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广东深圳实验学校中学部2025-2026学年第二学期七年级期中数学试卷
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．下列事件中属于必然事件的个数是（　　）
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知是完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
6．已知，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论：
①若，，则；
②当时，若，则；
③．
其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．若，则　 　．
10．若代数式无意义，则　 　．
11．如图所示，在中，是的一条角平分线，则　 　．
12．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则　 　．
13．已知是彼此互不相等的有理数，且，，那么与的大小关系是　 　（填“”，“”，“”，“”或“”）
14．计算：
（1）；
（2）．
15．面对一道先化简，再求值的计算问题：，其中，小明给出了以下运算过程：
解：原式 第1步
第2步
第3步
第4步
当时，原式． 第5步
（1）小明的第 步出现了错误，错误的原因是 ；
（2）请写出正确的完整解答过程．
16．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有 人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取1名同学参加比赛，则刚好抽到女生的概率为 ．
17．如图，，平分，，．
（1）请你利用直尺和圆规在内作，使等于（保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据（1）的作图，求的大小．
小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整：
解：∵（已知），
∴________（________）
∵（已知），
∴（________）
∴（________），
∴，
∵平分，
∴（________），
∴________．
18．根据以下素材，探索完成任务．
荡秋千问题
素材1 小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高（即）的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，，，，设的延长线与地面交于．
问题解决
任务1 与全等吗？请说明理由；
任务2 当爸爸在处接住小丽时，求小丽距离地面的高．
19．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”．
（1）特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”）
（2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
（3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积．
20．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
（1）【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围．
我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程；
（2）【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：；
（3）【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，，故原选项计算错误；
B、与不是同类项，不能合并同类项，故原选项计算错误；
C、，故原选项计算错误；
D、，计算正确；
故答案为：D ．
【分析】，，，与不是同类项，则正确的是D项.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．【答案】B
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴
依题意，，
∴．
故选：B
【分析】根据补角可得∠BCD，再根据直线平行性质解求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件；
事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件；
事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件；
事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件，
∴ 只有事件④是必然事件，共1个，
故答案为：B
【分析】①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，则必然事件由1个．
5．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
6．【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：D
【分析】利用幂的乘方的逆运算法则，将三个数化为指数相同的形式（指数都为11），即，，则 .
7．【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
，
∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】如图，连接、、，
由点A，B，C分别是，，的中点得，，，，，，阴影部分的面积为．
8．【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
同①可知：；
∵，，
∴当时，，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
过点D作，则，
∴，
∴
；故②正确；
过点B作，过点D作，则，
同理可得，，
∵，，
∴，，
∴
．
∴．故③正确；
综上：正确的有①②③，共3个．
故答案为：D
【分析】过点B作，则，
由平行线的性质得，①正确；由①可知，由平行线的性质得，=45°，②正确；；过点D作，则，则，，，，，③正确．
9．【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】同底数幂的除法法则计算：=．
10．【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵代数式无意义，
解得．
故答案为：-1
【分析】无意义，a+1=0，解得a=-1.
11．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
又∵是的一条角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴．
故答案为：108°.
【分析】在中，，则∠C=78°，由角平分线的定义得，由外角性质得.
12．【答案】4
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，
，
，
又∵，，即，
．
故答案为：4.
【分析】连接，
由，由，，等边代换得，PE+PF=BD=4.
13．【答案】
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：设，
则
是彼此互不相等的有理数，
∴．
故答案为：.
【分析】设，代入多项式M和N， 由是彼此互不相等的有理数 ，则．
14．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别计算，再加减计算结果为；
（2）单项式乘多项式，多项式乘多项式(a-2)(a+3)=3a-2a-6，再合并同类项j结果为 ．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．【答案】（1）第1步；没有正确运用完全平方公式
（2）解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：第1步；没有正确运用完全平方公式；【分析】（1）分析小明的化简过程，没有正确运用完全平方公式；
（2）平方差公式计算（x+y）(x-y)=x2-y2，完全平方公式计算(x-2y)2=x2-2xy+y2，合并同类项，再计算多项式除以单项式=，代入结果为.
（1）解：第1步；没有正确运用完全平方公式；
（2）解：原式
，
当时，
原式．
16．【答案】（1）40，
补全条形统计图如图所示．
（2）72
（3）720
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；等可能事件的概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查（名）学生．
组的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：40；
（2）解：组所对应的扇形圆心角为．
故答案为：72．
（3）解：（人）．
∴估计喜欢跳绳的学生人数约有720人．
故答案为：720．
（4）解：（刚好抽到女生）．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数等于C组人数为8人，补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例等于C组圆心角72°；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例等于720人；
（4）共有4种等可能的结果，其中刚好抽到女生结果有3种，再由概率为．
（1）解：本次共调查（名）学生．
组的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：组所对应的扇形圆心角为．
故答案为：72．
（3）解：（人）．
∴估计喜欢跳绳的学生人数约有720人．
故答案为：720．
（4）解：（刚好抽到女生）．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴
故答案为：；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）作一个角等于已知角；
（2）已知内错角相等得平行线，依据平行线的判定：内错角相等，两直线平行；平行线得内错角相等，依据平行线性质：两直线平行，内错角相等，依据角平分线的定义.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴
故答案为：；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；．
18．【答案】解：任务1：与全等，理由如下：
，，
，
，
又，
，
在与中，
；
任务2：，
，，
即小丽距离地面有高．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】任务1：由垂直定义得，，则与（AAS）；
任务2：由全等三角形性质，则=1.4，=1.8，=1.4
19．【答案】（1）是，不是
（2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下：
是正整数，
能被8整除，
能被8整除；
（3）解：由（2）可知，，∴阴影部分的面积为
∴阴影面积为20000．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
是“和谐数”；
设，
解得：，不是整数，
不是“和谐数”．
故答案为：是；不是.
【分析】（1）32=92-72，32是“和谐数”，，，不是整数，则2026不是“和谐数”；
（2）=，由k是正整数，则能被8整除，即“和谐数”能被8整除．；
（3），阴影部分的面积为=8×2500=20000.
（1）解：，
是“和谐数”；
设，
解得：，不是整数，
不是“和谐数”．
（2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下：
是正整数，
能被8整除，
能被8整除；
（3）解：由（2）可知，，
∴阴影部分的面积为
∴阴影面积为20000．
20．【答案】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；

（2）证明：如图2，延长至，使，连接，则
为的中点，
，
，
，
在和中，
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
证得由三角形的三边关系，得，则解得；
（2）延长至，使，连接，
则，得证得，；
（3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
证得证得则则．
（1）解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；
（2）证明：如图2，延长至，使，连接，则，
为的中点，
，
，
，
在和中，
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．
1 / 1广东深圳实验学校中学部2025-2026学年第二学期七年级期中数学试卷
1．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，，故原选项计算错误；
B、与不是同类项，不能合并同类项，故原选项计算错误；
C、，故原选项计算错误；
D、，计算正确；
故答案为：D ．
【分析】，，，与不是同类项，则正确的是D项.
2．“白日不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000838米．则数据0.00000838用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
3．在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，
∴
依题意，，
∴．
故选：B
【分析】根据补角可得∠BCD，再根据直线平行性质解求出答案.
4．下列事件中属于必然事件的个数是（　　）
①检查生产流水线上的一个产品，是合格品；②三条线段组成一个三角形；③a是实数，则；④367个人中至少有2个人生日相同．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；事件的分类
【解析】【解答】解：事件①：生产流水线上的产品可能不合格，不是必然事件；
事件②：三条线段只有满足任意两边之和大于第三边才能组成三角形，不是必然事件；
事件③：a为实数，当时，则；故a是实数，则不是必然事件；
事件④：一年最多366天，367人至少有两人生日相同，是必然事件，
∴ 只有事件④是必然事件，共1个，
故答案为：B
【分析】①产品可能不合格；②三条线段不一定满足三角形条件；③当时，则；④人超过一年天数，至少两人生日相同，则必然事件由1个．
5．已知是完全平方式，则的值为（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】，由完全平方式式的性质得k=.
故答案为：D.
【分析】根据“首平方尾平方，两倍乘积放中间”的规则，直接计算出k的值.
6．已知，则a，b，c的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴ ．
故答案为：D
【分析】利用幂的乘方的逆运算法则，将三个数化为指数相同的形式（指数都为11），即，，则 .
7．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接、、，
，
∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，
∴，，，
∴，，，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】如图，连接、、，
由点A，B，C分别是，，的中点得，，，，，，阴影部分的面积为．
8．如图，已知，点在、之间，连接、．直线、相交于点，且满足，，下列结论：
①若，，则；
②当时，若，则；
③．
其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图所示，过点B作，
∵，
∴，
∴，
∴；故①正确；
同①可知：；
∵，，
∴当时，，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴；
过点D作，则，
∴，
∴
；故②正确；
过点B作，过点D作，则，
同理可得，，
∵，，
∴，，
∴
．
∴．故③正确；
综上：正确的有①②③，共3个．
故答案为：D
【分析】过点B作，则，
由平行线的性质得，①正确；由①可知，由平行线的性质得，=45°，②正确；；过点D作，则，则，，，，，③正确．
9．若，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：∵，，
∴．
故答案为：．
【分析】同底数幂的除法法则计算：=．
10．若代数式无意义，则　 　．
【答案】
【知识点】零指数幂
【解析】【解答】解：∵代数式无意义，
解得．
故答案为：-1
【分析】无意义，a+1=0，解得a=-1.
11．如图所示，在中，是的一条角平分线，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
又∵是的一条角平分线，
∴，
∵是的外角，
∴．
故答案为：108°.
【分析】在中，，则∠C=78°，由角平分线的定义得，由外角性质得.
12．如图，在中，边上的高为上一点，于点于点，则　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；数形结合
【解析】【解答】解：如图，连接，
则，
，
，
又∵，，即，
．
故答案为：4.
【分析】连接，
由，由，，等边代换得，PE+PF=BD=4.
13．已知是彼此互不相等的有理数，且，，那么与的大小关系是　 　（填“”，“”，“”，“”或“”）
【答案】
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；完全平方公式及运用；整式的混合运算；用代数式表示数值变化规律
【解析】【解答】解：设，
则
是彼此互不相等的有理数，
∴．
故答案为：.
【分析】设，代入多项式M和N， 由是彼此互不相等的有理数 ，则．
14．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】单项式乘多项式；多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂；有理数的乘方法则
【解析】【分析】（1）分别计算，再加减计算结果为；
（2）单项式乘多项式，多项式乘多项式(a-2)(a+3)=3a-2a-6，再合并同类项j结果为 ．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
15．面对一道先化简，再求值的计算问题：，其中，小明给出了以下运算过程：
解：原式 第1步
第2步
第3步
第4步
当时，原式． 第5步
（1）小明的第 步出现了错误，错误的原因是 ；
（2）请写出正确的完整解答过程．
【答案】（1）第1步；没有正确运用完全平方公式
（2）解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】（1）解：第1步；没有正确运用完全平方公式；【分析】（1）分析小明的化简过程，没有正确运用完全平方公式；
（2）平方差公式计算（x+y）(x-y)=x2-y2，完全平方公式计算(x-2y)2=x2-2xy+y2，合并同类项，再计算多项式除以单项式=，代入结果为.
（1）解：第1步；没有正确运用完全平方公式；
（2）解：原式
，
当时，
原式．
16．为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为 度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有 人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取1名同学参加比赛，则刚好抽到女生的概率为 ．
【答案】（1）40，
补全条形统计图如图所示．
（2）72
（3）720
（4）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；等可能事件的概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查（名）学生．
组的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
故答案为：40；
（2）解：组所对应的扇形圆心角为．
故答案为：72．
（3）解：（人）．
∴估计喜欢跳绳的学生人数约有720人．
故答案为：720．
（4）解：（刚好抽到女生）．
【分析】（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数等于C组人数为8人，补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例等于C组圆心角72°；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例等于720人；
（4）共有4种等可能的结果，其中刚好抽到女生结果有3种，再由概率为．
（1）解：本次共调查（名）学生．
组的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：组所对应的扇形圆心角为．
故答案为：72．
（3）解：（人）．
∴估计喜欢跳绳的学生人数约有720人．
故答案为：720．
（4）解：（刚好抽到女生）．
17．如图，，平分，，．
（1）请你利用直尺和圆规在内作，使等于（保留作图痕迹，不写作法）
（2）根据（1）的作图，求的大小．
小博同学的解答如下，请你帮助他填写完整：
解：∵（已知），
∴________（________）
∵（已知），
∴（________）
∴（________），
∴，
∵平分，
∴（________），
∴________．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴
故答案为：；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；．
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）作一个角等于已知角；
（2）已知内错角相等得平行线，依据平行线的判定：内错角相等，两直线平行；平行线得内错角相等，依据平行线性质：两直线平行，内错角相等，依据角平分线的定义.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∵（已知），
∴（平行于同一直线的两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等），
∴，
∵平分，
∴（角平分线的定义），
∴
故答案为：；同位角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；．
18．根据以下素材，探索完成任务．
荡秋千问题
素材1 小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．
素材2 如图，小丽从秋千的起始位置处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高（即）的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．已知妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，，，，，设的延长线与地面交于．
问题解决
任务1 与全等吗？请说明理由；
任务2 当爸爸在处接住小丽时，求小丽距离地面的高．
【答案】解：任务1：与全等，理由如下：
，，
，
，
又，
，
在与中，
；
任务2：，
，，
即小丽距离地面有高．
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS；余角；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】任务1：由垂直定义得，，则与（AAS）；
任务2：由全等三角形性质，则=1.4，=1.8，=1.4
19．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，则8，16，24都是“和谐数”．
（1）特例感知：32 “和谐数”，2026 “和谐数”．（填“是”或“不是”）
（2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
（3）迁移应用：如图，拼接的正方形边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼接到正方形，其边长为199，求阴影部分的面积．
【答案】（1）是，不是
（2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下：
是正整数，
能被8整除，
能被8整除；
（3）解：由（2）可知，，∴阴影部分的面积为
∴阴影面积为20000．
【知识点】平方差公式及应用；因式分解的应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】（1）解：，
是“和谐数”；
设，
解得：，不是整数，
不是“和谐数”．
故答案为：是；不是.
【分析】（1）32=92-72，32是“和谐数”，，，不是整数，则2026不是“和谐数”；
（2）=，由k是正整数，则能被8整除，即“和谐数”能被8整除．；
（3），阴影部分的面积为=8×2500=20000.
（1）解：，
是“和谐数”；
设，
解得：，不是整数，
不是“和谐数”．
（2）解：“和谐数”能被8整除．理由如下：
是正整数，
能被8整除，
能被8整除；
（3）解：由（2）可知，，
∴阴影部分的面积为
∴阴影面积为20000．
20．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法．
（1）【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围．
我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程；
（2）【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：；
（3）【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长．
【答案】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；

（2）证明：如图2，延长至，使，连接，则
为的中点，
，
，
，
在和中，
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）解：如图，延长到点，使，连接，
证得由三角形的三边关系，得，则解得；
（2）延长至，使，连接，
则，得证得，；
（3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
证得证得则则．
（1）解：如图，延长到点，使，连接，
是的中线，
，
解得：
即AD的取值范围为：；
（2）证明：如图2，延长至，使，连接，则，
为的中点，
，
，
，
在和中，
（3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，
是的中点，
，
在和中，
又∵
即．
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