知函数 .
（1） 求曲线 在点 处的切线方程；
（2） 求函数 的极值；
（3） 讨论函数 在 上的单调性.
17.（15分）（2025·广东衡水·5月联考）已知函数 .
（1） 求 的极值；
（2） 证明：.
18.（17分）（2026·湖南长郡·二模）函数 .
（1） 时，求 在 处的切线方程；
（2） 若 有两个极值点，求 的取值范围.
19.（17分）（2026·安徽铜陵·一模）已知函数 .
（1） 若 ，求 的单调区间；
（2） ， 成立，求实数 的取值范围；
（3） 若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ，求证：.
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