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广东省汕头市潮阳区部分校2026年九年级数学二模试卷
1．验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”.通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　）
A．-2.50D B．-0.75D C．-1.25D D．-1.50D
2．下列运算结果为x6的是（　　）
A． B． C． D．（x3）3
3．华为mate某系列手机采用的是5纳米的麒麟9000芯片，5纳米用科学记数法表示是5×10-9米，那么5×10-9所代表的原数是（　　）
A．0.00000005 B．0.000000005
C．0.0000000005 D．0.000000009
4．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　）
A． B． C． D．
5．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海”天生羁绊系列“手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
7． 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子. 为说明命题“对于任何实数 a，都有 是假命题，所列举反例正确的是（　　)
A．a=1 B．a=0 C．a=-2 D．
8．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　）
A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm
9． 数学来源于生活，又服务于生活. 以下四幅图中用数学原理解释不正确的是 （　　)
A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了 90°的圆周角所对的弦是直径
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为 1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 SAS
D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
10．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连接MN，GH交于点P，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．写出一个大于2的无理数　 　．
12．命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是第　 　题
用平方差公式分解下列各式：①-a2-b2；②a2-b2；③-a2+b2；
13．如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为　 　．
14．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点 B旋转，连接杆 DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中， DE 的长度保持不变.若DE=10cm， ∠DEB=22°， ∠B=45°，则BE的长度为　 　cm.（结果保留整数，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
15．如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点（2，0）中心对称.若点A0（0，y0），A1（0.2，y1），A2（0.4，y2），A3（0.6，y3）…A19（3.8，y19）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是　 　.
16．化简求值：，其中
17．在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解.
如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为求x的取值范围
小明的分析过程如下：
第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为
第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为 ▲ ②；
第三步：解不等式①得 ▲ ，解不等式②得 ▲ ；
第四步：得出x的取值范围是 ▲ .
请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来.
18．如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若∠A=30°，菱形ABDC的面积为2，则菱形ABDC的周长为　 　.
19．某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验.从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）.有关生产和销售的信息整理如下：
信息一：单株产量（单位：千克）
A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0
B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0
信息二：口感评分频数分布
农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8-9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）；
A、B温室口感评分分布对比
农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表：
温室 单株产量 口感评分
平均数 众数 平均数 方差 中位数
A 1.77 a 8.7 0.49 8.9
B 1.72 2.0 8.4 0.74 b
信息三：产品销售
农场将收获的部分草莓进行了包装销售.其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元.已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=　 　，b=　 　；
（2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有　 　株；
（3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案 请说明理由；
（4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的60%，每盒“家庭装”的成本是售价的70%，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半.作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大 最大利润是多少元
20．在坐标系中，抛物线与y轴交于点M，抛物线经过点（1，-1）.
（1） n=　 　（用含有a的式子表示）；
（2）若m=-2，点P在W1上，且点P的纵坐标为-5.请说明P是否在W2上
（3）直线y=kx+m（k<0）交W1于点M，N，若线段MN的中点Q为直线MN与W2的唯一公共点，求a的值.
21．综合与实践
木工中蕴含着丰富的数学知识.如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题.
如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条MOBP中MO∥PB，窄木条NOAQ中ON∥AQ，∠MOB=∠NOA=135°），当遇到转角为直角（∠MON=90°）的地面时，发现拼接后点A与点B不能重合.在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接.
第一步：如图2，画出QA的延长线，交BP于点C，连接OC；
第二步：如图3，沿着射线OB方向，平移窄木条NOAQ，得到N'O'A'Q'，使点A'与点B重合，延长MO，交窄木条的边N'O'于点D，连接BD；
第三步：沿着OC、BD切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接.
（1）如图4，如果宽木条MOBP的宽度为12cm，窄木条NOCQ的宽度为8cm，宽木条MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP=　 　；
（2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性；
（3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为2：1的两根长方形木条切割后拼接辅入该转角处，则tanα=　 　
22．【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.
【示例】如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形.ABCD'
【性质探究】小明同学研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°，①，
②
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上.
（1）请补全小明同学的证明过程.
（2）【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E.
①求证：四边形APED是“对直四边形”；
②若AB=8，AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.
（3）【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC（k为正实数）.点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F.请求出的值（用含k的式子表示）.
23．在平面直角坐标系xOy中.
（1）如图1，点K（2，0）绕点L（0，4）顺时针旋转90°得到点K'，则点K'的坐标为　 　；
（2）如图2，点A（2，0），B（0，2），若直线AB绕点B顺时针旋转60°得到直线BC，直线BC与x轴交于点C，求点C的坐标；
（3）如图3，直线l分别与函数的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转45°，与函数的图象交于点F，连接DF，若DF∥x轴，求的值.
（4）如图4，已知抛物线与x轴交于点P，Q，以x轴上的点H（m，0）为旋转中心，将抛物线G绕点H旋转180°得到一个新抛物线G1，过点H（m，0）作x轴垂线，分别交抛物线G和抛物线G1于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为G2.当平行于m轴的直线与G2的公共点个数为3个时，请直接写出此时m的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：近视200度记录为-2.00D
∵-0.75D<-1.25D<-1.50D<-2.00D<-2.50D
故答案为：A
【分析】根据题意比较大小即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：（x3）3=x9，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法a×10 n（1≤a<10，n为正整数）还原为原数的方法是：将a的小数点向左移动n位。本题中a=5，n=9，将5的小数点向左移动9位，得到原数为0.000000005.
故答案为：B.
【分析】由科学记数法表示绝对值小于 1 的数的还原规则，确定指数n的值与小数点移动的位数关系；再将数字5的小数点向左移动9位，即可得到5×10 9对应的原数.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
能够塞住木板上三个孔洞的塞子是
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】该盲盒共有 8 个不同的基本款，每个盲盒随机放入其中一款，因此所有等可能的结果共有 8 种；其中 “藕粉哪吒” 只有 1 种，根据古典概型概率公式：P(买中藕粉哪吒)=.
故答案为：A.
【分析】 由题目给出的条件，确定所有等可能的基本结果总数为 8；再确定 “买中藕粉哪吒” 这一事件包含的基本结果数为 1；最后代入古典概型的概率计算公式，直接计算出对应概率.
6．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
7．【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵
∴a≥0
∴所列举反例正确的是a=-2
故答案为：C
【分析】根据二次根式的非负性，结合举反例判断命题真假即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设截面圆的半径为r cm，则OA=OD=r cm.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6 cm，
∵CD=3 cm，
∴OC=OD CD=(r 3) cm.
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，
代入得：r2=62+(r 3)2
展开化简：r2=36+r2 6r+9，
6r=45，
r=7.5.
∴ 截面圆的半径为7.5 cm，
故答案为：D.
【分析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到弦AB被平分，算出AC的长度；设截面圆半径为r，用r表示出OC的长度；再在Rt△OAC中应用勾股定理建立关于r的一元一次方程，解方程即可求出截面圆的半.
9．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A：图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了 90°的圆周角所对的弦是直径，正确，不符合题意；
B：图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，正确，不符合题意；
C：图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为 1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角
形全等中的判别方法 ASA，错误，符合题意；
D：图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据圆周角定义，三角形的稳定性，全等三角形判定定理，垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；几何体的展开图；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】设正方体的棱长为1，以点G为原点建立平面直角坐标系，可得各点坐标：G(0，0)，H(3，1)，M(1， 1)，N(2，1)。
由待定系数法可得：直线GH的解析式为y=x，直线MN的解析式为y=2x 3。
联立两条直线的方程：
解得，
即交点P的坐标为.
根据两点间距离公式（勾股定理）计算线段长度：
NP==
MP==，
因此=，
故答案为：C.
【分析】由正方体“一四一”型表面展开图的结构特征，建立平面直角坐标系确定各顶点坐标；利用待定系数法求出两条相交直线的解析式，联立方程得到交点P的坐标；再通过两点间距离公式分别计算NP和MP的长度，最终化简得到两条线段的比值.
11．【答案】如 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。
12．【答案】①
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】① a2 b2= (a2+b2)，是两个平方项的和，不符合平方差公式 “平方差” 的结构，不能用平方差公式分解因式；
②a2 b2，直接符合平方差公式，可分解为(a+b)(a b)；
③ a2+b2=b2 a2，符合平方差公式，可分解为(b+a)(b a)；
④4m2 25n2=(2m)2 (5n)2，符合平方差公式，可分解为(2m+5n)(2m 5n)。
故答案为：①.
【分析】由平方差公式的核心结构 “两项异号，且两项均能写成某个整式的平方”，逐一检验四个多项式的形式；其中只有①变形后为两个平方项的和，不满足平方差公式的适用条件，其余三个均符合公式结构，可以分解.
13．【答案】18°
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，
∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°．
故答案为18°．
【分析】根据正多边形内角性质求出每个内角，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】13
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△DEF中，DE＝10cm，cos22°≈0.93，∴EF＝0.93×10≈9.3cm，
∵∠B＝45°，∴BF＝DF，∵sin22°≈0.37
∴DF＝DE sin22≈3.7cm，∴EB＝EF＋BF≈9.3＋3.7＝13（cm）．
故答案为：13cm.
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，在Rt△DBF中，解直角三角形求出DF和BF的长度，在Rt△DEF中，解直角三角形求出EF的长度，再根据EB＝EF＋BF解答即可．
15．【答案】-8
【知识点】函数值；用代数式表示图形变化规律；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】已知函数y=x3 6x2+12x 8的图象关于点(2，0)中心对称，根据中心对称的性质：若点(x，y)在函数图象上，则其关于(2，0)的对称点(4 x， y)也在函数图象上，即f(x)+f(4 x)=0。
题目中给出的点横坐标从0开始，依次增加0.2，共20个点：A0(0，y0)，A1(0.2，y1)，…，A10(2，y10)，…，A19(3.8，y19)。
点A1(0.2)与A19(3.8)满足0.2+3.8=4，因此y1+y19=0；
点A2(0.4)与A18(3.6)满足0.4+3.6=4，因此y2+y18=0；
…
点A9(1.8)与A11(2.2)满足1.8+2.2=4，因此y9+y11=0；
剩余点A10(2，y10)，代入函数得y10=23 6×22+12×2 8=0；
剩余点A0(0，y0)，代入函数得y0=03 6×02+12×0 8= 8。
因此总和为：
y0+y1+y2+…+y19=y0+(y1+y19)+(y2+y18)+…+(y9+y11)+y10= 8+0+0+…+0+0= 8.
故答案为：-8.
【分析】由函数关于点(2，0)中心对称，推导得出核心性质f(x)+f(4 x)=0；观察所有点的横坐标，找出横坐标和为4的对称点对，利用性质得到每对函数值的和为0；再单独计算剩余两个点A0和A10的函数值，最后将所有部分相加得到最终结果.
16．【答案】解：
=2xy，
把代入得：原式
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式展开(x+y)2，利用平方差公式展开(x+y)(x y)；再通过合并同类项消去x2和y2项，得到最简整式2xy；最后将x、y的值代入最简式，根据二次根式乘法法则计算出最终结果.
17．【答案】解：9-x>3（x-1）；
解不等式①得x>1；
解不等式②得x<3；
得出x的取值范围是1不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】由数轴上数的大小规律“右边的数总比左边的数大”，将点A、B、C的位置关系转化为两个一元一次不等式，组成不等式组；按照一元一次不等式的解法步骤分别求解两个不等式；再取两个解集的公共部分，得到x的最终取值范围；最后按照数轴表示不等式解集的规则，正确画出解集.
18．【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所求；（其他方法亦可）
（2）8
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，
设菱形的边长AB=AC=x，在Rt△ABE中，∠A=30 ，
∴BE=AB=x（直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半）.
菱形的面积公式为S=底×高，以AC为底，BE为高，
∴S菱形ABDC=AC BE=x x=x2，
已知菱形面积为2，代入得：x2=2，解得x2=4，x=2（边长为正数，舍去负根）.
∵ 菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABDC的周长=4×2=8.
故答案为：8
【分析】（1）由菱形判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，推导出需构造对角线AD与BC互相垂直平分；由AB=AC，根据等腰三角形 “三线合一”，可知点A在BC的垂直平分线上；由尺规作图 “作已知线段的垂直平分线” 的基本操作，作出BC的垂直平分线，在BC下方截取ED=AE，则AD与BC互相垂直平分；连接BD、CD，得到对角线互相垂直平分的四边形ABDC，即为所求菱形.
（2）由菱形的性质“四条边相等”，设菱形边长AB=AC=x，将所有边长统一用x表示；由已知∠A=30 ，为求菱形面积，过B作AC边上的高BE，结合直角三角形性质“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，推导出高BE=AB=x；由菱形面积公式“面积 = 底 × 高”，以AC为底、BE为高，代入得S菱形=x x=x2；由已知菱形面积为2，建立方程x2=2，解方程得x=2（边长为正，舍去负根）；由菱形周长公式“周长 = 4× 边长”，代入x=2，计算得周长为4×2=8.
19．【答案】（1）2.0；8.4
（2）1400
（3）解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下：
①A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高；
②A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀.
（4）解：设售出“精品礼盒”x盒，则“家庭装”售出（60-x）盒，总利润为w元，
由题意得，解得x≤40，
由题意得，
∵24>0，∴w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w的最大值为24×40+1440=2400（元），此时60-x=60-40=20（盒），
∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元.
【知识点】解一元一次不等式；中位数；众数；一次函数的实际应用-销售问题；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，A 温室单株产量中，2.0 出现了 4 次，出现次数最多，因此a=2.0.
中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据时为中间两个数的平均数）.B 温室共有 10 个口感评分数据，中位数为第 5、6 个数据的平均数，由频数分布可知，B 温室 7-8 分有 3 个，8-9 分的 4 个数据为 8.2、8.3、8.5、8.7，9-10 分有 3 个，将数据从小到大排列后，第 5 个数据为 8.3，第 6 个数据为 8.5，因此中位数b==8.4.
故答案为：2.0，8.4.
（2）A 温室随机抽取的 10 株草莓中，单株产量不低于 1.8 千克的有 7 株，频率为，因此 2000 株草莓中，单株产量不低于 1.8 千克的约有：2000×=1400 株.
【分析】（1）由众数的定义（一组数据中出现次数最多的数），到统计 A 温室 10 个单株产量数据中各数值的出现次数；发现 2.0 出现 4 次，出现次数最多，因此得到a=2.0.
由中位数的定义（偶数个数据时，为排序后第 5、6 个数的平均数），到结合频数分布直方图确定 B 温室 10 个口感评分的分组；由题目给出的 “8-9 分区间的 4 个具体数据：8.2、8.3、8.5、8.7”，将 10 个数据从小到大完整排序；找到第 5 个数为 8.3，第 6 个数为 8.5，计算平均数得到8.4.
（2）由用样本估计总体的统计思想，到计算样本（10 株 A 温室草莓）中单株产量不低于 1.8 千克的频率；统计得样本中符合条件的有 7 株，频率为；用总体数量 2000 乘以该频率，得到估算值2000×=1400株.
（3）由单株产量的平均数（A：1.77 > B：1.72），得出 A 温室平均产量更高，经济效益更好；由口感评分的平均数（A：8.7 > B：8.4），得出 A 温室草莓平均口感更好，更受消费者欢迎；由口感评分的方差（A：0.49 < B：0.74），得出 A 温室草莓口感波动更小，品质更均匀稳定；综合以上三点，最终推荐采用 A 温室的种植方案.
（4）由总销量 60 盒，设 “精品礼盒” 售出x盒，则 “家庭装” 售出(60 x)盒；由 “家庭装数量不少于精品礼盒的一半” 这一约束条件，列出不等式60 x≥12x，解得x≤40；由 “单盒利润 = 售价 ×(1 - 成本率)”，分别算出精品礼盒单利 48 元、家庭装单利 24 元；由 “总利润 = 两种礼盒利润之和”，建立一次函数解析式w=48x+24(60 x)=24x+1440；由一次函数的系数k=24>0，得出w随x的增大而增大；结合自变量的最大值x=40，代入函数得到最大利润w=24×40+1440=2400元；由x=40，算出家庭装销量为60 40=20盒.
20．【答案】（1）3a-1
（2）解：当m=-2时，则
当时，解得或P（3，-5），
由（1）知：
∴当x=1时，y=a-4a+3a-1=-1；当x=3时，y=9a-12a+3a-1=-1；
∴点P不在抛物线W2上
（3）解：根据题意联立得
令方程的两个根为x1，x2，即点M，N的横坐标分别为
∵线段MN的中点Q为直线MN与W2的唯一公共点，∴中点Q的横坐标为
得
整理得4a+k=4a+ak，∴（a-1）k=0，
∵k<0，∴a-1=0，∴a=1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 抛物线W2：y=ax2 4ax+n经过点(1， 1)，
∴ 将x=1，y= 1代入解析式得：a×12 4a×1+n= 1，
化简得：a 4a+n= 1，解得：n=3a 1.
故答案为：3a 1.
【分析】(1)由 “点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式”，将已知点(1， 1)代入W2的解析式，得到关于n的一元一次方程，解方程即可得到n用a表示的式子.
(2) 由已知m= 2确定W1的解析式，由点P的纵坐标列一元二次方程，求出点P的两个可能坐标；再将两个坐标分别代入W2的解析式，验证纵坐标是否匹配，从而判断点P是否在W2上.
(3) 由直线与W1相交，联立方程得到一元二次方程，利用韦达定理求出线段MN中点Q的横坐标；由直线与W2只有一个公共点，推出直线与抛物线相切，利用 “二次函数与直线相切时，切点横坐标为” 得到切点横坐标；结合 “中点与切点为同一点” 建立等式，化简后结合k<0的条件，最终求出a的值.
21．【答案】（1）
（2）思路：只要证明OC和BD能重合（即OC=BD），且∠即可
解：∵MO∥PB，∠MOB=135°，∴∠OBP=180°-∠MOB=45°，
∵NO∥N'O'，∠NOB=135°，∠MON=90°，∴∠OO'N'=45°，∠ODN'=90°，
同理可得∠OAQ=∠OA'O'=45°，∴∠PBQ'=90°，∴∠ODN'=∠MON=90°，∴∠ODO'=90°，
∵N08QA，∠MON=90°，即MO⊥NO，
又∵MO∥BP，NO∥QA，∴QC⊥PB，∴∠ACB=90°，故△ODO'和△ACB都是等腰直角三角形，由平移得OA=O'B，∴OO'=AB，
在Rt△ODO'和Rt△ACB中，
∵OD∥CB，∴四边形ODBC是平行四边形，∴OCBD，OC=BD，∴∠OCP=∠DBP，
∴∠OCP+∠DBQ'=∠DBP+∠DBQ'=∠PBQ'=90°，即可完成拼接
（3）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）木条的宽度为其两条边之间的垂直距离，设切割线为OC，过点O作OE⊥PB于点E，则OE=12 cm（宽木条的宽度）；
过点C作CF⊥MO于点F，则CF=8 cm（窄木条的宽度）。
∵MO∥PB，
∴∠OCP=∠COF（内错角相等）。
拼接后形成直角，故∠OCP+∠DBQ=90 ，
又∠COF+∠OCF=90 ，
∴∠OCF=∠DBQ。
在Rt△OEC中，OE=OC sin∠OCP；
在Rt△OFC中，CF=OC sin∠OCF=OC sin(90 ∠OCP)=OC cos∠OCP。
两式相除得：，
代入数值：tan∠OCP=.
（3）设窄木条的宽度为k，则宽木条的宽度为2k。类比第 (1) 问的模型，转角为60 ，因此两个切割角之和为60 ，即α+(60 α)=60 。
设公共切割线段长为L，则宽木条的宽度2k=L sinα，窄木条的宽度k=L sin(60 α)。
两式相除得：，即.
交叉相乘化简：
cosα sinα=sinα，
cosα=2sinα，
两边同时除以cosα（cosα≠0）
得：tanα=.
【分析】(1) 由木条宽度的定义（平行线间的垂直距离），结合拼接后形成直角的条件，推导出两个切割角互余；再利用直角三角形的边角关系，将两个宽度表示为切割角的正弦和余弦，通过比值直接得到tan∠OCP的值.
(2)由平行线的性质和已知的135 角，推导出相关的45 角和直角，判定两个等腰直角三角形；由平移的性质得到线段相等，进而证明四边形ODBC是平行四边形，得出OC与BD重合；最后利用平行线的同位角相等，证明两个切割角之和为90 ，完成拼接合理性的证明。
(3) 类比第 (1) 问的通用模型，将转角从90 推广到60 ，得到两个切割角之和为60 ；同样利用直角三角形的边角关系，建立宽度比与切割角正弦值的等式，通过三角恒等变换求解出tanα的值.
22．【答案】（1）BD的中点为O

（2）解：①连接DP，设圆心为O，
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴DP为⊙O的直径，∴∠DEP=90°，∴四边形APED是“对直四边形”；
②矩形ABCD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得对角线AC===10.
由 (1) 知A、P、E、D四点共圆，且∠DEP=90 ，∠DPE=∠DAE（同弧DE所对的圆周角相等）。
∵∠DEP=∠ADC=90 ，
∴△DPE∽△DAC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴，即，可得PE=DP，DE=DP，
当AE=DE
此时∠EAD=∠EDA。
∵∠ADC=90 ，
∴DE=AE=EC=AC=5（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
代入DE=DP，解得DP=。
∴PE=×=。
当AD=AE=6
在△ADE中，由余弦定理得：DE2=AD2+AE2 2 AD AE cos∠DAE
其中cos∠DAE=ADAC==，
代入得：DE2=62+62 2×6×6×=，
∴DE=，代入DE=DP，得=DP，解得DP=。
∴PE=×=。
当AD=DE=6代入DE=DP，得6=45DP，解得DP=152。∴PE=35×152=92。
·
综上，PE的长为154或955或92。
PE的长为或或
（3）解：设圆心为点O，连接DP，DE，DF，
∵在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，且AB=kBC（k为正实数）.
∴∠PAD=90°，∴DP是⊙O的直径，∴∠PED=90°，∴∠PED=∠ADC=90°，
∵∠DPE=∠DAE，∴△PDE∽△ACD，∴PE=DE，∴DE=kPE，
∵∠DEF=∠DCF=90°，∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等，
∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上，∴∠DCE=∠DFE，
∵∠DEF=∠ADC=90°，∴△DFE∽△ACD，∴ED=DE，∴EF=kDE，∴EF=k2PE，∴PE=
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】 (1) 由 “直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 这一核心性质，推导出OA=OB=OC=OD，进而证明四个顶点共圆，补全对直四边形性质的证明过程.
(2)①，由矩形的直角性质结合 “90° 圆周角所对的弦是直径”，得到∠DEP=90 ，从而满足对直四边形的定义；②分三种情况讨论等腰△ADE，利用相似三角形的边比关系和等腰三角形的性质，分别计算出对应PE的长度.
(3) 沿用第二问的相似模型得到DE与PE的关系；再通过 “对直四边形四点共圆” 的性质，构造第二组相似三角形，推导EF与PE的关系，最终求出两者的比值.
23．【答案】（1）（-4，2）
（2）解：依题意得，
在Rt△AOB中∴∠OBA=30°
∴∠OBC=∠ABC-∠OBA=30°.在Rt△BOC中
∴C（-2，0）
（3）解：如图，过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF.
根据反比例函数k的几何意义，得
∴，，∴
∵
∵
设BD=4m，则CE=0G=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m·
∵∠DEF=45°，OH⊥OE，∴△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，∠EOG+∠MOH=90°.
∵HM⊥x轴，∴∠MOH+∠OHM=90°，∠OMH=∠OGE=90°， ∴∠EOG=∠OHM·
∴△EOG≌△OHM（AAS）.
∴
即解得
（4）抛物线G：y= x2+2，令y=0，解得x=±2，∴P( 2，0)，Q(2，0)，顶点坐标为(0，2)，
抛物线绕H(m，0)旋转180 后，开口方向相反，顶点关于H对称，故新抛物线G1的顶点为(2m， 2)，解析式为y=(x 2m)2 2，
过H(m，0)作x轴垂线x=m，代入G得M，代入G1得N，
∴MN的长度n=|yM yN|==|4 m2|，
即G2的函数解析式为：n=，
当平行于m轴的直线与G2有 3 个公共点时，该直线必经过n=4（中间抛物线的顶点），
此时：
对于n=4 m2，4 m2=4，解得m=0；
对于n=m2 4，m2 4=4，解得m=±，
综上，m的值为 、、0.
【知识点】旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
过点K作KM⊥y轴于点M，过点K'作K'N⊥y轴于点N。
∵K(2，0)，L(0，4)，
∴KM=2，LM=4 0=4。
由旋转的性质得：LK=LK'，∠KLK'=90 ，
∴∠KLM+∠K'LN=90 。
又∵∠KLM+∠LKM=90 ，
∴∠K'LN=∠LKM。
在△KLM和△LK'N中：∠KML=∠LNK'=90 ，∠LKM=∠K'LN，LK=LK'，
∴△KLM △LK'N(AAS)，
∴LN=KM=2，K'N=LM=4。
∵ 点K'在第二象限，
∴ 点K'的坐标为( 4，2).
【分析】(1)由已知点K(2，0)、L(0，4)，到确定线段LK的两个端点坐标；由旋转的性质（旋转前后对应线段相等，旋转角为 90°），到得到LK=LK'且∠KLK'=90 ；由 “过点K作KM⊥y轴，过点K'作K'N⊥y轴”，到构造出两个直角三角形△KML和△LNK'；由同角的余角相等（∠KLM+∠LKM=90 ，∠KLM+∠K'LN=90 ），到推出∠LKM=∠K'LN；由AAS 全等判定（两个直角、一组等角、一组等边LK=LK'），到证明△KML △LNK'；由全等三角形对应边相等，到得到LN=KM=2，K'N=LM=4；由点K'在第二象限的位置特征，到最终确定坐标K'( 4，2).
(2)由已知点A(2，0)、B(0，)，到得到OA=2，OB=；由直角三角形的正切定义tan∠OBA=，到计算出tan∠OBA=；由特殊角的三角函数值，到推出∠OBA=30 ；由旋转的性质（旋转角为60°），到得到∠ABC=60 ；由角的和差关系∠OBC=∠ABC ∠OBA，到计算出∠OBC=30 ；由直角三角形的正切定义tan∠OBC=，到代入数值计算出OC=2；由点C在x轴负半轴的位置特征，到最终确定坐标C( 2，0).
（3）由已知DF∥x轴，到得到点D、F的纵坐标相等；由点D在y=上，到设D，进而得到F的纵坐标为；由点F在y=上，到计算出F的横坐标为，即F；由直线l绕点E旋转 45°，到得到∠DEF=45 ；由 “过O作OH⊥OE交EF延长线于H”，到构造出等腰直角三角形△OEH，得到OE=OH；由同角的余角相等，到推出∠EOG=∠HOM；由AAS 全等判定，到证明△EOG △HOM；由全等三角形对应边相等，到得到EG=OM，OG=HM；由设E，到得到H；由待定系数法，到用E、H两点坐标求出直线EF的解析式y= x+m+；由点F在直线EF上，到代入坐标得到第一个方程；由点D、E、F共线，到利用斜率关系得到第二个方程；联立两个方程，到解出参数m=，t=；由两点间距离公式，到分别计算出OE=，EF=；由比值计算，到最终得到.
(4)由原抛物线G：y= x2+2，到求出其顶点坐标为(0，2)，与x轴交点为(±2，0)；由旋转 180°的性质（中心对称），到得到新抛物线G1的顶点为(2m， 2)，开口向上，解析式为y=(x 2m)2 2；由“过H(m，0)作x轴垂线”，到将x=m分别代入两个抛物线解析式，得到M，N；由线段长度的定义，到计算出MN=|yM yN|=|4 m2|；由绝对值函数的图象特征，到画出n=|4 m2|的图象：中间是开口向下的抛物线n=4 m2（ 2≤m≤2），两边是开口向上的抛物线n=m2 4（(m>2)或(m<-2)）；由 “平行于m轴的直线与G2有 3 个公共点”，到推出该直线必经过中间抛物线的顶点(0，4)；分别令两个分段函数的函数值为 4，到解方程得到m=0或m=±.
1 / 1广东省汕头市潮阳区部分校2026年九年级数学二模试卷
1．验光师经常以“×××D”的方式记录近视程度，例如，近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”.通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼镜进行视力矫正，下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（　　）
A．-2.50D B．-0.75D C．-1.25D D．-1.50D
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：由题意可得：近视200度记录为-2.00D
∵-0.75D<-1.25D<-1.50D<-2.00D<-2.50D
故答案为：A
【分析】根据题意比较大小即可求出答案.
2．下列运算结果为x6的是（　　）
A． B． C． D．（x3）3
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，不符合题意；
B：，不符合题意；
C：，符合题意；
D：（x3）3=x9，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，合并同类项法则，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
3．华为mate某系列手机采用的是5纳米的麒麟9000芯片，5纳米用科学记数法表示是5×10-9米，那么5×10-9所代表的原数是（　　）
A．0.00000005 B．0.000000005
C．0.0000000005 D．0.000000009
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法a×10 n（1≤a<10，n为正整数）还原为原数的方法是：将a的小数点向左移动n位。本题中a=5，n=9，将5的小数点向左移动9位，得到原数为0.000000005.
故答案为：B.
【分析】由科学记数法表示绝对值小于 1 的数的还原规则，确定指数n的值与小数点移动的位数关系；再将数字5的小数点向左移动9位，即可得到5×10 9对应的原数.
4．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
能够塞住木板上三个孔洞的塞子是
故答案为：B
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
5．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海”天生羁绊系列“手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】该盲盒共有 8 个不同的基本款，每个盲盒随机放入其中一款，因此所有等可能的结果共有 8 种；其中 “藕粉哪吒” 只有 1 种，根据古典概型概率公式：P(买中藕粉哪吒)=.
故答案为：A.
【分析】 由题目给出的条件，确定所有等可能的基本结果总数为 8；再确定 “买中藕粉哪吒” 这一事件包含的基本结果数为 1；最后代入古典概型的概率计算公式，直接计算出对应概率.
6．如图，古代建筑中，榫卯结构至关重要.工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个卯需要的木材是每个榫需要的木材的1.2倍.已知用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个.设制作1个榫需要的木材为x千克，下列符合题意的方程是（　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由题意可得，
故答案为：B.
【分析】设制作1个榫需要的木材为x千克，则每个卯需要的木材为1.2x千克，结合用30千克木材制作卯的数量比用30千克木材制作榫的数量少10个，列出方程即可．
7． 数学中说明某个命题不成立时常采用“举反例”，即举一个满足条件，但不满足结论的例子. 为说明命题“对于任何实数 a，都有 是假命题，所列举反例正确的是（　　)
A．a=1 B．a=0 C．a=-2 D．
【答案】C
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：∵
∴a≥0
∴所列举反例正确的是a=-2
故答案为：C
【分析】根据二次根式的非负性，结合举反例判断命题真假即可求出答案.
8．球形烧瓶底部呈球状（如图1），在化学实验中的主要作用是盛放液体或作反应容器.图2是一球形烧瓶底部的截面图，瓶内液体的最大深度CD=3cm，液面所在的弦AB=12cm，则其截面圆的半径为（　　）
A．6.5cm B．7cm C．7.2cm D．7.5cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】设截面圆的半径为r cm，则OA=OD=r cm.
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=AB=×12=6 cm，
∵CD=3 cm，
∴OC=OD CD=(r 3) cm.
在Rt△OAC中，
由勾股定理得：OA2=AC2+OC2，
代入得：r2=62+(r 3)2
展开化简：r2=36+r2 6r+9，
6r=45，
r=7.5.
∴ 截面圆的半径为7.5 cm，
故答案为：D.
【分析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到弦AB被平分，算出AC的长度；设截面圆半径为r，用r表示出OC的长度；再在Rt△OAC中应用勾股定理建立关于r的一元一次方程，解方程即可求出截面圆的半.
9． 数学来源于生活，又服务于生活. 以下四幅图中用数学原理解释不正确的是 （　　)
A．图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了 90°的圆周角所对的弦是直径
B．图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性
C．图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为 1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角形全等中的判别方法 SAS
D．图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的稳定性；圆周角定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A：图（1）工人用直角曲尺检查工件恰好为半圆形，是利用了 90°的圆周角所对的弦是直径，正确，不符合题意；
B：图（2）人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是利用了三角形的稳定性，正确，不符合题意；
C：图（3）一块三角形模具打碎为三块，只带编号为 1的那一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具是利用了三角
形全等中的判别方法 ASA，错误，符合题意；
D：图（4）体育课测量跳远的成绩是利用了垂线段最短，正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据圆周角定义，三角形的稳定性，全等三角形判定定理，垂线段最短逐项进行判断即可求出答案.
10．如图1是一个立方体纸盒的示意图，图2是该立方体纸盒的表面展开图，连接MN，GH交于点P，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；几何体的展开图；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】设正方体的棱长为1，以点G为原点建立平面直角坐标系，可得各点坐标：G(0，0)，H(3，1)，M(1， 1)，N(2，1)。
由待定系数法可得：直线GH的解析式为y=x，直线MN的解析式为y=2x 3。
联立两条直线的方程：
解得，
即交点P的坐标为.
根据两点间距离公式（勾股定理）计算线段长度：
NP==
MP==，
因此=，
故答案为：C.
【分析】由正方体“一四一”型表面展开图的结构特征，建立平面直角坐标系确定各顶点坐标；利用待定系数法求出两条相交直线的解析式，联立方程得到交点P的坐标；再通过两点间距离公式分别计算NP和MP的长度，最终化简得到两条线段的比值.
11．写出一个大于2的无理数　 　．
【答案】如 （答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：∵2= ，
∴大于2的无理数须使被开方数大于4即可，如 （答案不唯一）．
【分析】根据无理数的定义及实数的大小的比较求解即可。
12．命制如下①~④四道试题时，小聪发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是第　 　题
用平方差公式分解下列各式：①-a2-b2；②a2-b2；③-a2+b2；
【答案】①
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】① a2 b2= (a2+b2)，是两个平方项的和，不符合平方差公式 “平方差” 的结构，不能用平方差公式分解因式；
②a2 b2，直接符合平方差公式，可分解为(a+b)(a b)；
③ a2+b2=b2 a2，符合平方差公式，可分解为(b+a)(b a)；
④4m2 25n2=(2m)2 (5n)2，符合平方差公式，可分解为(2m+5n)(2m 5n)。
故答案为：①.
【分析】由平方差公式的核心结构 “两项异号，且两项均能写成某个整式的平方”，逐一检验四个多项式的形式；其中只有①变形后为两个平方项的和，不满足平方差公式的适用条件，其余三个均符合公式结构，可以分解.
13．如图，某文化广场的地面是由正五边形与图形密铺而成，图中图形的尖角∠ABC的度数为　 　．
【答案】18°
【知识点】平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，
∴∠ABC=（360°﹣3×108°）÷2=36°÷2=18°．
故答案为18°．
【分析】根据正多边形内角性质求出每个内角，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．如图，AB为订书机的托板，压柄BC绕着点 B旋转，连接杆 DE的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中， DE 的长度保持不变.若DE=10cm， ∠DEB=22°， ∠B=45°，则BE的长度为　 　cm.（结果保留整数，参考数据： sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)
【答案】13
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
在Rt△DEF中，DE＝10cm，cos22°≈0.93，∴EF＝0.93×10≈9.3cm，
∵∠B＝45°，∴BF＝DF，∵sin22°≈0.37
∴DF＝DE sin22≈3.7cm，∴EB＝EF＋BF≈9.3＋3.7＝13（cm）．
故答案为：13cm.
【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，在Rt△DBF中，解直角三角形求出DF和BF的长度，在Rt△DEF中，解直角三角形求出EF的长度，再根据EB＝EF＋BF解答即可．
15．如图，小明用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点（2，0）中心对称.若点A0（0，y0），A1（0.2，y1），A2（0.4，y2），A3（0.6，y3）…A19（3.8，y19）都在函数图象上，这些点的横坐标从0开始依次增加0.2，则的值是　 　.
【答案】-8
【知识点】函数值；用代数式表示图形变化规律；坐标与图形变化﹣中心对称
【解析】【解答】已知函数y=x3 6x2+12x 8的图象关于点(2，0)中心对称，根据中心对称的性质：若点(x，y)在函数图象上，则其关于(2，0)的对称点(4 x， y)也在函数图象上，即f(x)+f(4 x)=0。
题目中给出的点横坐标从0开始，依次增加0.2，共20个点：A0(0，y0)，A1(0.2，y1)，…，A10(2，y10)，…，A19(3.8，y19)。
点A1(0.2)与A19(3.8)满足0.2+3.8=4，因此y1+y19=0；
点A2(0.4)与A18(3.6)满足0.4+3.6=4，因此y2+y18=0；
…
点A9(1.8)与A11(2.2)满足1.8+2.2=4，因此y9+y11=0；
剩余点A10(2，y10)，代入函数得y10=23 6×22+12×2 8=0；
剩余点A0(0，y0)，代入函数得y0=03 6×02+12×0 8= 8。
因此总和为：
y0+y1+y2+…+y19=y0+(y1+y19)+(y2+y18)+…+(y9+y11)+y10= 8+0+0+…+0+0= 8.
故答案为：-8.
【分析】由函数关于点(2，0)中心对称，推导得出核心性质f(x)+f(4 x)=0；观察所有点的横坐标，找出横坐标和为4的对称点对，利用性质得到每对函数值的和为0；再单独计算剩余两个点A0和A10的函数值，最后将所有部分相加得到最终结果.
16．化简求值：，其中
【答案】解：
=2xy，
把代入得：原式
【知识点】平方差公式及应用；完全平方式；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用完全平方公式展开(x+y)2，利用平方差公式展开(x+y)(x y)；再通过合并同类项消去x2和y2项，得到最简整式2xy；最后将x、y的值代入最简式，根据二次根式乘法法则计算出最终结果.
17．在数学活动课上，老师展示了如下问题，请同学们进行思考求解.
如图，已知点A，B，C在数轴上的对应值分别为求x的取值范围
小明的分析过程如下：
第一步：由图可知，点A在点B左侧，可列不等式为
第二步：由图可知，点C在点B右侧，可列不等式为 ▲ ②；
第三步：解不等式①得 ▲ ，解不等式②得 ▲ ；
第四步：得出x的取值范围是 ▲ .
请补全小明的分析过程，并将不等式的解集在数轴上表示出来.
【答案】解：9-x>3（x-1）；
解不等式①得x>1；
解不等式②得x<3；
得出x的取值范围是1不等式的解集在数轴上表示出来，如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】由数轴上数的大小规律“右边的数总比左边的数大”，将点A、B、C的位置关系转化为两个一元一次不等式，组成不等式组；按照一元一次不等式的解法步骤分别求解两个不等式；再取两个解集的公共部分，得到x的最终取值范围；最后按照数轴表示不等式解集的规则，正确画出解集.
18．如图，在△ABC中，AB=AC.
（1）实践与操作：利用尺规，请用两种方法，在BC下方求作点D，使四边形ABDC为菱形；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
（2）推理与计算：在（1）的条件下，若∠A=30°，菱形ABDC的面积为2，则菱形ABDC的周长为　 　.
【答案】（1）解：如图所示，四边形ABDC即为所求；（其他方法亦可）
（2）8
【知识点】等边三角形的判定与性质；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—含30°角直角三角形；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点B作BE⊥AC于点E，
设菱形的边长AB=AC=x，在Rt△ABE中，∠A=30 ，
∴BE=AB=x（直角三角形中，30 角所对的直角边等于斜边的一半）.
菱形的面积公式为S=底×高，以AC为底，BE为高，
∴S菱形ABDC=AC BE=x x=x2，
已知菱形面积为2，代入得：x2=2，解得x2=4，x=2（边长为正数，舍去负根）.
∵ 菱形的四条边相等，
∴ 菱形ABDC的周长=4×2=8.
故答案为：8
【分析】（1）由菱形判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，推导出需构造对角线AD与BC互相垂直平分；由AB=AC，根据等腰三角形 “三线合一”，可知点A在BC的垂直平分线上；由尺规作图 “作已知线段的垂直平分线” 的基本操作，作出BC的垂直平分线，在BC下方截取ED=AE，则AD与BC互相垂直平分；连接BD、CD，得到对角线互相垂直平分的四边形ABDC，即为所求菱形.
（2）由菱形的性质“四条边相等”，设菱形边长AB=AC=x，将所有边长统一用x表示；由已知∠A=30 ，为求菱形面积，过B作AC边上的高BE，结合直角三角形性质“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，推导出高BE=AB=x；由菱形面积公式“面积 = 底 × 高”，以AC为底、BE为高，代入得S菱形=x x=x2；由已知菱形面积为2，建立方程x2=2，解方程得x=2（边长为正，舍去负根）；由菱形周长公式“周长 = 4× 边长”，代入x=2，计算得周长为4×2=8.
19．某生态农场为推广智慧农业，在A、B两个智能温室进行了草莓种植试验.从每个温室随机选取10株草莓，记录其单株产量（单位：千克）和口感评分（满分10分，评分越高口感越好）.有关生产和销售的信息整理如下：
信息一：单株产量（单位：千克）
A温室 1.2 1.5 1.6 1.8 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0
B温室 1.0 1.5 1.5 1.6 1.8 1.8 2.0 2.0 2.0 2.0
信息二：口感评分频数分布
农场对口感评分结果进行了分组整理，绘制了如下频数分布直方图（其中，B温室的草莓口感评分在“8-9分区间”的四个数据为：8.2，8.3，8.5，8.7）；
A、B温室口感评分分布对比
农场对上述数据进行了初步分析，结果如下表：
温室 单株产量 口感评分
平均数 众数 平均数 方差 中位数
A 1.77 a 8.7 0.49 8.9
B 1.72 2.0 8.4 0.74 b
信息三：产品销售
农场将收获的部分草莓进行了包装销售.其中，每盒“精品礼盒”的售价为120元，每盒“家庭装”的售价为80元.已知这两种包装的草莓平均每天共售出60盒.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）a=　 　，b=　 　；
（2）若该农场采用A温室的种植方案推广种植了2000株草莓，其中单株产量不低于1.8千克的草莓约有　 　株；
（3）作为技术开发部人员，你会向农场推荐采用哪个温室的种植方案 请说明理由；
（4）已知每盒“精品礼盒”的成本是售价的60%，每盒“家庭装”的成本是售价的70%，同时每天售出的“家庭装”的数量不少于“精品礼盒”的一半.作为市场销售部人员，请你分析分别售出“精品礼盒”和“家庭装”多少盒时，才能使售完60盒草莓的总利润最大 最大利润是多少元
【答案】（1）2.0；8.4
（2）1400
（3）解：推荐采用A温室的种植方案，理由如下：
①A温室的单株产量平均数更高，平均产量更高；
②A温室的口感评分的平均数更高、方差更小，说明A温室的平均口感更好，口感评分更稳定，品质更均匀.
（4）解：设售出“精品礼盒”x盒，则“家庭装”售出（60-x）盒，总利润为w元，
由题意得，解得x≤40，
由题意得，
∵24>0，∴w随x的增大而增大，
∴当x=40时，w的最大值为24×40+1440=2400（元），此时60-x=60-40=20（盒），
∴每天售出“家庭装”20盒，“精品礼盒”40盒，获最大利润2400元.
【知识点】解一元一次不等式；中位数；众数；一次函数的实际应用-销售问题；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，A 温室单株产量中，2.0 出现了 4 次，出现次数最多，因此a=2.0.
中位数是将数据从小到大排列后，中间位置的数（偶数个数据时为中间两个数的平均数）.B 温室共有 10 个口感评分数据，中位数为第 5、6 个数据的平均数，由频数分布可知，B 温室 7-8 分有 3 个，8-9 分的 4 个数据为 8.2、8.3、8.5、8.7，9-10 分有 3 个，将数据从小到大排列后，第 5 个数据为 8.3，第 6 个数据为 8.5，因此中位数b==8.4.
故答案为：2.0，8.4.
（2）A 温室随机抽取的 10 株草莓中，单株产量不低于 1.8 千克的有 7 株，频率为，因此 2000 株草莓中，单株产量不低于 1.8 千克的约有：2000×=1400 株.
【分析】（1）由众数的定义（一组数据中出现次数最多的数），到统计 A 温室 10 个单株产量数据中各数值的出现次数；发现 2.0 出现 4 次，出现次数最多，因此得到a=2.0.
由中位数的定义（偶数个数据时，为排序后第 5、6 个数的平均数），到结合频数分布直方图确定 B 温室 10 个口感评分的分组；由题目给出的 “8-9 分区间的 4 个具体数据：8.2、8.3、8.5、8.7”，将 10 个数据从小到大完整排序；找到第 5 个数为 8.3，第 6 个数为 8.5，计算平均数得到8.4.
（2）由用样本估计总体的统计思想，到计算样本（10 株 A 温室草莓）中单株产量不低于 1.8 千克的频率；统计得样本中符合条件的有 7 株，频率为；用总体数量 2000 乘以该频率，得到估算值2000×=1400株.
（3）由单株产量的平均数（A：1.77 > B：1.72），得出 A 温室平均产量更高，经济效益更好；由口感评分的平均数（A：8.7 > B：8.4），得出 A 温室草莓平均口感更好，更受消费者欢迎；由口感评分的方差（A：0.49 < B：0.74），得出 A 温室草莓口感波动更小，品质更均匀稳定；综合以上三点，最终推荐采用 A 温室的种植方案.
（4）由总销量 60 盒，设 “精品礼盒” 售出x盒，则 “家庭装” 售出(60 x)盒；由 “家庭装数量不少于精品礼盒的一半” 这一约束条件，列出不等式60 x≥12x，解得x≤40；由 “单盒利润 = 售价 ×(1 - 成本率)”，分别算出精品礼盒单利 48 元、家庭装单利 24 元；由 “总利润 = 两种礼盒利润之和”，建立一次函数解析式w=48x+24(60 x)=24x+1440；由一次函数的系数k=24>0，得出w随x的增大而增大；结合自变量的最大值x=40，代入函数得到最大利润w=24×40+1440=2400元；由x=40，算出家庭装销量为60 40=20盒.
20．在坐标系中，抛物线与y轴交于点M，抛物线经过点（1，-1）.
（1） n=　 　（用含有a的式子表示）；
（2）若m=-2，点P在W1上，且点P的纵坐标为-5.请说明P是否在W2上
（3）直线y=kx+m（k<0）交W1于点M，N，若线段MN的中点Q为直线MN与W2的唯一公共点，求a的值.
【答案】（1）3a-1
（2）解：当m=-2时，则
当时，解得或P（3，-5），
由（1）知：
∴当x=1时，y=a-4a+3a-1=-1；当x=3时，y=9a-12a+3a-1=-1；
∴点P不在抛物线W2上
（3）解：根据题意联立得
令方程的两个根为x1，x2，即点M，N的横坐标分别为
∵线段MN的中点Q为直线MN与W2的唯一公共点，∴中点Q的横坐标为
得
整理得4a+k=4a+ak，∴（a-1）k=0，
∵k<0，∴a-1=0，∴a=1
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 抛物线W2：y=ax2 4ax+n经过点(1， 1)，
∴ 将x=1，y= 1代入解析式得：a×12 4a×1+n= 1，
化简得：a 4a+n= 1，解得：n=3a 1.
故答案为：3a 1.
【分析】(1)由 “点在抛物线上，则点的坐标满足抛物线解析式”，将已知点(1， 1)代入W2的解析式，得到关于n的一元一次方程，解方程即可得到n用a表示的式子.
(2) 由已知m= 2确定W1的解析式，由点P的纵坐标列一元二次方程，求出点P的两个可能坐标；再将两个坐标分别代入W2的解析式，验证纵坐标是否匹配，从而判断点P是否在W2上.
(3) 由直线与W1相交，联立方程得到一元二次方程，利用韦达定理求出线段MN中点Q的横坐标；由直线与W2只有一个公共点，推出直线与抛物线相切，利用 “二次函数与直线相切时，切点横坐标为” 得到切点横坐标；结合 “中点与切点为同一点” 建立等式，化简后结合k<0的条件，最终求出a的值.
21．综合与实践
木工中蕴含着丰富的数学知识.如在铺设地板时，木工师傅仅通过一把直尺、一支笔和一台切割机就可以完成对平行、垂直、计量的精准把控，从而解决各种拼接问题.
如图1，现有宽度不同的两根木条（宽木条MOBP中MO∥PB，窄木条NOAQ中ON∥AQ，∠MOB=∠NOA=135°），当遇到转角为直角（∠MON=90°）的地面时，发现拼接后点A与点B不能重合.在保证两根木条宽度不变的情况下，为了尽可能节约用料，同时又使两根木条能拼成一个直角，工人师傅经过如下操作解决了问题，完成了拼接.
第一步：如图2，画出QA的延长线，交BP于点C，连接OC；
第二步：如图3，沿着射线OB方向，平移窄木条NOAQ，得到N'O'A'Q'，使点A'与点B重合，延长MO，交窄木条的边N'O'于点D，连接BD；
第三步：沿着OC、BD切割，切口恰好可以完全重合，如图4完成拼接.
（1）如图4，如果宽木条MOBP的宽度为12cm，窄木条NOCQ的宽度为8cm，宽木条MOBP裁剪后的锐角是∠OCP，那么tan∠OCP=　 　；
（2）请结合图3和图4，运用几何知识说明完成拼接的合理性；
（3）如图5，当遇到转角为60度的地面时，对宽度比为2：1的两根长方形木条切割后拼接辅入该转角处，则tanα=　 　
【答案】（1）
（2）思路：只要证明OC和BD能重合（即OC=BD），且∠即可
解：∵MO∥PB，∠MOB=135°，∴∠OBP=180°-∠MOB=45°，
∵NO∥N'O'，∠NOB=135°，∠MON=90°，∴∠OO'N'=45°，∠ODN'=90°，
同理可得∠OAQ=∠OA'O'=45°，∴∠PBQ'=90°，∴∠ODN'=∠MON=90°，∴∠ODO'=90°，
∵N08QA，∠MON=90°，即MO⊥NO，
又∵MO∥BP，NO∥QA，∴QC⊥PB，∴∠ACB=90°，故△ODO'和△ACB都是等腰直角三角形，由平移得OA=O'B，∴OO'=AB，
在Rt△ODO'和Rt△ACB中，
∵OD∥CB，∴四边形ODBC是平行四边形，∴OCBD，OC=BD，∴∠OCP=∠DBP，
∴∠OCP+∠DBQ'=∠DBP+∠DBQ'=∠PBQ'=90°，即可完成拼接
（3）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；平移的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）木条的宽度为其两条边之间的垂直距离，设切割线为OC，过点O作OE⊥PB于点E，则OE=12 cm（宽木条的宽度）；
过点C作CF⊥MO于点F，则CF=8 cm（窄木条的宽度）。
∵MO∥PB，
∴∠OCP=∠COF（内错角相等）。
拼接后形成直角，故∠OCP+∠DBQ=90 ，
又∠COF+∠OCF=90 ，
∴∠OCF=∠DBQ。
在Rt△OEC中，OE=OC sin∠OCP；
在Rt△OFC中，CF=OC sin∠OCF=OC sin(90 ∠OCP)=OC cos∠OCP。
两式相除得：，
代入数值：tan∠OCP=.
（3）设窄木条的宽度为k，则宽木条的宽度为2k。类比第 (1) 问的模型，转角为60 ，因此两个切割角之和为60 ，即α+(60 α)=60 。
设公共切割线段长为L，则宽木条的宽度2k=L sinα，窄木条的宽度k=L sin(60 α)。
两式相除得：，即.
交叉相乘化简：
cosα sinα=sinα，
cosα=2sinα，
两边同时除以cosα（cosα≠0）
得：tanα=.
【分析】(1) 由木条宽度的定义（平行线间的垂直距离），结合拼接后形成直角的条件，推导出两个切割角互余；再利用直角三角形的边角关系，将两个宽度表示为切割角的正弦和余弦，通过比值直接得到tan∠OCP的值.
(2)由平行线的性质和已知的135 角，推导出相关的45 角和直角，判定两个等腰直角三角形；由平移的性质得到线段相等，进而证明四边形ODBC是平行四边形，得出OC与BD重合；最后利用平行线的同位角相等，证明两个切割角之和为90 ，完成拼接合理性的证明。
(3) 类比第 (1) 问的通用模型，将转角从90 推广到60 ，得到两个切割角之和为60 ；同样利用直角三角形的边角关系，建立宽度比与切割角正弦值的等式，通过三角恒等变换求解出tanα的值.
22．【定义】有一组对角为直角的四边形叫做“对直四边形”.
【示例】如图1，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，则称四边形ABCD叫做“对直四边形.ABCD'
【性质探究】小明同学研究对直四边形时，发现“对直四边形具有四个顶点均在同一个圆上”的性质，证明思路如下：
如图2，连接对角线BD，取BD中点O，连接OA，OC.
∵∠BAD=∠BCD=90°，①，
②
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD的顶点A，B，C，D均在以点O为圆心，BD为直径的圆上.
（1）请补全小明同学的证明过程.
（2）【性质应用】如图3，在矩形ABCD中，点P是AB边上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E.
①求证：四边形APED是“对直四边形”；
②若AB=8，AD=6，当△ADE为等腰三角形时，直接写出PE的长.
（3）【拓展提升】如图4，在矩形ABCD中，AB=kBC（k为正实数）.点P是BA延长线上一点，过A，D，P三点的圆交对角线AC于点E，延长PE交BC于点F.请求出的值（用含k的式子表示）.
【答案】（1）BD的中点为O

（2）解：①连接DP，设圆心为O，
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，∴DP为⊙O的直径，∴∠DEP=90°，∴四边形APED是“对直四边形”；
②矩形ABCD中，AB=8，AD=6，由勾股定理得对角线AC===10.
由 (1) 知A、P、E、D四点共圆，且∠DEP=90 ，∠DPE=∠DAE（同弧DE所对的圆周角相等）。
∵∠DEP=∠ADC=90 ，
∴△DPE∽△DAC（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴，即，可得PE=DP，DE=DP，
当AE=DE
此时∠EAD=∠EDA。
∵∠ADC=90 ，
∴DE=AE=EC=AC=5（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
代入DE=DP，解得DP=。
∴PE=×=。
当AD=AE=6
在△ADE中，由余弦定理得：DE2=AD2+AE2 2 AD AE cos∠DAE
其中cos∠DAE=ADAC==，
代入得：DE2=62+62 2×6×6×=，
∴DE=，代入DE=DP，得=DP，解得DP=。
∴PE=×=。
当AD=DE=6代入DE=DP，得6=45DP，解得DP=152。∴PE=35×152=92。
·
综上，PE的长为154或955或92。
PE的长为或或
（3）解：设圆心为点O，连接DP，DE，DF，
∵在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠ADC=∠BAD=∠BCD=90°，且AB=kBC（k为正实数）.
∴∠PAD=90°，∴DP是⊙O的直径，∴∠PED=90°，∴∠PED=∠ADC=90°，
∵∠DPE=∠DAE，∴△PDE∽△ACD，∴PE=DE，∴DE=kPE，
∵∠DEF=∠DCF=90°，∴C，D，E，F到线段DF的中点的距离相等，
∴C，D，E，F在以DF为直径的圆上，∴∠DCE=∠DFE，
∵∠DEF=∠ADC=90°，∴△DFE∽△ACD，∴ED=DE，∴EF=kDE，∴EF=k2PE，∴PE=
【知识点】矩形的性质；圆周角定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】 (1) 由 “直角三角形斜边中线等于斜边的一半” 这一核心性质，推导出OA=OB=OC=OD，进而证明四个顶点共圆，补全对直四边形性质的证明过程.
(2)①，由矩形的直角性质结合 “90° 圆周角所对的弦是直径”，得到∠DEP=90 ，从而满足对直四边形的定义；②分三种情况讨论等腰△ADE，利用相似三角形的边比关系和等腰三角形的性质，分别计算出对应PE的长度.
(3) 沿用第二问的相似模型得到DE与PE的关系；再通过 “对直四边形四点共圆” 的性质，构造第二组相似三角形，推导EF与PE的关系，最终求出两者的比值.
23．在平面直角坐标系xOy中.
（1）如图1，点K（2，0）绕点L（0，4）顺时针旋转90°得到点K'，则点K'的坐标为　 　；
（2）如图2，点A（2，0），B（0，2），若直线AB绕点B顺时针旋转60°得到直线BC，直线BC与x轴交于点C，求点C的坐标；
（3）如图3，直线l分别与函数的图象交于点D、E，将直线l绕点E逆时针旋转45°，与函数的图象交于点F，连接DF，若DF∥x轴，求的值.
（4）如图4，已知抛物线与x轴交于点P，Q，以x轴上的点H（m，0）为旋转中心，将抛物线G绕点H旋转180°得到一个新抛物线G1，过点H（m，0）作x轴垂线，分别交抛物线G和抛物线G1于点M，N，记MN的长为n，n与m的函数关系图象为G2.当平行于m轴的直线与G2的公共点个数为3个时，请直接写出此时m的值.
【答案】（1）（-4，2）
（2）解：依题意得，
在Rt△AOB中∴∠OBA=30°
∴∠OBC=∠ABC-∠OBA=30°.在Rt△BOC中
∴C（-2，0）
（3）解：如图，过点E作EG⊥x轴于点G，交DF于点A，作EC⊥y轴于点C，过O作OH⊥OE交EF的延长线于点H，过点H作HM⊥x轴于点M，延长FD交y轴于点B，连接OF.
根据反比例函数k的几何意义，得
∴，，∴
∵
∵
设BD=4m，则CE=0G=6m，DA=2m，BF=9m，AF=3m·
∵∠DEF=45°，OH⊥OE，∴△OEH是等腰直角三角形，OE=OH，∠EOG+∠MOH=90°.
∵HM⊥x轴，∴∠MOH+∠OHM=90°，∠OMH=∠OGE=90°， ∴∠EOG=∠OHM·
∴△EOG≌△OHM（AAS）.
∴
即解得
（4）抛物线G：y= x2+2，令y=0，解得x=±2，∴P( 2，0)，Q(2，0)，顶点坐标为(0，2)，
抛物线绕H(m，0)旋转180 后，开口方向相反，顶点关于H对称，故新抛物线G1的顶点为(2m， 2)，解析式为y=(x 2m)2 2，
过H(m，0)作x轴垂线x=m，代入G得M，代入G1得N，
∴MN的长度n=|yM yN|==|4 m2|，
即G2的函数解析式为：n=，
当平行于m轴的直线与G2有 3 个公共点时，该直线必经过n=4（中间抛物线的顶点），
此时：
对于n=4 m2，4 m2=4，解得m=0；
对于n=m2 4，m2 4=4，解得m=±，
综上，m的值为 、、0.
【知识点】旋转的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）
过点K作KM⊥y轴于点M，过点K'作K'N⊥y轴于点N。
∵K(2，0)，L(0，4)，
∴KM=2，LM=4 0=4。
由旋转的性质得：LK=LK'，∠KLK'=90 ，
∴∠KLM+∠K'LN=90 。
又∵∠KLM+∠LKM=90 ，
∴∠K'LN=∠LKM。
在△KLM和△LK'N中：∠KML=∠LNK'=90 ，∠LKM=∠K'LN，LK=LK'，
∴△KLM △LK'N(AAS)，
∴LN=KM=2，K'N=LM=4。
∵ 点K'在第二象限，
∴ 点K'的坐标为( 4，2).
【分析】(1)由已知点K(2，0)、L(0，4)，到确定线段LK的两个端点坐标；由旋转的性质（旋转前后对应线段相等，旋转角为 90°），到得到LK=LK'且∠KLK'=90 ；由 “过点K作KM⊥y轴，过点K'作K'N⊥y轴”，到构造出两个直角三角形△KML和△LNK'；由同角的余角相等（∠KLM+∠LKM=90 ，∠KLM+∠K'LN=90 ），到推出∠LKM=∠K'LN；由AAS 全等判定（两个直角、一组等角、一组等边LK=LK'），到证明△KML △LNK'；由全等三角形对应边相等，到得到LN=KM=2，K'N=LM=4；由点K'在第二象限的位置特征，到最终确定坐标K'( 4，2).
(2)由已知点A(2，0)、B(0，)，到得到OA=2，OB=；由直角三角形的正切定义tan∠OBA=，到计算出tan∠OBA=；由特殊角的三角函数值，到推出∠OBA=30 ；由旋转的性质（旋转角为60°），到得到∠ABC=60 ；由角的和差关系∠OBC=∠ABC ∠OBA，到计算出∠OBC=30 ；由直角三角形的正切定义tan∠OBC=，到代入数值计算出OC=2；由点C在x轴负半轴的位置特征，到最终确定坐标C( 2，0).
（3）由已知DF∥x轴，到得到点D、F的纵坐标相等；由点D在y=上，到设D，进而得到F的纵坐标为；由点F在y=上，到计算出F的横坐标为，即F；由直线l绕点E旋转 45°，到得到∠DEF=45 ；由 “过O作OH⊥OE交EF延长线于H”，到构造出等腰直角三角形△OEH，得到OE=OH；由同角的余角相等，到推出∠EOG=∠HOM；由AAS 全等判定，到证明△EOG △HOM；由全等三角形对应边相等，到得到EG=OM，OG=HM；由设E，到得到H；由待定系数法，到用E、H两点坐标求出直线EF的解析式y= x+m+；由点F在直线EF上，到代入坐标得到第一个方程；由点D、E、F共线，到利用斜率关系得到第二个方程；联立两个方程，到解出参数m=，t=；由两点间距离公式，到分别计算出OE=，EF=；由比值计算，到最终得到.
(4)由原抛物线G：y= x2+2，到求出其顶点坐标为(0，2)，与x轴交点为(±2，0)；由旋转 180°的性质（中心对称），到得到新抛物线G1的顶点为(2m， 2)，开口向上，解析式为y=(x 2m)2 2；由“过H(m，0)作x轴垂线”，到将x=m分别代入两个抛物线解析式，得到M，N；由线段长度的定义，到计算出MN=|yM yN|=|4 m2|；由绝对值函数的图象特征，到画出n=|4 m2|的图象：中间是开口向下的抛物线n=4 m2（ 2≤m≤2），两边是开口向上的抛物线n=m2 4（(m>2)或(m<-2)）；由 “平行于m轴的直线与G2有 3 个公共点”，到推出该直线必经过中间抛物线的顶点(0，4)；分别令两个分段函数的函数值为 4，到解方程得到m=0或m=±.
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