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第17讲 幂指对比较大小 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
C BC A B D
6 7 8 9 10
C A A D C
11 12 13 14 15
B C BCD A A
16 17 18 19 20
D A AB B C
21 22 23 24 25
D BC C C B
26 27 28 29 30
A D B D
31 32 33 34 35
C D C D A
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
1.（2025·皖北协作体一模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，，∴A，B均错误.又，∴，，∴C正确，D错误.故选C.
【点拨】利用对数的运算性质将对数化为同底，再与中间量进行比较.
2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】令且，则恒成立，∴在上单调递减，则，即，从而.∵且，而，∴.设且，则，∴在单调递减.由，得，则，∴.故选BC.
【点拨】通过等式变形构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合放缩法比较大小.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1等常数媒介值比较
3.（2026·华南师大附中测试）若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，∴.∵，∴指数函数为单调递减函数.又，∴，即.综上所述，.故选A.
【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，以为媒介值进行大小比较.
4.（2025·保定一模）设，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由指数函数的单调性可知：，.又，∴.故选B.
【点拨】化简指数幂，利用指数函数和对数函数的单调性，以为媒介值比较大小.
5.（2025·石家庄三模）已知，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵单调递增，∴.∵单调递增，∴.∵单调递减，∴，且.∴.故选D.
【点拨】利用指数函数和对数函数的单调性，分别与和进行比较即可得出结论.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
6.（2026·佛山检测）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵，∴.∵，∴，∴.则.故选C.
【点拨】将常数转化为对数形式，利用对数函数的单调性进行比较.
7.（2026·汕头二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴.又，.∴.故选A.
【点拨】利用对数函数的单调性，借助媒介值和进行大小比较.
8.（2026·江西三新联盟训练）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵当时，，∴.又，∴.故选A.
【点拨】利用不等式以及对数函数的单调性，以为媒介值比较大小.
9.（2026·湖北云学联盟一模）已知，，，则下列大小关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得.∵，，∴.又在上单调递减，∴.∴.故选D.
【点拨】将指数式化为对数式，利用对数函数的单调性，借助媒介值比较大小.
10.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意，，，∵，∴.又（因为），即，而，∴.
又，∴.
∵，且，
∴，∴，即.
综上所述，.故选C.
【点拨】利用指数函数的单调性比较与的大小，利用基本不等式比较的大小.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
11.（2026·淮北一模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得.∵在上单调递增，∴，故A错误.∵，又，∴，即，故B正确.由换底公式得，∵，∴，即，故C错误.∵，又，∴，即，故D错误.故选B.
【点拨】利用对数函数的单调性得出，再结合不等式的性质及作差法逐项判断.
12.若都不为零的实数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对于A，取，满足，但，故A错误.对于B，取，满足，但，故B错误.对于C，∵，∴，∴，故C正确.对于D，当或时，与无意义，故D错误.故选C.
【点拨】利用特殊值法排除错误选项，利用指数函数的单调性证明正确选项.
13.（2025·沧州五县一模）（多选）已知实数，满足等式，则下列可能成立的关系式为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】∵，∴.对于A、B选项，当时，由得，故A错误，B可能成立.对于C选项，当时，由得，故C可能成立.对于D选项，当时，成立，故D可能成立.故选BCD.
【点拨】利用指数的运算性质化简等式得到，再分为正数、负数、零三种情况讨论即可.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
14.（2026·八省T8联考）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵函数在上单调递增，且，∴，即.构造函数，.令，（当时）.，（因）.（因）.所以在上单调递增，，即.所以，即，∴.综上，.故选A.
【点拨】利用指数函数的单调性比较底数相同的情形，利用构造函数法比较底数和指数均不同的情形.
15.（2026·阜阳一模）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，∴.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴.∴，即.故选A.
【点拨】利用导数求出函数的单调区间，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.
16.（2024·广东新南方联盟联考）已知，则的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得.构造函数，则，，且.∵，又，∴，∴在上单调递增.∵，∴，即.故选D.
【点拨】将指数式转化为函数，利用导数判断函数的单调性，结合已知条件比较大小.
17.（2026·汕头一模）设，且，则它们的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构造函数，则，∴在上单调递减.∵，∴.∵当时，，∴，即，∴，∴.又构造函数，，∴在上单调递减.∵，∴.∵，∴，即，∴.综上所述，.故选A.
【点拨】构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合不等式进行大小比较.
18.（2026·浙江县域联盟模拟）（多选）已知，则（ 　　）
A. 当时， B. 存在实数，使得 C. 对任意，都有 D. 当时，
【答案】AB
【解析】对于A，当时，，故A正确.对于B，若，则，即.令，则在上单调递增，且，∴存在实数使得，故B正确.对于C，当时，，此时，不满足，故C错误.对于D，当时，，∴.令，则在上单调递增，且.∵，∴，即，∴.又，实际上，，，且，∴，故D错误.故选AB.
【点拨】利用指数函数的单调性及构造函数法，结合特殊值进行判断.
考法6：利用同构法构造函数比较
19.（2025·衡水中学评价）已知，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得.令，，.当时，；当时，，，∴恒成立，∴在上单调递增，∴.∴恒成立，即.故选B.
【点拨】将等式转化为函数关系，利用导数证明不等式恒成立，进而比较大小.
20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数满足，则为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】等式变形为.设，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，即.设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.∴，即.∵，∴，当且仅当时等号成立.∴.故选C.
【点拨】将等式两边分别构造函数，利用导数求出函数的最值，结合最值相等求出变量的值.
21.（2025·湖北楚天协作体联考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令，则.在同一平面直角坐标系中作出这三个函数的图象，它们都过点.当时，；当时，；当时，.综上可知，的大小关系可能是，或，不可能是.故选D.
【点拨】构造函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系.
22.（多选）已知且，则下列结论一定正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】对于A，取，满足，但，故A不一定成立.对于D，取，满足，但，故D不一定成立.对于B，令，则.当时，，单调递增.∵，∴，即.若，由在上单调递增，得，∴；若，即，而，显然.故B一定正确.对于C，由得.若，则矛盾.若，则.又对任意且，有（对数平均不等式），∴，∴，故C一定正确.故选BC.
【点拨】利用特殊值法排除错误选项，通过同构构造函数，结合函数的单调性及对数平均不等式进行证明.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
23.（2026·深圳一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令，则.在同一平面直角坐标系中作出函数的图象.由图象可知，函数与的交点在直线上，且交点横坐标；函数与的交点横坐标，且；函数与的交点横坐标，且.当时，；当时，；当时，；当时，.综上可知，的大小关系不可能是.故选C.
【点拨】引入参数，将方程转化为三个函数，利用数形结合思想，根据函数图象的交点位置判断大小关系.
24.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　）
A. B. C. D. 与大小关系不确定
【答案】C
【解析】∵为函数的零点，∴，，.结合图象易知.∵，∴，即.∵，∴，∴.将代入，得，即.两边同除以，得.解得（负根舍去）.又，即直线与曲线有三个交点.设过原点与曲线相切的直线切点为，则切线斜率，切线方程为.将原点代入得，解得，此时.由图象可知，要使直线与曲线有三个交点，需满足，即.∵，∴.而，∴.故选C.
【点拨】利用指数与对数的转化，结合韦达定理求出比值，再利用导数求出临界相切时的斜率，结合数形结合进行比较.
25.已知满足，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由知，是函数与交点的横坐标.∵，，∴.由知，是函数与交点的横坐标.∵，，所以.由知，是函数与交点的横坐标.∵，，∴.综上所述，.故选B.
【点拨】构造函数，利用数形结合思想，通过零点存在性定理估算各变量的范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
26.设，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，.构造函数，则，∴在上单调递减，∴，即，∴，即.又，.∵，∴，∴.故选A.
【点拨】利用对数运算将指数形式转化为对数形式，构造函数利用导数证明不等式，结合基本不等式进行放缩.
27.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由已知得，，.则.由基本不等式得，∴，∴.又，，∴.∵，且，∴，∴.故选D.
【点拨】将指数式化为对数式，利用换底公式和基本不等式进行放缩比较.
28.已知实数，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，∴，∴.∵，，∴最小.又.由基本不等式得，∴，即.又，∴.综上所述，.故选B.
【点拨】利用常数判断的符号，利用换底公式和基本不等式比较对数的大小.
29.已知，则的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴，两边取以为底的对数得，即.构造函数，则，∴在上单调递增.∴，即，化简得，即.综上所述，.故选D.
【点拨】利用指数幂的放缩比较对数与有理数的大小，构造函数利用导数证明对数不等式.
考法9：利用泰勒展开比较大小
30.设，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】构造函数，则.由泰勒展开式知，但直接比较较难.
我们直接利用泰勒展开式估算：
.
.
.
显然.故选C.
【点拨】利用泰勒展开式对各数进行估算，从而比较大小.
31.设，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿. (从小到大顺序排)
【答案】
【解析】由得，.由得，.∴.
【点拨】利用常见的不等式和进行放缩比较.
考法10：结合不定方程比较大小
32.已知是正实数，且，则的大小关系不可能为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，变形得.∵是正实数，∴.若，则，等式成立，故A可能.若，则，等式可能成立，故B可能.若，则，等式可能成立，故C可能.若，则，此时，等式不可能成立，故D不可能.故选D.
【点拨】将指数方程变形，利用因式分解和指数函数的单调性，结合选项进行分类讨论.
33.设实数满足，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D. 无法比较
【答案】C
【解析】假设，则，.由得，即.构造函数，则在上单调递减.又，∴，∴.由得，即.构造函数，则在上单调递减.又，∴，∴.这与假设矛盾，∴.故选C.
【点拨】采用反证法，假设，构造单调递减的指数型函数，利用函数的单调性得出矛盾.
34.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵.∴.∵，∴，∴，即.∵，且，∴，∴.构造函数，则在上单调递减.∵，且，∴，即，∴.又，∴，∴.综上所述，.故选D.
【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断与的大小，再构造指数型函数比较与的大小.
35.已知实数满足，则下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵.∴.∵，∴，∴，即.∵，且，∴，∴.构造函数，则在上单调递减.∵，且，∴，即，∴.又，∴，∴.综上所述，.故选A.
【点拨】利用换底公式化简对数式，结合作差法判断与的大小，再构造指数型函数比较与的大小.
第 2 页，共 17 页第17讲 幂指对比较大小 · 分类练习
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
1.（2025·皖北协作体一模）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·黄骅中学一模）（多选）若，，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1等常数媒介值比较
3.（2026·华南师大附中测试）若，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2025·保定一模）设，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2025·石家庄三模）已知，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
6.（2026·佛山检测）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·汕头二模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·江西三新联盟训练）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
9.（2026·湖北云学联盟一模）已知，，，则下列大小关系正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
10.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
11.（2026·淮北一模）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
12.若都不为零的实数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
13.（2025·沧州五县一模）（多选）已知实数，满足等式，则下列可能成立的关系式为（ 　　）
A. B. C. D.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
14.（2026·八省T8联考）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
15.（2026·阜阳一模）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
16.（2024·广东新南方联盟联考）已知，则的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
17.（2026·汕头一模）设，且，则它们的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
18.（2026·浙江县域联盟模拟）（多选）已知，则（ 　　）
A. 当时， B. 存在实数，使得
C. 对任意，都有 D. 当时，
考法6：利用同构法构造函数比较
19.（2025·衡水中学评价）已知，且，则（ 　　）
A. B. C. D.
20.（2026·嘉兴桐乡测试）已知正实数满足，则为（ 　　）
A. B. C. D.
21.（2025·湖北楚天协作体联考）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
22.（多选）已知且，则下列结论一定正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
23.（2026·深圳一模）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
24.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
25.已知满足，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
26.设，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
27.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
28.已知实数，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
29.已知，则的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
考法9：利用泰勒展开比较大小
30.设，则（ 　　）
A. B. C. D.
31.设，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿. (从小到大顺序排)
考法10：结合不定方程比较大小
32.已知是正实数，且，则的大小关系不可能为（ 　　）
A. B. C. D.
33.设实数满足，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D. 无法比较
34.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
35.已知实数满足，则下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第17讲 幂指对比较大小 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较 3
考点二：引入媒介值与估算法 3
考点三：特殊值法与不等式性质 5
考点四：构造函数与同构法 5
考点五：数形结合法 7
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程） 7
四、高考真题 9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 无 - - -
2025 第8题 单选题 5分 直接 给出多变量对数连等式，考查利用引入参数法或数形结合思想比较变量大小
2024 无 - - -
近三年全国一卷中，幂指对比较大小的考查频率不高，但一旦出现，往往以中档或偏难的单选题形式呈现，侧重考查对数方程的转化与数形结合思想的灵活运用.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查对数式、指数式的大小比较，常伴随多变量的连等式或不等式.
命题趋势：从单纯的数值估算比较，向方程根的比较、函数交点横纵坐标的比较转变，强调同构思想与引入媒介值.
试题特点：计算量通常不大，但思维要求高，需要灵活运用指数函数、对数函数的单调性和图象特征，或借助特殊值法进行排除.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，特别是底数对函数图象变化趋势的影响.
· 强化“引入媒介值（如0、1等）”和“设常数（如连等式设参数k）”的解题技巧，能够熟练进行指对互化.
· 培养数形结合意识，在遇到复杂的指对数连等式时，能迅速将其转化为函数图象的交点问题进行直观判断.
二、知识清单
1. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 、、 的大小。
2. 指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用对数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 、 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。
3. 转化为两函数图象交点的横坐标
4. 特殊值法
5. 估算法
6. 放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
7. 常见函数的麦克劳林展开式
① .
② .
③ .
④ .
⑤ .
⑥ .
【易错提醒】
· 指数函数 与对数函数 的单调性严格依赖于底数 与 的大小关系：当 时单调递增，当 时单调递减.在化同底比较大小时，切勿忽略底数所在的区间.
· 幂函数 在 上的单调性由指数 的符号决定： 时单调递增， 时单调递减.
【防坑警示】
· 在利用导数构造函数比较大小时，常用的放缩不等式（切线不等式）需牢记等号成立的条件：对于任意 ，（当且仅当 时取等号）；对于任意 ，（当且仅当 时取等号）.
三、典题精讲
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
例1.（2025·安徽·皖北）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【思路】观察各选项及已知条件，由于的底数为，可利用对数的运算性质将其化为以为底的对数，从而与同底.对于，可将其转化为以为底的对数，然后利用对数函数的单调性分别比较大小，并对选项中的代数式进行运算验证.
【解析】∵，，∴A，B均错误.又，∴，，∴C正确，D错误.故选C.
【规律】利用对数函数单调性直接比较大小时，核心在于“化同底”.通过对数运算性质将不同底的对数化为同底对数，再将常数转化为同底的对数，最后借助对数函数的单调性即可得出结论.
【考点一 方法总结】
· 利用指数函数和对数函数的单调性比较大小时，首要步骤是观察底数.若底数相同，直接利用单调性比较指数或真数；若底数不同，需通过对数运算性质或指数幂的运算法则化为同底.
· 对于常数与对数或指数的比较，应将常数转化为与待比较数同底的对数或指数形式，再利用单调性进行判断.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1等常数媒介值比较
例2.（2025·河北·石市）已知，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】面对不同类型的函数值（指数与对数），直接比较较为困难.可以寻找合适的常数作为媒介值.观察发现，和是指数形式，可以与进行比较；是对数形式，可以与进行比较.通过确定它们各自所在的区间，即可得出大小关系.
【解析】∵单调递增，∴.∵单调递增，∴.∵单调递减，∴，且.∴.故选D.
【规律】引入常数媒介值（通常是或）是比较幂指对大小的常用且高效的方法.当遇到不同类型的数时，先判断其正负（与比较），再判断其是否大于（与比较），往往能快速将它们分层.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
例3.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【思路】题目中包含四个数，既有指数又有对数.对于指数部分和，可以通过化为同指数来比较大小，并寻找一个有理数媒介值来界定它们的下限.对于对数部分和，可以利用基本不等式或换底公式寻找它们与同一媒介值的关系，进而将四个数串联起来.
【解析】依题意，，，∵，∴.又（因为），即，而，∴.
又，∴.
∵，且，
∴，∴，即.
由此可得.故选C.
【规律】当常规的和无法区分大小时，需要引入其他有理数媒介值（如、等）.同时，在比较两个结构相似的对数时，利用对数加法结合基本不等式进行放缩，是突破难题的核心技巧.
【考点二 方法总结】
· 遇到不同类型的数（如指数与对数混搭）时，优先考虑引入常数媒介值（如或）.通过判断各数与和的大小关系，快速实现初步分层.
· 当多个数均位于同一区间（如都大于）且无法直接比较时，需寻找更精细的有理数媒介值（如、、等）.寻找媒介值的方法通常是观察指数幂的临界状态或对数真数的平方/立方关系.
· 对于结构相似的对数乘积或大小比较，灵活运用基本不等式（如）进行放缩，结合对数加法运算，能够有效建立不等关系.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
例4.（2026·安徽·淮北）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【思路】由对数不等式，结合对数函数的单调性，可以确定与的范围及大小关系.然后，针对各个选项，利用指数函数的单调性、作差比较法、换底公式以及不等式的基本性质进行逐一判定.
【解析】由，得.∵在上单调递增，∴，故A错误.∵，又，∴，即，故B正确.由换底公式得，∵，∴，即，故C错误.∵，又，∴，即，故D错误.故选B.
【规律】处理含参不等式判断题时，作差法是最根本的方法，通过因式分解或通分判断差值的符号.对于对数底数不同的情况，换底公式是将其转化为同底对数进行比较的利器.
【考点三 方法总结】
· 在处理抽象的含参不等式选择题时，若题目条件较为宽泛，可直接选取符合条件的特殊值代入各选项进行验证，快速排除错误选项.
· 严格证明代数式大小关系时，作差法是首选.将两式相减后，通过通分、因式分解等手段将差值化为连乘或连除的形式，进而根据已知条件判断各因式的正负.
· 面对底数和真数均不相同的对数比较，务必熟练运用换底公式，将其统一转化为同底对数或同真数对数，再结合单调性进行判断.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
例5.（2026·安徽·阜阳）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】题目直接给出了具体的函数解析式，且需要比较的三个数都是该函数在不同自变量处的函数值.这提示我们需要利用导数来研究函数的单调性，求出单调区间，然后判断自变量、、的大小关系及其在单调区间内的位置，进而比较函数值的大小.
【解析】∵，∴.令，得；令，得.∴在上单调递增，在上单调递减.∵，∴.∴，即.故选A.
【规律】当所比较的数呈现出明显的统一函数结构时，构造单一函数并利用导数研究其单调性是标准动作.关键在于准确求导，划分单调区间，并正确估算自变量的值以确定其所处的单调区间.
考法6：利用同构法构造函数比较
例6.（2026·山东·济南）已知正实数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【思路】观察等式，发现两边结构相似，可以将其变形为同构形式.通过对数恒等式将转化为，从而构造出函数，利用其单调性得到与的关系.接着，对于，可以通过作差法并构造新函数，利用导数证明不等式恒成立，从而比较的大小.
【解析】由，且为正实数，可得，则.令，则在上单调递增.∵，∴，即.∵，∴，即.又，∴.设，则，设，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.∴，故在上单调递增，，即恒成立.∴，即.又，设，，∴在上单调递增，，即恒成立.∴，即.由此可得.故选A.
【规律】同构法的核心在于“求同存异”，通过指数与对数的相互转化（如），将等式两边凑成完全相同的函数结构形式，进而利用该函数的单调性直接得出变量之间的关系.
【考点四 方法总结】
· 当待比较的数值可以抽象为同一个函数在不同自变量处的取值时，直接构造该函数并利用导数求解单调区间.重点在于准确估算自变量的大小，确保它们落在已知的单调区间内.
· 面对结构不对称的连等式或不等式，需利用指对数恒等式（如 或 ）进行变形，强行凑出相同的代数结构，从而构造出单一函数（同构法）.
· 在同构转化后，若仍需比较两个函数值，可采用作差法构造辅助函数，通过二次求导证明辅助函数恒大于或小于零，进而得出大小关系.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
例7.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
【答案】C
【思路】函数的零点问题可转化为两个函数图象的交点问题.由两边取对数，可转化为直线与对数型曲线的交点.结合已知等式，利用指数运算性质将其转化为关于交点横坐标的关系式，进而求出比值.最后，利用导数求出临界相切时的斜率，结合数形结合进行比较.
【解析】∵为函数的零点，∴，，.结合图象易知.∵，∴，即.∵，∴，∴.将代入，得，即.两边同除以，得.解得（负根舍去）.又，即直线与曲线有三个交点.设过原点与曲线相切的直线切点为，则切线斜率，切线方程为.将原点代入得，解得，此时.由图象可知，要使直线与曲线有三个交点，需满足，即.∵，∴.而，∴.故选C.
【规律】处理复杂方程的根的问题，数形结合是首选.通过分离变量，将方程转化为两个常见函数图象的交点，利用导数研究相切的临界状态，可以直观地确定参数的取值范围或数值大小关系.
【考点五 方法总结】
· 当遇到超越方程的根或零点问题时，务必将其转化为两个熟悉函数图象的交点问题.在同一坐标系中画出草图，通过交点的横纵坐标位置直观判断大小关系.
· 在数形结合中，常需利用导数求解曲线的切线方程，特别是过原点的切线，以确定函数图象相交或相切的临界条件，从而精准界定参数的取值范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
例8.（2026·山东·济宁）设，比较，，的大小，并说明理由.
【答案】
【思路】题目要求比较指数、对数与有理数的大小.由于数值较为特殊，直接计算或寻找媒介值比较困难.此时应联想到常用的切线放缩不等式（如及其变体，以及对数函数的放缩），通过构造函数或直接应用这些经典不等式，将复杂的超越数转化为有理数进行比较.
【解析】比较与：令，当时，.
∴.
∴.∵，∴.
比较与：令，当时，，∴.
∴.
∵，∴.
由此可得.
【规律】熟记并灵活运用经典放缩不等式（如，，等）是解决此类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
考法9：利用泰勒展开比较大小
例9.，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【思路】观察三个数，它们的值都非常接近，且分别涉及对数函数和根式.对于和，可以利用对数的运算性质直接比较.对于，由于其与的差异极其微小，常规的放缩可能不够精确.此时需要借助泰勒展开式的思想，构造多项式函数进行更高精度的逼近和比较.
【解析】，∵在上单调递增，且，∴.令，则，∴在上单调递增，，即.又.令，则，，∴在上单调递增，，∴在上单调递增，，∴.∴.
【规律】当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至更高阶导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更准确地估算函数值.
考法10：结合不定方程比较大小
例10.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【思路】处理对数式时，可利用换底公式将其化简，并通过作差法判断出与的大小关系.面对指数方程，观察到这一经典勾股数关系，这启发我们两边同除以构造指数型函数，借助该函数的单调性即可顺利比较出与的大小.
【解析】∵.∴.∵，∴，∴，即.∵，且，∴，∴.构造函数，则在上单调递减.∵，且，∴，即，∴.又，∴，∴.由此可得.故选D.
【规律】处理形如（其中）的不定方程比较大小问题时，两边同除以构造单调递减的指数型函数是标准解法.结合已知变量与临界值（通常是）的大小关系，利用单调性即可顺利得出结论.
【考点六 方法总结】
· 熟记并灵活运用经典放缩不等式（如 ，， 等）是解决此类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
· 当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至更高阶导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更准确地估算函数值.
· 处理形如 （其中 ）的不定方程比较大小问题时，两边同除以 构造单调递减的指数型函数是标准解法.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能.
令，则，此时，C有可能.
令，则，此时，D有可能.
故选B.
法二：设，所以，.
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，.
故选B.
第 2 页，共 17 页第17讲 幂指对比较大小 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精练 3
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较 3
考点二：引入媒介值与估算法 3
考点三：特殊值法与不等式性质 4
考点四：构造函数与同构法 5
考点五：数形结合法 6
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程） 6
四、高考真题 7
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 无 - - -
2025 第8题 单选题 5分 直接 给出多变量对数连等式，考查利用引入参数法或数形结合思想比较变量大小
2024 无 - - -
近三年全国一卷中，幂指对比较大小的考查频率不高，但一旦出现，往往以中档或偏难的单选题形式呈现，侧重考查对数方程的转化与数形结合思想的灵活运用.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查对数式、指数式的大小比较，常伴随多变量的连等式或不等式.
命题趋势：从单纯的数值估算比较，向方程根的比较、函数交点横纵坐标的比较转变，强调同构思想与引入媒介值.
试题特点：计算量通常不大，但思维要求高，需要灵活运用指数函数、对数函数的单调性和图象特征，或借助特殊值法进行排除.
3. 备考策略
· 熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，特别是底数对函数图象变化趋势的影响.
· 强化“引入媒介值（如0、1等）”和“设常数（如连等式设参数k）”的解题技巧，能够熟练进行指对互化.
· 培养数形结合意识，在遇到复杂的指对数连等式时，能迅速将其转化为函数图象的交点问题进行直观判断.
二、知识清单
1. 利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定 、、 的大小。
2. 指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用对数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量 、 或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定。
3. 转化为两函数图象交点的横坐标
4. 特殊值法
5. 估算法
6. 放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
7. 常见函数的麦克劳林展开式
① .
② .
③ .
④ .
⑤ .
⑥ .
【易错提醒】
· 指数函数 与对数函数 的单调性严格依赖于底数 与 的大小关系：当 时单调递增，当 时单调递减.在化同底比较大小时，切勿忽略底数所在的区间.
· 幂函数 在 上的单调性由指数 的符号决定： 时单调递增， 时单调递减.
【防坑警示】
· 在利用导数构造函数比较大小时，常用的放缩不等式（切线不等式）需牢记等号成立的条件：对于任意 ，（当且仅当 时取等号）；对于任意 ，（当且仅当 时取等号）.
三、典题精练
考点一：利用指数、对数函数单调性直接比较
考法1：利用指数、对数函数单调性直接比较
例1.（2025·安徽·皖北）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
【考点一 方法总结】
· 利用指数函数和对数函数的单调性比较大小时，首要步骤是观察底数.若底数相同，直接利用单调性比较指数或真数；若底数不同，需通过对数运算性质或指数幂的运算法则化为同底.
· 对于常数与对数或指数的比较，应将常数转化为与待比较数同底的对数或指数形式，再利用单调性进行判断.
考点二：引入媒介值与估算法
考法2：引入0、1等常数媒介值比较
例2.（2025·河北·石市）已知，，，则的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
考法3：引入其他媒介值或估算法比较
例3.已知，则的大小关系为（ 　　）
A. B.
C. D.
【考点二 方法总结】
· 遇到不同类型的数（如指数与对数混搭）时，优先考虑引入常数媒介值（如或）.通过判断各数与和的大小关系，快速实现初步分层.
· 当多个数均位于同一区间（如都大于）且无法直接比较时，需寻找更精细的有理数媒介值（如、、等）.寻找媒介值的方法通常是观察指数幂的临界状态或对数真数的平方/立方关系.
· 对于结构相似的对数乘积或大小比较，灵活运用基本不等式（如）进行放缩，结合对数加法运算，能够有效建立不等关系.
考点三：特殊值法与不等式性质
考法4：利用特殊值代入或不等式性质比较
例4.（2026·安徽·淮北）已知，则（ 　　）
A. B. C. D.
【考点三 方法总结】
· 在处理抽象的含参不等式选择题时，若题目条件较为宽泛，可直接选取符合条件的特殊值代入各选项进行验证，快速排除错误选项.
· 严格证明代数式大小关系时，作差法是首选.将两式相减后，通过通分、因式分解等手段将差值化为连乘或连除的形式，进而根据已知条件判断各因式的正负.
· 面对底数和真数均不相同的对数比较，务必熟练运用换底公式，将其统一转化为同底对数或同真数对数，再结合单调性进行判断.
考点四：构造函数与同构法
考法5：构造单一函数利用导数单调性比较
例5.（2026·安徽·阜阳）已知函数，则（ 　　）
A. B. C. D.
考法6：利用同构法构造函数比较
例6.（2026·山东·济南）已知正实数满足，则（ 　　）
A. B. C. D.
【考点四 方法总结】
· 当待比较的数值可以抽象为同一个函数在不同自变量处的取值时，直接构造该函数并利用导数求解单调区间.重点在于准确估算自变量的大小，确保它们落在已知的单调区间内.
· 面对结构不对称的连等式或不等式，需利用指对数恒等式（如 或 ）进行变形，强行凑出相同的代数结构，从而构造出单一函数（同构法）.
· 在同构转化后，若仍需比较两个函数值，可采用作差法构造辅助函数，通过二次求导证明辅助函数恒大于或小于零，进而得出大小关系.
考点五：数形结合法
考法7：结合函数图象交点或反函数特征比较
例7.已知，为函数的零点，，若，则（ 　　）
A. B.
C. D. 与大小关系不确定
【考点五 方法总结】
· 当遇到超越方程的根或零点问题时，务必将其转化为两个熟悉函数图象的交点问题.在同一坐标系中画出草图，通过交点的横纵坐标位置直观判断大小关系.
· 在数形结合中，常需利用导数求解曲线的切线方程，特别是过原点的切线，以确定函数图象相交或相切的临界条件，从而精准界定参数的取值范围.
考点六：进阶技巧（放缩法、泰勒展开与不定方程）
考法8：利用放缩法比较大小
例8.（2026·山东·济宁）设，比较，，的大小，并说明理由.
考法9：利用泰勒展开比较大小
例9.，则的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
考法10：结合不定方程比较大小
例10.已知实数，满足，则关于下列判断正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【考点六 方法总结】
· 熟记并灵活运用经典放缩不等式（如 ，， 等）是解决此类问题的捷径.在应用时，注意自变量的取值范围及等号成立的条件.
· 当数值差异极小时，一阶导数（即切线放缩）往往失效，需要利用二阶导数甚至更高阶导数构造多项式（本质是泰勒展开）进行高精度放缩.通过保留更多的项，可以更准确地估算函数值.
· 处理形如 （其中 ）的不定方程比较大小问题时，两边同除以 构造单调递减的指数型函数是标准解法.
四、高考真题
1.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
第 2 页，共 17 页第17讲 幂指对比较大小 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D C D B B
6 7 8 9 10
A A D ACD ACD
11 12 13 14 15
ABD （1） （2）（i）单调递增 （ii）证明见解析
16 17 18 19
1.（2026·山东聊城·二模）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 ，可得 .若 ，则 ，所以 ，即 ，所以 ；若 ，则 ，所以 ，即 ，所以 .对于A， 不一定大于1，故A错误；对于B，若 ，则 ，故B错误；对于C，若 ，，则 ，若 ，，则 ，故C错误；对于D，若 ，，则 ，即 ，若 ，，则 ，即 ，所以无论哪种情况，都有 ，故D正确.
【点拨】本题考查对数函数的性质及底数、真数的变化规律.利用换底公式将不同底的对数转化为同底对数，并分类讨论底数与1的关系是比较大小的常用方法.
2.（2026·郑州四中·检测）设 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设 ，则 ，∵ 在 上单调递减，，∴ ，∴ 在 上单调递减，∴ ，∴ ，∴ ；∵ ，，∴ ；综上所述：.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性进而比较大小，同时考查了指数函数与对数函数的性质.
3.（2026·长沙雅礼·模拟）设 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，对数函数 在定义域内单调递增，且 ，因此 ，即 ；，对数函数 在定义域内单调递减，且 ，因此 ，即 ；，指数函数 在定义域内单调递增，因此 ，即 .综上， 的大小关系为 .
【点拨】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，寻找中间量0和1进行分段比较是解题的关键.
4.若 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意，，，而 ，即 ，所以 ，， 的大小关系为 .
【点拨】本题考查指数与对数数值的估算，通过引入媒介值1和2进行分段比较是常用的技巧.
5.已知 ，，，若 ，则 、、 的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取 ，则 ，，，所以 .
【点拨】本题考查不同类型函数值的大小比较，对于给定范围内的变量，采用特殊值法可快速得出结论.
6.（2025·山东名校·二模）已知 ，则 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵ ，构造函数 ，，则 ，当 时，；当 时，，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，由于 ，，且 ，则 ，即 ，又 ，所以 .
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性来比较大小，构造函数 是解决此类问题的核心.
7.（2026·山东济南·二模）已知正实数 满足 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ，且 为正实数，可得 ，则 .令 ，则 在 上单调递增.因为 ，所以 ，即 .因为 ，所以 ，即 .又 ，所以 .设 ，则 ，设 ，则 .当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.所以 ，故 在 上单调递增，，即 恒成立.所以 ，即 .又 ，设 ，，所以 在 上单调递增，，即 恒成立.所以 ，即 .综上所述，.
【点拨】本题考查利用同构思想比较大小，通过构造函数 得到 与 的关系是解题的突破口.
8.已知 ，，，则 ，， 大小为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ， 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ， 可以看成 与 图象的交点的横坐标为 ，画出函数的图象，由图象可知，.
【点拨】本题考查方程根的大小比较，将其转化为函数图象交点的横坐标大小比较，利用数形结合思想可直观得出结论.
9.（2025·河北·模拟）设 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B. 若 ，则 的最小值为 4
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于 A，∵ ，由指数函数 单调递增，∴ ，即 ，故 A 正确；对于 B，，等号成立条件 ，由于 ，显然等式不成立，故最大值比 0 小，所以最小值不可能为 4，故 B 错误；对于 C，由已知 ，，∴ ，即 ，故 C 正确；对于 D，∵ ，由幂函数 单调递增，∴ ，即 ，故 D 正确.
【点拨】本题考查不等式的性质及基本不等式的应用，利用指数函数和幂函数的单调性是判断选项A和D的关键.
10.若 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】设 ，则 为增函数，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故 B 正确；，当 时，，此时 ，有 ；当 时，，此时 ，有 ，所以 A、C、D 均错误.
【点拨】本题考查利用函数的单调性比较大小，通过构造函数 将等式转化为函数值的关系是解题的核心.
11.（2026·浙江联盟·模拟）已知 ，，，，，则（ 　　）
A. 当 时， B. 存在实数 ，使得 C. 对任意 ，都有 D. 当 时，
【答案】ABD
【解析】对于选项 A，当 （即 ）时，，所以 ，选项 A 正确.对于选项 B，当 时，，选项 B 正确.对于选项 C，由题意，设 ，则 ，则 .故 ，当 时， 单调递减，.故 使 ，故选项 C 错误.对于选项 D 由题意：，因为 ，所以 ，另一方面：，因为 ，即 ，所以 ，选项 D 正确.
【点拨】本题考查指数函数的性质及不等式的应用，对于C选项，通过构造函数并利用导数研究其在 附近的单调性是判断的关键.
12.已知 ，，，则 、、 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，则 .因为 ，所以 ，则 ，所以 .又 ，，因为 ，而 ，所以 .综上所述，.
【点拨】本题考查对数与指数数值的比较，通过寻找中间媒介值 和 进行放缩是解题的有效手段.
13.（2025·郑州外国语·5月调研）已知 ，，设 ，，，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由 ，得 ，即 ，则 ，由 ，得 ，即 ，则 ，，则 ，因此 ，所以 ，即 .
【点拨】本题考查对数大小的比较，利用已知的不等式关系提取出对数的范围，并结合基本不等式进行放缩是解题的关键.
14.，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】，因为 在 上单调递增，且 ，所以 .令 ，则 ，所以 在 上单调递增，，即 .又 .令 ，则 ，，所以 在 上单调递增，，所以 在 上单调递增，，所以 .所以 .
【点拨】本题考查利用泰勒展开式或构造函数比较数值大小，通过精确到足够位数的小数进行比较是处理微小差异的有效方法.
15.（13分）（2025·山东名校·二模）已知函数 ．
（1） 当 ，求 的取值范围；
（2） 当 时．
（i） 设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（ii） 证明：对任意 ，有 ．
【答案】（1） （2）（i）单调递增 （ii）证明见解析
【解析】（1） 由 ，则 ， 2 分
令 且 ，则 ， 4 分
令 且 ，则 ，即 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 在 上单调递增，则 ， 6 分
综上，. 7 分
（2）（i） 时， 且 ，则 ， 9 分
故 在 上单调递增； 10 分
（ii） 令 ，则 ， 12 分
由 ，则 ，
由（i）知，，即 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，故 ， 14 分
因为 ，所以 在 上单调递增，则 ，
所以 ，
综上，对任意的 ，有 . 15 分
【点拨】本题考查利用导数求参数范围及证明不等式.参变分离法是处理恒成立问题的常用手段，构造双变量函数并固定一元是证明双变量不等式的有效策略.
16.（15分）已知 ，，，比较 ，， 的大小，并说明理由.
【答案】
【解析】由 ，，可知 ， 3 分
又由 ，从而 ，可得 ， 7 分
因为 ，所以 ； 10 分
因为 ，从而 ，即 ，
由对数函数单调性可知，， 13 分
综上所述，. 15 分
【点拨】本题考查无理数与对数数值的比较，通过乘方运算和寻找合适的有理数媒介值（如 ）进行放缩是解题的关键.
17.（15分）（2026·山东济宁·二模）设 ，比较 ，， 的大小，并说明理由.
【答案】
【解析】比较 与 ：令 ，当 时，. 3 分
所以 . 6 分
所以 .因为 ，所以 . 8 分
比较 与 ：令 ，当 时，，所以 . 11 分
所以 . 14 分
因为 ，所以 .
综上所述，. 15 分
【点拨】本题考查利用常见的不等式放缩比较大小，熟练掌握 和 是快速解题的捷径.
18.（17分）已知实数 、 满足 ，比较 、 的大小，并说明理由.
【答案】
【解析】由 可得 ，因为 ，，所以 ，
所以 ，则 ，所以 ， 3 分
令 ，则 ，
当 时，，所以函数 在 上单调递增； 6 分
则当 时，，即 ，一定有 ，
所以 ， 9 分
则 ，又因为 ，所以 ， 12 分
令 ，则 ，
当 时，，所以函数 在 上单调递增；
因为 ，，所以 . 17 分
【点拨】本题考查利用同构思想和函数的单调性比较大小，将等式转化为同构形式并利用不等式放缩是解题的关键.
19.（17分）已知 ，，，比较 的大小，并说明理由.
【答案】
【解析】要比较 ，， 等价于比较 的大小，
等价于比较 ，
即比较 ， 3 分
构造函数 ，，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减. 6 分
所以 ，
因为 ，
所以 最大，即 中 最大， 9 分
设 ，
结合 的单调性得，，
先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ，，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时，，
所以，当 时，， 12 分
则有 ，
由 可知 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 ， 15 分
因为 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，，
因为 ， 在 单调递减.
所以 ，
即 ，即 ，
综上，. 17 分
【点拨】本题考查利用导数比较大小，涉及同构法、对数平均不等式及极值点偏移问题，综合性强，难度较大.
第 2 页，共 17 页第17讲 幂指对比较大小·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·山东聊城·二模）已知正数 满足 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·郑州四中·检测）设 ，，，则（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·长沙雅礼·模拟）设 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
4.若 ，，，则 ，， 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
5.已知 ，，，若 ，则 、、 的大小关系是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2025·山东名校·二模）已知 ，则 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·山东济南·二模）已知正实数 满足 ，则（ 　　）
A. B. C. D.
8.已知 ，，，则 ，， 大小为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2025·河北·模拟）设 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. B. 若 ，则 的最小值为 4
C. D.
10.若 ，则下列结论错误的是（ 　　）
A. B. C. D.
11.（2026·浙江联盟·模拟）已知 ，，，，，则（ 　　）
A. 当 时， B. 存在实数 ，使得
C. 对任意 ，都有 D. 当 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知 ，，，则 、、 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
13.（2025·郑州外国语·5月调研）已知 ，，设 ，，，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
14.，则 的大小关系为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2025·山东名校·二模）已知函数 ．
（1） 当 ，求 的取值范围；
（2） 当 时．
（i） 设 ，讨论函数 在 上的单调性；
（ii） 证明：对任意 ，有 ．
16.（15分）已知 ，，，比较 ，， 的大小，并说明理由.
17.（15分）（2026·山东济宁·二模）设 ，比较 ，， 的大小，并说明理由.
18.（17分）已知实数 、 满足 ，比较 、 的大小，并说明理由.
19.（17分）已知 ，，，比较 的大小，并说明理由.
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