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广东广州市第八十九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
1．化简：等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；相反向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】本题考查向量的线性运算，解题核心是利用相反向量的性质和向量加法的三角形法则进行化简。
2．复数是实数，则实数（　　）
A．0 B．1 C． D．或
【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：已知是实数，故虚部，解得，因此，=或.
故答案为：D
【分析】本题考查复数的基本概念：复数 （）为实数的充要条件是虚部 。
3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图中，直角中，，又，故
由勾股定理得，
画出原图形，则，，，
故，故原图形的面积为.
故答案为：C
【分析】本题考查斜二测画法下直观图与原图的面积关系，解题核心是先分析直观图的几何量，再还原出原图的几何量，最后计算原图面积。
4．已知复数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以
故答案为：A
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，解题核心是先化简复数表达式，再求其模。
5．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
6．已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证出，故A正确；
对于B，因为或，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
7．如图，在中，，点是的中点.设，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
故.
故答案为：A
【分析】本题考查向量的线性运算，核心思路是利用中点性质和已知的线段比例关系，将目标向量用基底和表示。
8．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．
由题意可知，，
设，则，
所以，所以．
由余弦定理可得，
则，即细绳的最短长度为．
故答案为：C.
【分析】将侧面延侧棱展开，再利用余弦的二倍角公式及余弦定理计算边长即可．
9．给出下列命题，不正确的有（　　）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若，，则
C．若为非零向量，则与同向
D．已知，为实数，若，则与共线
【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】A：两个相等向量的大小和方向完全相同，若起点相同，则终点必然相同，故A正确；
B：当时，与平行、与平行，但与不一定平行，故B错误；
C：若为非零向量，则是与同向的单位向量，故C正确；
D：当时，恒成立，此时与可以是任意向量，不一定共线，故D错误。
故答案为：BD
【分析】A：考查相等向量的定义，相等向量大小相等、方向相同，起点相同则终点必相同；
B：考查向量平行的传递性，零向量与任意向量平行，传递性在涉及零向量时不成立；
C：考查单位向量的定义，非零向量除以其模长得到的是同向单位向量；
D：考查向量共线的判定，当系数均为0时，等式恒成立，向量不一定共线。
10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若面积为，则，则
D．若则
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，因为，
由正弦定理，得，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
又因为，所以，则角为锐角，
但不一定为锐角三角形，故B不正确；
对于C，若面积为，因为，
所以，则，
所以，又因为，所以，故C正确；
对于D，若，
由正弦定理，得，
则，
因为，所以，则，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理边角转化和两角和的正弦公式以及三角形中角C的取值范围，则可判断选项A和选项D；根据数量积的定义和三角形中角的取值范围，从而确定角的取值范围，则判断出三角形的形状，则可判断选项B；根据三角形面积公式和余弦定理，则化简已知等式可得角的大小，则可判断选项C，从而找出说法正确的选项.
11．已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为
C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为
D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，，由于，且由正方体性质可知，
所以由平面、平面，所以平面，
所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值，
所以，为定值，故A正确；
B，线段在平面的射影为，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
故平面，又平面，所以，
而在平面内的射影为，
取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知，
而平面，平面，则，
又，平面，故平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
取中点N，连接，易得，
所以可唯一确定一个平面，则平面即平面，
所以点P轨迹为四边形，
其长度为，故B错误；
C，过P作于H，连接，易知且平面，
因为平面，所以，
则与AD成角为，且，
随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大，
因此当点P位于点A时，成角最小为，故C正确.
D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上，
又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S，
球的半径R为外接圆半径，由正弦定理，
因为且，
又，
所以，故，即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：利用线面平行的性质，判断点到平面的距离为定值，结合三角形面积不变，得出体积为定值；B：通过线面垂直确定点P的轨迹平面，计算轨迹的周长，验证选项给出的长度是否正确；C：将线线角转化为直角三角形中的锐角，分析正切值随P的变化规律，确定最小值；D：利用正弦定理和的取值范围，求解外接圆半径的取值范围，即外接球半径的范围。
12．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为　 　.
【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为，可知母线长，
所以，该圆锥的侧面积与底面积之比为.
故答案为：.
【分析】根据题意得出圆锥母线的长，再利用圆锥的侧面积公式和底面积公式，从而得出该圆锥的侧面积与底面积之比.
13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是　 　
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：若向量，
则在上的投影向量为.
故答案为：
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式求解。
14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高　 　．
【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知，，，则，
由正弦定理得，则，
，
已知，，
，故．
故答案为：
【分析】本题是解三角形的实际应用问题，解题核心是先在△BCD中用正弦定理求出BC的长度，再在Rt△ABC中利用三角函数关系求出塔高AB。
15．已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C．
（1）求；
（2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值．
【答案】（1）解：由已知条件可得，，，
所以，则，故；
（2）解：由平行四边形的性质可得，已知，
设，则，于是有，
解得，即，进而有，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 先计算出复数 、、 对应的复平面内点 的坐标，再求向量 的坐标，最后计算其模长；
(2) 利用平行四边形对边向量相等的性质求出 点坐标，再根据向量夹角公式计算 。
（1）由已知条件可得，，，
所以，则，故；
（2）由平行四边形的性质可得，已知，
设，则，于是有，
解得，即，进而有，
所以.
16．如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又因为是的中点，所以是的中位线，所以，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：因为正方体中，平面，
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）易知平面，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可.
（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）若时，求的面积．
【答案】（1）解：，
由余弦定理，得，，
又因为，，
化简得， ．
（2）解：由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理化角为边，从而得出的值.
（2）利用（1）得出角C的余弦值，再利用锐角C的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再根据三角形的面积公式得出的面积．
（1），由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
（2）由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为，是的中点，所以．
又，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为和都是边长为2的等边三角形，
所以，
过作平面，垂足为，连接，
则即为直线与平面所成的角，
因为，
取中点，连接，则，
因为，
所以，解得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 取 中点 ，利用正三角形性质证 且 ，再由线面垂直判定定理得 平面 ，从而 ；
(2) 先由面面垂直性质证 平面 ，再用等体积法求点 到平面 的距离 ，最后由线面角定义求 。
（1）证明：取中点，连接，
因为，是的中点，所以．
又，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为和都是边长为2的等边三角形，
所以，
过作平面，垂足为，连接，
则即为直线与平面所成的角，
因为，
取中点，连接，则，
因为，
所以，解得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的值.
（2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
【答案】（1）解：因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）解：由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知：，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用同角三角函数关系将 转化为 ，结合三角恒等变换和三角形内角和，求出角 ；
(2)(i) 结合三角形面积公式、外接圆公式和余弦定理，建立关于 的方程，求解周长；
(ii) 将 转化为关于角 的三角函数，结合角 的范围求最大值。
（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
1 / 1广东广州市第八十九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷
1．化简：等于（　　）
A． B． C． D．
2．复数是实数，则实数（　　）
A．0 B．1 C． D．或
3．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是直角，其中，则原图形的面积为（　　）
A． B．1 C． D．2
4．已知复数，则（　　）
A．1 B． C．2 D．4
5．已知向量满足，则（　　）
A． B． C．1 D．2
6．已知为不同的直线，为不同的平面，下列命题为假命题的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，点是的中点.设，则（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB，PC，PD回到A点，则细绳的最短长度为（　　）
A． B． C． D．
9．给出下列命题，不正确的有（　　）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若，，则
C．若为非零向量，则与同向
D．已知，为实数，若，则与共线
10．已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则为锐角三角形
C．若面积为，则，则
D．若则
11．已知正方体的棱长为2，E为边CD的中点，P为空间内一动点，则下列说法中正确的是（　　）
A．当P在线段上运动时，四面体的体积为定值
B．当P在正方体表面上运动时，若，则P的轨迹长度为
C．当P在线段AE上运动时，直线与AD成角最小值为
D．当P在线段上运动时，四面体的外接球半径的取值范围为
12．已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为　 　.
13．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是　 　
14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高　 　．
15．已知，，，在复平面内，复数，，对应的点分别为A，B，C．
（1）求；
（2）已知四点A、B、C、D组成平行四边形，求D点坐标以及的值．
16．如图，在正方体中，是棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）若正方体棱长为2，求三棱锥的体积．
17．在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）若时，求的面积．
18．如图，在三棱锥中，平面平面，和都是边长为2的正三角形．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求C的值.
（2）设的外接圆半径为R，内切圆半径为r.
（i）若，，求的周长；
（ii）求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则；相反向量
【解析】【解答】解：.
故答案为：D
【分析】本题考查向量的线性运算，解题核心是利用相反向量的性质和向量加法的三角形法则进行化简。
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：已知是实数，故虚部，解得，因此，=或.
故答案为：D
【分析】本题考查复数的基本概念：复数 （）为实数的充要条件是虚部 。
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：直观图中，直角中，，又，故
由勾股定理得，
画出原图形，则，，，
故，故原图形的面积为.
故答案为：C
【分析】本题考查斜二测画法下直观图与原图的面积关系，解题核心是先分析直观图的几何量，再还原出原图的几何量，最后计算原图面积。
4．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以，所以
故答案为：A
【分析】本题考查复数的除法运算与模的计算，解题核心是先化简复数表达式，再求其模。
5．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，可得，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用向量的数量积运算求解即可.
6．【答案】B
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：由题意，对于A，由面面平行的判定定理可以证出，故A正确；
对于B，因为或，故B错误；
对于C，由面面垂直的判定定理可以证得，故C正确；
对于D，由线面垂直的性质可以证得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据面面平行的判定定理、线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线线平行的判断方法，从而逐项判断找出假命题的选项.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，所以，
故.
故答案为：A
【分析】本题考查向量的线性运算，核心思路是利用中点性质和已知的线段比例关系，将目标向量用基底和表示。
8．【答案】C
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，将侧面PAB，侧面PBC，侧面PCD，侧面PDA展开到一个平面内．
由题意可知，，
设，则，
所以，所以．
由余弦定理可得，
则，即细绳的最短长度为．
故答案为：C.
【分析】将侧面延侧棱展开，再利用余弦的二倍角公式及余弦定理计算边长即可．
9．【答案】B,D
【知识点】共线（平行）向量；相等向量
【解析】【解答】A：两个相等向量的大小和方向完全相同，若起点相同，则终点必然相同，故A正确；
B：当时，与平行、与平行，但与不一定平行，故B错误；
C：若为非零向量，则是与同向的单位向量，故C正确；
D：当时，恒成立，此时与可以是任意向量，不一定共线，故D错误。
故答案为：BD
【分析】A：考查相等向量的定义，相等向量大小相等、方向相同，起点相同则终点必相同；
B：考查向量平行的传递性，零向量与任意向量平行，传递性在涉及零向量时不成立；
C：考查单位向量的定义，非零向量除以其模长得到的是同向单位向量；
D：考查向量共线的判定，当系数均为0时，等式恒成立，向量不一定共线。
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：对于A，因为，
由正弦定理，得，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
又因为，所以，则角为锐角，
但不一定为锐角三角形，故B不正确；
对于C，若面积为，因为，
所以，则，
所以，又因为，所以，故C正确；
对于D，若，
由正弦定理，得，
则，
因为，所以，则，所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由正弦定理边角转化和两角和的正弦公式以及三角形中角C的取值范围，则可判断选项A和选项D；根据数量积的定义和三角形中角的取值范围，从而确定角的取值范围，则判断出三角形的形状，则可判断选项B；根据三角形面积公式和余弦定理，则化简已知等式可得角的大小，则可判断选项C，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】异面直线所成的角；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A，，由于，且由正方体性质可知，
所以由平面、平面，所以平面，
所以点P到平面的距离d即直线到平面的距离，其距离值为定值，
所以，为定值，故A正确；
B，线段在平面的射影为，连接，则，
因为平面，平面，所以，
又，平面，
故平面，又平面，所以，
而在平面内的射影为，
取BC中点M，连AM，则由正方形性质易知，
而平面，平面，则，
又，平面，故平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
取中点N，连接，易得，
所以可唯一确定一个平面，则平面即平面，
所以点P轨迹为四边形，
其长度为，故B错误；
C，过P作于H，连接，易知且平面，
因为平面，所以，
则与AD成角为，且，
随着P从点A运动到E，增大，PH减小，从而增大，增大，
因此当点P位于点A时，成角最小为，故C正确.
D，取AC中点O，过O作平面的垂线，则球心在该直线上，
又由正方体结构特征可知平面平面，从而球心为外心，记为S，
球的半径R为外接圆半径，由正弦定理，
因为且，
又，
所以，故，即，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】A：利用线面平行的性质，判断点到平面的距离为定值，结合三角形面积不变，得出体积为定值；B：通过线面垂直确定点P的轨迹平面，计算轨迹的周长，验证选项给出的长度是否正确；C：将线线角转化为直角三角形中的锐角，分析正切值随P的变化规律，确定最小值；D：利用正弦定理和的取值范围，求解外接圆半径的取值范围，即外接球半径的范围。
12．【答案】
【知识点】圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为，可知母线长，
所以，该圆锥的侧面积与底面积之比为.
故答案为：.
【分析】根据题意得出圆锥母线的长，再利用圆锥的侧面积公式和底面积公式，从而得出该圆锥的侧面积与底面积之比.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：若向量，
则在上的投影向量为.
故答案为：
【分析】本题考查向量投影向量的计算，核心是利用投影向量公式求解。
14．【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：已知，，，则，
由正弦定理得，则，
，
已知，，
，故．
故答案为：
【分析】本题是解三角形的实际应用问题，解题核心是先在△BCD中用正弦定理求出BC的长度，再在Rt△ABC中利用三角函数关系求出塔高AB。
15．【答案】（1）解：由已知条件可得，，，
所以，则，故；
（2）解：由平行四边形的性质可得，已知，
设，则，于是有，
解得，即，进而有，
所以.
【知识点】向量的模；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 先计算出复数 、、 对应的复平面内点 的坐标，再求向量 的坐标，最后计算其模长；
(2) 利用平行四边形对边向量相等的性质求出 点坐标，再根据向量夹角公式计算 。
（1）由已知条件可得，，，
所以，则，故；
（2）由平行四边形的性质可得，已知，
设，则，于是有，
解得，即，进而有，
所以.
16．【答案】（1）证明：连接交于，连接，如图所示：
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又因为是的中点，所以是的中位线，所以，
又因为面，面，所以平面；
（2）解：因为正方体中，平面，
所以．
【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线性质结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）易知平面，利用等体积法，结合锥体的体积公式求解即可.
（1）连接交于，连接，如图，
因为在正方体中，底面是正方形，则是的中点，
又是的中点，则是的中位线，故，
又面，面，所以平面．
（2）因为正方体中，平面，
所以．
17．【答案】（1）解：，
由余弦定理，得，，
又因为，，
化简得， ．
（2）解：由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
【知识点】同角三角函数间的基本关系；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和余弦定理化角为边，从而得出的值.
（2）利用（1）得出角C的余弦值，再利用锐角C的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再根据三角形的面积公式得出的面积．
（1），由余弦定理得，，
又，
，化简得，
．
（2）由（1）得，
为锐角，，
，，
的面积．
18．【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为，是的中点，所以．
又，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为和都是边长为2的等边三角形，
所以，
过作平面，垂足为，连接，
则即为直线与平面所成的角，
因为，
取中点，连接，则，
因为，
所以，解得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1) 取 中点 ，利用正三角形性质证 且 ，再由线面垂直判定定理得 平面 ，从而 ；
(2) 先由面面垂直性质证 平面 ，再用等体积法求点 到平面 的距离 ，最后由线面角定义求 。
（1）证明：取中点，连接，
因为，是的中点，所以．
又，是的中点，所以．
又，平面，
所以平面，又平面，所以．
（2）解：由（1）知，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以
因为和都是边长为2的等边三角形，
所以，
过作平面，垂足为，连接，
则即为直线与平面所成的角，
因为，
取中点，连接，则，
因为，
所以，解得，
所以，即直线与平面所成角的正弦值.
19．【答案】（1）解：因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）解：由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）解：由（ⅰ）可知：，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】(1) 利用同角三角函数关系将 转化为 ，结合三角恒等变换和三角形内角和，求出角 ；
(2)(i) 结合三角形面积公式、外接圆公式和余弦定理，建立关于 的方程，求解周长；
(ii) 将 转化为关于角 的三角函数，结合角 的范围求最大值。
（1）因为，即，
整理可得，即，
因为，则，，
则或或，
即或（舍去）或（舍去），
且，解得.
（2）（ⅰ）由题意可知：，
则，可得，
又因为，则，
由余弦定理可知，
整理可得，
可得，解得或（舍去），
所以的周长；
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，即，
则，
可得
，
且，则，可得，
则，所以的最大值为.
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