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第一章 四边形
1.2.2平行四边形的判定(1)
1．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是 （　　）
A．∠A=∠C，∠B=∠D B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
2．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，连结AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形．其依据是（　　）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
3．如图所示，在 ABCD中，E，F分别在BC，AD上，若想使四边形AFCE为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（　　）
①AF=CF；②AE=CF；③∠BAE=∠FCD；④∠BEA=∠FCE．
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或③或④
4．已知，如图，，点、在上．，连接．
求证：（1）：
（2）四边形是平行四边形．
5．在四边形ABCD中，ADllBC．连结对角线AC，BD交于点E，且AE=CE.
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形.
（2）若AC⊥BC，已知AB=5，AC=4，求BD的长.
6．如图，在中，F是AB上一点连接CF，过点A作，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连CD．
（1）求证四边形AFCD是平行四边形．
（2）若，，，请直接写出FC的长度．
选做题：
7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？
8．如图，在平面直角坐标系中，，，，，并且，满足．一动点从点出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点运动，动点从点出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）．
（1）求，两点的坐标；
（2）当为何值时，；
（3）点为线段的中点，直接写出为何值时，是等腰三角形．
参考答案
1．C
【解析】
A、∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
B、∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
C、根据AB=CD，AD∥BC可能得出四边形是等腰梯形，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，错误，故本选项正确；
D、∵AB=CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确，故本选项错误；
故选C．
2．A
【解析】由题意，以BC、AB为半径画弧，故AD=BC，CD=AB，故其为平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
故答案为：A.
3．C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠B=∠D，AD∥BC，AD=BC，
如果∠BAE=∠FCD，
则△ABE≌△DFC（ASA）
∴BE=DF，
∴AD-DF=BC-BE，
即AF=CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（③符合题意）
如果∠BEA=∠FCE，
则AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE是平行四边形；（④符合题意）
故答案为：C
4．（1）证明：，
．
在和中，
．
．
（2）解：由（1）
∴，
，
即．
．
，
四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得∠B=∠D，然后利用"ASA"证明△ABE≌△CDF，即可求证；
（2）由全等三角形的性质得AE=CF，∠AEB=∠CFD，然后根据邻补角及等角得补角相等可得∠AEF=∠CFE由内错角相等，两直线平行得AE∥CF，最后根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等得四边形是平行四边形”即可求解.
5．（1）解：∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴在中，，
∵在四边形中，，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
∴，，
∴，
∴在中，，
∴．
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据垂直的∠ACB=90°，进而根据勾股定理求出BC2，从而证明得到，再根据平行四边形的判定与性质得到，，从而根据勾股定理求出BE即可得到BD.
6．（1）证明：∵E是AC的中点，
∴．
∵，∴．
在和中，
∴，
∴，∴四边形AFCD是平行四边形．
（2）5
【解析】（2）∵四边形AFCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠B+∠DCB=180°，
∵∠DCB=135°，
∴∠B=45°，
过点F作FH⊥BC于点H，如图所示：
∴∠BFH=45°=∠B，
∴BH=FH，
在Rt△BFH中，BF=1，BH2+FH2=BF2，
∴2BH2=1，
∴BH=FH=，
∴CH=BC-BH=，
在Rt△CFH中，FC2=FH2+CH2，
∴FC=，
故答案为：5.
【分析】（1）先利用“ASA”证出，可得，再结合，即可证出四边形AFCD是平行四边形；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，利用勾股定理求出BH=FH=，利用线段的和差求出CH=BC-BH=，最后利用勾股定理求出FC的长即可.
7．解：①以PQAD构成四边形
设x秒成为平行四边形
根据题意得：
x=24﹣3x
∴x=6
∴当运动6s时成为平行四边形；
②以PQBC构成四边形
设y秒成为平行四边形
根据题意得：
10﹣y=3y
∴y=2.5
∴当运动2.5s时也成为平行四边形．
③四边形PAQC、四边形PDQB其实也可能成为平行四边形，其中，PDQB是错误的，四边形PAQC成为平行四边形时是7秒．
故答案为6秒、2.5秒、7秒
【分析】根据题意P，Q和梯形ABCD的两个顶点构成平行四边形，分两种情况讨论：①可以构成四边形PQAD；②可以构成四边形PQBC两种．
8．（1）解：．
解得．
．，，．
故，；
（2）解：由题意得：，，则：，．
，，
四边形是平行四边形，．
．解得．
当为时，．
（3）解：当为或或或时，是等腰三角形
【解析】解：（3）当为或或或时，是等腰三角形．
提示：点为线段的中点，．
当时，是等腰三角形，
，．．
当时，是等腰三角形，
如图，过作于，则，，
．
，或．
或4．
当时，是等腰三角形，
如图，过作于，则，．
．
【分析】本题考查平行四边形的判定，等腰三角形的判定，熟知平行四边形的判定和等腰三角形的判定方法是解题关键.
（1）根据二次根式的性质可知：a-13≥0，13-a≥0，解得：a=13；代入求得c=10，代入即可得出答案.
（2）根据题意可知：AP=2t，QO=t，PB=13-2t，OC=10-t，由平行四边形的判定可知：PB=QC，代入数据列出关于t的方程，解方程即可得到答案；
（3）由等腰三角形的定义可分：OP=OD=5，DP=OD=5和DP=OP三种情况讨论，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可列出关于t的方程，解方程即可得到答案.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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