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广东佛山市顺德区第一中学西南学校2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题
1．如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（　　）
A．8种 B．6种 C．4种 D．2种
【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分为两类，不经过点有2种走法，经过点有种走法，共种走法.
故答案为：.
【分析】本题考查分类加法计数原理，解题核心是按 “是否经过点 B” 分类讨论，再分步计算每类的走法数。
2．已知实数是1，4的等比中项，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故答案为：C
【分析】本题考查等比中项的定义，解题核心是根据等比中项公式列方程求解。
3．若等差数列的前n项和为，且，则的值为（　　）
A．33 B．44 C．66 D．132
【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的前项和为，且，
由等差数列的前n项和公式，得.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的性质与前n项和公式，解题核心是利用等差数列的性质简化计算。
4．已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列性质，
可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，再代入计算得出的值.
5．已知，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2025
【答案】D
【知识点】函数的值；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为函数，
求导得，
当时，，
解得.
故答案为：D.
【分析】先求出函数的导数，再赋值得出的值.
6．的展开式中常数项为（　　）
A． B．80 C． D．160
【答案】C
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
又因为展开式的通项为（且），
所以，展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】由和二项式定理得出展开式的通项的方法以及常数项的定义可得出展开式中常数项.
7．若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，；当时，，
则函数的图象如下：
依题意，则与有两个交点，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】令，则，再令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而画出函数的图象，由已知条件得出与有两个交点，再根据数形结合得出实数a的取值范围.
8．若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，
构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，
故只需保证，解得．
故答案为：C．
【分析】本题考查函数单调性与导数的应用，解题核心是利用导数非负恒成立，转化为二次函数在闭区间上的恒成立问题。
9．下列求导数的运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：对求导，根据幂函数求导法则：，故A正确；
B：是常数，常数的导数为，故，B错误；
C：根据乘积求导法则，对求导：，故C正确；
D：根据乘积求导法则，对求导：，并非，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：考查幂函数求导法则，注意，求导时系数和指数变化；B：考查常数的导数性质，常数的导数恒为；C：考查乘积求导法则，分别对和求导后再组合；D：考查乘积求导法则，对和分别求导，注意。
10．有三名男生 两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法
B．如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法
D．如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法
【答案】A,B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列，
此时共有种不同的排法，故A正确；
对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，
此时共有种不同的排法，故B正确；
对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时共有种不同的排法，故C错误；
对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种，
如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用捆绑法结合排列数公式，则判断出选项A；利用插空法结合排列数公式，则判断出选项B；先排男生在两端结合排列数公式，则判断出选项C；根据正难则反的原则结合排列数公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．设函数，数列满足，，则（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用；等比数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，解得，故A错误；
对于B：因为，所以，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C：由选项B可知，则，
因为，
所以，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当时，即当时成立，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数的解析式和，再利用代入法求出的值，则可判断选项A；根据等比数列的定义判断出选项B；利用选项B结合已知条件求出，再由作差法比较大小，则可判断选项C；利用函数解析式代入结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了　 　盏灯．
【答案】93
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意得一共开了.
故答案为：93.
【分析】本题是等比数列求和的实际应用，解题核心是先确定每层的灯数，再求和。
13．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
14．已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于　 　．
【答案】682
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，满足上式，所以，
同理可求得，
设的第项与的第项相等，则，即，，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
故数列的前5项和等于．
故答案为：
【分析】先由前项和公式分别求出数列和的通项公式，再找出它们的公共项并构成新数列，最后计算的前5项和。
15．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）解：设数列的公差为，则，
由，得
化简得，
因为，所以，
则．
（2）解：由（1）知，
则，
，
两式相减，得
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项公式和等差数列通项公式、前n项和公式，从而得出等差数列的首项的值和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前项和.
（1）设数列的公差为，则．
由得化简得，
因为，所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
，
两式相减得，
所以．
16．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大项．
【答案】（1）解：由二项式展开式的通项为，
因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为
可得，即，解得或（舍去），
所以的值为.
（2）解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中，
设展开式中第项的系数最大，其中，
则满足，可得，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数的定义，根据第 5 项与第 3 项的二项式系数之比列方程求解 n；
(2) 写出二项展开式的通项公式，通过系数的单调性比较，确定系数最大的项。
（1）解：由二项式展开式的通项为，
因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为
可得，即，解得或（舍去），
所以的值为.
（2）解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中，
设展开式中第项的系数最大，其中，
则满足，可得，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
17．已知函数．
（1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）；
（2）求证：．
【答案】（1）解：，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为，无极大值；
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示：
（2）证明：要证，只要证，
令，则，
则得；得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 对函数求导，通过导数的符号判断单调性，进而确定极值点与极值，再结合单调性与函数值符号绘制大致图像。
(2) 先化简不等式左侧，构造新函数，通过求导分析新函数的单调性与最小值，证明最小值大于 0 从而完成不等式证明。
（1），
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为，无极大值；
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示：
（2）要证，只要证，
令，则，
则得；得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
（1）求的对称中心．
（2）求．
（3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，
可得，所以，
令，可得，
易知，
所以的对称中心为.
（2）解：由（1）中的对称中心为，
可得，
因为，
所以，
两式相加，可得
，
可得.

（3）解：由（2）可得数列为等差数列，且，
所以；
可得
因此
若对恒成立，
可得，则，
令，可得恒成立，
所以，
令，
由对勾函数性质，可知函数在上单调递增，
因此，可得，
则实数的取值范围为.
【知识点】导数的四则运算；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据“拐点”定义和对函数求导，再利用函数图象的对称性，从而求出的对称中心.
（2）利用函数图象的对称性可得，再结合倒序相加法可得数列的通项公式.
（3）利用等差数列前n项和公式和裂项相消法可得对恒成立，再利用换元法，则令，求出对勾函数的最值得出实数的取值范围.
（1）由可得，
所以，
令，可得，
易知，
所以的对称中心为
（2）由（1）中的对称中心为，可得，
因为，
所以，
两式相加可得
，
可得，
（3）由（2）可得数列为等差数列，且，
所以；
可得；
因此
；
若对恒成立，可得，
即，
令，可得恒成立，所以；
令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，
因此，可得，
即的取值范围为.
19．设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数．
（1）求
（2）求证：是等比数列；
（3）求证：.
【答案】（1）解：时，只有一个元素，无法错排，所以；
时，有两个元素，只有一种错排即，所以；
时，有三个元素，有两种错排和，所以.
（2）证明：对于，假设第个元素放在了第个位置，，
考虑第个元素的去向：若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置，
剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置，
我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里），
这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法，
对每个进行考虑即可得，
所以，
所以是等比数列，公比为.
（3）证明：由（2）可知，，
也即，，两边同时除以得到，
对到进行累加，有，
左边裂项相消，得到即，
令即可化为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 根据错位排列的定义，直接列举或分析 时的情况，得到 ；
(2) 先推导错位排列的递推公式 ，再构造数列 ，证明其为等比数列；
(3) 利用(2)的结论，通过裂项相消法推导 的表达式。
（1）时，只有一个元素，无法错排，所以；
时，有两个元素，只有一种错排即，所以；
时，有三个元素，有两种错排和，所以.
（2）对于，假设第个元素放在了第个位置，，考虑第个元素的去向：
若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置，
剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置，
我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里），
这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法，
对每个进行考虑即可得，
所以，
所以是等比数列，公比为.
（3）由（2）可知，，
也即，，两边同时除以得到，
对到进行累加，有，
左边裂项相消，得到即，
令即可化为.
1 / 1广东佛山市顺德区第一中学西南学校2025-2026学年下学期中段学情检测高二数学试题
1．如图，从（图中不能折返回）不同的走法有（　　）
A．8种 B．6种 C．4种 D．2种
2．已知实数是1，4的等比中项，则（　　）
A． B． C． D．
3．若等差数列的前n项和为，且，则的值为（　　）
A．33 B．44 C．66 D．132
4．已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知，则（　　）
A．0 B． C．1 D．2025
6．的展开式中常数项为（　　）
A． B．80 C． D．160
7．若函数（是自然对数的底数）有两个零点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．若函数在上单调递增，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．下列求导数的运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．有三名男生 两名女生排队照相，五个人排成一排，则下列说法正确的有（　　）
A．如果两名女生必须相邻，那么有48种不同排法
B．如果三名男生均不相邻，那么有12种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有48种不同排法
D．如果三名男生不能连排在一起，那么有108种不同的排法
11．设函数，数列满足，，则（　　）
A． B．数列是等比数列
C． D．
12．一座五层高的灯塔，底层所开灯的数量为3盏，每一层开灯的数量都是下面一层的两倍，则一共开了　 　盏灯．
13．若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝　 　．
14．已知数列的前项和，数列的前项和，将与的公共项由小到大排列构成新数列，则数列的前5项和等于　 　．
15．已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
16．已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大项．
17．已知函数．
（1）求的极值，并在给定的直角坐标系中画出函数的大致图象（不用说明理由）；
（2）求证：．
18．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数，请你根据上面的探究结果，解答以下问题：
（1）求的对称中心．
（2）求．
（3）记数列的前n项和为，数列的前n项和为，若对恒成立，求的取值范围．
19．设n个不同的元素1，2，3，…，n的一个排列中，若每个元素都不在原来的位置，则称该排列为一个错位排列（也叫“错排”），记为n个元素的错位排列的总数．
（1）求
（2）求证：是等比数列；
（3）求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：分为两类，不经过点有2种走法，经过点有种走法，共种走法.
故答案为：.
【分析】本题考查分类加法计数原理，解题核心是按 “是否经过点 B” 分类讨论，再分步计算每类的走法数。
2．【答案】C
【知识点】等比中项
【解析】【解答】解：由题意得，解得.
故答案为：C
【分析】本题考查等比中项的定义，解题核心是根据等比中项公式列方程求解。
3．【答案】C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：等差数列的前项和为，且，
由等差数列的前n项和公式，得.
故答案为：C.
【分析】本题考查等差数列的性质与前n项和公式，解题核心是利用等差数列的性质简化计算。
4．【答案】B
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据等差数列性质，
可得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质，再代入计算得出的值.
5．【答案】D
【知识点】函数的值；导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为函数，
求导得，
当时，，
解得.
故答案为：D.
【分析】先求出函数的导数，再赋值得出的值.
6．【答案】C
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：因为，
又因为展开式的通项为（且），
所以，展开式中常数项为.
故答案为：C.
【分析】由和二项式定理得出展开式的通项的方法以及常数项的定义可得出展开式中常数项.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，则，所以，
令，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
当时，；当时，，
则函数的图象如下：
依题意，则与有两个交点，
所以，则.
故答案为：D.
【分析】令，则，再令，利用导数的正负判断函数的单调性，从而画出函数的图象，由已知条件得出与有两个交点，再根据数形结合得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：对恒成立，
故，即恒成立，
即对恒成立，
构造，开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值，
故只需保证，解得．
故答案为：C．
【分析】本题考查函数单调性与导数的应用，解题核心是利用导数非负恒成立，转化为二次函数在闭区间上的恒成立问题。
9．【答案】A,C
【知识点】导数的四则运算；导数的乘法与除法法则；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A：对求导，根据幂函数求导法则：，故A正确；
B：是常数，常数的导数为，故，B错误；
C：根据乘积求导法则，对求导：，故C正确；
D：根据乘积求导法则，对求导：，并非，故D错误。
故答案为：AC。
【分析】A：考查幂函数求导法则，注意，求导时系数和指数变化；B：考查常数的导数性质，常数的导数恒为；C：考查乘积求导法则，分别对和求导后再组合；D：考查乘积求导法则，对和分别求导，注意。
10．【答案】A,B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，将这两名女生捆绑，作为一个＂元素＂与剩下的三名男生进行全排列，
此时共有种不同的排法，故A正确；
对于B，先对三名男生进行全排列，再将女生插入三名男生所形成的中间2个空中，
此时共有种不同的排法，故B正确；
对于C，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时共有种不同的排法，故C错误；
对于D，5个人排成一排的全排列有种，三名男生连排在一起的排法有种，
如果三名男生不能连排在一起，此时有种不同的排法，故D错误．
故答案为：AB．
【分析】利用捆绑法结合排列数公式，则判断出选项A；利用插空法结合排列数公式，则判断出选项B；先排男生在两端结合排列数公式，则判断出选项C；根据正难则反的原则结合排列数公式，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；基本不等式在最值问题中的应用；等比数列概念与表示；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A：因为，所以，解得，故A错误；
对于B：因为，所以，
又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
对于C：由选项B可知，则，
因为，
所以，故C正确；
对于D：因为，
当且仅当时，即当时成立，
又因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据函数的解析式和，再利用代入法求出的值，则可判断选项A；根据等比数列的定义判断出选项B；利用选项B结合已知条件求出，再由作差法比较大小，则可判断选项C；利用函数解析式代入结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】93
【知识点】等比数列的前n项和；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意得一共开了.
故答案为：93.
【分析】本题是等比数列求和的实际应用，解题核心是先确定每层的灯数，再求和。
13．【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
14．【答案】682
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
当时，满足上式，所以，
同理可求得，
设的第项与的第项相等，则，即，，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
当时，，当时，，则，
故数列的前5项和等于．
故答案为：
【分析】先由前项和公式分别求出数列和的通项公式，再找出它们的公共项并构成新数列，最后计算的前5项和。
15．【答案】（1）解：设数列的公差为，则，
由，得
化简得，
因为，所以，
则．
（2）解：由（1）知，
则，
，
两式相减，得
所以．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；等比中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项公式和等差数列通项公式、前n项和公式，从而得出等差数列的首项的值和公差的值，再利用等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）利用（1）中数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用错位相减法得出数列的前项和.
（1）设数列的公差为，则．
由得化简得，
因为，所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
，
两式相减得，
所以．
16．【答案】（1）解：由二项式展开式的通项为，
因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为
可得，即，解得或（舍去），
所以的值为.
（2）解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中，
设展开式中第项的系数最大，其中，
则满足，可得，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】(1) 利用二项式系数的定义，根据第 5 项与第 3 项的二项式系数之比列方程求解 n；
(2) 写出二项展开式的通项公式，通过系数的单调性比较，确定系数最大的项。
（1）解：由二项式展开式的通项为，
因为展开式中第5项与第3项的二项式系数之比为
可得，即，解得或（舍去），
所以的值为.
（2）解：由（1）知：二项展开式的通项为，其中，
设展开式中第项的系数最大，其中，
则满足，可得，解得，
因为，所以，
所以展开式中系数最大的项为.
17．【答案】（1）解：，
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为，无极大值；
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示：
（2）证明：要证，只要证，
令，则，
则得；得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1) 对函数求导，通过导数的符号判断单调性，进而确定极值点与极值，再结合单调性与函数值符号绘制大致图像。
(2) 先化简不等式左侧，构造新函数，通过求导分析新函数的单调性与最小值，证明最小值大于 0 从而完成不等式证明。
（1），
当时，，当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
因此极小值为，无极大值；
当时，；当时，，且，
结合单调性，可画出函数的大致图象，如下图所示：
（2）要证，只要证，
令，则，
则得；得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，即恒成立，
所以．
18．【答案】（1）解：由，
可得，所以，
令，可得，
易知，
所以的对称中心为.
（2）解：由（1）中的对称中心为，
可得，
因为，
所以，
两式相加，可得
，
可得.

（3）解：由（2）可得数列为等差数列，且，
所以；
可得
因此
若对恒成立，
可得，则，
令，可得恒成立，
所以，
令，
由对勾函数性质，可知函数在上单调递增，
因此，可得，
则实数的取值范围为.
【知识点】导数的四则运算；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；图形的对称性
【解析】【分析】（1）根据“拐点”定义和对函数求导，再利用函数图象的对称性，从而求出的对称中心.
（2）利用函数图象的对称性可得，再结合倒序相加法可得数列的通项公式.
（3）利用等差数列前n项和公式和裂项相消法可得对恒成立，再利用换元法，则令，求出对勾函数的最值得出实数的取值范围.
（1）由可得，
所以，
令，可得，
易知，
所以的对称中心为
（2）由（1）中的对称中心为，可得，
因为，
所以，
两式相加可得
，
可得，
（3）由（2）可得数列为等差数列，且，
所以；
可得；
因此
；
若对恒成立，可得，
即，
令，可得恒成立，所以；
令，由对勾函数性质可知函数在上单调递增，
因此，可得，
即的取值范围为.
19．【答案】（1）解：时，只有一个元素，无法错排，所以；
时，有两个元素，只有一种错排即，所以；
时，有三个元素，有两种错排和，所以.
（2）证明：对于，假设第个元素放在了第个位置，，
考虑第个元素的去向：若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置，
剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置，
我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里），
这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法，
对每个进行考虑即可得，
所以，
所以是等比数列，公比为.
（3）证明：由（2）可知，，
也即，，两边同时除以得到，
对到进行累加，有，
左边裂项相消，得到即，
令即可化为.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的递推公式
【解析】【分析】(1) 根据错位排列的定义，直接列举或分析 时的情况，得到 ；
(2) 先推导错位排列的递推公式 ，再构造数列 ，证明其为等比数列；
(3) 利用(2)的结论，通过裂项相消法推导 的表达式。
（1）时，只有一个元素，无法错排，所以；
时，有两个元素，只有一种错排即，所以；
时，有三个元素，有两种错排和，所以.
（2）对于，假设第个元素放在了第个位置，，考虑第个元素的去向：
若放在第个位置，则意味着第个元素和第个元素互相交换了位置，
剩下的个元素进行错排，有种方法；若没有放在第个位置，
我们可以把第个位置看作是第个元素的“原位置”（因为它不能去那里），
这等价于剩下的个元素（包括第个元素）进行错排，有种方法，
对每个进行考虑即可得，
所以，
所以是等比数列，公比为.
（3）由（2）可知，，
也即，，两边同时除以得到，
对到进行累加，有，
左边裂项相消，得到即，
令即可化为.
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