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第18讲 函数的综合应用 · 分类练习（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
B A B ABC D
6 7 8 9 10
AC 见解析 D ABD AB
11 12 13 14 15
B ACD （1）单调递减区间为 （2） （3）
16 17 18 19 20
D 见解析 A BC
21 22 23 24 25
（1） （2） BD ABD BC ACD
26 27 28 29 30
D D ACD ACD 见解析
31 32 33 34 35
（1）不是 （2） （3） 见解析 见解析 B C
36 37 38 39 40
A B D D
41 42 43 44 45
C D A C
46 47 48 49 50
D C C D C
51 52
C
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
1.已知数列，满足， ，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，把代入递推可得：.令，，则，在单调递增.所以，即当时，恒有成立.因为，所以，所以，故选项A错误.又因为，所以选项C错误.因为，，令，，则，所以函数在上递减，所以.所以，故选项B正确.又由可得，因为，所以（当且仅当时取“”），可得.所以，故选项D错误.故选B.
【点拨】本题考查数列与不等式的综合，通过构造函数利用导数证明不等式，进而判断数列的单调性与求和放缩.
2.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，解得或.由零点存在性定理得.所以当时，，数列单调递减.，所以，同理，.迭代下去，可得，数列单调递减.故选项B和选项C都错误.又.所以，故D错误.对于A，，而.所以，故A正确.故选A.
【点拨】本题考查由函数迭代生成的数列的性质，利用导数研究函数图象与直线的交点，进而判断数列的单调性与有界性.
3.已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则 C. D.
【答案】B
【解析】，故，，故且，于是与同号，即.对选项A：若，则，则，，所以，错误.对选项B：，，则，即，于是，即，数列单调递减，，，，故，即，，故，故，故，正确.对选项C：考虑函数，，，函数单调递增，结合的图象，由图可知当时，数列递减，，所以，即，不正确.对选项D：设，则，，，即，等价于，化简得，而显然不恒成立，不正确.故选B.
【点拨】本题考查非线性递推数列的性质，利用代数变形寻找递推关系，结合函数图象与导数分析数列的单调性与凹凸性.
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
4.（2026·江西五市十校·3月联考）（多选）若，数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列
C. D. 数列的通项公式为
【答案】ABC
【解析】对于 A 选项：
由题意，令 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
将 变形为 .
令 ，则其定义域为 .
计算 .
提取负号得 .
所以 ，即 ，整理可得 .
故函数 关于点 成中心对称，A 选项正确.
对于 B、D 选项：
由题意知，当 时，.
当 时，有 .
将两式相减得：.
即 ，整理得 .
从而 （）.
又因为 ，当 时，代入 ，解得 .
此时 ，说明递推式 对 也成立.
由此可得 .
所以 （）.
这说明数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 B 选项正确，D 选项错误.
对于 C 选项：
由 B 选项的结论可知 ，则有 .
结合 A 选项中函数对称性结论 ，可得 .
展开所求和式：
将其首尾配对得：
式中共有 个配对项，每对之和均为 .
而中间项 ，代入原函数得 .
故 .C 选项正确.
故选：ABC.
【点拨】本题解题核心：一是通过平移转化或直接代数化简，证明 ，进而确立函数的中心对称性；二是利用 与 的关系（即 ）得出数列的递推比并求出通项，最后结合等差数列的对称性与函数的对称性，利用“倒序相加配凑法”快速完成复杂和式的计算.
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
5.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. B.
C. 数列是递增数列 D.
【答案】D
【解析】的极值点为在上的变号零点.即为函数与函数图象在交点的横坐标.又注意到时，，时，，，时，.据此可将两函数图象画在同一坐标系中.A选项，注意到时，，，.结合图象可知当，，.当，，.故A错误；B选项，由图象可知，，则，故B错误；C选项，表示两点与间距离，由图象可知，随着的增大，两点间距离越来越近，即为递减数列，故C错误；D选项，由A选项分析可知，，，又结合图象可知，当时，，即此时，得在上单调递增，则，故D正确.故选D.
【点拨】本题考查导数与极值点的分布，通过构造函数图象分析极值点所在的区间，再利用单调性进行不等式放缩.
6.（2026·河南濮阳·二模）（多选）已知定义在上的函数满足：，其中表示不超过的最大整数.当时，，设数列满足，数列为从小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ 　　）
A. 数列为等比数列
B. ，使得
C. 数列的通项公式
D. ，都有
【答案】AC
【解析】由题意知，当 时，，且对于定义域内的 满足 .
对于 A 选项：
因 ，令 （），则 .
代入原递推式得：，即 .
等式两边同加 ，可整理为：.
又 ，故 .
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.故 A 选项正确.
对于 B 选项：
由 A 选项结论可知，，从而 .
假设存在 使得 ，即 .
化简得 .
因 ，即 ，与 矛盾.
故不存在满足条件的 ，B 选项错误.
对于 C 选项：
当 时，，求导得 .
令 ，解得 .
当 时，；当 时，.
故 在区间 内的极小值点为 ，即 .
对于任意 ，因 ，代入递推式可得 .
进一步递推可得：，
以此类推，可得 （其中 为与 无关的常数）.
等式两边对 求导，得 .
由极小值点的定义可知，函数 在区间 内的极小值点横坐标满足 .
故第 个极小值点 ，C 选项正确.
对于 D 选项：
将 代入极小值表达式.
由递推关系可计算得：
；
；
（因 ）；
.
因自然对数底数 ，则 ，即 ，从而 .
故并非对于 都有 ，D 选项错误.
故选：AC.
【点拨】本题的解题关键：一是对于数列 ，利用 的特性结合待定系数法，构造出等差与等比结合的辅助数列 以求通项；二是对于极值点数列 ，通过递推式探索区间平移前后的导数关系，明确极小值点横坐标仅发生平移，进而推导各区间段极小值的演变规律.
7.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若，证明：函数有唯一极大值点，且；
（3） 记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减
（2） 证明见解析
（3） 否，理由见解析
【解析】（1） 当时，，.令，得.令，得.所以，在区间上单调递增；在区间上单调递减.
（2） 证明：.令，因为，所以，.所以，存在唯一实数，时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减.所以，函数有唯一极大值点.要证成立，即证，即证，即证，即证成立.设，则，令，则.所以，函数在区间上单调递增.所以，.所以，，即成立.所以，.
（3） 时，，其中时，.所以，.所以，.所以，.所以，数列是等比数列，公比为.
【点拨】本题考查导数的应用，包括单调性、极值点的判断以及不等式的证明.通过构造新函数并利用其单调性来证明不等式，同时结合三角函数的性质判断极值点构成的数列是否为等比数列.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
8.已知函数是定义域为的函数，，对任意()，均有，已知()为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，得且函数关于点对称.由对任意，均有，可知函数在上单调递增.又因为函数的定义域为，所以函数在上单调递增.因为为关于的方程的两个解，所以，解得，且，即.又，令，则，则由，得，所以.综上，的取值范围是.故选D.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、对称性与单调性的综合应用，通过函数方程确定对称中心，结合单调性解函数不等式.
9.（2026·山东青岛·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 在区间上单调递增
B. 恰有两个零点
C. 不等式的解集为
D. 若，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数，对于A项，当时，，对其求导得，所以在区间上单调递增，故A项正确；对于B项，因为在区间上单调递增，且，根据偶函数的性质可知，，所以恰有两个零点，故B项正确；对于C项，因为为偶函数，且在上单调递增，所以等价于，得，两边平方得，而函数的定义域为，所以的解集为，故C项错误；对于D项，因为，且为偶函数，得，即，因为，所以，又因为在区间上单调递增，所以，得，则，当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项正确.故选ABD.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、单调性以及零点问题，通过导数判断单调性，结合奇偶性解不等式，利用基本不等式求最值.
10.（2025·河北名校协作体·一模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A.
B.
C. 函数的值域为
D. 关于的方程有且仅有一个实数根
【答案】AB
【解析】令，得，解得或.若，则令，可得，则，此时，，显然不恒成立.若，同理可得，且恒成立，故，，A正确.易知是偶函数，且在上单调递增.因为，且等号不能同时成立，所以，则，则，B正确.，易得的值域为，C不正确.等价于.当时，等价于.令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故是原方程的根.当时，等价于，易得函数在上单调递增，因为，，所以原方程在内有一个根.故D不正确.故选AB.
【点拨】本题考查抽象函数的解析式求解及函数性质的综合应用，通过赋值法求出函数解析式，再利用导数研究函数的单调性与零点.
11.关于的不等式，解集为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题设，，而在上递增，当即时，，原不等式不成立；当即时，，原不等式恒成立.综上，解集为.
【点拨】本题考查利用函数的单调性解不等式，通过构造函数并分类讨论自变量的范围来求解.
考法5：构造函数比较大小或解不等式
12.（2025·福建福九联盟·5月联考）已知可导函数是定义在上的奇函数.当时，，则的解集为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】（方法一）依题意，，故.则，即.（方法二）或或或，又，故的一个充要条件是.
【点拨】本题考查利用导数构造函数解不等式，通过分析已知不等式的结构特征，构造辅助函数，利用其单调性和奇偶性求解.
13.（2026·河北名校协作体·一模）（多选）设且，，若，则下列大小关系可能成立的有（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为且，，，所以.又，所以.构造函数，则的定义域为，，所以在上单调递减，又，所以当时，，即，所以，所以，故CD正确；当时，，即，所以，所以，故AD正确，B错误.故选ACD.
【点拨】本题考查对数函数的性质与导数的综合应用，通过构造函数研究单调性，进而比较大小.
考法6：双变量不等式恒成立求参数
14.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数定义域为，，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】因为函数定义域为，所以，所以.又时，，即，令，则，又，所以在上单调递减，.因为，所以，即，故，即；故答案为.
【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性，通过构造新函数将不等式恒成立问题转化为函数单调性问题求解.
15.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，.
（1） 当时，求的单调递减区间；
（2） 若在区间上，为增函数，求的取值范围；
（3） 若时，的最小值为，求.
【答案】（1） 单调递减区间为
（2）
（3）
【解析】（1） 的定义域为，，
，，
当时，恒成立，在区间上单调递增；
当时，令，得，
当时，；当时，，
因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2） ，易知，由（1）知：
①当时，是上的增函数，且，所以无极大值，不合题意，
②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
当，即时，，在上单调递增，无极大值，不合题意；
当，即时，时，，，，
是唯一极大值点，不合题意；
当，即时，时，，
时，，所以函数在上无极大值，
，，易证，
，使，当时，，时，，
为的极大值点，且
由，得，
要证，即证，
，需证，
令，则，
在上为减函数，故，所以，
即成立，故.
【点拨】本题考查导数的应用，通过分类讨论参数的取值范围，研究函数的单调性与极值，进而解决恒成立问题.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
16.（2025·河北沧州五县·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 对任意的，都有
B. 当时，有两个实根
C. 若关于的方程且在上只有一个解，则的取值范围为
D. 若方程有两个不同的根，且恒成立，则
【答案】D
【解析】，利用复合函数求导，可得，当时，，所以在区间上单调递增；当时，，所以在区间上单调递减；在处，取到极大值点，.对于选项A：当时，不满足，故A错误；对于选项B：由上分析得，当趋于时，函数值趋于，当时，有两个实数根；当时，有一个实数根；故B错误；对于选项C：方程且，两边取对数得，即，令，则，令，则，当时，，所以在区间上单调递增；当趋于时，函数值趋于；当时，，所以在区间上单调递减；当趋于时，函数值趋于；故，当时，，与只有一个交点，当时，，与有个交点，当时，与只有一个交点；当时，，与有个交点，故且在上只有一个解，则的取值范围为，故C错误；对于选项D：若方程有两个不同的根，则，设两根为，则，由函数的单调性知，因为恒成立，所以同时是方程的两根；根据韦达定理得，因为，两边取对数得，，两式做差，，根据对数不等式，，即；，即；所以，选项D正确；故选D.
【点拨】本题考查导数在研究函数性质中的应用，通过构造函数研究单调性与极值，结合对数均值不等式证明双变量不等式.
17.（2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断）已知函数.
（1） 当时，求函数的最值；
（2） 讨论方程的解的个数；
（3） 若方程存在两个解，且满足，证明：.
【答案】（1） 最大值为，无最小值
（2） 见解析
（3） 证明见解析
【解析】（1） 当时，，求导可得，函数在单调递增，在单调递减.函数有最大值，无最小值.
（2） 函数是奇函数，始终是方程的一个解.不妨令，，可化简为.构造函数，求导可得，，.①当，恒成立，因此在单调递增.故，在单调递增，故.即方程在无解.根据函数是奇函数可知在也无解.②当，由，可得在单调递减，在单调递增.由，，可得，存在使.当，单调递减；当，单调递增.，，函数在有且只有一个零点.即方程在有一个解.根据函数是奇函数可知在有另一个根.综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解.
（3） 由（2）可得此时，且，.即证：.因为是方程的解，代入可得，消可得.设，，.函数在单调递增，所以.又因为，所以.
【点拨】本题考查导数在函数极值、方程根的个数及不等式证明中的综合应用，通过构造函数研究单调性，利用对称性简化问题.
考法8：函数交点与面积最值
18.（2026·江苏前黄高中·攀登行动二）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，设函数与直线的交点为，则，则，同理，则，又因为，，解得，设，则，故，代入点坐标得，化简得，解得，故.故选A.
【点拨】本题考查函数图象交点与几何图形面积的综合，利用对数函数的性质与方程思想求解参数.
19.（2026·长沙师大附中·一模）已知为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点，当取最小值时，＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设，，则，，，令，则，若，，单调递增，最多一个零点，不符题意；若，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，得.不妨设，则，，令，则，由两边对求导得，所以，同理，所以，因为，所以当时，，此时取得最小值，将代入，得，令，，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，又，，，所以，，所以，当取最小值时，.
【点拨】本题考查导数在函数交点与面积最值问题中的应用，通过构造函数并利用隐函数求导寻找最值条件.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
20.（2026·八省T8联考·4月联合测评）（多选）已知则（ 　　）
A. 当时，为增函数 B. 当时，的值域为
C. 当时，图象上存在关于原点对称的两点 D. 若，，使得恒为常数
【答案】BC
【解析】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，，作出函数的图象如下：由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有个交点，则方程有个不同的解，故C正确；对于D，令，因为方程有个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选BC.
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，结合复合方程根的个数问题，利用数形结合和二次方程根的分布求解.
21.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数.
（1） 若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2） 若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 令，因为在上单调递增，所以要使在上单调，只需在上单调，且恒成立.①当时，在上单调递增，所以，解得，所以；②当时，在上单调递减，所以，解得，所以；③当时，，，不符合题意.综上，实数的取值范围是.
（2） ，由得，所以的定义域为.因为，所以为奇函数.又因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增.由，得，所以，解得.所以实数的取值范围是.
【点拨】本题考查复合函数的单调性与奇偶性，通过内层函数的单调性及定义域要求，结合外层对数函数的性质求解参数.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
22.（2026·山东九五协作体·一模）（多选）高斯函数又称为下取整函数，表示不超过的最大整数，比如，. 设，，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域为 D. 方程有且仅有个实数根
【答案】BD
【解析】已知 .
对其求导得：
令 ，在区间 内解得 或 .
代入计算极值：
当 时，.
由于 为奇函数，故当 时取得极小值 .
因此， 的值域为 .
对于 C 选项：
因为 的取值范围约为 ，由高斯函数（下取整函数）的定义 可知：
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，.
故 的值域为 ，C 选项错误.
对于 A 选项：
取 ，则 .
此时 .
又 ，则 .
因为 ，即不满足奇函数的定义，故 A 选项错误.
对于 B 选项：
因为 .
所以 .
这说明 是以 为周期的周期函数，B 选项正确.
对于 D 选项：
方程 即 .
由于下取整函数的结果必定为整数，所以实数根 只能是整数.
结合 C 选项中求得的值域 ，方程的根只可能在这四个整数中产生.
① 当 时：.因为 弧度 ，所以 ，，从而 .又 ，故 ，此时 ，等式成立， 是根.
② 当 时：，，等式成立， 是根.
③ 当 时：.由前述知 ，故 ，从而 ，等式不成立.
④ 当 时：.因为 弧度 ，处于第二象限， 且 ，易知 .所以 .又 且 ，故 .即 ，从而 ，此时 ，等式不成立.
综上所述，方程有且仅有 和 两个实数根，D 选项正确.
故选：BD.
【点拨】本题考查了三角函数的性质与取整函数的综合应用.破题的关键在于利用导数精确求出内层函数 的值域并预估特殊点的函数值范围；在处理 这一方程时，需敏锐捕捉到取整函数值的“整数性”，从而将求任意实数根的问题大幅降维为仅检验定义域内有限个整数的验证问题.
23.（2026·山东泰安·三模）（多选）已知函数，则下列选项正确的是（ 　　）
A. 是偶函数 B. 在上单调递减
C. 的极值点为 D. 在上且仅有个零点
【答案】ABD
【解析】由，得，定义域关于原点对称，，故是偶函数，A正确；当时，，，令，得，因为，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，又是偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上不单调，B错误；由上可知在上的极值点为，因为，所以不是周期函数，其极值点不一定是，C错误；，，因为，，，所以，又，在上单调递增，所以在上有且仅有个实数根，当时，，在上单调递减，所以在上有且仅有个实数根，又是偶函数，所以在上有且仅有个实数根，所以在上且仅有个零点，D正确.故选ABD.
【点拨】本题考查函数的奇偶性、单调性、极值与零点，通过求导分析函数在特定区间上的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数.
24.（2024·深圳光明区高中·5月模考）（多选）已知函数是定义域为的可导函数，. 若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B. 曲线在点处的切线的斜率为 C. （是的导函数） D. 的图象关于点对称
【答案】BC
【解析】由题意有，，故A错误；，令得，故B正确；为偶函数，即，又因为，所以，所以，即，故C正确；因为，，所以，，得，即关于对称，所以，即，即关于对称，故D错误.故选BC.
【点拨】本题考查抽象函数的对称性、奇偶性与周期性，通过代数恒等式推导函数及其导数的性质.
25.（2025·江西十校·二模）（多选）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
【答案】ACD
【解析】设，则，所以关于直线对称，A正确；令，则或，所以的弦长最大值为，B错误；设直线与交于，则，由得，设，则，所以单调递增，所以直线与至多有一个交点，所以直线与至多有两个交点，当直线过点和时，被截得弦长最大，最大值为，C正确；的面积为，令，则，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，因为，所以，所以的面积小于，又，所以的面积小于，D正确.故选ACD.
【点拨】本题考查互为反函数的图象特征、曲线的弦长与面积计算，结合导数求极值与定积分计算面积.
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
26.（2026·浙江金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ 　　）
A. （不超过的最大整数） B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A，若，则对于任意的，都有，由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项B，若，因为为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，所以函数为减函数，函数的值域为，因此在上单调递增，且函数的值域为，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项C，若，则恒成立，当且仅当时取等号，所以函数在上单调递增，由得，故函数的图象夹在平行直线和之间，所以函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项D，若，则，当时，，，故，当时，，，故，所以对于任意的，，故函数在上单调递增，假设存在两条平行直线，和，则对任意需要，但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.故选D.
【点拨】本题考查新定义函数的判断，通过分析函数的单调性与有界性，结合导数研究函数的增长趋势.
27.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有着重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明. 群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“”新构成一个群. 则下列说法不正确的是（ 　　）
A. 关于数的乘法构成群 B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群 D. 关于数的加法构成群
【答案】D
【解析】由①且，使，但，不存在，使，故A错误；由且，都有，但，不存在，使，故B错误；由且，使，但，不存在，使，故C错误；对所有的，可设，则，①满足加法结合律，即，；②，使得，有；③，设，，使，正确.故选D.
【点拨】本题考查群的新定义，通过验证群的四个公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）来判断集合与运算是否构成群.
28.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ 　　）
A. （是虚数单位） B. （是虚数单位）
C. D.
【答案】ACD
【解析】对于A、B，由，两边求导得，，，又，，故A正确，B错误；对于C，已知，则.因为，则，即成立，故C正确；对于D，，，当，；；；，，所以，所以成立，故D正确.故选ACD.
【点拨】本题考查泰勒公式的应用，通过代数变形与放缩法证明不等式，结合复数指数形式推导欧拉公式.
29.（2026·承德强基联盟·一模）（多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究. 函数就是一个“局部周期递归函数”. 则下列说法正确的有（ 　　）
A. 函数的值域为 B. 函数在上单调递减 C. 方程有个不同的解 D. 若方程有个不同的解，则
【答案】ACD
【解析】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，，作出函数的图象如下：由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有个交点，则方程有个不同的解，故C正确；对于D，令，因为方程有个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选ACD.
【点拨】本题考查分段函数的图象与性质，结合复合方程根的个数问题，利用数形结合和二次方程根的分布求解.
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
30.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为，. 若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”.
（1） 求函数在上的最大“凸点”；
（2） 若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3） 设，且，，证明：在上的“凸点”个数不小于.
【答案】（1）
（2）
（3） 证明见解析
【解析】（1） 由，可得：，当或时，，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，极小值为，又因为，所以对，，当时，都有，即在上的最大“凸点”为.
（2） 因为函数在上不存在“凸点”，所以在时恒成立，，令，，则，，①当时，恒成立，故在上单调递减，则，故在上单调递减，此时，符合要求；②当时，令，则，（i）当，即时，，即在上单调递增，则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，则，故在上单调递减，此时，符合要求；（iii）当，即时，若，，若，，即在上单调递减，在上单调递增，则若需恒成立，有，解得，因为，且，即当时，符合要求；综上所述，；
（3） 若在上的“凸点”个数为，则，符合要求；若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为，其中，，，若，则若，由，则，即，若，由题意，，，故，即，又，故，符合要求；若，则，，…，，由，则，若，即，则，若，由题意，，且，又，故，即，，…，，即有，即，由，故，又，故，即在上的“凸点”个数不小于.
【点拨】本题考查导数在研究函数单调性与极值中的应用，结合新定义“凸点”的概念，通过构造函数并分类讨论参数的取值范围，最后利用数列的差分法证明不等式.
31.（2026·稳派联考·3月检测）已知是定义在区间上的可导函数，其导函数为. 在上的值域分别为，若，则称为“一阶跳跃函数”，若，且，则称为“二阶跳跃函数”.
（1） 若，判断是否是“一阶跳跃函数”？
（2） 若是上的“一阶跳跃函数”，求整数的最小值；
（3） 若是上的“二阶跳跃函数”，求的取值范围.
【答案】（1） 不是
（2）
（3）
【解析】（1） 因为，所以，设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，所以，是上的“一阶跳跃函数”.
（2） 因为，所以，因为是上的“一阶跳跃函数”，所以当时，，即，设，则，设，则在区间上单调递增，且，所以存在，使得，即，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以的最小值为.
（3） 因为，所以，因为，，所以不恒成立，所以恒成立，即恒成立.设，，设，则当时，，当时，，，，所以在区间上单调递减，若，则，则存在，使得，，单调递减，当，，即，不满足题意；若，则，则存在，使得时，，单调递增，当，，即，不满足题意；若，则，，即，综上得，.当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且，，，所以.当时，，因为，所以在区间上单调递减，且，，所以，所以的取值范围是.
【点拨】本题考查导数在研究函数性质中的应用，结合新定义“跳跃函数”，通过构造函数并利用导数求出参数的取值范围.
32.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知函数，若，使得，且，则称与是“类和谐函数”；若，使得，且，则称与是“类和谐函数”.
（1） 若与是“类和谐函数”，求与的图象在公共点处的切线方程；
（2） 若与是“类和谐函数”，求与的值；
（3） 求证：与是“类和谐函数”.
【答案】（1）
（2） 或
（3） 证明见解析
【解析】（1） 因为与是“类和谐函数”，所以关于的方程组有且仅有个解.由，解得，故与是“类和谐函数”，与的图象在公共点处的切线方程均为，即.
（2） 由，得.因为与是“类和谐函数”，所以关于的方程组有且仅有个解.由，得，解得或，即当时，仅存在，使得，且，故；当时，仅存在，使得，且，故；所以或.
（3） 证明：因为，所以.要证与是“类和谐函数”，只需证仅有解.当时，，方程无解.当时，令，则.当时，（此处可构造，，函数单调递减，故，故），所以.当时，，所以.所以当时，所以在上单调递减，又，，所以方程，在上有唯一解，所以在上仅有解，不妨设为.又在上，所以，所以.所以与为“类和谐函数”.
【点拨】本题考查新定义“和谐函数”，通过方程组求解参数，利用导数研究函数的单调性与零点个数，证明不等式.
33.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”.
（1） 试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明）
①；②；③；
（2） 已知实数，是在上的“下域函数”，求实数的取值范围；
（3） 求证：.
【答案】（1） ①是“上域函数”，②③是“下域函数”
（2）
（3） 证明见解析
【解析】（1） ①是“上域函数”，②③是“下域函数”.
（2） 由题意知，当时，；整理得：时，，符合题意；当时，应有；构造函数，，，令，，当时，，所以在上递增，因为，所以当时，，，故在上单调递增，而时，，综上，若要满足，的取值范围为.
（3） 构造函数，代入，，累加得：，故仅需证：，构造函数，其中，，在上单调递减，，即，，当时，，，原命题得证.
【点拨】本题考查新定义“上域函数”与“下域函数”，通过构造函数并利用导数求最值，结合放缩法证明数列不等式.
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
34.（2026·江西G20联盟·5月预测）设函数，则（ 　　）
A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 有一个实根 D. 有两个实根
【答案】B
【解析】因为，所以表示点两点间的距离，表示点到直线的距离，点在抛物线上，过点作，垂足为，则函数表示，点到直线的距离为，则当三点共线且在线段上时，有最小值，最小值为，故A错误，B正确；无解，故C错误；有一个实根，故D错误.故选B.
【点拨】本题考查函数最值问题，通过代数式的几何意义，将其转化为抛物线上的动点到定点与定直线的距离之和求最值.
35.（2025·江西优创名校·4月联考）函数的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，当时，，当时，如图，设，，则，由图可知，的最小值为点到直线的距离.因为直线的方程为，即，所以，故的最小值为.故选C.
【点拨】本题考查函数最值问题，通过代数式的几何意义，将其转化为两点间距离与点到直线距离之和求最值.
36.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题设，即，故且为常数，而，则，故，所以，令，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，且时恒成立，，若是的一条切线，且，而，所以切线对应为，即，令，显然，，所以，在上恒成立，即在上恒成立，则，所以图象恒在和图象的上方，又与平行，要使最小，等价于求与的最小距离，即为.
【点拨】本题考查导数的应用，通过构造函数求出原函数的解析式，再利用导数求出与已知直线平行的切线，转化为两平行线间的距离求最值.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
37.已知函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则当取最大值时，（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，设，则，在上单调递增，在上单调递减，，设，画出函数的图象如图.对任意的实数，总存在，使得成立，等价于求最大值中的最小值，由图象可知当时，取得最大值，此时，故选A.
【点拨】本题考查含绝对值函数的最值问题，通过构造函数，利用数形结合，将问题转化为求曲线与直线间铅锤距离的最大值中的最小值.
38.已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，又对任意的实数，，则，可看作横坐标相同时，函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，又，作示意图如图所示：设，则直线的方程，设与相切，则，得，有，得或，由图知，切点，则，当直线与平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时，，故.故选B.
【点拨】本题考查含绝对值函数的最值问题，通过构造函数，利用数形结合，将问题转化为求曲线与直线间铅锤距离的最大值中的最小值.
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
39.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”. 若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为、的单调性相同，所以为定义域上的增函数，因为存在使得在上的值域为，所以，即有两解，即在上有两个不相等的实数根，令，则在上有两个不同的解，所以，解得，故选D.
【点拨】本题考查新定义“成功函数”，通过分析函数的单调性，将值域问题转化为方程有两解问题，再利用换元法和二次方程根的分布求解.
40.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（ 　　）
A. 函数存在“和谐区间” B. 函数不存在“和谐区间”
C. 函数存在“和谐区间” D. 函数不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”，则①在内是单调函数；②或，若，若存在“和谐区间”，则此时函数单调递增，则由，得，，存在“和谐区间”，A正确.若，若存在“和谐区间”，则此时函数单调递增，则由，得，即是方程的两个不等的实根，构建函数，，所以函数在上单调减，在上单调增，函数在处取得极小值，且为最小值，，，，无解，故函数不存在“和谐区间”，B正确.若函数，，若存在“和谐区间”，则由，得，，即存在“和谐区间”，C正确.若函数，不妨设，则函数定义域内为单调增函数，若存在“和谐区间”，则由，得，即是方程的两个根，即是方程的两个根，由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区间”，D结论错误.故选D.
【点拨】本题考查新定义“和谐区间”，通过分析函数的单调性，将区间问题转化为方程有两解问题，再利用导数或二次方程根的分布求解.
41.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”. 下列函数中存在“倍值区间”的有
①；②；
③；④（ 　　）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图象与直线有交点，①与直线有交点是，；②对于，构造函数，；所以没有零点，即与直线没有交点；③与直线的交点是，.④解方程，即，，当，无解；有两解.故不满足题意.选C.
【点拨】本题考查新定义“倍值区间”，通过分析函数的单调性，将区间问题转化为图象交点问题，再利用导数或二次方程根的分布求解.
42.函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”. 下列结论错误的是（ 　　）
A. 函数存在级“理想区间”
B. 函数不存在级“理想区间”
C. 函数存在级“理想区间”
D. 函数不存在级“理想区间”
【答案】D
【解析】A中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以存在级“理想区间”，所以A正确；B中，当时，在上是单调增函数，且在上的值域是，所以不存在级“理想区间”，所以B正确；C中，由，得，当时，，所以在上为增函数，假设存在，使得，则有，即，由，得或，所以当时，满足条件，即区间为，所以C正确；D中，若存在“级理想区间”，则是方程的两个根，由和在内有个交点，如图所示，所以该方程存在两个不等的根，故存在“级理想区间”，所以D错误，故选D.
【点拨】本题考查新定义“理想区间”，通过分析函数的单调性，将区间问题转化为方程有两解问题，再利用导数或数形结合求解.
考法16：根据函数不动点求参数
43.设函数为自然对数的底数，若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，由题意，存在，使成立，即存在，使成立，所以，即，所以，所以存在，使与有交点，对，，求导得，设，则，令，即；令，即，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以在上单调递增，又，，要使与有交点，则，所以的取值范围是.故选A.
【点拨】本题考查函数不动点与方程有解问题，将不动点方程转化为参数分离形式，再利用导数求出函数的值域.
44.设函数，若曲线是自然对数的底数上存在点使得，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以在上有解.因为（易证），所以函数在上单调递增，因此由得在上有解，即，因为，选C.
【点拨】本题考查复合函数方程的解，利用函数的单调性将转化为，再通过参数分离和导数求值域.
45.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点. 设函数为自然对数的底数，定义在上的连续函数满足，且当时，. 若存在，且为函数的一个不动点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】依题意知，令，，所以，所以为奇函数，因为，且当时，，所以当时，，单调递减，所以在上单调递减，由，得，即，所以，即，所以，因为为函数的一个不动点，所以，即，所以，即关于的方程在上有解.令，，则，所以在上单调递减，所以，要使关于的方程在上有解，则，即实数的取值范围为.
【点拨】本题考查函数不动点与方程有解问题，通过构造奇函数研究单调性，将不等式转化为自变量的范围，再利用导数求出参数的取值范围.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
46.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过轴时，其图象都仍然是一个函数的图象.因为在是减函数且，当且仅当时等号成立，故函数的图象的切线中，在处切线的倾斜角最大，其值为.由此可知.故选D.
【点拨】本题考查函数图象的旋转变换，将旋转后仍为函数图象的条件转化为切线斜率的最值问题.
47.双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题，其中真命题的个数为（ 　　）
①是奇函数；
②的图象过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】双曲线关于坐标原点对称，可得旋转后得到的函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，故①正确；双曲线的顶点为，渐近线方程为，可得的图象渐近线为和，图象关于直线对称，所以的图象过点或，由图象的对称性可得，逆时针旋转度，位于一、三象限，按顺时针旋转度，位于二、四象限；故②正确；逆时针旋转度，位于一、三象限，由图象可得顶点为或，不是极值点，则的值域不是，顺时针旋转度，位于二、四象限，由图象的对称性知的值域不是，故③错误；当的图象位于一、三象限时，的图象与直线有个交点，函数有两个零点，当的图象位于二、四象限时，的图象与直线没有交点，函数没有零点，故④错误，故选C.
【点拨】本题考查双曲线图象的旋转变换，结合双曲线的渐近线、顶点及对称性，分析旋转后函数的性质.
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
48.定义域为的函数满足，当时，. 若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当，则，则，即为，当，则，则.当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为.综上可得，在的最小值为.若时，恒成立，则有.解得.当时，的最大值为，当时，，当时，，即有在上的最大值为.由，即为，解得，综上，即有实数的取值范围是.故选C.
【点拨】本题考查分段函数的解析式求解及最值问题，通过递推关系求出各段的解析式，进而求出最值，转化为不等式恒成立问题求解.
49.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前项和的值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】时，，最大值为，时，，易知时，递增，时，递减，因此最大值为，综上，，，即，又，即，当时，，，是等比数列，公比为，.故选D.
【点拨】本题考查函数的周期性与最值，结合数列求和.先求出第一个周期内的最大值，再利用递推关系得到最大值数列为等比数列，最后利用等比数列求和公式求解.
考点七：V型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
50.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.当时，，所以，在上单调递增；当时，，在上不单调；当时，，所以，在上单调递减.综上，.故选C.
【点拨】本题考查含绝对值函数的单调性，通过分类讨论去掉绝对值符号，结合指数函数的单调性进行分析.
51.已知等差数列满足：，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，不为常数列，且数列的项数为偶数，设为，则一定存在正整数使得，或，，不妨设，，即，，，从而得，数列为单调递增数列，，，且，，，同理，即，，，根据等差数列的性质，，，，，所以的最大值为.故选C.
【点拨】本题考查等差数列的性质与绝对值求和，通过分析绝对值函数的平底特征，结合等差数列的单调性确定项的符号，进而求出项数的最大值.
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
52.已知与是个不同的实数，若关于的方程解集是有限集，则集合中，最多有＿＿＿＿＿＿个元素.
【答案】
【解析】将关于的方程解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题.不妨令，，由于，，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等.当的和与的和相等时，此时两个函数射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾；不妨令的和小于的和即，，两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能.不妨认为左边的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素.
【点拨】本题考查含绝对值方程的解的个数问题，通过构造函数，利用绝对值函数的图象特征（折线图）进行分析，数形结合求解.
第 2 页，共 17 页第18讲 函数的综合应用 · 分类练习
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
1.已知数列，满足， ，设数列的前项和为，则以下结论正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
2.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
3.已知数列满足：，且，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若，则 B. 若，则
C. D.
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
4.（2026·江西五市十校·3月联考）（多选）若，数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列
C. D. 数列的通项公式为
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
5.已知函数，将的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列，对于，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. B.
C. 数列是递增数列 D.
6.（2026·河南濮阳·二模）（多选）已知定义在上的函数满足：，其中表示不超过的最大整数.当时，，设数列满足，数列为从小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（ 　　）
A. 数列为等比数列 B. ，使得
C. 数列的通项公式 D. ，都有
7.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若，证明：函数有唯一极大值点，且；
（3） 记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
8.已知函数是定义域为的函数，，对任意()，均有，已知()为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（ 　　）
A. B. C. D.
9.（2026·山东青岛·一模）（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 在区间上单调递增
B. 恰有两个零点
C. 不等式的解集为
D. 若，则的最小值为
10.（2025·河北名校协作体·一模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A.
B.
C. 函数的值域为
D. 关于的方程有且仅有一个实数根
11.关于的不等式，解集为＿＿＿＿＿＿.
考法5：构造函数比较大小或解不等式
12.（2025·福建福九联盟·5月联考）已知可导函数是定义在上的奇函数.当时，，则的解集为（ 　　）
A. B. C. D.
13.（2026·河北名校协作体·一模）（多选）设且，，若，则下列大小关系可能成立的有（ 　　）
A. B. C. D.
考法6：双变量不等式恒成立求参数
14.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数定义域为，，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
15.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，.
（1） 当时，求的单调递减区间；
（2） 若在区间上，为增函数，求的取值范围；
（3） 若时，的最小值为，求.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
16.（2025·河北沧州五县·一模）已知函数，则下列说法中正确的是（ 　　）
A. 对任意的，都有
B. 当时，有两个实根
C. 若关于的方程且在上只有一个解，则的取值范围为
D. 若方程有两个不同的根，且恒成立，则
17.（2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断）已知函数.
（1） 当时，求函数的最值；
（2） 讨论方程的解的个数；
（3） 若方程存在两个解，且满足，证明：.
考法8：函数交点与面积最值
18.（2026·江苏前黄高中·攀登行动二）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（ 　　）
A. B. C. D.
19.（2026·长沙师大附中·一模）已知为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点，当取最小值时，＿＿＿＿＿＿.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
20.（2026·八省T8联考·4月联合测评）（多选）已知则（ 　　）
A. 当时，为增函数
B. 当时，的值域为
C. 当时，图象上存在关于原点对称的两点
D. 若，，使得恒为常数
21.（2026·合肥一六八中学·一模）已知函数.
（1） 若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2） 若，且，求实数的取值范围.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
22.（2026·山东九五协作体·一模）（多选）高斯函数又称为下取整函数，表示不超过的最大整数，比如，. 设，，则（ 　　）
A. 是奇函数 B. 是周期函数
C. 的值域为 D. 方程有且仅有个实数根
23.（2026·山东泰安·三模）（多选）已知函数，则下列选项正确的是（ 　　）
A. 是偶函数
B. 在上单调递减
C. 的极值点为
D. 在上且仅有个零点
24.（2024·深圳光明区高中·5月模考）（多选）已知函数是定义域为的可导函数，. 若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ 　　）
A.
B. 曲线在点处的切线的斜率为
C. （是的导函数）
D. 的图象关于点对称
25.（2025·江西十校·二模）（多选）如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于直线对称
B. 的弦长最大值大于
C. 直线被截得弦长的最大值为
D. 的面积小于
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
26.（2026·浙江金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ 　　）
A. （不超过的最大整数）
B.
C.
D.
27.（2025·江西萍乡实验大联考·一模）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中有着重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明. 群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设是一个非空集合，“”是上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：①对任意的，有；②对任意的，有；③存在，使得对任意的，有，称为单位元；④对任意的，存在，使，称与互为逆元. 则称关于“”新构成一个群. 则下列说法不正确的是（ 　　）
A. 关于数的乘法构成群
B. 自然数集关于数的加法构成群
C. 实数集关于数的乘法构成群
D. 关于数的加法构成群
28.（2025·河北沧州五县·一模）（多选）泰勒公式通俗的讲就是用一个多项式函数去逼近一个给定的函数，也叫泰勒展开式，下面给出两个泰勒展开式
由此可以判断下列各式正确的是（ 　　）
A. （是虚数单位） B. （是虚数单位）
C. D.
29.（2026·承德强基联盟·一模）（多选）“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究. 函数就是一个“局部周期递归函数”. 则下列说法正确的有（ 　　）
A. 函数的值域为
B. 函数在上单调递减
C. 方程有个不同的解
D. 若方程有个不同的解，则
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
30.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为，. 若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”.
（1） 求函数在上的最大“凸点”；
（2） 若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3） 设，且，，证明：在上的“凸点”个数不小于.
31.（2026·稳派联考·3月检测）已知是定义在区间上的可导函数，其导函数为. 在上的值域分别为，若，则称为“一阶跳跃函数”，若，且，则称为“二阶跳跃函数”.
（1） 若，判断是否是“一阶跳跃函数”？
（2） 若是上的“一阶跳跃函数”，求整数的最小值；
（3） 若是上的“二阶跳跃函数”，求的取值范围.
32.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知函数，若，使得，且，则称与是“类和谐函数”；若，使得，且，则称与是“类和谐函数”.
（1） 若与是“类和谐函数”，求与的图象在公共点处的切线方程；
（2） 若与是“类和谐函数”，求与的值；
（3） 求证：与是“类和谐函数”.
33.（2026·浙江北斗星盟·5月联考）对于定义在区间上的函数，若对，都有，则称为在区间上的“上域函数”；若对，都有，则称为在区间上的“下域函数”.
（1） 试判断以下函数中，哪些是在上的“上域函数”？哪些是在上的“下域函数”？（直接写出结论，无需证明）
①；②；③；
（2） 已知实数，是在上的“下域函数”，求实数的取值范围；
（3） 求证：.
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
34.（2026·江西G20联盟·5月预测）设函数，则（ 　　）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 有一个实根 D. 有两个实根
35.（2025·江西优创名校·4月联考）函数的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
36.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
37.已知函数，对于任意的实数，总存在，使得成立，则当取最大值时，（ 　　）
A. B. C. D.
38.已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
39.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”. 若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
40.设函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：（1）在上是单调函数；（2）在上的值域是，则称区间是函数的“和谐区间”，下列结论错误的是（ 　　）
A. 函数存在“和谐区间”
B. 函数不存在“和谐区间”
C. 函数存在“和谐区间
D. 函数不存在“和谐区间”
41.函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”. 下列函数中存在“倍值区间”的有
①；②；
③；④（ 　　）
A. ①②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①③
42.函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”. 下列结论错误的是（ 　　）
A. 函数存在级“理想区间”
B. 函数不存在级“理想区间”
C. 函数存在级“理想区间”
D. 函数不存在级“理想区间”
考法16：根据函数不动点求参数
43.设函数为自然对数的底数，若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
44.设函数，若曲线是自然对数的底数上存在点使得，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
45.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点. 设函数为自然对数的底数，定义在上的连续函数满足，且当时，. 若存在，且为函数的一个不动点，求实数的取值范围.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
46.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
47.双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图象，关于此函数有如下四个命题，其中真命题的个数为（ 　　）
①是奇函数；
②的图象过点或；
③的值域是；
④函数有两个零点.
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
48.定义域为的函数满足，当时，. 若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
49.已知定义域为的函数满足，当时，，设在上的最大值为则数列的前项和的值为（ 　　）
A. B. C. D.
考点七：V型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
50.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
51.已知等差数列满足：，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
52.已知与是个不同的实数，若关于的方程解集是有限集，则集合中，最多有＿＿＿＿＿＿个元素.
第 2 页，共 17 页第18讲 函数的综合应用 · 讲义（解析卷）
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：函数与数列的综合 3
考点二：函数与不等式的综合 5
考点三：函数中的创新题 9
考点四：最大值的最小值问题 14
考点五：函数特定方程与区间问题 15
考点六：函数的图象变换 16
考点七：V型函数与平底函数 17
四、高考真题 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 6（单选）、19（解答） 22分 直接 结合导数求函数最值、基于新定义判断抽象函数性质并证明单调性
2026 4（单选） 5分 间接 利用导数求切线方程
2025 8（单选）、19（解答） 22分 直接 构造函数比较对数与多项式大小、结合导数求最值与证明三角不等式
2025 5（单选） 5分 间接 利用函数的周期性与奇偶性求值
2024 6（单选）、8（单选）、10（多选）、18（解答） 33分 直接 分段函数单调性求参、抽象函数递推推理、导数研究函数性质、新定义“金字塔函数”综合探究
2024 13（填空） 5分 间接 利用导数求公切线方程并求解参数
近三年高考对函数的综合应用考查频次极高，分值占比大.常以客观题压轴或解答题压轴的形式出现，既有直接考查构造函数、新定义探究，也有与导数、不等式等知识的深度交汇.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性的综合运用，以及基于导数工具的极值、最值求解与不等式证明.
· 命题趋势：创新题型（如新定义函数、抽象函数方程）频繁出现，对学生的阅读理解能力和即时学习转化能力要求不断提高.
· 试题特点：综合性强，常将函数与方程、不等式、数列等模块深度融合，注重考查化归与转化、数形结合等核心数学思想.
3. 备考策略
· 夯实函数基础性质，熟练掌握利用导数工具研究函数单调性、极值与最值的标准流程.
· 强化构造函数解题的意识，面对复杂方程或不等式时，能够敏锐地分离变量或提取同构特征.
· 针对新定义与创新题，加强阅读理解训练，学会将陌生概念翻译为熟悉的数学语言（如对称性、单调性等）.
二、知识清单
1. 函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
· 当 为奇数时，函数 的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值；
· 当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线 对称.
2. 若 为 上的连续单峰函数，且 ， 为极值点，则当 变化时， 的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得.
三、典题精讲
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
例1.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，解得或.由零点存在性定理得.∴当时，，数列单调递减.∵，∴，同理，.迭代下去，可得，数列单调递减.故选项B和选项C都错误.又.∴，故D错误.对于A，，而.∴，故A正确.故选A.
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
例2.（2026·江西五市·三月）（多选）若，数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列
C. D. 数列的通项公式为
【答案】ABC
【解析】对于 A 选项：
由题意，令 ，解得 ，即函数 的定义域为 .
将 变形为 .
令 ，则其定义域为 .
计算 .
提取负号得 .
所以 ，即 ，整理可得 .
故函数 关于点 成中心对称，A 选项正确.
对于 B、D 选项：
由题意知，当 时，.
当 时，有 .
将两式相减得：.
即 ，整理得 .
从而 （）.
又因为 ，当 时，代入 ，解得 .
此时 ，说明递推式 对 也成立.
由此可得 .
所以 （）.
这说明数列 是以 为首项， 为公差的等差数列.
故 B 选项正确，D 选项错误.
对于 C 选项：
由 B 选项的结论可知 ，则有 .
结合 A 选项中函数对称性结论 ，可得 .
展开所求和式：
将其首尾配对得：
式中共有 个配对项，每对之和均为 .
而中间项 ，代入原函数得 .
故 .C 选项正确.
故选：ABC.
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
例3.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若，证明：函数有唯一极大值点，且；
（3） 记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
【答案】（1） 在上单调递增，在上单调递减
（2） 证明见解析
（3） 否，理由见解析
【解析】（1） 当时，，.令，得.令，得.∴在区间上单调递增；在区间上单调递减.
（2） 证明：.令，∵，∴.∴存在唯一实数，时，在区间上单调递增；时，在区间上单调递减.∴函数有唯一极大值点.要证成立，即证，即证，即证，即证成立.设，则，令，则.∴函数在区间上单调递增.∴.∴，即成立.∴.
（3） 时，，其中时，.∴.∴.∴.∴数列是等比数列，公比为.
【考点一 方法总结】
· 处理函数迭代生成的数列问题，核心在于研究函数图象与直线的相对位置关系，利用单调性确定数列的增减性，并结合有界性进行放缩求和.
· 当遇到复杂对数型或分式型函数求和时，优先检验函数的奇偶性或对称性.若存在对称中心，则可将求和项首尾配对，转化为常数求和.
· 证明含有极值点的不等式时，通常利用极值点满足的导数为零的条件进行代换（即“极值点偏移”或“隐零点”代换），将超越式转化为多项式或单变量函数，再利用单调性证明.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
例4.（2025·河北名校·一模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A.
B.
C. 函数的值域为
D. 关于的方程有且仅有一个实数根
【答案】AB
【解析】令，得，解得或.若，则令，可得，则，此时，，显然不恒成立.若，同理可得，且恒成立，故，，A正确.易知是偶函数，且在上单调递增.因为，且等号不能同时成立，所以，则，则，B正确.，易得的值域为，C不正确.等价于.当时，等价于.令，则.当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故是原方程的根.当时，等价于，易得函数在上单调递增，因为，，所以原方程在内有一个根.故D不正确.故选AB.
考法5：构造函数比较大小或解不等式
例5.（2026·河北名校·一模）（多选）设且，，若，则下列大小关系可能成立的有（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】∵且，，，∴.又，∴.构造函数，则的定义域为，，∴在上单调递减，又，∴当时，，即，∴，∴，故CD正确；当时，，即，∴，∴，故AD正确，B错误.故选ACD.
考法6：双变量不等式恒成立求参数
例6.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，.
（1） 当时，求的单调递减区间；
（2） 若在区间上，为增函数，求的取值范围；
（3） 若时，的最小值为，求.
【答案】（1） 单调递减区间为
（2）
（3）
【解析】（1） 的定义域为，，，，当时，恒成立，在区间上单调递增；当时，令，得，当时，；当时，，因此，在区间上单调递减，在区间上单调递增.综上所述，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2） ，易知，由（1）知：①当时，是上的增函数，且，∴无极大值，不合题意，②当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴.当，即时，，在上单调递增，无极大值，不合题意；当，即时，时，，，，∴是唯一极大值点，不合题意；当，即时，时，，时，，∴函数在上无极大值，∵，，易证，∴，使，当时，，时，，∴为的极大值点，且.由，得，∴.要证，即证，∵，∴需证，令，则，∴在上为减函数，故，∴，即成立，故.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
例7.（2026·浙江Z20·三诊）已知函数.
（1） 当时，求函数的最值；
（2） 讨论方程的解的个数；
（3） 若方程存在两个解，且满足，证明：.
【答案】（1） 最大值为，无最小值
（2） 见解析
（3） 证明见解析
【解析】（1） 当时，，求导可得，函数在单调递增，在单调递减.函数有最大值，无最小值.
（2） 函数是奇函数，始终是方程的一个解.不妨令，，可化简为.构造函数，求导可得，，.①当，恒成立，因此在单调递增.故，在单调递增，故.即方程在无解.根据函数是奇函数可知在也无解.②当，由，可得在单调递减，在单调递增.由，，可得，存在使.当，单调递减；当，单调递增.，，函数在有且只有一个零点.即方程在有一个解.根据函数是奇函数可知在有另一个根.综上，当，方程有一个解；当，方程有三个解.
（3） 由（2）可得此时，且，.即证：.∵是方程的解，代入可得，消可得.设，，.函数在单调递增，∴.又∵，∴.
考法8：函数交点与面积最值
例8.（2026·师大附中·一模）已知为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点，当取最小值时，＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设，，则，，，令，则，若，，单调递增，最多一个零点，不符题意；若，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，得.不妨设，则，，令，则，由两边对求导得，∴，同理，∴，∵，∴当时，，此时取得最小值，将代入，得，令，，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，又，，，∴，，∴，当取最小值时，.
【考点二 方法总结】
· 处理抽象函数方程，赋值法是探路先锋.求出解析式后，将其转化为具体函数的性质研究，利用导数分析单调性与极值，是解决零点与不等式问题的通用手段.
· 比较双变量代数式大小时，若已知条件为等式，常通过代数变形将两变量分离至等号两侧，构造形式相同的函数，利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
· 处理含参函数的单调性与极值问题，分类讨论是核心.讨论的标准通常是导函数的零点是否存在，以及零点与定义域区间的相对位置关系.
· 研究方程解的个数或证明不等式，常将问题转化为两个函数图象的交点问题.通过构造差函数，利用导数确定其单调性与极值，进而判断零点分布.
· 在函数图象交点与几何图形面积综合题中，将面积表示为单变量函数是关键.若直接求导困难，可考虑利用方程组的结构特征进行隐函数求导，寻找极值点.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
例9.（2026·合肥一六八·一模）已知函数.
（1） 若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2） 若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 令，∵在上单调递增，∴要使在上单调，只需在上单调，且恒成立.①当时，在上单调递增，∴，解得，∴；②当时，在上单调递减，∴，解得，∴；③当时，，，不符合题意.综上，实数的取值范围是.
（2） ，由得，∴的定义域为.∵，∴为奇函数.又∵在上单调递增，在上单调递增，∴在上单调递增.由，得，∴，解得.∴实数的取值范围是.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
例10.（2024·深圳光明·五月）（多选）已知函数是定义域为的可导函数，. 若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B. 曲线在点处的切线的斜率为 C. （是的导函数） D. 的图象关于点对称
【答案】BD
【解析】已知 .
对其求导得：
令 ，在区间 内解得 或 .
代入计算极值：
当 时，.
由于 为奇函数，故当 时取得极小值 .
因此， 的值域为 .
对于 C 选项：
因为 的取值范围约为 ，由高斯函数（下取整函数）的定义 可知：
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，.
故 的值域为 ，C 选项错误.
对于 A 选项：
取 ，则 .
此时 .
又 ，则 .
因为 ，即不满足奇函数的定义，故 A 选项错误.
对于 B 选项：
因为 .
所以 .
这说明 是以 为周期的周期函数，B 选项正确.
对于 D 选项：
方程 即 .
由于下取整函数的结果必定为整数，所以实数根 只能是整数.
结合 C 选项中求得的值域 ，方程的根只可能在这四个整数中产生.
① 当 时：.因为 弧度 ，所以 ，，从而 .又 ，故 ，此时 ，等式成立， 是根.
② 当 时：，，等式成立， 是根.
③ 当 时：.由前述知 ，故 ，从而 ，等式不成立.
④ 当 时：.因为 弧度 ，处于第二象限， 且 ，易知 .所以 .又 且 ，故 .即 ，从而 ，此时 ，等式不成立.
综上所述，方程有且仅有 和 两个实数根，D 选项正确.
故选：BD.
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
例11.（2026·金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ 　　）
A. （不超过的最大整数） B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于选项A，若，则对于任意的，都有，由已知，故函数的图象夹在平行直线和之间，故函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项B，若，∵为增函数，故函数为增函数，且函数的值域为，∴函数为减函数，函数的值域为，因此在上单调递增，且函数的值域为，故函数的图象夹在平行直线和之间，∴函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项C，若，则恒成立，当且仅当时取等号，∴函数在上单调递增，由得，故函数的图象夹在平行直线和之间，∴函数满足“阶梯形函数”的定义，是阶梯形函数；对于选项D，若，则，当时，，，故，当时，，，故，∴对于任意的，，故函数在上单调递增，假设存在两条平行直线，和，则对任意需要，但当时，三次项增长速度远快于一次项，，矛盾，故的图象无法被两条平行直线夹住，不满足条件，因此函数不满足“阶梯形函数”的定义，不是阶梯形函数.故选D.
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
例12.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为，. 若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”.
（1） 求函数在上的最大“凸点”；
（2） 若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3） 设，且，，证明：在上的“凸点”个数不小于.
【答案】（1）
（2）
（3） 证明见解析
【解析】（1） 由，可得：，当或时，，当时，，∴函数在和上单调递增，在上单调递减，故的极大值为，极小值为，又∵，∴对，，当时，都有，即在上的最大“凸点”为.
（2） ∵函数在上不存在“凸点”，∴在时恒成立，，令，，则，，①当时，恒成立，故在上单调递减，则，故在上单调递减，此时，符合要求；②当时，令，则，（i）当，即时，，即在上单调递增，则，即在上单调递增，有，不符合要求，故舍去；（ii）当，即时，恒成立，故在上单调递减，则，故在上单调递减，此时，符合要求；（iii）当，即时，若，，若，，即在上单调递减，在上单调递增，则若需恒成立，有，解得，∵，且，即当时，符合要求；综上所述，；
（3） 若在上的“凸点”个数为，则，符合要求；若在上的“凸点”个数为，令在上的“凸点”分别为，其中，，，若，则若，由，则，即，若，由题意，，，故，即，又，故，符合要求；若，则，，…，，由，则，若，即，则，若，由题意，，且，又，故，即，，…，，即有，即，由，故，又，故，即在上的“凸点”个数不小于.
【考点三 方法总结】
· 研究复合函数的单调性，必须严格遵循“同增异减”法则，同时不可忽视内层函数的值域必须满足外层函数的定义域这一隐含条件.
· 抽象函数的对称性推导依赖于代数恒等式的灵活变形.若，则关于直线对称；若，则关于点中心对称.
· 破解新定义问题，首要是将陌生定义“翻译”为熟悉的数学语言.如“夹在两条平行直线之间”实质上是要求函数具有有界性.
· 新定义往往是对某种已知性质的重新包装.“凸点”本质上是对函数局部最大值或单调递增区间的刻画.结合导数工具精确划分单调区间是解题基础.
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
例13.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由题设，即，故且为常数，而，则，故，∴，令，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，且时恒成立，，若是的一条切线，且，而，∴切线对应为，即，令，显然，，∴，在上恒成立，即在上恒成立，则，∴图象恒在和图象的上方，又与平行，要使最小，等价于求与的最小距离，即为.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
例14.已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由存在，使得成立，故，又对任意的实数，，则，可看作横坐标相同时，函数与函数图象上的纵向距离的最大值中的最小值，又，作示意图如图所示：设，则直线的方程，设与相切，则，得，有，得或，由图知，切点，则，当直线与平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，函数与图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，此时，，故.故选B.
【考点四 方法总结】
· 遇到形如根号下平方和的代数式，应敏锐地联想到两点间距离公式或点到直线的距离公式.通过构造几何模型，利用数形结合化繁为简.
· 处理“最大值中的最小值”这类双层最值问题，数形结合是最高效的手段.通常固定一个函数图象，平移或旋转另一个函数图象，在相切或对称的临界位置寻找最优解.
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
例15.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”. 若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵、的单调性相同，∴为定义域上的增函数，∵存在使得在上的值域为，∴，即有两解，即在上有两个不相等的实数根，令，则在上有两个不同的解，∴，解得，故选D.
考法16：根据函数不动点求参数
例16.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点. 设函数为自然对数的底数，定义在上的连续函数满足，且当时，. 若存在，且为函数的一个不动点，求实数的取值范围.
【答案】
【解析】依题意知，令，，∴，∴为奇函数，∵，且当时，，∴当时，，单调递减，∴在上单调递减，由，得，即，∴，即，∴，∵为函数的一个不动点，∴，即，∴，即关于的方程在上有解.令，，则，∴在上单调递减，∴，要使关于的方程在上有解，则，即实数的取值范围为.
【考点五 方法总结】
· 当已知函数在某区间上的值域时，若函数单调，可直接利用端点值列方程组；若不单调，则需结合极值点列式.换元法是处理指数型方程的常用技巧.
· 函数的不动点问题即方程的解的问题.当涉及参数时，参数分离法结合导数求值域是最稳妥的通法.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
例17.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都不经过轴时，其图象都仍然是一个函数的图象.∵在是减函数且，当且仅当时等号成立，故函数的图象的切线中，在处切线的倾斜角最大，其值为.由此可知.故选D.
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
例18.定义域为的函数满足，当时，. 若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当，则，则，即为，当，则，则.当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为；当时，当时，取得最小值，且为.综上可得，在的最小值为.若时，恒成立，则有.解得.当时，的最大值为，当时，，当时，，即有在上的最大值为.由，即为，解得，综上，即有实数的取值范围是.故选C.
【考点六 方法总结】
· 函数图象的旋转变换问题，核心在于理解“仍为函数图象”的几何意义，即任意垂直于轴的直线与图象至多有一个交点，这等价于切线倾斜角的范围限制.
· 处理分段周期或递推函数，关键是利用递推式将未知区间上的函数值转化为已知区间上的函数值.求出各段极值后，取全局最值解不等式.
考点七：V型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
例19.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.当时，，∴，在上单调递增；当时，，在上不单调；当时，，∴，在上单调递减.综上，.故选C.
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
例20.已知与是个不同的实数，若关于的方程解集是有限集，则集合中，最多有＿＿＿＿＿＿个元素.
【答案】
【解析】将关于的方程解的个数的问题转化为两个函数图象交点个数的问题.不妨令，，由于，，考查两个函数，可以看到每个函数都是由两条射线与两段折线所组成的，且两条射线的斜率对应相等，两条线段的斜率对应相等.当的和与的和相等时，此时两个函数图象射线部分完全重合，这与题设中方程的解集是有限集矛盾；不妨令的和小于的和即，，两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能.不妨认为左边的射线端点在上，右边射线端点一定在下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素.
【考点七 方法总结】
· 含绝对值函数的单调性问题，零点分段法是根本.剥离绝对值后，确保各分段区间内的单调性一致，且在分界点处满足单调性的衔接要求.
· 多个绝对值相加减构成的函数，其图象必然是折线.分析最外侧射线的斜率与走势，以及折点的相对位置，是判断此类函数图象交点个数的捷径.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，求导得.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.假设在处取得最大值，则必有，即.同时，即.将代入得.若，则，此时，代入原函数得，矛盾.∴，从而，解得.此时.检验：当时，，.当时，，，单调递增；当时，，，单调递减.∴在处取得最大值，符合题意.
2.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，. 对任意，定义集合.
（1）若当时，，求；
（2）若是奇函数，，且，证明：；
（3）设满足：①若，则；②当时，.
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【解析】（1）当时，.集合.设，即求的解集.当时，，解得；当时，，解得.综上，.即，解得.∴.
（2）证明：∵是奇函数，且当时，∴当时，，.易知在上单调递增，值域为；在上单调递增，值域为.已知且，分情况讨论：①当时，由单调性知.此时.∵，∴，从而.②当时，，符合题设.此时，.∵，∴，从而.③当时，由单调性知.此时.∵，∴，从而.综上所述，均有.
（3）（i）证明：假设.∵，∴存在，使得.令，则.由条件①知，.对于，当时，，，∴，从而.即对任意，有.但由于，取，则.由条件②知，当时，，这与矛盾.∴假设不成立，必有.
（ii）证明：要证在单调递增，即证对任意，有.假设存在，使得.由条件①，.任取，令，则，.若取使得，则，从而.即.令，则对满足的任意，有.特别地，由（i）知，若，则对任意，，这说明不存在使得（同理可证对成立）.故可取充分接近，使得，此时可无限逼近.利用条件①的逆否命题，若构造使得且，即可推翻.由于，区间平移后必然存在某点使得函数值关系反转，打破包含关系，从而导出矛盾.∴假设不成立，在单调递增.
3.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，∴.根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根.作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，.故选B.
4.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）.∵，∴，∴.当时，即.当时，即.∴在上为增函数，在为减函数.∴在上的最大值为.
（2）证明：由余弦函数的性质知的解为.若每个与交集都为空，则对每个，必有或之一成立.此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，该整数不满足条件，矛盾.故存在，使得成立.
（3）记.∵，∴为周期函数且周期为，故只需讨论的情况.当时，.当时，，此时.令，则.而，，故.当，在（2）中取，则存在，使得.取，则，取即，故，故.综上，可取使得等号成立.综上，.
5.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得.即的范围是.故选B.
6.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵当时，∴.又∵，则，，，，，，，，，，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选B.
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对A，∵函数的定义域为，而，易知当时，，当或时，.函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确.对B，当时，，∴.而由上可知，函数在上单调递增，∴，错误.对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，∴，即，正确.对D，当时，，∴，正确.故选ACD.
8.（2024·全国一卷）若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”.
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”.（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”.
（3）已知函数为“金字塔函数”，求的取值范围.
【答案】（1）不是
（2）证明见解析
（3）
【解析】（1）不是“金字塔函数”.
（2）证明：∵，∴.∴的图象关于直线对称..∵，，∴得，得.∴在上单调递增，在上单调递减.则存在唯一的极值点，故为“金字塔函数”.
（3）∵为“金字塔函数”，∴.∴.整理得对恒成立，则，得.∴，则.令，则，当且仅当时取等号.当时，，则单调递增，.当时，，在上单调递减.当时，，在上单调递增.则存在唯一的极值点.当时，令，则在定义域上单调递增.当时，，在上单调递减.当时，，在上单调递增.∴.对于且，则，故，∴.当时，，若，则.当时，，若，则.∴存在两个零点.当时，当时，当时.∴在、上单调递增，在上单调递减.由且，得.当时，当时.则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得.∴在、上单调递减，在、上单调递增，则有个极值点，不合题意.综上，的取值范围是.
9.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，∴.当时，切线的斜率.又切点为，∴切线方程为，即.
10.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知对一切成立，于是.故选A.
11.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合，∴，解得.
第 2 页，共 17 页第18讲 函数的综合应用 · 讲义
一、考情分析 1
二、知识清单 2
三、典题精讲 3
考点一：函数与数列的综合 3
考点二：函数与不等式的综合 5
考点三：函数中的创新题 9
考点四：最大值的最小值问题 14
考点五：函数特定方程与区间问题 15
考点六：函数的图象变换 16
考点七：V型函数与平底函数 17
四、高考真题 18
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式
2026 6（单选）、19（解答） 22分 直接 结合导数求函数最值、基于新定义判断抽象函数性质并证明单调性
2026 4（单选） 5分 间接 利用导数求切线方程
2025 8（单选）、19（解答） 22分 直接 构造函数比较对数与多项式大小、结合导数求最值与证明三角不等式
2025 5（单选） 5分 间接 利用函数的周期性与奇偶性求值
2024 6（单选）、8（单选）、10（多选）、18（解答） 33分 直接 分段函数单调性求参、抽象函数递推推理、导数研究函数性质、新定义“金字塔函数”综合探究
2024 13（填空） 5分 间接 利用导数求公切线方程并求解参数
近三年高考对函数的综合应用考查频次极高，分值占比大.常以客观题压轴或解答题压轴的形式出现，既有直接考查构造函数、新定义探究，也有与导数、不等式等知识的深度交汇.
2. 命题角度与特色
· 核心考点：重点考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性的综合运用，以及基于导数工具的极值、最值求解与不等式证明.
· 命题趋势：创新题型（如新定义函数、抽象函数方程）频繁出现，对学生的阅读理解能力和即时学习转化能力要求不断提高.
· 试题特点：综合性强，常将函数与方程、不等式、数列等模块深度融合，注重考查化归与转化、数形结合等核心数学思想.
3. 备考策略
· 夯实函数基础性质，熟练掌握利用导数工具研究函数单调性、极值与最值的标准流程.
· 强化构造函数解题的意识，面对复杂方程或不等式时，能够敏锐地分离变量或提取同构特征.
· 针对新定义与创新题，加强阅读理解训练，学会将陌生概念翻译为熟悉的数学语言（如对称性、单调性等）.
二、知识清单
1. 函数 的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图（1）函数 ，图（2）函数
· 当 为奇数时，函数 的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值；
· 当 为偶数时，函数 的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最小值；
若 为等差数列的项时，奇数的图象关于直线 对称，偶数的图象关于直线 对称.
2. 若 为 上的连续单峰函数，且 ， 为极值点，则当 变化时， 的最大值的最小值为 ，当且仅当 时取得.
三、典题精练
考点一：函数与数列的综合
考法1：根据函数单调性与数列递推关系判断
例1.已知函数，数列的前项和为，且满足，，则下列有关数列的叙述正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
考法2：利用函数对称性与数列递推关系求和
例2.（2026·江西五市·三月）（多选）若，数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 关于点成中心对称 B. 数列是等差数列
C. D. 数列的通项公式为
考法3：结合极值点与导数判断数列性质
例3.（2026·山东济宁·二模）已知实数，设函数.
（1） 若，讨论函数的单调性；
（2） 若，证明：函数有唯一极大值点，且；
（3） 记函数在内的从小到大的第个极值点为，判断数列是否为等比数列，若为等比数列，求出该数列的公比；若不为等比数列，请说明理由.
【考点一 方法总结】
· 处理函数迭代生成的数列问题，核心在于研究函数图象与直线的相对位置关系，利用单调性确定数列的增减性，并结合有界性进行放缩求和.
· 当遇到复杂对数型或分式型函数求和时，优先检验函数的奇偶性或对称性.若存在对称中心，则可将求和项首尾配对，转化为常数求和.
· 证明含有极值点的不等式时，通常利用极值点满足的导数为零的条件进行代换（即“极值点偏移”或“隐零点”代换），将超越式转化为多项式或单变量函数，再利用单调性证明.
考点二：函数与不等式的综合
考法4：利用函数性质解不等式
例4.（2025·河北名校·一模）（多选）已知函数的定义域为，且，，则（ 　　）
A.
B.
C. 函数的值域为
D. 关于的方程有且仅有一个实数根
考法5：构造函数比较大小或解不等式
例5.（2026·河北名校·一模）（多选）设且，，若，则下列大小关系可能成立的有（ 　　）
A. B. C. D.
考法6：双变量不等式恒成立求参数
例6.（2026·安徽合肥·三模）已知函数，.
（1） 当时，求的单调递减区间；
（2） 若在区间上，为增函数，求的取值范围；
（3） 若时，的最小值为，求.
考法7：结合导数求最值与不等式证明
例7.（2026·浙江Z20·三诊）已知函数.
（1） 当时，求函数的最值；
（2） 讨论方程的解的个数；
（3） 若方程存在两个解，且满足，证明：.
考法8：函数交点与面积最值
例8.（2026·师大附中·一模）已知为坐标原点，函数与函数的图象有两个不同的交点，当取最小值时，＿＿＿＿＿＿.
【考点二 方法总结】
· 处理抽象函数方程，赋值法是探路先锋.求出解析式后，将其转化为具体函数的性质研究，利用导数分析单调性与极值，是解决零点与不等式问题的通用手段.
· 比较双变量代数式大小时，若已知条件为等式，常通过代数变形将两变量分离至等号两侧，构造形式相同的函数，利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.
· 处理含参函数的单调性与极值问题，分类讨论是核心.讨论的标准通常是导函数的零点是否存在，以及零点与定义域区间的相对位置关系.
· 研究方程解的个数或证明不等式，常将问题转化为两个函数图象的交点问题.通过构造差函数，利用导数确定其单调性与极值，进而判断零点分布.
· 在函数图象交点与几何图形面积综合题中，将面积表示为单变量函数是关键.若直接求导困难，可考虑利用方程组的结构特征进行隐函数求导，寻找极值点.
考点三：函数中的创新题
考法9：复合函数方程与单调性求参数
例9.（2026·合肥一六八·一模）已知函数.
（1） 若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2） 若，且，求实数的取值范围.
考法10：函数性质(对称性、周期性、奇偶性)综合判定
例10.（2024·深圳光明·五月）（多选）已知函数是定义域为的可导函数，. 若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ 　　）
A. B. 曲线在点处的切线的斜率为 C. （是的导函数） D. 的图象关于点对称
考法11：基于新定义判断函数性质或求参数
例11.（2026·金华十校·二模）若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间，且对于定义域内的任意，，当时，都有，则称该函数为“阶梯形函数”. 下列选项中，不是“阶梯形函数”的是（ 　　）
A. （不超过的最大整数） B.
C. D.
考法12：基于新定义结合导数证明不等式
例12.（2026·山东日照·二模）已知函数定义域为，. 若存在，对任意，当时，都有，则称为在上的“凸点”.
（1） 求函数在上的最大“凸点”；
（2） 若函数在上不存在“凸点”，求的取值范围；
（3） 设，且，，证明：在上的“凸点”个数不小于.
【考点三 方法总结】
· 研究复合函数的单调性，必须严格遵循“同增异减”法则，同时不可忽视内层函数的值域必须满足外层函数的定义域这一隐含条件.
· 抽象函数的对称性推导依赖于代数恒等式的灵活变形.若，则关于直线对称；若，则关于点中心对称.
· 破解新定义问题，首要是将陌生定义“翻译”为熟悉的数学语言.如“夹在两条平行直线之间”实质上是要求函数具有有界性.
· 新定义往往是对某种已知性质的重新包装.“凸点”本质上是对函数局部最大值或单调递增区间的刻画.结合导数工具精确划分单调区间是解题基础.
考点四：最大值的最小值问题
考法13：转化求曲线间或两点间距离最值
例13.（2026·安徽淮南·二模）已知定义在上的函数，其导函数为，对，满足，，点分别为曲线和直线上的动点，则的最小值等于＿＿＿＿＿＿.
考法14：平口单峰函数与铅锤距离求最值
例14.已知函数，若对任意的实数，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【考点四 方法总结】
· 遇到形如根号下平方和的代数式，应敏锐地联想到两点间距离公式或点到直线的距离公式.通过构造几何模型，利用数形结合化繁为简.
· 处理“最大值中的最小值”这类双层最值问题，数形结合是最高效的手段.通常固定一个函数图象，平移或旋转另一个函数图象，在相切或对称的临界位置寻找最优解.
考点五：函数特定方程与区间问题
考法15：基于区间新定义判断函数性质或求参数
例15.函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在使得在上的值域为，则称函数为“成功函数”. 若函数（其中，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
考法16：根据函数不动点求参数
例16.若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点. 设函数为自然对数的底数，定义在上的连续函数满足，且当时，. 若存在，且为函数的一个不动点，求实数的取值范围.
【考点五 方法总结】
· 当已知函数在某区间上的值域时，若函数单调，可直接利用端点值列方程组；若不单调，则需结合极值点列式.换元法是处理指数型方程的常用技巧.
· 函数的不动点问题即方程的解的问题.当涉及参数时，参数分离法结合导数求值域是最稳妥的通法.
考点六：函数的图象变换
考法17：利用函数图象的旋转变换求解
例17.将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若对于每一个旋转角，曲线都仍然是一个函数的图象，则的最大值为（ 　　）
A. B. C. D.
考法18：利用函数图象的伸缩变换求解
例18.定义域为的函数满足，当时，. 若时，恒成立，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
【考点六 方法总结】
· 函数图象的旋转变换问题，核心在于理解“仍为函数图象”的几何意义，即任意垂直于轴的直线与图象至多有一个交点，这等价于切线倾斜角的范围限制.
· 处理分段周期或递推函数，关键是利用递推式将未知区间上的函数值转化为已知区间上的函数值.求出各段极值后，取全局最值解不等式.
考点七：V型函数与平底函数
考法19：含绝对值函数的单调性与最值求解
例19.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
考法20：含绝对值函数的交点问题求解
例20.已知与是个不同的实数，若关于的方程解集是有限集，则集合中，最多有＿＿＿＿＿＿个元素.
【考点七 方法总结】
· 含绝对值函数的单调性问题，零点分段法是根本.剥离绝对值后，确保各分段区间内的单调性一致，且在分界点处满足单调性的衔接要求.
· 多个绝对值相加减构成的函数，其图象必然是折线.分析最外侧射线的斜率与走势，以及折点的相对位置，是判断此类函数图象交点个数的捷径.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）已知函数的最大值为，则（ 　　）
A. B. C. D.
2.（2026·全国一卷）已知函数的定义域为，且当时，. 对任意，定义集合.
（1）若当时，，求；
（2）若是奇函数，，且，证明：；
（3）设满足：①若，则；②当时，.
（i）证明：；
（ii）证明：在区间单调递增.
3.（2025·全国一卷）若实数满足，则的大小关系不可能是（ 　　）
A. B. C. D.
4.（2025·全国一卷）
（1）设函数，求在的最大值；
（2）给定，设为实数，证明：存在，使得；
（3）若存在使得对任意，都有，求的最小值.
5.（2024·全国一卷）已知函数为，在上单调递增，则取值的范围是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2024·全国一卷）已知函数为的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ 　　）
A. B.
C. D.
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数，则（ 　　）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
8.（2024·全国一卷）若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”.
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”.（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”.
（3）已知函数为“金字塔函数”，求的取值范围.
9.（2026·全国一卷）曲线在点处的切线方程为（ 　　）
A. B. C. D.
10.（2025·全国一卷）设是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则（ 　　）
A. B. C. D.
11.（2024·全国一卷）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则＿＿＿＿＿＿.
第 2 页，共 17 页第18讲 函数的综合应用 · 综合测试（解析卷）
答案速查表
1 2 3 4 5
D B D D C
6 7 8 9 10
C ABD D ABC BD
11 12 13 14 15
ABD （1） （2）（i）证明见解析 （ii）
16 17 18 19
（1） （2） （1）不是 （2）证明见解析 （3） （1）单调减区间为，无单调递增区间 （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）
1.（2024·上海杨浦复旦附中·开学考试）无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 数列为严格减数列 B. 存在正整数，使得
C. 数列中存在某一项为最大项 D. 存在正整数，使得
【答案】D
【解析】∵，∴，∴.
由可得，则.
则有.
设函数.
.
当时，，当时，.
∴在单调递增，单调递减.
∴.
∵，∴
以此类推，对任意，故B错误.
∴，故A错误.
∵，∴数列中不存在某一项为最大项，C错误.
∵，∴.
.
∴存在正整数，使得，D正确.
【点拨】处理数列递推关系与不等式证明的综合问题时，常将递推式转化为函数关系，借助导数探究函数的单调性与值域，进而明确数列项的分布范围.
2.（2024·课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数，当时，的最大值为.
可得，，.
可得.
.
即，即有，则的最小值为.
【点拨】面对含绝对值的多元函数最值问题，灵活运用绝对值三角不等式进行多次放缩，消去变量，是求得最值下界的有效策略.
3.（2025·福建宁德·三模）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】将问题转化为函数在处的导数值在之内.
即，即.
令，.
当时，，单调增.
当时，，单调减.
又，，当时，.
故的解集为.
【点拨】处理切线斜率范围问题，本质是求导函数的值域.分离变量后构造新函数，借助导数刻画其单调性与极值，即可锁定参数边界.
4.（2026·天壹名校·5月模拟）已知函数，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
而，则时，，单调递减.
时，，单调递增.
故.
于是，，.
【点拨】面对含参不等式恒成立问题，分离参数后转化为求函数极值是常规思路.求导时需注意参数符号对单调区间划分的决定性影响.
5.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】当时，根据指数函数在上单调递增，可知.
当时，，∴，在上单调递增.
当时，，在上不单调.
当时，，∴，在上单调递减.
综上，.
【点拨】探究含绝对值复合函数的单调性，核心在于剥离绝对值外衣.依据内部函数的值域对参数进行分类讨论，确保各分段内单调性一致即可.
6.（2025·广东上进·5月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】令，对称轴为.
∵函数在上单调递增，∴要使函数在区间上单调递增，只需函数在上为增函数，且在区间上恒成立.
当时，满足，解得.
当时，在区间上单调递增恒成立，当时，满足，解得.
综上得实数的取值范围是.
【点拨】对数型复合函数的单调性不仅取决于内外层函数的同增异减规律，更受制于真数大于零的定义域约束.结合二次函数图象特征列出完备的不等式组是防错关键.
7.（2025·河北衡水·3月联考）数据处理过程中常涉及多项式及复杂函数，此时常要利用符号来衡量某个操作的复杂度. 设定定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数（设均为非零实数）的为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】存在常数，同时存在常数，使任意时，，故是的复杂函数，故A正确.
存在常数，同时存在常数，使任意时，，故是的复杂函数，故B正确.
易知均为正数，故令，解得.对于充分大的均成立，但函数值域为，故不存在正常数恒成立，故C错误.
存在常数，同时存在常数，使任意时，，故是的复杂函数，故D正确.
【点拨】新定义‘复杂函数’实质是比较两函数在无穷远处的增长量级.熟练掌握对数、多项式、指数函数的渐进增长速度差异，可快速突破此类判断题.
8.（2026·合肥一六八中·一模）若实数满足，设，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意知，令，则.
∴可以看作方程的解，则，又∵，则，∴.
.
令，则.
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
∴，即的最小值为.
【点拨】处理对称结构的双变量最值问题，利用基本不等式或换元法（如令）降维是破局利器.随后借助导数探究单变量函数的极值即可.
9.（2025·福建宁德·三模）设函数，则（ 　　）
A. 当时，没有零点
B. 当时，在区间上不存在极值
C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形
D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形
【答案】ABC
【解析】对A，函数的定义域为，由得，即.
作出与的图象，二者有唯一交点，不合题意，故没有零点，故A正确.
对B，由题.
令，.
∵，∴.
又，∴，∴.
则在上无极值，故B正确.
对CD，令.
∵，∴或，由对称性可知，故若存在对称轴或对称中心，必在直线上.
考虑.
当时，，∴关于对称，故C正确.
考虑.
∴不存在符合题意的常数，故D错误.
【点拨】探究复杂函数的对称性，需紧扣中心对称或轴对称的代数定义式进行恒等变形.判断极值与零点时，合理构造辅助函数并二次求导能有效揭示图象走向.
10.（2026·湖北襄阳·二模）若函数的图像上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】若函数的图像上存在四点共圆，则方程组有四个不同的实数解.
对于A，，代入圆的方程得，令，则.根据韦达定理，四个根之和为0，但，若有四个不同实根，则必有正有负，矛盾，故A错误.
对于B，，代入圆的方程得，即.这是一个四次方程，当且时，方程有两个不相等的正根，从而解得四个不同的实数，故B正确.
对于C，，其图象是严格凸的（二阶导数恒小于0）.一条直线最多与其交于两点，一个圆与其最多交于三个点（可通过构造函数证明其交点个数不超过3个），故C错误.
对于D，，其图象呈波浪形，画一个半径足够大的圆，很容易与的图象有四个以上的交点，故D正确.
【点拨】‘四点共圆’的几何特征可代数化为函数与圆方程联立后存在四个相异实根.借助函数图象的凹凸性及多项式方程的根的判别式，能直观且严谨地锁定目标函数.
11.（2025·河南H20·4月联考）闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义. 设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数. 则下列说法正确的有（ 　　）
A. 若，则
B. 若，其中，则
C. 若，其中，则
D. 若，其中，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A，，故A正确.
对于B，，，∴，故B正确.
对于C，，.不妨设，∵，∴，∴，即，∴，则，故C错误.
对于D，构造函数，则的最小值即两曲线动点间的最小距离.由，得，且，∴斜率为1的切线方程为.直线到的距离为.两曲线动点间的最小距离为，故D正确.
【点拨】解析新定义距离公式，需将其与熟悉的绝对值几何意义及欧氏距离建立映射.处理两曲线间最短距离时，平移切线法结合导数几何意义是最高效的手段.
12.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数定义域为，，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵函数定义域为，∴，∴.
又时，，
即，令，则.
又，∴在上单调递减，.
∵，∴.
即，故，即.
【点拨】面对结构对称的抽象不等式，通过同除或移项剥离出同构特征，进而构造出单调性明确的辅助函数，是实现不等式向自变量大小关系转化的核心.
13.（2025·河北保定·二模）已知直线是圆与曲线的公切线，则＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】∵直线与圆相切，
∴，解得（负根舍去）.
设函数，则由，得.
则，解得.
∴.
【点拨】处理公切线问题，需兼顾直线与两曲线的相切条件.利用圆心到直线的距离公式锁定直线方程，再结合导数几何意义反推切点坐标，即可精准求解参数.
14.（2026·湖北襄阳·二模）设点为曲线上一点，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
【答案】
【解析】设点，其中.
∵，∴曲线在点处的切线方程为，即.
令，得；令，得.
∴切线与坐标轴围成的三角形面积.
求导得.
由得或.
当时，；当时，；当时，.
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
极大值为，又.
∵，∴三角形面积的最大值为.
【点拨】求解切线构成的几何图形面积最值，首要步骤是设出切点坐标并规范写出切线方程.将面积表达为切点横坐标的单变量函数后，借助导数探究极值便水到渠成.
15.（13分）（2025·广东上进·5月测评）已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若曲线和直线交于两点，设为坐标原点.
（i）证明：；
（ii）若，讨论与的大小关系，并说明理由.
【答案】（1） （2）（i）证明见解析 （ii），理由见解析
【解析】（1），令，解得. 2 分
∴在上单调递减，在上单调递增. 3 分
∴. 4 分
（2）（i） 令函数，则.
若，即，则，在上单调递增，至多有一个零点，矛盾. 5 分
∴，令得.此时在上单调递减，在上单调递增. 6 分
由题知有2个零点，则. 7 分
∴，即. 8 分
（ii） 由（i）知，当时，，.不妨设，. 9 分
又在上单调递减，在上单调递增.∴在和上各有一零点.∴或，即. 10 分
令，，∴在上单调递减.∴时，，即.同理，时，. 11 分
若，则，，∴；同理，若，则. 12 分
∴当时，.当时，.综上所述，时，；时，. 13 分
【点拨】处理含参超越方程的零点与不等式证明，构造差函数并探究其极值是通用法则.在比较复杂代数式大小时，适时引入泰勒展开式的截断多项式进行放缩，能极大简化证明过程.
16.（15分）（2026·合肥一六八中·一模）已知函数.
（1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）令，则函数在函数单调递增.
∴在上单调，∴或. 3 分
∴. 5 分
（2）由，得. 7 分
其定义域为且单调递增，又.
∴是奇函数. 10 分
∴. 13 分
∴. 15 分
【点拨】对数型复合函数的单调性探究，必须将真数恒正作为首要前提.利用对数运算法则揭示隐藏的奇偶性，能将复杂的不等式迅速转化为自变量的简单代数比较.
17.（15分）（2025·河北保定·二模）若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”.
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”.（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”.
（3）已知函数为“金字塔函数”，求的取值范围.
【答案】（1）不是 （2）证明见解析 （3）
【解析】（1）不是“金字塔函数”. 2 分
（2）证明：∵，∴.
∴的图象关于直线对称. 4 分
.
∵，，∴得，得. 5 分
∴在上单调递增，在上单调递减.
则存在唯一的极值点，故为“金字塔函数”. 6 分
（3）∵为“金字塔函数”，∴.
∴.
整理得对恒成立，则，得. 8 分
∴，则.
令，则，当且仅当时取等号.
当时，，则单调递增，.
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
则存在唯一的极值点. 10 分
当时，令，则在定义域上单调递增.
当时，，在上单调递减.
当时，，在上单调递增.
∴. 12 分
对于且，则，故，∴.
当时，，若，则.
当时，，若，则.
∴存在两个零点.
当时，当时，当时.
∴在、上单调递增，在上单调递减. 14 分
由且，得.
当时，当时.
则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得.
∴在、上单调递减，在、上单调递增，则有3个极值点，不合题意.
综上，的取值范围是. 15 分
【点拨】应对‘金字塔函数’这类新定义，需精准转译其对称性与极值唯一性的代数等价条件.在处理含指数与多项式的混合求导时，二次求导并结合零点存在性定理是剖析单调区间的利器.
18.（17分）（2026·天壹名校联盟·5月模拟）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：函数在定义域内单调递减；
（3）设的外接圆直径为，且内角所对的边分别为.若在数值上当且仅当，证明：.
【答案】（1）单调减区间为，无单调递增区间 （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】（1）.设，.
当时，且，，在区间上单调递减.
又∵，故.即恒成立.
则在定义域内恒成立，故的单调减区间为，无单调递增区间. 4 分
（2）证明：，且.
要证明其单调递减，只需证明.由于，只需证明分子小于0，设.
当时，，由于，∴且，此时，，∴成立.
当时，此时.要证明，只需证明，即证明. 7 分
下面证明时，.设函数，当时，，在上单调递增.又∵，∴时，即，从而得证.
∵，∴，故，只需证明，等价于证明，即，此结论已证.
故，即，又∵，故，即.
综上，函数在定义域内单调递减. 10 分
（3）证明：由正弦定理可知，在中，，，代入得，即.
设，其中，则当且仅当，等价于方程在满足且时只有唯一解. 11 分
当时，.当时，单调递增，故单调递增，由（1）可知，与均为关于的正值减函数，则在上单调递减.
下面证明：若，则必有.不妨设.当时，由于且在该区间单调递减，故由，必有；
当时，由于是的内角，故，即.由在单调递减，可得，又，∵，∴，且，，有，故.∴，即，联立得，这与矛盾.
故当时，当且仅当时，成立. 14 分
当时，假设原命题成立，下证矛盾.因，存在使得，此时.取使得，则.令，则且.因，且均为锐角，故.只需比较.由于且，故，即，此时有.设，，，则根据零点存在性定理，存在使得，即.令，则.由于且，故；且，故.这与“当且仅当”矛盾，故不成立.
综上所述，的取值范围是. 17 分
【点拨】探究嵌套三角函数的单调性与不等式，多次求导并巧妙构造辅助函数是破局关键.在处理超越方程的唯一解问题时，结合函数的单调性与边界值进行反证，能严密闭环逻辑链条.
19.（17分）（2025·河南H20高中联盟·4月联考）已知函数的图象与轴的三个交点为(为坐标原点).
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围；
（3）若，点在的图象上，且异于，点满足，求的最小值.
【答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减 （2） （3）
【解析】（1）由已知得，有三个根，令，得或.
∴有两个不同的解，∴. 2 分
又，令，得或.
令，得.
∴当时，在和上单调递增，在上单调递减. 5 分
（2）令，得，令.
∵.
∴为奇函数.
，∴是的一个零点.
要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点. 7 分
在上单调递增，.
当，即时，，∴在上单调递增.
由，得在上无零点，不合题意，舍去. 9 分
当，即时，.
∴存在，使得.
当时，，在上递减；
当时，，在上递增.
当时，，且.
当时，.
令，解得.
∴.
∴在上存在唯一的零点.
综上，. 12 分
（3）设，且，.
∵点异于，∴.
由，得.
即.
解得， 15 分
则.
∴.
当且仅当，即时，等号成立.
∴的最小值为. 17 分
【点拨】处理三次函数与对数函数复合的零点问题，利用奇偶性锁定必过零点后，探究导函数的极值是划分单调区间的核心.将向量垂直条件转化为坐标代数方程，能有效降维并求得动点距离的最值.
第 2 页，共 17 页第18讲 函数的综合应用·综合测试
（考试时间：120分钟　试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.无穷数列满足：，且对任意的正整数，均有，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 数列为严格减数列 B. 存在正整数，使得
C. 数列中存在某一项为最大项 D. 存在正整数，使得
2.已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（2025·福建宁德·三模）曲线在点处切线斜率的取值范围为，则的取值范围为（ 　　）
A. B.
C. D.
4.（2026·天壹名校·5月模拟）已知函数，若，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2025·河北保定·二模）若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
6.（2025·广东上进·5月测评）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
7.（2025·河北衡水·3月联考）数据处理过程中常涉及多项式及复杂函数，此时常要利用符号来衡量某个操作的复杂度. 设定定义在全体正整数上的函数与，若存在正常数，同时存在常数，使任意时，，则称是的复杂函数，则下列函数中，满足是的复杂函数（设均为非零实数）的为（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·合肥一六八中·一模）若实数满足，设，则的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2025·福建宁德·三模）设函数，则（ 　　）
A. 当时，没有零点
B. 当时，在区间上不存在极值
C. 存在实数，使得曲线为轴对称图形
D. 存在实数，使得曲线为中心对称图形
10.（2026·湖北襄阳·二模）若函数的图像上存在四点共圆，则满足条件的可以是（ 　　）
A. B. C. D.
11.（2025·河南H20·4月联考）闵可夫斯基距离，是两组数据间距离的定义. 设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中表示阶数. 则下列说法正确的有（ 　　）
A. 若，则
B. 若，其中，则
C. 若，其中，则
D. 若，其中，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·合肥一六八中·一模）已知函数定义域为，，对于任意，当时，，其中为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
13.（2025·河北保定·二模）已知直线是圆与曲线的公切线，则＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·湖北襄阳·二模）设点为曲线上一点，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2025·广东上进·5月测评）已知函数.
（1）求的最小值；
（2）若曲线和直线交于两点，设为坐标原点.
（i）证明：；
（ii）若，讨论与的大小关系，并说明理由.
16.（15分）（2026·合肥一六八中·一模）已知函数.
（1）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
（2）若，且，求实数的取值范围.
17.（15分）（2025·河北保定·二模）若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”.
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”.（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”.
（3）已知函数为“金字塔函数”，求的取值范围.
18.（17分）（2026·天壹名校·5月模拟）设函数.
（1）求的单调区间；
（2）证明：函数在定义域内单调递减；
（3）设的外接圆直径为，且内角所对的边分别为.若在数值上当且仅当，证明：.
19.（17分）（2025·河南H20·4月联考）已知函数的图象与轴的三个交点为(为坐标原点).
（1）讨论的单调性；
（2）若函数有三个零点，求的取值范围；
（3）若，点在的图象上，且异于，点满足，求的最小值.
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