资源简介

广东广州市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是(　　)
A．+0.1g B．- 0.3g C．+0.2g D．- 0.4g
2．如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为(　　)
A． B．
C． D．
3．如图，一副直角三角板如图摆放，若∠α=55°，则∠β的度数是(　　)
A．15° B．25° C．35° D．45°
4．下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．将一次函数 的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2，-1，3，-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为(　　)
A． B． C．1 D．
7．为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是(　　)
A． B．
C．600(x-30)=900x D．
8．如图，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△AB'C'，若B'C'⊥AC，∠BAB'=43°，则∠C的度数为(　　)
A．33° B．43° C．47° D．57°
9．如图，A，B是⊙O上的两点，C为劣弧 的中点，∠ACB=120°，若OA=2，则四边形 OACB 的面积为(　　)
A． B．2 C．3 D．4
10．已知非负实数x，y满足3x+y-4=0和2x-y+z=0，则下列式子正确的是(　　)
A．x-z=4 B．0≤x≤1 C．5y-3z=8 D．z≥0
11． 2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为　 　.
12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　.
13．某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图：
该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是　 　年，其最高占比为　 　%.
14． 已知点P(1，m)，Q(3，m)都在抛物线 上，则b=　 　(用含a的代数式表示).
15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”各圆周上的数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同.如图是一个关于有理数的幻圆模型，则a+b的值为　 　.
16．如图，BD是正方形ABCD 的对角线，点E，F分别是 BC，CD 边的中点，作点 E 关于 CD 的对称点C，连接DE，AF，CG，DG，AF交BD于点P，延长AF交DG于点Q.
则下列结论：
①AF=DG； ②AF⊥DE；
③BG=2BP； ④AP=DQ.
其中正确的结论有　 　.(填写所有正确结论的序号)
17．解方程：2(x+1)=5-3x.
18．如图，在 中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.
19．已知
（1）化简P；
（2）若点(x，y)在函数y=x+3的图象上，求P的值.
20．某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下：
个人成绩提升分组(x/分) 频数 知识点掌握度评分(分)
051015根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，成绩提升的中位数所在分组为　 　；
（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升≥10分，请通过计算判断是否达标(求平均数取组中间值)；
（3）AI系统提示：知识点掌握度≥80分，但成绩提升≤5分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由.
21．如图，已知△ABC.
（1）尺规作图：△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，请画出 (保留作图痕迹，不用写作法)；
（2）在(1)的条件下，过点B作BE∥AC交AD 于点E，若线段BE和DE 的长是方程. 的两个实数根，求AC的长.
22．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线 需与一条洋流边界线 >0)交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3，2)相遇.
（1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k；
（2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点 P投放浮标，求点 P的坐标.
23．当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角与折射角 的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率 当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的.
如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B 点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为CA，入射点为C点，MN为法线.测得BN=12mm，液体深度为16mm，∠ACM=60°.
（1）求空气相对该液体的相对折射率；(注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号)
（2）另一束光线BE经该液体折射，折射光线为ED，入射点为E点，PQ为法线，若折射角. 求CE的长；
（3）若n<1，当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线.请利用三角函数的知识来解释这一现象.
24．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为
（1）证明：该抛物线与x轴一定有2个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点 C.点 E为x轴下方抛物线上的一点，且.
①若点 E 的纵坐标为-1，求a的值；
②作点E关于原点的对称点 P，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点 Q.求证：P，A，Q，B四点共圆.
25．【阅读材料】德国数学家约翰内斯·米勒在 1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆AB，在地面(直线l)上的哪个点P能让杆AB看起来最长(也就是 最大).这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一.
利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图②，作⊙O过点A，B且与直线l相切于点 C，当点 P异于点 C时，容易证明 ，所以当点 P 与点 C 重合时， 最大，也就是说，当 的外接圆与l相切时，∠APB最大.
【解决问题】
（1）请完成材料中∠ACB>∠APB的证明；
（2）材料中的最大视角问题，设AB=a，点B 到直线l的距离为b，当 最大时，点P到AB所在直线的距离是多少 (用含a，b的代数式表示)
（3）如图③，E是射线AM上的一点， ，C 是AE的中点.把CB 绕点 C顺时针旋转得到CD，连接DE.求当∠CDE最大时，AC的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：由题意得质量偏差的绝对值表示与标准质量的差距，绝对值越小越接近标准。
，，，。
比较大小得：，因此的偏差最小。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义及绝对值的几何意义，绝对值反映了数在数轴上到原点的距离，对应本题中质量与标准值的偏离程度。只需计算四个选项的绝对值并比较大小，绝对值最小的即为最接近标准质量的选项。
2．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图的列数与俯视图的列数一致，每列的高度由该列小正方体的最大个数决定。
由俯视图可知，几何体从左到右共3列，第1列最高有2个小正方体，第2列最高有3个，第3列最高有1个。
因此主视图从左到右各列高度依次为2、3、1，对应选项B。
故答案为：B
【分析】本题考查由俯视图判断主视图的方法，主视图是从物体正前方观察得到的平面图形。解题时先确定俯视图的列数，再提取每列小正方体的最大数量，即可对应主视图每列的高度，进而确定主视图的形状。
3．【答案】C
【知识点】余角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：由图形可知，两个直角三角板的直角顶点重合，且一条边共线，因此与互余，即。
将代入得：。
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角板的角度特征及余角的定义，两个角的和为则称这两个角互余。本题中两个三角板的直角拼接形成平角，因此两个锐角之和为，已知一个角的度数即可直接求。
4．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：表示9的立方根，而，因此，该选项错误；
B：与不是同类二次根式，被开方数不同，不能直接合并，该选项错误；
C：合并同类项时，系数相加减，字母和指数保持不变，因此，该选项错误；
D：根据积的乘方法则，，因此，该选项正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查立方根的定义、二次根式的加减运算、合并同类项法则及积的乘方运算。解题时需根据每个知识点的运算法则，逐一计算并判断选项的正误，注意区分易混淆的运算规则。
5．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据一次函数图象平移规律“上加下减”，向上平移个单位后，解析式变为。
一次函数不经过第三象限的条件是且。本题中，因此需满足，解得。
选项中只有4满足。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及图象与系数的关系。先根据平移规则得到平移后的解析式，再结合一次函数图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，求解后从选项中选择符合条件的数即可求解。
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；概率公式
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式组的解集为，其整数解为和。
从这4个数中任选一个，共有4种等可能的结果，其中是不等式组整数解的有2种。
根据概率公式，所求概率为
故答案为：A
【分析】本题考查数轴表示不等式组的解集及概率的计算。先根据数轴确定不等式组的整数解范围，找出所有整数解，再统计给定数字中符合条件的个数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设优化后B生产线每小时组装块太阳能板，则A生产线每小时组装块。
A生产线组装900块所用时间为小时，B生产线组装600块所用时间为小时。
根据“两条生产线所用时间相同”的等量关系，可列方程：。
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的实际应用，核心是找准等量关系。先根据B生产线的效率表示出A生产线的效率，再分别用“工作总量÷工作效率”表示出两条生产线的工作时间，最后根据时间相等列出方程。
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，。
∵，∴为直角三角形，。
则，因此。
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质及直角三角形的角度计算。旋转前后图形全等，对应角相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先利用旋转性质得到和与的关系，再结合垂直条件得到直角三角形，利用两锐角互余求出，进而得到的度数。
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、AB，交于点D，
∵C为劣弧的中点，∴，∴AC=BC
又∵OA=OB，OC为公共边，∴OC垂直平分AB，即AD=BD，
∵，∴
又∵OA=OC=OB=2，∴和均为等边三角形，∴，OA=OB=BC=AC=2
因此四边形OACB是菱形，其对角线OC=2，AB=2AD
在中，，由勾股定理得，则AB=2
菱形面积
故答案为：B
【分析】本题考查圆的弦弧关系、等边三角形的判定与性质及菱形的面积计算。连接OC后，根据弧中点的性质得到AC=BC，结合半径相等可证明两个等边三角形，进而得出四边形OACB是菱形。菱形面积等于对角线乘积的一半，求出两条对角线的长度即可计算面积。
10．【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由可得。
∵x、y为非负实数，∴且，解得。
将代入，得，化简得。
A：，仅当时等于4，并非对所有x成立，该选项错误；
B：由上述计算可知，并非，该选项错误；
C：将，代入左边得：，与右边相等，该选项正确；
D：当时，，因此z不一定非负，该选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查代数式的变形及非负实数的性质。先通过已知等式用含x的代数式表示出y和z，再结合非负实数的条件确定x的取值范围，最后将y和z代入各选项逐一验证，判断等式是否恒成立。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：328万=3280000，将其表示为科学记数法的形式，需将小数点向左移动6位，得到，。
因此328万用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法用于表示绝对值较大或较小的数，形式为，其中，n为整数。解题时先将“万”转化为普通整数，再确定a和n的值即可。
12．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。
又∵DF∥AB，同理可得。
将代入，得。
故答案为：
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。
13．【答案】2023；30
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：分别计算各年份科技社团人数的占比：
2022年：；
2023年：；
2024年：；
2025年：。
比较可得，因此占比最高的年份是2023年，最高占比为30%。
故答案为：2023；30
【分析】本题考查条形统计图的数据分析及百分比计算。需要从两个条形图中分别提取每年的总人数和科技社团人数，根据“占比=科技社团人数÷当年总人数×100%”计算各年占比，再比较大小得出结果。
14．【答案】4a
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点P(1，m)和点Q(3，m)的纵坐标相同，且都在抛物线上，∴两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线的对称轴为直线。
又∵抛物线的对称轴公式为，∴，解得。
故答案为：
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称。先根据两点坐标确定对称轴的位置，再结合抛物线对称轴公式建立等式，进而用含a的代数式表示出b。
15．【答案】-4
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据“幻圆”的性质，同一圆周上的数字之和相等，因此内圆周数字之和等于外圆周数字之和。
可列方程：。
左边化简得，右边计算得，因此，解得。
故答案为：
【分析】本题考查有理数的加法及新定义“幻圆”的性质。解题的关键是理解“各圆周上数字之和相同”这一核心条件，据此列出关于a和b的方程，化简后即可求出的值。
16．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
，
，
点，关于对称，
，
，
故①正确；
如下图所示，记交于点H，
由①知，
，
，
，
，
，
故②正确；
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
点，关于对称，
，，
，，三点共线，
点是的中点，
，
，
，
，
故③错误；
如下图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
由①知，
，
点，关于对称，
，
，
又，，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论序号为①②④．
【分析】本题综合考查正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质、轴对称的性质。解题时需逐一分析每个结论：①通过全等三角形和对称性质证明线段相等；②利用全等三角形的对应角相等及直角三角形两锐角互余证明垂直；③通过相似三角形求出BP与BD的关系，再结合对称性质求出BG，比较两者关系；④通过两次全等三角形证明线段相等。
17．【答案】解：去括号，得2x+2=5-3x，
移项，得2x+3x=5-2，
合并同类项，得5x=3，
系数化为1，得
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的解法，按照解一元一次方程的基本步骤，先利用乘法分配律去括号，再通过移项将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
18．【答案】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠AEO=∠CFO，
∵O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
∴在△AEO 和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形对边平行的性质得到AD∥BC，进而推出内错角和相等，再结合O是AC中点得到OA=OC，利用AAS判定△AEO≌△CFO，最后根据全等三角形对应边相等的性质证明AE=CF。
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵点(x，y)在函数y=x+3的图象上，
∴x-y=-3，
【知识点】分式的化简求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算及一次函数图象上点的坐标特征。
（1）先计算括号内的分式减法，将通分后与合并，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母进行因式分解后约分，即可得到化简后的P；
（2）根据点在函数图象上的性质，将点的坐标代入函数解析式得到，变形求出的值，代入化简后的P中即可计算出结果。
20．【答案】（1）8；10（2）解：∵(3×2.5+5×7.5+8×12.5+4×17.5)÷20=10.75(分)>10分，
∴达标；
（3）解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.(答案不唯一，合理即可)
理由：该群体知识点掌握度已达88 分(较高水平)，说明基础知识扎实，但成绩提升仅0-5分，表明可能处于“高原期”——基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升.
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：一共有名学生，
，
总人数为，中位数是第和第个数据的平均值，
前两组的累计频数为，前三组的累计频数为，
成绩提升的中位数所在分组为；
故答案为：8，；
【分析】本题考查频数分布表、中位数的定义、加权平均数的计算及统计数据的实际应用。
（1） 根据总人数等于各组频数之和，用20减去已知三组的频数即可求出m的值；中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均值，通过计算累计频数确定第10和第11个数据所在的分组，即为中位数所在分组；
（2） 取每组的组中值作为该组的代表值，根据加权平均数公式“加权平均数=（各组组中值×对应频数）之和÷总人数”计算平均成绩提升值，与10分比较判断是否达标；
（3）该群体知识点掌握度较高但成绩提升缓慢，说明基础扎实但缺乏突破瓶颈的训练，可据此提出针对性的教学建议。
21．【答案】（1）解：画出△ABD 如解图所示；(作法不唯一)
（2）解：如解图，过点B作BE∥AC交AD于点E，
∴∠EBA=∠BAC，
∵△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，
∴∠BAE=∠BAC，AC=AD，
∴∠EBA=∠BAE，
∴BE=AE，
∵线段 BE 和 DE 的长是方程 的两个实数根，
∴BE+DE=6，
∴AD=AE+DE=BE+DE=6，
∴AC=AD=6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查轴对称的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定及一元二次方程根与系数的关系.
（1）根据轴对称的性质，分别以点A、B为圆心，以AC、BC的长度为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、BD即可得到与关于AB对称的；
（2）由平行线的性质得到，再结合轴对称性质得到，从而推出，证明BE=AE；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于6，即BE+DE=6，进而得到AD=AE+DE=6，最后由轴对称性质得出AC=AD。
22．【答案】（1）解：将A(3，2)分别代入 和 >0)，
得
解得
（2）解：如解图，过点P，A分别作x轴，γ轴的垂线，两垂线交于点 B，连接AP，
则有∠PAB=45°，∠PBA=90°，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，
设P(a， )
则
解得 (舍去)，
∴a=2，
∴P(2，3).
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质.
（1）函数图象上的点满足函数解析式，将交点A(3，2)分别代入一次函数和反比例函数的解析式，解一元一次方程即可求出参数b和k的值；
（2）西北方向即与x轴正方向夹角为135°，因此AP与水平线的夹角为45°，过点P、A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点B，可得为等腰直角三角形，即PB=AB；设点P的坐标为，根据PB=AB列出关于a的方程，求解后舍去与点A重合的解，即可得到点P的坐标。
23．【答案】（1）解：在Rt△BCN中，∠BNC=90°，
∴相对折射率
即空气相对该液体的相对折射率为
（2）解：由(1)可知，
设 则BE=5x，
在Rt△BEQ中，
即
解得 (负值已舍去)，
；
（3）解：由 可得
当n1<1时，则 sinθ2>1，而一个角的正弦不可能大于1，
∴当入射角的正弦值大于相对折射率n时，不存在折射角，也就不出现折射光线.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义及全反射现象的原理解释.
（1）先在中利用勾股定理求出斜边BC的长度，再根据正弦的定义求出入射角的正弦值，结合已知的折射角，代入相对折射率公式计算即可；
（2）利用（1）中求出的折射率和已知的折射角，根据折射率公式求出入射角的正弦值；设，，在中利用勾股定理列出方程，求解得到BQ的长度，最后根据计算CE的长度；
（3）将折射率公式变形为，结合正弦函数的取值范围，分析当且入射角增大时，的变化情况，当时，折射角不存在，从而解释全反射现象。
24．【答案】（1）证明：令y=0，则
∴该抛物线与x轴一定有2个交点；
（2）解：①解：设A(x1，0)，B(x2，0)(x11和x2是方程 的两个根，
设点E(t，s)，
∵∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2，
整理，得
整理，得
∵E(t，s)在抛物线 上，
将其代入①式，可得 当s=-1时，代入可得a=1；
②证明：设点E(t，s)，A(x1，0)，B(x2，0)，
由(2)①可得
∴s=0(舍去)或
证法一：如解图，设直线 PQ与x轴交于点 M，连接AP，EP，BQ，则M(-t，0)，
∵抛物线与x轴交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
当x=-t时，等式变为
∴∠PAB=∠PQB、
∴P，A，Q，B四点共圆.
证法二：∵点
∴PQ的垂直平分线为直线 其中
AB的垂直平分线为直线 设这两条中垂线的交点为N，则
则有
利用平方差公式)，∴AN=PN，
由垂直平分线性质，可知AN=BN=PN=QN，∴P，A，Q，B四点在以点 N为圆心的圆上.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、勾股定理、根与系数的关系及四点共圆的判定.
（1）抛物线与x轴的交点个数由对应的一元二次方程的判别式决定，计算判别式，结合已知条件证明，即可得出抛物线与x轴有两个交点；
（2）①设出A、B、E三点的坐标，根据利用勾股定理列出等式，结合一元二次方程根与系数的关系及点E在抛物线上的条件，化简得到关于s和a的关系式，将s=-1代入即可求出a的值；②由①的结论求出点E的纵坐标为，进而得到点P和点Q的坐标；设直线PQ与x轴交于点M，通过计算和相等，证明，根据“同弧所对圆周角相等”的逆定理，即可证明P、A、Q、B四点共圆。
25．【答案】（1）解：∵⊙O与直线l相切于点C，
∴点C是⊙O与直线l的唯一公共点，
∴当点P异于点C时，点P在圆外，
如图，设AP与⊙O交于点D，连接BD，
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB，
∴∠ACB>∠APB；
（2）解：由题意可知，当点 P与点 C重合时，∠APB最大.
如图，设AB所在直线与l相交于点 F，则CF即为此时点P到AB 所在直线的距离，
连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O与直线l相切于点C，
∴OC⊥CF，
∵OE⊥AB，AB⊥l.
且四边形 OEFC 为矩形，
在Rt△OAE中，
即当∠APB 最大时，点P到AB 所在直线的距离是
（3）解：如图，延长到点F，使，连接，，如图，
∵，，，
在与中，
，
∴，
∴，
由旋转性质可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴当最大时，最大．
在左侧作，使得，连接，
则，
∴，，
∴，
∴，，
∴点F在过点G且与垂直的直线上运动，
∴当的外接圆与直线相切时，最大，
∵延长，交于点H，连接，如图，连接OF，OA，如图，
设，
∵的外接圆与直线相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，即，
∵在中，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及旋转的性质.
（1）设AP与交于点D，连接BD，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质，是的外角，因此，从而证明；
（2）当最大时，的外接圆与直线l相切于点P，过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE=，由切线性质可知OC⊥l，结合AB⊥l可得四边形OEFC为矩形，因此OC=EF=，在中利用勾股定理求出OE的长度，即为点P到AB所在直线的距离；
（3）延长DC到点F，使CF=DC，连接AF、BF，通过SAS证明，得到，从而将求的最大值转化为求的最大值；再利用米勒最大视角问题的结论，结合相似三角形和等边三角形的性质，计算出当最大时AC的长度。
1 / 1广东广州市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷
1．我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是(　　)
A．+0.1g B．- 0.3g C．+0.2g D．- 0.4g
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：由题意得质量偏差的绝对值表示与标准质量的差距，绝对值越小越接近标准。
，，，。
比较大小得：，因此的偏差最小。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义及绝对值的几何意义，绝对值反映了数在数轴上到原点的距离，对应本题中质量与标准值的偏离程度。只需计算四个选项的绝对值并比较大小，绝对值最小的即为最接近标准质量的选项。
2．如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图的列数与俯视图的列数一致，每列的高度由该列小正方体的最大个数决定。
由俯视图可知，几何体从左到右共3列，第1列最高有2个小正方体，第2列最高有3个，第3列最高有1个。
因此主视图从左到右各列高度依次为2、3、1，对应选项B。
故答案为：B
【分析】本题考查由俯视图判断主视图的方法，主视图是从物体正前方观察得到的平面图形。解题时先确定俯视图的列数，再提取每列小正方体的最大数量，即可对应主视图每列的高度，进而确定主视图的形状。
3．如图，一副直角三角板如图摆放，若∠α=55°，则∠β的度数是(　　)
A．15° B．25° C．35° D．45°
【答案】C
【知识点】余角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：由图形可知，两个直角三角板的直角顶点重合，且一条边共线，因此与互余，即。
将代入得：。
故答案为：C
【分析】本题考查直角三角板的角度特征及余角的定义，两个角的和为则称这两个角互余。本题中两个三角板的直角拼接形成平角，因此两个锐角之和为，已知一个角的度数即可直接求。
4．下列各式计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A：表示9的立方根，而，因此，该选项错误；
B：与不是同类二次根式，被开方数不同，不能直接合并，该选项错误；
C：合并同类项时，系数相加减，字母和指数保持不变，因此，该选项错误；
D：根据积的乘方法则，，因此，该选项正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查立方根的定义、二次根式的加减运算、合并同类项法则及积的乘方运算。解题时需根据每个知识点的运算法则，逐一计算并判断选项的正误，注意区分易混淆的运算规则。
5．将一次函数 的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：根据一次函数图象平移规律“上加下减”，向上平移个单位后，解析式变为。
一次函数不经过第三象限的条件是且。本题中，因此需满足，解得。
选项中只有4满足。
故答案为：D
【分析】本题考查一次函数图象的平移规律及图象与系数的关系。先根据平移规则得到平移后的解析式，再结合一次函数图象不经过第三象限的条件，列出关于的不等式，求解后从选项中选择符合条件的数即可求解。
6．某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2，-1，3，-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为(　　)
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；概率公式
【解析】【解答】解：由数轴可知，不等式组的解集为，其整数解为和。
从这4个数中任选一个，共有4种等可能的结果，其中是不等式组整数解的有2种。
根据概率公式，所求概率为
故答案为：A
【分析】本题考查数轴表示不等式组的解集及概率的计算。先根据数轴确定不等式组的整数解范围，找出所有整数解，再统计给定数字中符合条件的个数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷总结果数”计算即可。
7．为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是(　　)
A． B．
C．600(x-30)=900x D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设优化后B生产线每小时组装块太阳能板，则A生产线每小时组装块。
A生产线组装900块所用时间为小时，B生产线组装600块所用时间为小时。
根据“两条生产线所用时间相同”的等量关系，可列方程：。
故答案为：B
【分析】本题考查分式方程的实际应用，核心是找准等量关系。先根据B生产线的效率表示出A生产线的效率，再分别用“工作总量÷工作效率”表示出两条生产线的工作时间，最后根据时间相等列出方程。
8．如图，将△ABC绕点A 顺时针旋转得到△AB'C'，若B'C'⊥AC，∠BAB'=43°，则∠C的度数为(　　)
A．33° B．43° C．47° D．57°
【答案】C
【知识点】旋转的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可知，。
∵，∴为直角三角形，。
则，因此。
故答案为：C
【分析】本题考查旋转的性质及直角三角形的角度计算。旋转前后图形全等，对应角相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。先利用旋转性质得到和与的关系，再结合垂直条件得到直角三角形，利用两锐角互余求出，进而得到的度数。
9．如图，A，B是⊙O上的两点，C为劣弧 的中点，∠ACB=120°，若OA=2，则四边形 OACB 的面积为(　　)
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC、AB，交于点D，
∵C为劣弧的中点，∴，∴AC=BC
又∵OA=OB，OC为公共边，∴OC垂直平分AB，即AD=BD，
∵，∴
又∵OA=OC=OB=2，∴和均为等边三角形，∴，OA=OB=BC=AC=2
因此四边形OACB是菱形，其对角线OC=2，AB=2AD
在中，，由勾股定理得，则AB=2
菱形面积
故答案为：B
【分析】本题考查圆的弦弧关系、等边三角形的判定与性质及菱形的面积计算。连接OC后，根据弧中点的性质得到AC=BC，结合半径相等可证明两个等边三角形，进而得出四边形OACB是菱形。菱形面积等于对角线乘积的一半，求出两条对角线的长度即可计算面积。
10．已知非负实数x，y满足3x+y-4=0和2x-y+z=0，则下列式子正确的是(　　)
A．x-z=4 B．0≤x≤1 C．5y-3z=8 D．z≥0
【答案】C
【知识点】三元一次方程组及其解法；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【解答】解：由可得。
∵x、y为非负实数，∴且，解得。
将代入，得，化简得。
A：，仅当时等于4，并非对所有x成立，该选项错误；
B：由上述计算可知，并非，该选项错误；
C：将，代入左边得：，与右边相等，该选项正确；
D：当时，，因此z不一定非负，该选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查代数式的变形及非负实数的性质。先通过已知等式用含x的代数式表示出y和z，再结合非负实数的条件确定x的取值范围，最后将y和z代入各选项逐一验证，判断等式是否恒成立。
11． 2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：328万=3280000，将其表示为科学记数法的形式，需将小数点向左移动6位，得到，。
因此328万用科学记数法表示为。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法用于表示绝对值较大或较小的数，形式为，其中，n为整数。解题时先将“万”转化为普通整数，再确定a和n的值即可。
12． 如图，点 D，E，F分别在△ABC的三边上，若 则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得。
又∵DF∥AB，同理可得。
将代入，得。
故答案为：
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例。先由DE∥AC得到CD与BD的比例，再由DF∥AB得到AF与FC和BD与CD的关系，代入计算即可。
13．某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图：
该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是　 　年，其最高占比为　 　%.
【答案】2023；30
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】解：分别计算各年份科技社团人数的占比：
2022年：；
2023年：；
2024年：；
2025年：。
比较可得，因此占比最高的年份是2023年，最高占比为30%。
故答案为：2023；30
【分析】本题考查条形统计图的数据分析及百分比计算。需要从两个条形图中分别提取每年的总人数和科技社团人数，根据“占比=科技社团人数÷当年总人数×100%”计算各年占比，再比较大小得出结果。
14． 已知点P(1，m)，Q(3，m)都在抛物线 上，则b=　 　(用含a的代数式表示).
【答案】4a
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点P(1，m)和点Q(3，m)的纵坐标相同，且都在抛物线上，∴两点关于抛物线的对称轴对称。
抛物线的对称轴为直线。
又∵抛物线的对称轴公式为，∴，解得。
故答案为：
【分析】本题考查二次函数图象的对称性，抛物线上纵坐标相同的两点关于抛物线的对称轴对称。先根据两点坐标确定对称轴的位置，再结合抛物线对称轴公式建立等式，进而用含a的代数式表示出b。
15．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”各圆周上的数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同.如图是一个关于有理数的幻圆模型，则a+b的值为　 　.
【答案】-4
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：根据“幻圆”的性质，同一圆周上的数字之和相等，因此内圆周数字之和等于外圆周数字之和。
可列方程：。
左边化简得，右边计算得，因此，解得。
故答案为：
【分析】本题考查有理数的加法及新定义“幻圆”的性质。解题的关键是理解“各圆周上数字之和相同”这一核心条件，据此列出关于a和b的方程，化简后即可求出的值。
16．如图，BD是正方形ABCD 的对角线，点E，F分别是 BC，CD 边的中点，作点 E 关于 CD 的对称点C，连接DE，AF，CG，DG，AF交BD于点P，延长AF交DG于点Q.
则下列结论：
①AF=DG； ②AF⊥DE；
③BG=2BP； ④AP=DQ.
其中正确的结论有　 　.(填写所有正确结论的序号)
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
，
，
点，关于对称，
，
，
故①正确；
如下图所示，记交于点H，
由①知，
，
，
，
，
，
故②正确；
四边形是正方形，
，
，，
，
，
，
是正方形的对角线，
，
，
点，关于对称，
，，
，，三点共线，
点是的中点，
，
，
，
，
故③错误；
如下图所示，连接，
四边形是正方形，
，，
又，
，
，，
由①知，
，
点，关于对称，
，
，
又，，
，
，
，故④正确；
综上所述，正确的结论序号为①②④．
【分析】本题综合考查正方形的性质、全等三角形与相似三角形的判定及性质、轴对称的性质。解题时需逐一分析每个结论：①通过全等三角形和对称性质证明线段相等；②利用全等三角形的对应角相等及直角三角形两锐角互余证明垂直；③通过相似三角形求出BP与BD的关系，再结合对称性质求出BG，比较两者关系；④通过两次全等三角形证明线段相等。
17．解方程：2(x+1)=5-3x.
【答案】解：去括号，得2x+2=5-3x，
移项，得2x+3x=5-2，
合并同类项，得5x=3，
系数化为1，得
【知识点】解含括号的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查一元一次方程的解法，按照解一元一次方程的基本步骤，先利用乘法分配律去括号，再通过移项将含未知数的项移到方程左边，常数项移到右边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1，即可得到方程的解。
18．如图，在 中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：AE=CF.
【答案】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠BCO，∠AEO=∠CFO，
∵O为对角线AC的中点，
∴OA=OC，
∴在△AEO 和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF.
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，先根据平行四边形对边平行的性质得到AD∥BC，进而推出内错角和相等，再结合O是AC中点得到OA=OC，利用AAS判定△AEO≌△CFO，最后根据全等三角形对应边相等的性质证明AE=CF。
19．已知
（1）化简P；
（2）若点(x，y)在函数y=x+3的图象上，求P的值.
【答案】（1）解：
（2）解：∵点(x，y)在函数y=x+3的图象上，
∴x-y=-3，
【知识点】分式的化简求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】本题考查分式的混合运算及一次函数图象上点的坐标特征。
（1）先计算括号内的分式减法，将通分后与合并，再将除法运算转化为乘法运算，对分子分母进行因式分解后约分，即可得到化简后的P；
（2）根据点在函数图象上的性质，将点的坐标代入函数解析式得到，变形求出的值，代入化简后的P中即可计算出结果。
20．某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下：
个人成绩提升分组(x/分) 频数 知识点掌握度评分(分)
051015根据以上信息，解答下列问题：
（1）m=　 　，成绩提升的中位数所在分组为　 　；
（2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升≥10分，请通过计算判断是否达标(求平均数取组中间值)；
（3）AI系统提示：知识点掌握度≥80分，但成绩提升≤5分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由.
【答案】（1）8；10（2）解：∵(3×2.5+5×7.5+8×12.5+4×17.5)÷20=10.75(分)>10分，
∴达标；
（3）解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.(答案不唯一，合理即可)
理由：该群体知识点掌握度已达88 分(较高水平)，说明基础知识扎实，但成绩提升仅0-5分，表明可能处于“高原期”——基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升.
【知识点】频数（率）分布表；加权平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：一共有名学生，
，
总人数为，中位数是第和第个数据的平均值，
前两组的累计频数为，前三组的累计频数为，
成绩提升的中位数所在分组为；
故答案为：8，；
【分析】本题考查频数分布表、中位数的定义、加权平均数的计算及统计数据的实际应用。
（1） 根据总人数等于各组频数之和，用20减去已知三组的频数即可求出m的值；中位数是将数据从小到大排列后中间两个数的平均值，通过计算累计频数确定第10和第11个数据所在的分组，即为中位数所在分组；
（2） 取每组的组中值作为该组的代表值，根据加权平均数公式“加权平均数=（各组组中值×对应频数）之和÷总人数”计算平均成绩提升值，与10分比较判断是否达标；
（3）该群体知识点掌握度较高但成绩提升缓慢，说明基础扎实但缺乏突破瓶颈的训练，可据此提出针对性的教学建议。
21．如图，已知△ABC.
（1）尺规作图：△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，请画出 (保留作图痕迹，不用写作法)；
（2）在(1)的条件下，过点B作BE∥AC交AD 于点E，若线段BE和DE 的长是方程. 的两个实数根，求AC的长.
【答案】（1）解：画出△ABD 如解图所示；(作法不唯一)
（2）解：如解图，过点B作BE∥AC交AD于点E，
∴∠EBA=∠BAC，
∵△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，
∴∠BAE=∠BAC，AC=AD，
∴∠EBA=∠BAE，
∴BE=AE，
∵线段 BE 和 DE 的长是方程 的两个实数根，
∴BE+DE=6，
∴AD=AE+DE=BE+DE=6，
∴AC=AD=6.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】本题考查轴对称的尺规作图、平行线的性质、等腰三角形的判定及一元二次方程根与系数的关系.
（1）根据轴对称的性质，分别以点A、B为圆心，以AC、BC的长度为半径作弧，两弧交于点D，连接AD、BD即可得到与关于AB对称的；
（2）由平行线的性质得到，再结合轴对称性质得到，从而推出，证明BE=AE；根据一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于6，即BE+DE=6，进而得到AD=AE+DE=6，最后由轴对称性质得出AC=AD。
22．某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线 需与一条洋流边界线 >0)交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3，2)相遇.
（1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k；
（2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点 P投放浮标，求点 P的坐标.
【答案】（1）解：将A(3，2)分别代入 和 >0)，
得
解得
（2）解：如解图，过点P，A分别作x轴，γ轴的垂线，两垂线交于点 B，连接AP，
则有∠PAB=45°，∠PBA=90°，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴PB=AB，
设P(a， )
则
解得 (舍去)，
∴a=2，
∴P(2，3).
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的实际应用；反比例函数-动态几何问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用及等腰直角三角形的性质.
（1）函数图象上的点满足函数解析式，将交点A(3，2)分别代入一次函数和反比例函数的解析式，解一元一次方程即可求出参数b和k的值；
（2）西北方向即与x轴正方向夹角为135°，因此AP与水平线的夹角为45°，过点P、A分别作x轴、y轴的垂线，两垂线交于点B，可得为等腰直角三角形，即PB=AB；设点P的坐标为，根据PB=AB列出关于a的方程，求解后舍去与点A重合的解，即可得到点P的坐标。
23．当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象.物理学中把入射角与折射角 的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率 当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的.
如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B 点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为CA，入射点为C点，MN为法线.测得BN=12mm，液体深度为16mm，∠ACM=60°.
（1）求空气相对该液体的相对折射率；(注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号)
（2）另一束光线BE经该液体折射，折射光线为ED，入射点为E点，PQ为法线，若折射角. 求CE的长；
（3）若n<1，当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线.请利用三角函数的知识来解释这一现象.
【答案】（1）解：在Rt△BCN中，∠BNC=90°，
∴相对折射率
即空气相对该液体的相对折射率为
（2）解：由(1)可知，
设 则BE=5x，
在Rt△BEQ中，
即
解得 (负值已舍去)，
；
（3）解：由 可得
当n1<1时，则 sinθ2>1，而一个角的正弦不可能大于1，
∴当入射角的正弦值大于相对折射率n时，不存在折射角，也就不出现折射光线.
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查勾股定理、锐角三角函数的定义及全反射现象的原理解释.
（1）先在中利用勾股定理求出斜边BC的长度，再根据正弦的定义求出入射角的正弦值，结合已知的折射角，代入相对折射率公式计算即可；
（2）利用（1）中求出的折射率和已知的折射角，根据折射率公式求出入射角的正弦值；设，，在中利用勾股定理列出方程，求解得到BQ的长度，最后根据计算CE的长度；
（3）将折射率公式变形为，结合正弦函数的取值范围，分析当且入射角增大时，的变化情况，当时，折射角不存在，从而解释全反射现象。
24．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线的表达式为
（1）证明：该抛物线与x轴一定有2个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点 C.点 E为x轴下方抛物线上的一点，且.
①若点 E 的纵坐标为-1，求a的值；
②作点E关于原点的对称点 P，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点 Q.求证：P，A，Q，B四点共圆.
【答案】（1）证明：令y=0，则
∴该抛物线与x轴一定有2个交点；
（2）解：①解：设A(x1，0)，B(x2，0)(x11和x2是方程 的两个根，
设点E(t，s)，
∵∠AEB=90°，∴AE2+BE2=AB2，
整理，得
整理，得
∵E(t，s)在抛物线 上，
将其代入①式，可得 当s=-1时，代入可得a=1；
②证明：设点E(t，s)，A(x1，0)，B(x2，0)，
由(2)①可得
∴s=0(舍去)或
证法一：如解图，设直线 PQ与x轴交于点 M，连接AP，EP，BQ，则M(-t，0)，
∵抛物线与x轴交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
当x=-t时，等式变为
∴∠PAB=∠PQB、
∴P，A，Q，B四点共圆.
证法二：∵点
∴PQ的垂直平分线为直线 其中
AB的垂直平分线为直线 设这两条中垂线的交点为N，则
则有
利用平方差公式)，∴AN=PN，
由垂直平分线性质，可知AN=BN=PN=QN，∴P，A，Q，B四点在以点 N为圆心的圆上.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；二次函数与一元二次方程的综合应用；幻方、幻圆数学问题
【解析】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系、勾股定理、根与系数的关系及四点共圆的判定.
（1）抛物线与x轴的交点个数由对应的一元二次方程的判别式决定，计算判别式，结合已知条件证明，即可得出抛物线与x轴有两个交点；
（2）①设出A、B、E三点的坐标，根据利用勾股定理列出等式，结合一元二次方程根与系数的关系及点E在抛物线上的条件，化简得到关于s和a的关系式，将s=-1代入即可求出a的值；②由①的结论求出点E的纵坐标为，进而得到点P和点Q的坐标；设直线PQ与x轴交于点M，通过计算和相等，证明，根据“同弧所对圆周角相等”的逆定理，即可证明P、A、Q、B四点共圆。
25．【阅读材料】德国数学家约翰内斯·米勒在 1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆AB，在地面(直线l)上的哪个点P能让杆AB看起来最长(也就是 最大).这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一.
利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图②，作⊙O过点A，B且与直线l相切于点 C，当点 P异于点 C时，容易证明 ，所以当点 P 与点 C 重合时， 最大，也就是说，当 的外接圆与l相切时，∠APB最大.
【解决问题】
（1）请完成材料中∠ACB>∠APB的证明；
（2）材料中的最大视角问题，设AB=a，点B 到直线l的距离为b，当 最大时，点P到AB所在直线的距离是多少 (用含a，b的代数式表示)
（3）如图③，E是射线AM上的一点， ，C 是AE的中点.把CB 绕点 C顺时针旋转得到CD，连接DE.求当∠CDE最大时，AC的长.
【答案】（1）解：∵⊙O与直线l相切于点C，
∴点C是⊙O与直线l的唯一公共点，
∴当点P异于点C时，点P在圆外，
如图，设AP与⊙O交于点D，连接BD，
∴∠ACB=∠ADB，
∵∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB，
∴∠ACB>∠APB；
（2）解：由题意可知，当点 P与点 C重合时，∠APB最大.
如图，设AB所在直线与l相交于点 F，则CF即为此时点P到AB 所在直线的距离，
连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E，
∵⊙O与直线l相切于点C，
∴OC⊥CF，
∵OE⊥AB，AB⊥l.
且四边形 OEFC 为矩形，
在Rt△OAE中，
即当∠APB 最大时，点P到AB 所在直线的距离是
（3）解：如图，延长到点F，使，连接，，如图，
∵，，，
在与中，
，
∴，
∴，
由旋转性质可知，，，
∴，，
∴，
∴，
∴当最大时，最大．
在左侧作，使得，连接，
则，
∴，，
∴，
∴，，
∴点F在过点G且与垂直的直线上运动，
∴当的外接圆与直线相切时，最大，
∵延长，交于点H，连接，如图，连接OF，OA，如图，
设，
∵的外接圆与直线相切，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，即，
∵在中，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】本题考查圆周角定理、圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及旋转的性质.
（1）设AP与交于点D，连接BD，根据圆周角定理可得，再根据三角形外角的性质，是的外角，因此，从而证明；
（2）当最大时，的外接圆与直线l相切于点P，过圆心O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理得到AE=BE=，由切线性质可知OC⊥l，结合AB⊥l可得四边形OEFC为矩形，因此OC=EF=，在中利用勾股定理求出OE的长度，即为点P到AB所在直线的距离；
（3）延长DC到点F，使CF=DC，连接AF、BF，通过SAS证明，得到，从而将求的最大值转化为求的最大值；再利用米勒最大视角问题的结论，结合相似三角形和等边三角形的性质，计算出当最大时AC的长度。
1 / 1

展开更多......

收起↑