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广东省梅州市五华县2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．一岁一枯荣 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈
4．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
5．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．在上述变化中，自变量是（　　）
A．2 B．半径r C．π D．周长C
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
7．如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　）
A． B． C． D．
8．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，读书，写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角，书本与课桌的角度要保持在至，其几何示意图如图所示，其中，，则视线和书本所在平面所成的角度是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，的面积为2，分别延长至点D，使，延长至点E，使，延长至点F，使，依次连接，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．在汉语拼音wuhua中任意选一个字母，选出的字母为“u”的概率为　 　 ．
12．等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　 　 ．
13．如图，中，，，平分，过点作，若，则的长度为 　 　．
14．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则　 　 ．
15．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点P，若且，则的度数为 　 　 °．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
17．周老师在课堂上给出了一道练习题：选择一组x，y的值，求式子的值．数数和学学展开了如下讨论：
数数说：“如果x，y取值不同，则原式的值就不同．”
学学说：“无论x，y取何值，原式的值都不变．”
你同意哪位同学的观点．请说明理由．
18．如图，
（1）请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若，且，则的度数为 ．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在边长为1的方格纸中：
（1）画出关于直线轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找出点P，使得最小．
20．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全，小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中自变量是 ，因变量是 ．
（2）小明家到学校的路程是 米．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟．
（4）骑单车的速度超过米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，请说明理由．这个最快速度在安全限度内吗？
21．已知四边形中，连接对角线，且的垂直平分线恰好经过点C，交于点O，交于点E，连接．
（1）如图1，若，说明：平分；
（2）如图2，连接是线段的垂直平分线，求的大小．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、， 故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式的运算法则计算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
B、“黄河入海流”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、“明月松间照”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、“白发三千丈”是不可能事件，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
D、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式对每个选项逐一计算求解即可.
5．【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：∵水中涟漪不断扩大，即圆的半径不断扩大
∴自变量是半径r
故答案为：B.
【分析】自变量是指在数学等式中能够影响其他变量的一个变量.
6．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；
故选A．
【分析】根据垂直平分线的性质（到线段两端点距离相等的点线段的垂直平分线上）结合题意即可求解。
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项错误；
B、不是对应边相等，故本选项错误；
C、不是对应边相等，故本选项错误；
D、，
，
又，，
，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据三角形全等的判定（ASA）结合题意即可得到，，进而找出其两角的夹边即可求解。
8．【答案】C
【知识点】猪蹄模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，
过C作，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再根据平行线的性质求出，，最后计算求解即可.
9．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中线的性质先求出，再求出，最后计算求解即可.
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在汉语拼音wuhua中任意选一个字母有5种等可能结果，其中选出的字母为“u”的有2种结果，
所以选出的字母为“u”的概率为，
故答案为：．
【分析】根据”随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数“计算求解即可.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴等腰三角形的底角不可能是，
∴等腰三角形的顶角是．
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等得到等腰三角形的顶角是求解即可.
13．【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用AAS证明，再根据全等三角形的性质求出，最后计算求解即可.
14．【答案】8
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：8．
【分析】按照定义的新运算求出，再计算求解即可.
15．【答案】95
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；三角形的外角和
【解析】【解答】解：由图形折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：95．
【分析】由折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质等计算求解即可.
16．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算求解即可.
17．【答案】解：我同意学学同学的观点，理由如下：
，
则原式的值与x，y的取值没有关系，
即无论x，y取何值，原式的值都不变，
那么学学同学的观点正确．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】将原式利用完全平方公式，单项式乘多项式法则，单项式除以单项式法则计算，然后合并同类项后进行判断即可．
18．【答案】（1）解：如图所示：
（2）．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
【分析】（1）作出的角平分线，与相交于点，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可求解；
（2）根据邻补角的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义计算求解即可.
（1）解：如图所示：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于直线轴对称的；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）结合（2），连接交直线于点P，再根据两点之间线段最短得最小．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
20．【答案】（1）时间；离家距离
（2）1500
（3），
（4）解： 由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
所以分钟时速度最快，不在安全限度内．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）图中自变量是时间，因变量是离家距离，
故答案为：时间，离家距离；
（2）小明家到学校的路程是米，
故答案为：；
（3）一共行驶的总路程（米），
则一共用了分钟．
故答案为：，.
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象的纵坐标，可得小明家到学校的路程；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法计算求解即可；
（4）根据函数图象的纵坐标，可求出路程；根据函数图象的横坐标，可求出时间；根据路程与时间的关系，可求出速度．
（1）解：图中自变量是时间，因变量是离家距离，
故答案为：时间，离家距离；
（2）解： 小明家到学校的路程是米，
故答案为：；
（3）解：一共行驶的总路程（米），一共用了分钟．
故答案为：，；
（4）解： 由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
所以分钟时速度最快，不在安全限度内．
21．【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22．【答案】（1），4；（2）C；（3）（﹣）3， 54；（4）（）n﹣2；（5）-2．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；观察与实验；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．
故答案为：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝122÷32×（）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（3）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
23．【答案】（1）
（2）线段与的数量关系是：，理由如下：
延长到F，使，连接，如图所示：
则，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
过点C作于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形的中线求出，再根据判定和全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再利用AAS证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据三角形的中线求出，再根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
1 / 1广东省梅州市五华县2024-2025学年下学期七年级期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．“思明拾光”系列短视频以中国“二十四节气”为主线，在自然与人文之间开启全新的阅读视角．请你用数学的眼光观察下列四副代表“立春”、 “立夏”、 “芒种”、 “白露”的作品，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、， 故选项正确，符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，单项式乘单项式的运算法则计算求解即可.
3．下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是（　　）
A．一岁一枯荣 B．黄河入海流 C．明月松间照 D．白发三千丈
【答案】D
【知识点】事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、“一岁一枯荣”是必然事件，故此选项不符合题意；
B、“黄河入海流”是必然事件，故此选项不符合题意；
C、“明月松间照”是随机事件，故此选项不符合题意；
D、“白发三千丈”是不可能事件，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可一一判断得出答案.
4．在下列多项式的乘法中，能直接用平方差公式计算的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，本选项符合题意；
C、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
D、，不可以用平方差公式计算，本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用平方差公式对每个选项逐一计算求解即可.
5．水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为C=2πr．在上述变化中，自变量是（　　）
A．2 B．半径r C．π D．周长C
【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：∵水中涟漪不断扩大，即圆的半径不断扩大
∴自变量是半径r
故答案为：B.
【分析】自变量是指在数学等式中能够影响其他变量的一个变量.
6．如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(　　)
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等，
∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处；
故选A．
【分析】根据垂直平分线的性质（到线段两端点距离相等的点线段的垂直平分线上）结合题意即可求解。
7．如图，已知，，那么要得到，还应给出的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、三角对应相等，两个三角形相似，但不一定全等，故本选项错误；
B、不是对应边相等，故本选项错误；
C、不是对应边相等，故本选项错误；
D、，
，
又，，
，故本选项正确；
故选：D．
【分析】根据三角形全等的判定（ASA）结合题意即可得到，，进而找出其两角的夹边即可求解。
8．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，读书，写字、看书姿势要端正，一般人正常的阅读角度为俯角，书本与课桌的角度要保持在至，其几何示意图如图所示，其中，，则视线和书本所在平面所成的角度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】猪蹄模型；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，
过C作，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：C．
【分析】先求出，再根据平行线的性质求出，，最后计算求解即可.
9．如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，即可求出答案.
10．如图，的面积为2，分别延长至点D，使，延长至点E，使，延长至点F，使，依次连接，则阴影部分的面积为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据三角形中线的性质先求出，再求出，最后计算求解即可.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．在汉语拼音wuhua中任意选一个字母，选出的字母为“u”的概率为　 　 ．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：在汉语拼音wuhua中任意选一个字母有5种等可能结果，其中选出的字母为“u”的有2种结果，
所以选出的字母为“u”的概率为，
故答案为：．
【分析】根据”随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数“计算求解即可.
12．等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是　 　 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等，
∴等腰三角形的底角不可能是，
∴等腰三角形的顶角是．
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等得到等腰三角形的顶角是求解即可.
13．如图，中，，，平分，过点作，若，则的长度为 　 　．
【答案】10
【知识点】含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】利用AAS证明，再根据全等三角形的性质求出，最后计算求解即可.
14．将4个数a、b、c、d排成两行两列，两边各加一条竖直线记成，定义，若，则　 　 ．
【答案】8
【知识点】解一元二次方程的其他方法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：，
故答案为：8．
【分析】按照定义的新运算求出，再计算求解即可.
15．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读，如图将纸片沿折叠，使点A落在点处，交于点P，若且，则的度数为 　 　 °．
【答案】95
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-求角度；三角形的外角和
【解析】【解答】解：由图形折叠的性质可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：95．
【分析】由折叠的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质等计算求解即可.
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算求解即可.
17．周老师在课堂上给出了一道练习题：选择一组x，y的值，求式子的值．数数和学学展开了如下讨论：
数数说：“如果x，y取值不同，则原式的值就不同．”
学学说：“无论x，y取何值，原式的值都不变．”
你同意哪位同学的观点．请说明理由．
【答案】解：我同意学学同学的观点，理由如下：
，
则原式的值与x，y的取值没有关系，
即无论x，y取何值，原式的值都不变，
那么学学同学的观点正确．
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【分析】将原式利用完全平方公式，单项式乘多项式法则，单项式除以单项式法则计算，然后合并同类项后进行判断即可．
18．如图，
（1）请用直尺和圆规在直线上求作一点，使点到射线和的距离相等．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）若，且，则的度数为 ．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）．
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
【分析】（1）作出的角平分线，与相交于点，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可求解；
（2）根据邻补角的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后根据角平分线的定义计算求解即可.
（1）解：如图所示：
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．如图，在边长为1的方格纸中：
（1）画出关于直线轴对称的；
（2）求的面积；
（3）在直线上找出点P，使得最小．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于直线轴对称的；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）结合（2），连接交直线于点P，再根据两点之间线段最短得最小．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点P即为所求．
20．“珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全，小明骑单车上学，当他骑了一段时间，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与离家距离的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中自变量是 ，因变量是 ．
（2）小明家到学校的路程是 米．
（3）本次上学途中，小明一共行驶了 米，一共用了 分钟．
（4）骑单车的速度超过米/分钟就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，请说明理由．这个最快速度在安全限度内吗？
【答案】（1）时间；离家距离
（2）1500
（3），
（4）解： 由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
所以分钟时速度最快，不在安全限度内．
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）图中自变量是时间，因变量是离家距离，
故答案为：时间，离家距离；
（2）小明家到学校的路程是米，
故答案为：；
（3）一共行驶的总路程（米），
则一共用了分钟．
故答案为：，.
【分析】（1）根据函数的定义解答即可；
（2）根据函数图象的纵坐标，可得小明家到学校的路程；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法计算求解即可；
（4）根据函数图象的纵坐标，可求出路程；根据函数图象的横坐标，可求出时间；根据路程与时间的关系，可求出速度．
（1）解：图中自变量是时间，因变量是离家距离，
故答案为：时间，离家距离；
（2）解： 小明家到学校的路程是米，
故答案为：；
（3）解：一共行驶的总路程（米），一共用了分钟．
故答案为：，；
（4）解： 由图象可知：分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
分钟时，平均速度米/分，
所以分钟时速度最快，不在安全限度内．
21．已知四边形中，连接对角线，且的垂直平分线恰好经过点C，交于点O，交于点E，连接．
（1）如图1，若，说明：平分；
（2）如图2，连接是线段的垂直平分线，求的大小．
【答案】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出，再根据平行线的性质求出，最后证明求解即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质求出，再求出，最后计算求解即可.
（1）证明：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．【概念学习】
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”，一般地，把（a≠0）写作a ，读作“a的圈n次方”．
【初步探究】
（1）直接写出计算结果：2③＝　 　，（﹣）④＝　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是：　 　．
A：任何非零数的圈2次方都等于1
B：对于任何正整数n，1 ＝1
C：3④＝4③
D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：（﹣3）⑤＝　 　，（）⑥＝　 　．
（4）想一想：请把有理数a（a≠0）的圈n（n≥3）次方写成幂的形式为a ＝　 　．
（5）算一算：＝　 　．
【答案】（1），4；（2）C；（3）（﹣）3， 54；（4）（）n﹣2；（5）-2．
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；观察与实验；归纳与类比
【解析】【解答】解：（1）2③＝2÷2÷2＝1÷2＝，
（﹣）④＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝1×2×2＝4；
故答案为：，4；
（2）∵3④＝3÷3÷3÷3＝，4③＝4÷4÷4＝，
∴3④≠4③．
故答案为：C．
（3）（﹣3）⑤＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）＝1×（﹣）×（﹣）×（﹣）＝（﹣）3，
（）⑥＝（）÷（）÷（）÷（）÷（）÷（）＝1×5×5×5×5＝54；
故答案为：（﹣）3，54；
（4）a÷a÷a÷…÷a＝a×××…×＝（）n﹣2．
故答案为：（）n﹣2．
（5）原式＝122÷32×（）4﹣34÷33
＝24×32÷32×（）4﹣3
＝1﹣3
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【分析】（1）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（3）利用题干中的定义及计算方法列出算式求解即可；
（4）根据圈n次方的规定和（3）的结果，综合可得结论；
（5）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
23．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法．
【问题解决】
（1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ．
【问题应用】
（2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明．
【答案】（1）
（2）线段与的数量关系是：，理由如下：
延长到F，使，连接，如图所示：
则，
同（1）证明：，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下：
过点C作于点H，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，，
∴，．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；倍长中线构造全等模型；三角形的中线
【解析】【解答】解：（1）∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形的中线求出，再根据判定和全等即可；
（2）根据全等三角形的性质求出，再利用AAS证明，最后根据全等三角形的性质证明求解即可；
（3）根据三角形的中线求出，再根据全等三角形的判定与性质证明求解即可.
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