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§20 数据的初步分析
1、绘制频数直方图的一般步骤：
（1）确定数据变动范围，也就是极差. （极差=最大值—最小值）
（2）决定组距和组数. （，组数向上取整数且控制在6~8组）
（3）决定分点. （为避免数据落在分点上，一般向前和后各扩大一点）
（4）列频数分布表.（）
（5）画频数直方图.（每一个矩形上方标上频数，矩形之间无空隙）
2、数据的集中趋势
（1）平均数：平均数是常用来刻画数据集中趋势的一种方法.
一组数据，，， ，，的平均数为
（2）加权平均数：
权的三种常见表现形式：数据出现的次数；百分数；整数比.
平均数可以充分利用数据信息，刻画数据整体的平均状态，但不能反映个体性质，易受到极端值的影响.
（3）中位数和众数：
中位数和众数也是刻画数据集中趋势的两种方法
①一般地，当将一组数据按大小顺序排列后，位于正中间的一个数据（当数据的个数是奇数时）或正中间的两个数据的平均数（当数据的个数是偶数时）叫做这组数据的中位数.
②一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.
中位数代表了这组数据数值大小的“中点”，不易受极端值影响，不能充分利用所有数据的信息.
众数是一组数据中出现次数最多的数据.可能不止一个，也可能没有.
3、数据的离散程度
①设一组数据是 x1，x2，…，xn，它们的平均数是.那么称
为它们的离差平方和，简记
②将一组数据的离差平方和的平均数称为这组数据的方差，即
在实际操作中，我们一般选用方差来衡量数据的离散程度，而离差平方和常常会出现在回归分析等多种分析方法中.
将一组数据中的每一个数据都加上(或减去)同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.
将一组数据中的每一个数据都变为原来的k倍，所得的一组新数据的方差变为原数据方差的k2倍.
③离差平方和与方差都具有如下性质：
（I）最小值为0；
（II）数据的离散程度大（即波动大），它们的值也大；
（III）方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小．
4、四分位数和箱线图
（1）四分位数：（将一组数据按从小到大排列后）
m25，m50，m75就把这组数据分成个数相等的四部分，因此分别称为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2）和第三四分位数（Q3），统称四分位数.
按照定义可知，第p百分位数可能不唯一，因此按照如下方式定第p百分位数.
①将数据从小到大排列，记为x1，x2，…，xn.
②计算指数（数位）i = n×p%.
③若i不是整数，记j为大于i的最小整数，第p百分位数为第j个据xj，若i是整数，第p百分位数为第i个和第(i+1)个数据的平均数.
（2）箱线图（约翰·图基20世纪首次提出）
一组数据仅从平均数、方差进行分析还不够全面，我们还可以从四分位数进行分析. 统计学上，常用箱线图直观地展示一组数据的统计特征值，便于分析不同类别数据各层次水平的差异(如离散程度、分布差异等).
5、数据分组（组内离差平方和最小，组间离差平方和最大原则.）
一般地，假设有n个数据x1，x2，x3，…，xn ，若将其分成两组，其中前 m 个数据为一组 ( 称为第一组 )， 后 ( n－m ) 个数据为一组 ( 称为第二组 ).
这 n 个数据的总体离差平方和 S 2 可以表示为：
，.
，. 则：
称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度.
称为组间离差平方和，表达了两组数据之间的差异.
一个合理的分组原则是使组内离差平方和达到最小，组间离差平方和达到最大.由于总体离差平方和 S2不变，只需考虑使组内离差平方和达到最小即可.
数据的分组一般步骤：
S1. 排序；
S2. 确定组数和各组内数据的个数. 我们只讨论分两组的情形，如果一共有n个数据，要把较小的m个数据分为一组，把剩下的 (n－m) 个数据分为另一组.
S3. 通过“组内离差平方和最小” 的原则来确定 m 的大小.
组内离差平方和：数值越小，组内差异越小.
组间离差平方和：数值越大，不同组之间差异越明显.
总体离差平方和 = 组内 + 组间.
6、重点题型
例1：求下列各组数据的四分位数.
（1）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17，15；
（2）11，10，12，19，13，11，6，4，17，9，13，17.
解：（1）将这 13 个数据从小到大排列，得
4，6，9，10，11，11，12，13，13，15，17，17，19.
因为数据的个数是奇数，所以中位数 m50 = 12.
13×25% = 3.25，13×75% = 9.75.
第 25 百分位数 m25 是第4个数10，
第 75 百分位数 m75 是第 10 个数15.
因此，该组数据的四分位数分别为 10，12，15.
（2）将这 12 个数据从小到大排列，得
4，6，9，10，11，11，12，13，13，17，17，19.
12×50% = 6，中位数 m50 是第6，7个数的平均数
12×25% = 3，12×75% = 9.
第 25 百分位数 m25 是第3，4个数的平均数 ，
第 75 百分位数 m75 是第 9，10 个数的平均数.
因此，该组数据的四分位数分别为9.5，11.5，15.
例2：小红同学为了在明年中考体育考试中取得好的成绩，每天自己在家里练习做一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26.按照“组内离差平方和最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（ ）
A. B. C. D. 5
提示：排序后分组：2+4；3+3；4+2 答案：B
例3：根据甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩的最小值、最大值和四分位数画出箱线图，并根据箱线图进行分析.
甲：69，70，70，71，72，75，78，80，82，
83，87，88，88，93，97；
乙：70，72，73，75，77，79，79，80，80，
81，83，83，85，92，94.
解：易求得甲、乙两个县各15名选手竞赛成绩（单位：分）的最小值、最大值和四分位数，如下表所示：
县 最小值/分 M25(Q1)/分 m50(Q2)/分 m75(Q3)/分 最大值/分
甲 69 71 80 88 97
乙 70 75 80 83 94
画出箱线图如下图.
通过箱线图可以直观看出，甲、乙两个县选手成绩的中位数相同，但是甲县选手的成绩差距较大，乙县选手的成绩差距较小，并结合甲、乙两个县选手成绩的平均数，可以说甲、乙两个县选手的平均水平相当，但是乙县选手的成绩相对于甲县选手的更集中.

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